Chặn đều chỉ số khả quy cho iđêan tham số của môđun hữu hạn sinh trên vành noether địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THÀNH TRUNG CHẶN ĐỀU CHỈ SỐ KHẢ QUY CHO IĐÊAN THAM SỐ CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Đỗ Minh Châu THÁI NGUYÊN - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc ăm 2019 T giả ận n Nguyễn Thành Trung i LỜI CẢM ƠN Luận văn "Chặn số khả quy cho Iđêan tham số môđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương" hoàn thành sau thời gian năm học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun Với lòng kính trọng biết ơn sâu sắc, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo - TS Trần Đỗ Minh Châu, người kính mến hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau đại học Trường tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tham gia giảng dạy cho lớp Cao học chun ngành Tốn khóa 25 Cuối xin cảm ơn người thân yêu gia đình, bạn bè ln cho tơi niềm tin động lực để học tập nghiên cứu thật tốt iiiii iii MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Giả sử x = x1 , , xd hệ tham số M q = (x1 , , xd ) Cho n = (n1 , nd ) gồm d số nguyên dương xn = xn1 , , xnd d Ta xem hiệu IM,x (n) = (M/xn M ) − e(xn ; M ) hàm theo biến n e(x; M ) số bội M ứng với dãy x Mặc dù IM,x (n) không đa thức với n1 , , nd đủ lớn bị chặn đa thức Trong [7], N T Cường chứng minh bậc bé tất đa thức theo biến n chặn IM,x (n) không phụ thuộc vào việc chọn x Bậc gọi kiểu đa thức M, kí hiệu p(M ) Chú ý M môđun Cohen-Macaulay (M/ q M ) = e(q; M ), với (và với mọi) iđêan tham số q M Vì ta quy ước bậc đa thức −1 M mơđun Cohen-Macaulay p(M ) = −1 Để mở rộng lớp môđun CohenMacaulay, J Stuckrad W Vogel giới thiệu lớp môđun Buchsbaum Một R-môđun M gọi Buchsbaum với iđêan tham số q, hiệu (M/ q M ) − e(q; M ) khơng đổi Sau đó, N T Cường, P Schenzel N V Trung [9] giới thiệu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Môđun M Cohen-Macaulay suy rộng hiệu (M/ q M ) − e(q; M ) bị chặn với iđêan tham số q M Dễ dàng thấy M môđun Cohen-Macaulay suy rộng p(M ) ≤ Cho đến thông tin cấu trúc M p(M ) > Cho q iđêan tham số M Số thành phần bất khả quy xuất phân tích bất khả quy thu gọn q M gọi số khả quy q M kí hiệu irM (q M ) Chú ý ta ln có irM (q M ) = dimR/m Soc(M/ q M ), với R-mơđun N tùy ý, Soc(N ) = (0 :N m) Một kết cổ điển D G Northcott phát biểu số khả quy iđêan tham số môđun Cohen-Macaulay bất biến môđun M Trong [11], S Endo M Narita đưa ví dụ chứng tỏ chiều ngược lại khơng Khi M môđun CohenMacaulay suy rộng, S Goto N Suzuki [13] chứng minh irM (q M ) có chặn cho cơng thức d−1 irM (q M ) ≤ j=0 d j j R (Hm (M )) + dimk Soc Hmd (M ) với iđêan tham số q M Trong trường hợp M môđun Buchsbaum, S Goto H Sakurai [12] chứng minh dấu bất đẳng thức xảy với iđêan tham số q nằm lũy thừa đủ lớn m Tiếp theo, N T Cường H L Trường [10] mở rộng kết Goto, H Sakurai cho trường hợp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Gần đây, N T Cường P H Quý sử dụng kỹ thuật chẻ đối đồng điều địa phương để chứng minh lại kết Mục đích luận văn trình bày lại kết P H Quý báo "On the uniform bound of the index of reducibility of parameter ideals of a module whose polynomial type is at most one" Kết khẳng định M R-môđun hữu hạn sinh cho p(M ) ≤ irM (q M ) bị chặn với iđêan tham số q M Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương Chương trình bày khái niệm môđun hữu hạn sinh gồm chiều, độ sâu số bội; khái niệm tính chất Đối ngẫu Matlis, môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại kiểu đa thức Chương trình bày khái niệm số khả quy, chặn số phần tử sinh tối tiểu môđun trường hợp chiều chặn số khả quy trường hợp p(M ) ≤ Thái Nguyên, tháng năm 2019 Chương Kiến thức chuẩn bị Trong suốt luận văn này, ta giả thiết (R, m) vành giao hoán Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh chiều d, L R-môđun tùy ý không thiết hữu hạn sinh 1.1 Chiều, hệ tham số số bội môđun hữu hạn sinh Mục đích tiết nhắc lại khái niệm số kết bất biến R-môđun hữa hạn sinh M gồm chiều, độ sâu số bội ứng với hệ tham số Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy iđêan nguyên tố q0 ⊂ q1 ⊂ ⊂ qn R có độ dài n qi = qi+1 với i Chiều Krull vành R cận tất độ dài dãy iđêan nguyên tố R Chiều Krull R kí hiệu dim R Ví dụ 1.1.2 (i) Cho k trường Vành đa thức vô hạn biến R = k[X1 , X2 , , Xn , ] có chiều ∞ xích iđêan nguyên tố (X1 ) ⊂ (X1 , X2 ) ⊂ ⊂ (X1 , X2 , , Xn ) ⊂ tăng vơ hạn (ii) Nếu R vành Artin dim R = 0, iđêan nguyên tố R iđêan cực đại Đặc biệt, trường có chiều (iii) Vành số ngun Z có dim Z = 1, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên tố khác khơng cực đại có dạng pZ với p số nguyên tố Định nghĩa 1.1.3 Chiều Krull M, kí hiệu dim M, chiều Krull vành R/ AnnR (M ) Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử m ∈ M cho p = AnnR (m) Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR M Chú ý iđêan nguyên tố p ∈ AssR M M chứa môđun đẳng cấu với R/ p Hơn nữa, tập iđêan nguyên tố tối tiểu chứa AnnR M tập iđêan tối tiểu AssR M Vì ta có cơng thức tính dim M qua chiều iđêan nguyên tố liên kết M sau Bổ đề 1.1.4 dim M = max{dim(R/ p) | p ∈ AssR M } Cho I = R iđêan R Ta nói I iđêan nguyên sơ √ ab ∈ I a ∈ / I kéo theo b ∈ I với a, b ∈ R