Tập các iđêan nguyên tố gắn kết

2.3.1 Mệnh đề. Cho dãy khớp 0 −→ B −→ A −→ C −→ 0 các R−môđun sao cho B và A là biểu diễn được. Khi đó

AttC ⊆ AttA ⊆AttB∪ AttC.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết B là môđun con của A và C = A/B. Do A/B là môđun thương của A nên theo Bổ đề 2.2.2, Att(A/B) ⊆ AttA.Chop ∈ AttA.Theo định lý duy nhất thứ

nhất, tồn tại môđun thương A/P của A là p-thứ cấp. Xét Q = P +B. Nếu A = Q = P +B thì

A/P = (P +B)/P ∼_{= B/(P ∩ B).}

Vì A/P là p-thứ cấp nên p ∈ Att(A/P). Theo Bổ đề 2.2.2 ta suy ra p ∈ Att(B/(P ∩B)) ⊆ AttB. Vì vậy p ∈ AttB. Giả sử A 6= Q. Khi đó A/Q là môđun thương khác không của A/P. Vì A/P là p−thứ cấp nên theo Bổ đề 2.1.2 (ii), A/Q là p-thứ cấp. Suy ra p ∈ Att(A/Q). Vì A/Q cũng là môđun thương của A/B nên p ∈ Att(A/B). Vậy

AttA ⊆ AttB ∪Att(A/B).

2.3.2 Mệnh đề. Cho A₁, . . . , A_r là R-môđun biểu diễn được. Khi đó A₁L

. . .L

A_r cũng biểu diễn được và

Att(A₁^M. . .^MA_r) = r

[

i=1

AttA_i.

Chứng minh. Bằng quy nạp theo r, ta chỉ cần chứng minh với r = 2 là đủ. Vì vậy ta giả thiết A, A⁰ là biểu diễn được và chứng minh AL

A⁰ cũng biểu diễn được. Giả sửA =

n X i=1 A_i vàA⁰ = m X j=1 A⁰_j là các biểu diễn thứ cấp củaAvàA⁰.Với mỗii = 1, . . . , n, đặtB_i = {(a_i,0) ∈ A⊕A⁰ :

a_i ∈ A_i}.Với mỗij = 1, . . . , mđặtC_j = {(0, a_j) ∈ A⊕A⁰ : a_j ∈ A⁰_j}. Khi đó Bi, Cj là các môđun con của A⊕A⁰ và

A^MA⁰ = n X i=1 B_i+ m X j=1 C_j.

Dễ thấy rằng B_i ∼_{= A}

i với moị i = 1, . . . , n và C_j ∼_{= A}0

j với mọi j = 1, . . . , m. Vì thếB_i vàC_j là thứ cấp với mọi i, j. Do đóAL

A⁰ có biểu diễn thứ cấp, tức là nó biểu diễn được.

Bây giờ ta chứng minhAtt(AL

A⁰) = AttA∪AttA⁰.Xét dãy khớp

0 −→A −→^f A⊕A⁰ −→^g A⁰ −→0

trong đó f là phép nhúng tự nhiên f(a) = (a,0) và g là phép chiếu tự nhiên g(a, a⁰) =a⁰. Theo mệnh đề trên,

AttA⁰ ⊆ Att(A^MA⁰) ⊆ AttA∪AttA⁰.

Hoàn toàn tương tự đối với dãy khớp

0 −→A⁰ −→^α A⊕A⁰ −→^β A −→0

trong đó α là phép nhúng tự nhiên α(a⁰) = (0, a⁰) vàβ là phép chiếu tự nhiên β(a, a⁰) = a, ta suy ra AttA⊆ AttA⊕A⁰. Vì thế

Att(A^MA⁰) = AttA∪AttA⁰.

2.3.3 Mệnh đề. Với mọi i = 1, . . . , n, Att(A/Ai) = AttA\ {pi} và A/Ai = P

j6=i(Ai+Aj)/Ai là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu củaA/Ai. Chứng minh. Cho i ∈ {1, . . . , n}. Ta có A/A_i = n X j=1 (A_i +A_j)/A_i ∼₌ n X j=1 A_j/(A_j ∩A_i).

