Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương Artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM          N N G G U U Y Y Ễ Ễ N N T T H H Ị Ị T T H H U U TÍNH BÃO HÒA NGUYÊN T Ố CỦA MỘT SỐ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên, tháng 05, năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM          N N G G U U Y Y Ễ Ễ N N T T H H Ị Ị T T H H U U TÍNH BÃO HÒA NGUYÊN T Ố CỦA MỘT SỐ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC N N G G Ư Ư Ờ Ờ I I H H Ư Ư Ớ Ớ N N G G D D Ẫ Ẫ N N K K H H O O A A H H Ọ Ọ C C P P G G S S . . T T S S . . L L Ê Ê T T H H Ị Ị T T H H A A N N H H N N H H À À N N Thái Nguyên, tháng 05, năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis . . . . . . . 3 1.2 Biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin . . . . . . . . . . 6 1.3 Tính chất cở sở của môđun đối đồng điều địa phương . . 12 1.4 Tính catenary của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương Artin 18 2.1 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . 18 2.2 Tính bão hòa nguyên tố của H d m (M) . . . . . . . . . . . 26 2.3 Tính bão hòa nguyên tố của H i m (M) . . . . . . . . . . . 35 2.4 Tính bão hòa nguyên tố của H d I (M) . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 i Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô. Tôi xin gửi tới các thầy cô ở Viện Toán học Hà Nội, Khoa Toán, Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. ii Lời nói đầu Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Giả sử p ∈ Spec(R) sao cho p chứa Ann R M. Khi đó p ∈ Supp R M, vì thế M p = 0. Theo Bổ đề Nakayama ta có M p /pM p = 0. Suy ra p ∈ Supp R (M/pM) và do đó p ⊇ Ann R (M/pM). Hiển nhiên p ⊆ Ann R (M/pM). Vì thế ta luôn có Ann R (M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann R M. Theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cường và L. T. Nhàn [CN] đã xét tính chất sau đối với các R-môđun Artin A Ann R (0 : A p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann R A. (∗) Khi R là vành đầy đủ theo tôpô m-adic, sử dụng đối ngẫu Matlis và áp dụng tính chất trên của các môđun hữu hạn sinh, ta thấy rằng tính chất (*) luôn đúng cho mọi R-môđun Artin A. Tuy nhiên, Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [CN] đã xây dựng ví dụ chỉ ra rằng tính chất (*) nhìn chung không còn đúng khi vành R không đầy đủ. Định nghĩa. Ta nói R-môđun Artin A là bão hòa nguyên tố nếu A thỏa mãn tính chất (*). Tính bão hòa nguyên tố được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn [CN] nhằm nghiên cứu chiều của môđun Artin. Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương H i m (M) luôn là R-môđun Artin với mọi cấp i. Năm 2007, N. T. Cường, N. T. Dung, L. T. Nhàn [CDN] đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại như sau. Định lí 1. H d m (M) là bão hòa nguyên tố khi và chỉ khi R/ Ann R H d m (M) là vành catenary. 1 Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Năm 2009, L. T. Nhàn và T. N. An [NA] đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều cấp i tùy ý với giá cực đại thông qua tập giả giá. Theo Brodmann và Sharp [BS1], giả giá thứ i của M, kí hiệu là Psupp i R (M), được định nghĩa bởi như sau: Psupp i R (M) = {p ∈ Spec(R) : H i−dim(R/p) pR p (M p ) = 0}. Định lí 2. Psupp i R (M) ⊆ Var(Ann R H i m (M)). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H i m (M) là bão hòa nguyên tố. Chúng ta biết rằng môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá I tùy ý luôn là môđun Artin. Năm 2012, L. T. Nhàn và T. Đ. M. Châu [NC] đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của H d I (M). Theo I. G. Macdonald [Mac], với mỗi R-môđun Artin A, kí hiệu Att R A là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A. Định lí 3. H d I (M) là bão hòa nguyên tố nếu và chỉ nếu R/ Ann R H d I (M) là vành catenary và Att R H d I (M) = {p ∈ Ass R M : dim(R/p) = d,  p + I = m}. Mục đích của luận văn là chứng minh lại chi tiết 3 định lí đã nêu ở trên về tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương Artin trong các bài báo [CDN], [NA], [NC]. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis, lí thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin, khái niệm và tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương, tính catenary của vành. Chương 2 đưa ra chứng minh chi tiết cho các đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương Artin H d m (M), H i m (M) và H d I (M). 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, luôn giả thiết (R, m) là một vành giao hoán Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m. Cho A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Mục đích của Chương 1 là trình bày lại một số kiến thức chuẩn bị về vành đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis, lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin, tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương và tính catenary của vành. 1.1 Đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m, L là một R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh, cũng không nhất thiết Artin). Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm vành đầy đủ  R của R theo tôpô m-adic và một số kết quả về hàm tử đối ngẫu Matlis D(−) := Hom R (−, E(R/m)). Các thuật ngữ ở đây được tham khảo trong chương 10 của cuốn sách [BS] của M. Brodmann và R. Y. Sharp. Định nghĩa 1.1.1. Một dãy (x n ) ⊂ R được gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n 0 ∈ N sao cho 3 x n − x m ∈ m k , với mọi m, n ≥ n 0 . Dãy (x n ) ⊂ R được gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n 0 ∈ N sao cho x n ∈ m k ,với mọi n ≥ n 0 . Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau : Hai dãy Cauchy (x n ), (y n ) được gọi là tương đương nếu dãy (x n −y n ) là dãy không. Kí hiệu  R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng tổng và tích của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng (x n ) + (y n ) = (x n + y n ) và quy tắc nhân (x n )(y n ) = (x n y n ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán trên  R và cùng với phép toán này  R làm thành một vành Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m  R. Vành  R vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R. Một dãy (z n ) ⊂ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n 0 ∈ N sao cho z n − z m ∈ m k M, với mọi m, n ≥ n 0 . Dãy (z n ) ⊂ M gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n 0 ∈ N sao cho z n ∈ m k , với mọi n ≥ n 0 . Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (z n ), (t n ) được gọi là tương đương nếu dãy (z n − t n ) là dãy không. Kí hiệu  M là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng tổng của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy và tích vô hướng của một phần tử thuộc  R với một dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng (z n )+(t n ) = (z n +t n ) và quy tắc nhân vô hướng a(z n ) = (az n ) với a ∈  R, không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán trên  M và cùng với phép toán này  M làm thành một  R-môđun và được gọi là môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành  R Ví dụ 1.1.2. Cho k là một trường, k[x] là vành đa thức 1 biến trên k. Vành S = k[x] không là vành địa phương. Chọn P = (x)S là iđêan cực 4 đại của S. Do đó vành địa phương hóa R = S P là vành địa phương với iđêan tối đại là m = (x)R. Ta có thể kiểm tra được vành đầy đủ m-adic của R là k[[x]]. Định nghĩa 1.1.3. Cho L = 0 là một