Chú ý I √ iđêan nguyên sơ p = I iđêan nguyên tố Trong trường hợp ta nói I iđêan p-nguyên sơ Cho L R-môđun không thiết hữu hạn sinh Dãy = L0 L1 L2 Lt = L (*) Li môđun L gọi dãy môđun độ dài t Ta nói L có dãy hợp thành tồn dãy (*) mà Li Li+1 thêm môđun khác, với i = 0, , t − Nếu L có dãy hợp thành dãy mơđun không 2.2 Chặn số phần tử sinh tối tiểu môđun trường hợp chiều nhỏ Chú ý p(M ) irM (q M ) không đổi chuyển qua đầy đủ m-adic Vì từ trở ta ln giả thiết (R, m) vành đầy đủ Với R-mơđun N , kí hiệu v(N ) := dimk (N/mN ) số phần tử sinh tối tiểu N Chìa khóa để chứng minh định lý kết sau cho vành địa phương chiều Bổ đề 2.2.1 (Xem [17, Chương 3]) Cho (R, m) vành địa phương chiều Khi số phần tử sinh tối tiểu iđêan R bị chặn bất biến không phụ thuộc vào việc chọn iđêan, nghĩa tồn số nguyên dương c cho v(I) = (I/mI) ≤ c với iđêan I Sau S Goto N Suzuki mở rộng kết cho môđun Bổ đề 2.2.2 [13, Định lý 3.1] Cho M R-môđun hữu hạn sinh chiều Khi tồn số nguyên dương c cho v(N ) = (N/mN ) ≤ c với môđun N M Ký hiệu 2.2.3 Cho M R-môđun hữu hạn sinh Ta định nghĩa c(M ) = sup{v(N ) | N ⊆ M } N Nhận xét 2.2.4 (i) Theo Bổ đề 2.2.2, d ≤ c(M ) số nguyên dương Nếu d = (M ) < ∞ Vì thế, v(N ) ≤ (M ), với R-môđun N M Suy c(M ) ≤ (M ) (ii) Nếu d ≥ v(mn M ) = (M/mn M ) đa thức bậc d − n đủ lớn nên c(M ) = ∞ Trong [17], J D Sally chứng minh c(R) < ∞ dim R ≤ Sau S Goto N Suzuki [13] mở rộng kết cho môđun Sau số tính chất bất biến c(M ) 21 Mệnh đề 2.2.5 Cho M R-môđun hữu hạn sinh chiều d ≤ Khi c(M ) = sup{ (N :M m/N ) | N ⊆ M } N Chứng minh Với R-môđun N M, m(N :M m) ⊆ N nên ta có đẳng cấu (N :M m) N ∼ / = (N :M m)/N m(N :M m) m(N :M m) Vì N :M m/N môđun thương (N :M m)/m(N :M m) Do ((N :M m)/N ) ≤ (N :M m)/m(N :M m) = v(N :M m) Suy sup{ ((N :M m)/N ) | N ⊆ M } ≤ c(M ) N Ngược lại, N ⊆ mN :M m nên ta có N/mN mơđun mN :M m/mN Vì v(N ) = (N/mN ) ≤ (mN :M m/mN ) Do c(M ) ≤ sup{ (N :M m/N ) | N ⊆ M } N ta có điều phải chứng minh Tiếp theo tính chất c(M ) chuyển qua dãy khớp ngắn Mệnh đề 2.2.6 Cho dãy khớp ngắn R-môđun hữu hạn sinh chiều nhỏ → M1 → M → M2 → Khi (i) c(M1 ) ≤ c(M ) c(M2 ) ≤ c(M ) (ii) c(M ) ≤ c(M1 ) + c(M2 ) 22 Chứng minh (i) Vì R-mơđun M1 xem R-môđun M nên hiển nhiên c(M1 ) ≤ c(M ) Giả sử M2 = M/N với N R-mơđun M Khi c(M2 ) = sup{ (J/N :M/N m)/(J/N ) | N ⊆ J ⊆ M } J Chú ý ta có đẳng cấu (J/N :M/N m)/(J/N ) ∼ = J :M m/J Vì c(M2 ) = sup{ (J :M m/J) | N ⊆ J ⊆ M } J Vậy c(M2 ) ≤ c(M ) (ii) Giả sử N R-môđun M cho v(N ) = c(M ) Khi N1 := N ∩ M1 mơđun M1 ta có đơn cấu N/N1 ∩ M1 → M/M1 = M2 Chú ý N1 ∩ M1 = N1 Do ta xem N2 = N/N1 môđun M2 Vì ta có dãy khớp ngắn R-mơđun → N1 → N → N2 → Dãy cảm sinh dãy khớp ngắn → N1 /mN1 → N/mN → N2 /mN2 → Suy (N/mN ) = (N1 /mN1 ) + (N2 /mN2 ) c(M ) = v(N ) = v(N1 ) + v(N2 ) Chú ý rằng, theo cách xác định N1 N2 ta có N1 mơđun M1 N2 môđun M2 Vì theo kết (i) ta có v(N1 ) ≤ c(M1 ) v(N2 ) ≤ c(M2 ) Do c(M ) ≤ c(M1 ) + c(M2 ) 23 2.3 Chặn số khả quy cho iđêan tham số trường hợp p(M ) ≤ Trong tiết này, ta giả thiết (R, m) vành địa phương Noether đầy đủ Vì thế, theo Mệnh đề 1.2.5, A R-mơđun Artin đối ngẫu Matlis N := D(A) = Hom(A, E(R/m)) R-môđun Noether, E(R/m) bao nội xạ R-mơđun R/m Hơn Ann A = Ann N Vì A có chiều Krull t đối ngẫu Matlis A mơđun Noether có chiều t, nghĩa dim R/ Ann A = t Vì Hmi (M ) Artin với i ≥ nên theo Định lý 2.3 ta có p(M ) ≤ dim Hmi (M ) ≤ với i = 0, , d − Trước hết ta có Bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 (xem [4, Bổ đề 10.2.16]) Cho E, F, I R-môđun cho E hữu hạn sinh I nội xạ Khi Hom(Hom(E, F ), I) ∼ = E ⊗ Hom(F, I) Với R-môđun Artin A, ta đặt r(A) : = sup{ (0 :A/B m) | B ⊆ A} = sup{ (B :A m/B) | B ⊆ A} Từ định nghĩa ta có bất đẳng thức dim Soc(A) = (0 :A m) ≤ r(A) Hệ 2.3.2 Cho A R-mơđun Artin có chiều nhỏ N := D(A) = Hom(A, E(R/m)) Khi r(A) = c(N ) Chứng minh Với R-môđun B A ta đặt L := D(A/B) = Hom(A/B, E(R/m)) 24 Tác động hàm tử đối ngẫu Matlis vào dãy khớp A → A/B → ta dãy khớp → D(A/B) → D(A) Suy L môđun N Theo Bổ đề 2.3.1 ta có D(Hom(R/m, A/B)) = Hom(Hom(R/m, A/B), E(R/m)) ∼ = R/m ⊗ Hom(A/B, E(R/m)) = R/m ⊗ D(A/B) ∼ = L/mL Vì (B :A m)/B = (0 :A/B m) = (Hom(R/m, A/B)) = (L/mL) = v(L) ≤ c(N ) Suy r(A) ≤ c(N ) Ngược lại, giả sử L môđun N cho v(L) = c(N ) Đặt B = D(N/L) = Hom(N/L, E(R/m)) Tác động hàm tử Đối ngẫu Matlis vào dãy khớp ngắn → L → N → N/L → Chú ý hàm tử Đối ngẫu Matlis hàm tử phản biến cộng tính Vì ta có dãy khớp ngắn → D(N/L) → D(N ) → D(L) → Do vành R đầy đủ nên D(N ) = DD(A) ∼ = A Suy ta có dãy khớp → B → A → D(L) → hay D(L) ∼ = A/B Chú ý D(A/B) ∼ = D(D(L)) ∼ = L Vì B môđun A nên theo chứng minh ta có ((B :A m)/B) = v(L) = c(N ) Suy r(A) ≥ c(N ) Vậy r(A) = c(N ) 25 Từ Hệ 2.3.2 Mệnh đề 2.2.6 ta suy tính chất r(A) chuyển qua dãy khớp sau Hệ 2.3.3 Cho dãy khớp R-môđun Artin chiều không vượt → A1 → A → A2 → Khi (i) r(A1 ) ≤ r(A2 ) r(A2 ) ≤ r(A) (ii) r(A) ≤ r(A1 ) + r(A2 ) Chứng minh Giả sử → A1 → A → A2 → dãy khớp R-môđun Artin chiều không vượt Tác động hàm tử Đối ngẫu Matlis lên dãy khớp ta dãy khớp → D(A2 ) → D(A) → D(A1 ) → Theo Hệ 2.3.2, ta có r(A2 ) = c(D(A2 )), r(A) = c(D(A)), r(A1 ) = c(D(A1 )) Chú ý theo Mệnh đề 2.2.6(ii) ta có c(D(A2 )) ≤ c(D(A)) c(D(A1 )) ≤ c(D(A)) Hơn c(D(A)) ≤ c(D(A1 )) + c(D(A2 )) Vì ta có điều