Vì A_j 6⊆A_i với mọi j 6= i nên A_j/(A_j ∩A_i) 6= 0. Vì A_j làp_j−thứ cấp nênA_j/(A_j∩A_i)làp_j-thứ cấp với mỗij 6= i. Rõ ràngA_j/(A_j∩A_i) = 0

với j = i. Do đó

A/A_i = ^X j6=i

(A_i +A_j)/A_i

là một biểu diễn thứ cấp củaA/Ai.Bỏ đi những thành phần thứ cấp thừa (nếu có) từ biểu diễn thứ cấp trên, ta thu được một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A/Ai. Vì thế AttA/Ai ⊆ AttA\ {pi}. Sử dụng Mệnh đề 2.3.1 đối với dãy khớp

0−→ Ai −→ A −→ A/Ai −→ 0

ta suy ra

AttA ⊆ AttA_i∪ Att(A/A_i) ⊆ {p_i} ∪(AttA\ {pi}) = AttA.

Vì thế AttA/A_i ⊇ AttA\ {pi}, và do đó AttA/A_i = AttA \ {pi}. Điều này cũng chứng tỏ biểu diễn thứ cấp

A/A_i = ^X j6=i

(A_i +A_j)/A_i

là tối thiểu.

2.3.4 Mệnh đề. Cho S là tập đóng nhân của R. Đánh số lại p_i sao cho S ∩p_i = ∅ với i = 1, r và S ∩p_j 6= ∅với j = r + 1, n. Khi đó S(A) là môđun con duy nhất biểu diễn được của A thoả mãn

Chứng minh. Ta có S(A) = Pr

i=1A_i là môđun con biểu diễn được của A và vì thế AttS(A) = {p₁, . . . ,p_r}. Vì A_j 6⊆ S(A) với mọi j > r nên

(A_j +S(A))/S(A) 6= 0. Do đó A_j/(S(A)∩A_j) là p_j−thứ cấp với mọi j > r. Vì thế A/S(A) = n X j=r+1 (Aj +S(A))/S(A) ∼₌ n X j=r+1 Aj/(S(A)∩Aj)

là biểu diễn thứ cấp của A/S(A). Sử dụng Mệnh đề 2.3.1 và lập luận tương tự như trong chứng minh Mệnh đề 2.3.3 ta có thể chỉ ra rằng biểu diễn thứ cấp này của A/S(A) là cực tiểu. Vì thế Att(A/S(A)) = AttA\ {p₁, . . . ,p_r} và AttS(A) ={p₁, . . . ,p_r}.

ChoB là môđun con biểu diễn được của Avới Att(A/B) = AttA\ {p1, . . . ,pr} và AttB = {p1, . . . ,pr}. Gọi A/B = Pn

j=r+1P_i là biểu diễn thứ cấp cực tiểu, trong đó P_j làpj−thứ cấp. DoS∩pj 6= ∅với mọi j > r nên tồn tạix_j ∈ S∩pj với mỗij = r + 1, n.Đặtx = x_r+1. . . x_n. Khi đó x ∈ S. Do x_j ∈ pj nên tồn tại t_j ∈ _N đủ lớn để x^tj

j P_j = 0, và vì thế với t là số lớn nhất trong các tj thì ta có x^t(A/B) = 0. Suy ra x^tA ⊂ B. Lại vì x ∈ S nên x /∈ pi với mọi i = 1, r. Do đó phép nhân bởi x trên Ai là toàn cấu, tức là x^tAi = Ai với mọi i = 1, . . . , r. Suy ra

x^tA = n X i=1 x^tAi = r X i=1 x^tAi = r X i=1 Ai = S(A) ⊂ B. Gọi B = Pr

i=1Q_i là biểu diễn thứ cấp cực tiểu của B, trong đó Q_i là p_i−thứ cấp với mọi i = 1, . . . , r. Với mỗi s ∈ S ta có s /∈ p_i với mọi i = 1, r. Vì thế phép nhân bởi s trên Q_i là toàn cấu, tức là sQ_i = Q_i với mọi i = 1, r. Suy ra B = sB ⊆sA với mọis ∈ S.Vì thế B ⊆ T