R-môđun, một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một môđun L nếu L ⊆ E và với mỗi môđun con khác không N của E luôn có N ∩L = 0. Một R-môđun E được gọi là bao nội xạ của L nếu E là R-môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của L. Mỗi R-môđun L luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa, nếu E và E  là những bao nội xạ của L, thì tồn tại một đẳng cấu f : E → E  sao cho f(x) = x, với mọi x ∈ L. Ta kí hiệu bao nội xạ của môđun L là E(L). Một giải nội xạ của L là một dãy khớp 0 −→ L −→ E 0 −→ E 1 −→ E 2 −→ trong đó mỗi E i là R-môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi môđun đều có giải nội xạ. Dãy 0 = L 0  L 1  L 2  L t = L (*) trong đó mỗi L i là môđun con của của L được gọi là dãy môđun con độ dài t. Ta nói L có dãy hợp thành nếu tồn tại dãy (*) mà giữa L i và L i+1 không thể thêm một môđun con nào khác, với mọi i = 0, , t − 1. Nếu L có dãy hợp thành thì mọi dãy môđun con không có mắt lặp lại của L đều có thể mở rộng được thành một dãy hợp thành và các dãy hợp thành của L có chung độ dài. Trong trường hợp này ta nói L có độ dài hữu hạn và độ dài của L, kí hiệu là  R (L), là độ dài của một dãy hợp thành. Nếu L không có dãy hợp thành thì ta nói L có độ dài vô hạn, ta kí hiệu  R (L) = ∞. Định nghĩa 1.1.4. Đặt E := E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m của R. Xét hàm tử D(−) = Hom(−, E) từ phạm trù các R- 5 môđun đến chính nó. Ta thấy D(−) là hàm tử phản biến, tuyến tính và khớp trái. Vì E là môđun nội xạ nên D(−) là hàm tử khớp. Với mỗi R-môđun L, ta gọi D(L) là đối ngẫu Matlis của L. Xét µ L : L → DD(L) = Hom R (Hom R (L, E), E) là R-đồng cấu cho bởi (µ L (x))(f) = f(x), với mọi x ∈ L, với mọi f ∈ Hom R (L, E). Ta có µ L là đơn cấu. Thật vậy, với mọi x ∈ L, f ∈ Hom R (L, E) mà (µ L (x))(f) = f(x) = 0, suy ra f = 0. Đặt Ann R L = {a ∈ R | aL = 0}. Chú ý rằng Ann R L là một iđêan của R. Bổ đề 1.1.5. Giả sử (R, m) là vành địa phương. Với các kí hiệu như trên, các phát biểu sau là đúng. (i) Ann R L = Ann R D(L). (ii) Nếu  R (L) < ∞ thì D(L) ∼ = L. (iii) Nếu L là môđun Noether thì D(L) là môđun Artin. (iv) (R, m) là vành đầy đủ và L là môđun Artin thì D(L) là môđun Noether. 1.2 Biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin Mục tiêu của tiết này là trình bày các khái niệm và tính chất về biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin, đặc biệt về tập iđêan nguyên tố gắn kết nhằm phục vụ chứng minh các kết quả ở Chương 2. Các kiến thức trong tiết này được tham khảo trong bài báo [Mac] của I. G. Macdonald. Trong suốt tiết này luôn giả thiết A là R-môđun Artin. Định nghĩa 1.2.1. (i) Cho x ∈ R. Nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho 6 [...]... dim R 17 Chương 2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương Artin Trong chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, I là một iđêan của R và i là một số nguyên không âm Cho A là R -môđun Artin và M là R -môđun hữu hạn sinh với dim M = d Mục đích của chương này là đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của một d i d số môđun đối đồng điều địa phương Artin Hm (M ), Hm... I của R ta có i depth(I, M ) = inf{i : HI (M ) = 0} Chiều của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương có thể đặc trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau Định lý 1.3.6 Ta có i dim M = max{i : Hm (M ) = 0} 14 Phần cuối cùng của tiết này dành để trình bày một số tính chất Artin của môđun đối đồng điều địa phương Kết quả đầu tiên khẳng định môđun đối đồng điều địa phương. .. A} 11 1.3 Tính chất cở sở của môđun đối đồng điều địa phương Trong suốt tiết này, giả thiết L là một R -môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh, cũng không nhất thiết Artin) Chúng ta sẽ dùng kí hiệu M khi làm việc