phải chứng minh Định nghĩa 2.3.4 Một dãy phần tử x1 , , xk gọi dãy lọc quy M Supp((x1 , , xi−1 )M : xi )/(x1 , , xi−1 )M ⊆ {m} với i = 1, , k Dễ dàng kiểm tra x1 , , xk dãy lọc quy M xi ∈ / p với p ∈ Ass M/(x1 , , xi−1 )M \ {m} Mệnh đề 2.3.5 Cho M R-môđun hữu hạn sinh chiều d p(M ) ≤ Khi với dãy lọc quy (x1 , , xk ) với k ≤ d M ta có j+k r(Hmj (M/(x1 , , xk )M )) ≤ i=j 26 k r(Hmi (M )) i−j với j < d − k, dim Soc(Hmd−k (M/(x1 , , xk )M )) d−1 ≤ i=d−k k r(Hmi (M )) + dim Soc(Hmd (M )) k+i−d Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo k Trường hợp k = hiển nhiên Xét k = Chú ý ta ln có dãy khớp ngắn f g − M→ − M/x1 M → 0, → M/0 :M x1 → f, g cho f (m + :M x1 ) = x1 m g(m) = m + x1 M, với m ∈ M Thật vậy, f ánh xạ (m1 − m2 )x1 = m1 x1 = m2 x1 Hơn rõ ràng Im f = Ker g = x1 M Dãy khớp ngắn cảm sinh dãy khớp sau môđun đối đồng điều địa phương fj gj Hmj (M ) − → Hmj (M/x1 M ) − → Hmj+1 (M/0 :M x1 ) với j < d − Mặt khác, từ dãy khớp → :M x1 → M → M/0 :M x1 → ta dãy khớp sau với j < d − → Hmj (0 :M x1 ) → Hmj (M ) → Hmj (M/0 :M x1 ) → Hmj+1 (0 :M x1 ) Do x1 phần tử lọc quy M nên (0 :M x1 ) < ∞ Suy dim(0 :M x1 ) = Vì thế, theo Định lý triệt tiêu Grothendieck, Hmj+1 (0 :M x1 ) = với j ≥ Vì thế, ta có đẳng cấu với j ≥ Hmj+1 (M/0 :M x1 ) ∼ = Hmj+1 (M ) Giả sử s ∈ Ann Hmj (M ) t ∈ Ann Hmj+1 (M ) Do Hmj (M/x1 M )/ Im fj đẳng cấu với môđun Hmj+1 (M/0 :M x1 ) nên ta có tHmj (M/x1 M ) ⊆ Im fj stHmj (M/x1 M ) = Điều dẫn đến st ∈ Ann Hmj (M/x1 M ) Vì Ann Hmj (M ) Ann Hmj+1 (M ) ⊆ Ann Hmj (M/x1 M ) 27 với j < d − Vì p(M ) ≤ nên theo Định lý 1.5.3 ta suy dim R/a(M ) ≤ Chú ý a(M ) ⊆ Ann Hmj (M ) Ann Hmj+1 (M ) Do dim R/ Ann Hmj (M ) Ann Hmj+1 (M ) ≤ Suy dim R/ Ann Hmj (M/x1 M ) ≤ với j = 0, , d − Vì p(M/x1 M ) ≤ Vì dim R/ Ann Hmj (M ) ≤ với j = 0, , d − nên theo Hệ 2.3.3 ta có r(Hmj (M/x1 M )) ≤ r(Hmj (M )) + r(Hmj+1 (M )) với j < d − Mặt khác từ dãy khớp x 0→M − → M → M/x1 M → ta có dãy khớp sau x Hmd−1 (M ) → Hmd−1 (M/x1 M ) → Hmd (M ) − → Hmd (M ) Vì ta suy dãy khớp ngắn sau → A → Hmd−1 (M/x1 M ) → :Hmd (M ) x1 → 0, với A môđun thương Hmd−1 (M ) Tác động hàm tử Hom(R/m, •) vào dãy khớp ta dãy khớp → :A m → :Hmd−1 (M/x1 M ) m → :Hmd (M ) m Chú ý dim R/ Ann A ≤ dim R/ Ann Hmd−1 (M/x1 M ) ≤ Vì A R-mơđun Artin có chiều khơng vượt q Suy dim Soc Hmd−1 (M/x1 M ) = (0 :Hmd−1 (M/x1 M ) m) ≤ (0 :A m) + (0 :Hmd (M ) m) = dim Soc(A) + dim Soc(Hmd (M ) ≤ r(A) + dim Soc(Hmd (M ) ≤ r(Hmd−1 (M )) + dim Soc(Hmd (M ) 28 Suy khẳng định k = Với k > 1, theo giả thiết quy nạp ta có r(Hmj (M/(x1 , , xk )M )) ≤ r(Hmj (M/(x1 , , xk−1 )M )) + r(Hmj+1 (M/(x1 , , xk−1 )M )) j+k−1 ≤ i=j j+k = i=j j+k k−1 k−1 r(Hmi (M )) + r(Hmi (M )) i−j i−j−1 i=j+1 k r(Hmi (M )) i−j với j < d − k Hơn nữa, theo giả thiết quy nạp ta có dim Soc Hmd−k (M/(x1 , , xk )M )) ≤ r(Hmd−k (M/(x1 , , xk−1 )M )) + dim Soc(Hmd−k+1 (M/(x1 , , xk−1 )M )) d−1 ≤ i=d−k d−1 = i=d−k d−1 k−1 r(Hmi (M )) + r(Hmi (M )) + dim Soc(Hmd (M )) k+i−d i=d−k+1 k r(Hmi (M )) + dim Soc(Hmd (M )) k+i−d Ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.3.6 Cho q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M Khi tồn hệ tham số y = y1 , , yd cho hệ dãy lọc quy M q = (y1 , , yd ) Chứng minh Vì q iđêan tham số M nên √ Ann M + q = m Nếu iđêan nguyên tố p ∈ Ass(M ) chứa q p ⊇ Ann M + q Do p = m Hiển nhiên q khơng nằm m q Vì theo Định lý tránh nguyên tố ta có q mq∪ p p∈Ass M \{m} Suy tồn phần tử y1 ∈ q \m q y1 ∈ / p với p ∈ Ass M \ {m} Rõ ràng phần tử y1 vừa phần tử tham số vừa phần tử lọc 29 quy M Với i = 2, , d, tiếp tục áp dụng Định lý tránh nguyên tố, ta chọn phần tử yi ∈ q \m q ∪(y1 , , yi−1 ) yi ∈ / p với p ∈ Ass M/(y1 , , yi−1 )M p = m Vì ta chọn hệ tham số y = y1 , , yd cho hệ dãy lọc quy M Theo Bổ đề Nakayama ta có q = (y1 , , yd ) Định lý 2.3.7 Cho M R-môđun hữu hạn sinh chiều d p(M ) ≤ Khi số khả quy iđêan tham số q M bị chặn bất biến không phụ thuộc vào việc chọn q Cụ thể d−1 irM (qM ) ≤ i=0 d r(Hmi (M )) + dim Soc(Hmd (M )) i với hệ tham số q M Chứng minh Giả sử q iđêan tham số M Theo Bổ đề 2.3.6 ta chọn phần tử x1 , , xd ∈ m cho x1 , , xd vừa hệ tham số, vừa dãy lọc quy M q = (x1 , , xd ) Chú ý irM (q M ) = dimk Soc(Hmd (M/ q M )) Vì thế, áp dụng Mệnh đề 2.3.5 cho trường hợp k = d, ta d−1 irM (qM ) ≤ i=0 d r(Hmi (M )) + dim Soc(Hmd (M )) i Chú ý rằng, trường hợp M môđun Cohen Macaulay suy rộng, chặn irM (q M ) Định lý 2.3.7 tốt chặn kết Goto-Suzuki [13] r(Hmi (M )) ≤ (Hmi (M )) với i Nhắc lại rằng, R-môđun M gọi không trộn lẫn dim R/ p = dim M với p ∈ Ass M Theo [5, Theorem 8.1.1], dễ dàng kiểm tra M R-mơđun khơng trộn lẫn chiều p(M ) ≤ 30 Hệ 2.3.8 Cho M R-mơđun khơng trộn lẫn chiều Khi số quy iđêan tham số q M bị chặn bất biến không phụ thuộc vào việc chọn q Chứng minh Do giả thiết R vành đầy đủ nên theo [5, Định lý 8.1.1], với p ∈ Spec R cho dim R/ p = i, ta có p ∈ Ass R/ai (M ) p ∈ Ass M Hơn nữa, dim R/ai (M ) ≤ i với i = 0, 1, Vì dim R/ai (M ) ≤ với i = 0, 1, Suy p(M ) ≤ Theo 2.3.7 ta có điều phải chứng minh Nhận xét 2.3.9 Nếu (R, m) vành địa phương chiều irR (q R) bị chặn với iđêan tham số q R (xem [13, Định lý 3.8]) Vì lớp mơđun có số khả quy iđêan tham số bị chặn thực lớn lớp mơđun có kiểu đa thức khơng vượt q Cũng [13, Ví dụ 3.9], Goto Suzuki xây dựng vành chiều có số khả quy iđêan tham số không bị chặn Chú ý vành ví dụ Goto Suzuki có kiểu đa thức Vì câu hỏi tự nhiên đặt là: Có khơng khẳng định số khả quy irM (qM ) bị chặn với iđêan tham số q M p(M ) ≤ 2? 