2.3.5 Mệnh đề. Các phát biểu sau là đúng

(i) A có một xích A = B₀ ⊃ B₁ ⊃ . . . ⊃ B_r = 0 các môđun con của A sao cho mỗi môđun thương B_i−1/B_i là thứ cấp.

(ii) Nếu A = B₀ ⊃ B₁ ⊃ . . . ⊃ B_r = 0 là một xích như trong (a), trong đó B_i−1/B_i là q_i−thứ cấp, thì AttA ⊆ {q₁, . . . ,q_r}.

Chứng minh. (a) Với mỗi i = 0,1, . . . , n−1 ta đặt B_i = ^X j>i A_j. Khi đó rõ ràng B₀ = A, B_n = 0và B_i−1 = ^X j>i−1 A_j = B_i+A_i.Vì A_i 6⊆ B_i nên (B_i +A_i)/B_i 6= 0. Lại vì Bi−1/Bi = (Bi +Ai)/Bi ∼_{= A} i/(Ai ∩Bi)

nên B_i−1/B_i là môđun thương khác 0 của A_i, và do đó B_i−1/B_i là p_i−thứ cấp. Vì thế chọn r = nta có ngay kết quả.

(ii) Sử dụng Mệnh đề 2.3.1 nhiều lần ta có

AttA⊆ Att(A/B₁)∪ AttB₁

⊆ Att(A/B1)∪ Att(B1/B2)∪ AttB2

⊆ . . . ⊂ Att(A/B₁)∪Att(B₁/B₂)∪. . .Att(B_r−1/B_r) = r [ i=1 Att(B_i−1/B_i) ={q₁, . . . ,q_r}. 2.3.6 Mệnh đề. Đặt P

= {AnnQ : Q là môđun thương khác 0 của A}. Nếu q là phần tử cực đại của P

thì q ∈ AttA. Chứng minh. Giả sử q là phần tử cực đại củaP

. Lấy x, y ∈ R sao cho xy ∈ qvà x /∈ q.Do q ∈ P

sao cho AnnQ = q. Vì xy ∈ qnên xyQ = 0 và vì x /∈ qnên xQ 6= 0. Đặt K = {z ∈ Q : xz = 0}. Khi đó yQ ⊆ K nên y(Q/K) = 0, tức là y ∈ Ann(Q/K). Vì q = AnnQ nên q ⊆ Ann(Q/K). Vì xQ 6= 0 nên tồn tại z ∈ Qsao cho xz 6= 0,và vì thế z /∈ K.Suy ra Q/K 6= 0. Vì thế

Ann(Q/K) ∈ P

. Do tính tối đại của qtrong P

nên q= Ann(Q/K). Do đó y ∈ q. Như vậy q là iđêan nguyên tố và là linh hoá tử của một môđun thương khác 0 của Q, do đó theo Định lý 2.2.3 (iv) ⇒ (i), q ∈ AttQ ⊆ AttA.

Cuối cùng ta cần bổ đề sau.

2.3.7 Bổ đề. Giả sử(R,m)là vành địa phương và Alà R-môđun Artin. Khi đó các điều sau tương đương:

(i) A hữu hạn sinh;

(ii) A có độ dài hữu hạn; (iii) Att(A) ⊆ {m}.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (ii) ⇔(iii).

(ii) ⇒ (iii) Vì A có độ dài hữu hạn nên tồn tại n sao cho mⁿA = 0. Vì vậy A = 0 hoặc A làm-thứ cấp.

(iii) ⇒ (ii) Vì Att(A) ⊆ {m} nên tồn tại n sao cho mⁿA = 0. Điều này kéo theo A có độ dài hữu hạn.