với môđun hữu hạn sinh Cho I là một iđêan của R Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương và một số kết quả về tính triệt tiêu, tính Artin của các môđun này Các... áp dụng tính chất linh hoán tử cho môđun D(A) ta có AnnR (0 :A p) = AnnR (D(0 :A p)) = AnnR (D(A)/pD(A)) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR A = AnnR D(A) Do vậy tính bão hòa nguyên tố luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phương đầy đủ Tuy nhiên, tính bão hòa nguyên tố không còn đúng khi vành R không đầy đủ Ví dụ 2.1.3 (xem [CN, Ví dụ 4.4]) Tồn tại một môđun Artin trên vành Noether địa phương. .. catenary nếu với mội cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p và mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài Chú ý rằng vì (R, m) là vành địa phương Noether nên dim R < ∞ Vì thế luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q ⊂ p của R Do đó R là vành catenary nếu và chỉ nếu mọi dãy bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố q ⊂ p đều có cùng độ dài Bổ đề 1.4.2... xu = xn u với n ≥ n0 Dễ kiểm tra được đây là một tích vô hướng trên A Do đó A có cấu trúc R -môđun Với cấu trúc này, một tập con của A là một R -môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là một R -môđun con của A Vì thế dãy môđun con của A xét như R -môđun chính là dãy môđun con của A xét như R- môđun Do đó A là một R -môđun Artin Ta có quan hệ sau về tập iđêan nguyên tố gắn kết trên R và trên R Bổ đề 1.2.12 AttR... iđêan nguyên tố P ∈ Var(AnnR A) sao cho P ∩ R = p Do tính bão hòa nguyên tố luôn thỏa mãn đối với mọi môđun Artin trên vành đầy đủ R nên ta có AnnR (0 :A P ) = P Lại do pR ⊆ P nên ta có p ⊆ AnnR (0 :A p) = AnnR (0 :A pR) ⊆ AnnR (0 :A P ) ∩ R = P ∩ R = p Suy ra AnnR (0 :A p) = p Tiếp theo chúng ta xét mối quan hệ giữa tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin với chiều Noether của nó, đồng thời trình bày một. .. sau là đúng (i) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary (ii) Nếu dim R ≤ 2 thì R là vành catenary Chứng minh (i) Giả sử R là vành catenary và I là iđêan của R Khi ¯ đó mỗi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố ¯ ⊂ p q 15 của R/I tương ứng với một dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan ¯ nguyên tố q ⊂ p của R chứa I, trong đó ¯ và p là ảnh của q và p trong q R/I Vì thế... rằng tính bão hòa nguyên tố là đủ để đẳng thức về chiều ở trên xảy ra Mệnh đề 2.1.13 [NA1] Các phát biểu sau là đúng (i) N-dimR A ≤ dimR A (ii) Nếu A bão hòa nguyên tố thì N-dimR A = dimR A Nhắc lại rằng A có cấu trúc tự nhiên như là R -môđun Artin và các dãy môđun con của A xét như R -môđun và xét như R -môđun là như nhau Vì thế từ định nghĩa chiều Noether ta có N-dimR A = N-dimR A Ta đã biết tính bão hòa. .. nguyên tố của Hm(M ) Mục tiêu của tiết này là trình bày mối quan hệ giữa tính bão hòa d nguyên tố của Hm (M ) với tính catenary của vành cơ sở (Định lý 1) 26 Trước hết, chúng ta nhắc lại tính chất quan trọng sau đây về tập các d iđêan nguyên tố gắn kết của Hm (M ) Bổ đề 2.2.1 [BS, Định lý 11.3.6] d AttR Hm (M ) = {p ∈ AssR M : dim R/p = d} Kết quả sau đây về quan hệ giữa tập iđêan nguyên tố liên kết của . . . . . . . 15 2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương Artin 18 2.1 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . 18 2.2 Tính bão hòa nguyên tố của H d m (M) . cuối cùng của tiết này dành để trình bày một số tính chất Artin của môđun đối đồng điều địa phương. Kết quả đầu tiên khẳng định môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại luôn là Artin. Định. việc với môđun hữu hạn sinh. Cho I là một iđêan của R. Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương và một số kết quả về tính triệt tiêu, tính Artin của các môđun này.