31 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại chi tiết kết báo P H Quý [16], On the uniform bound of the index of reducibility of parameter ideals of a module whose polynomial type is at most one, Arch Math (Basel), 101(2013), 469-478 Luận văn trình bày số kết sau: Hệ thống lại số vấn đề chiều Krull, hệ tham số, số bội, Đối ngẫu Matlis, môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng kiểu đa thức Trình bày khái niệm tính chất số khả quy môđun L môđun M Trình bày số kết chặn số khả quy iđêan tham số trường hợp kiểu đa thức p(M ) ≤ Trình bày chi tiết chứng minh kết chặn cho số khả quy iđêan tham số kiểu đa thức p(M ) ≤ 32 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] T Đ Dũng (2019), Về kiểu đa thức dãy số khả quy môđun vành giao hoán, Luận án Tiến sĩ, Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên [2] T T Giang (2014), Quỹ tích khơng Cohen-Macaulay quỹ tích khơng Cohen-Macaulay suy rộng, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên [3] N T Thu (2014), Tính bão hòa ngun tố số mơđun đối đồng điều địa phương Artin, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [4] M Brodmann and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric application, Cambridge University Press [5] W Bruns, J Herzog (1998), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press (Revised edition) 33 [6] N T Cuong (1991),On the dimension of the non-Cohen-Macaulay locus of local ring admitting dualizing complexes, Math Proc Cambridge Phil Soc 109, 479-488 [7] N T Cuong (1992), On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local ring, Nagoya Math J 125, 105-114 [8] N T Cuong, P H Quy and H L Truong (2015), On the index of reducibility in Noetherian modules, J Pure and Appl Algebra, 219, 4510-4520 [9] N T Cuong, P Schenzel, N V Trung (1978),Verallgeminerte CohenMacaulay modul, Math-Nachr 85, 156-177 [10] N T Cuong, H L Trường (2008), Asymptotic behavior of parameter ideals in generalized Cohen-Macaulay module, J Algebra, 320, 158168 [11] S Endo and M Narita (1964), The number of irreducible components of an ideal and the semi-regularity of a local ring, Proc Japan Acad 40, 627-630 [12] S Goto, H Sakurai (2003), The equality I = QI in Buchsbaum rings, Rend Sem Univ Padova,110 25-56 [13] S Goto, N Suzuki (1984), Index of reducibility of parameter ideals in a local ring, J Algebra 87, 53-88 34 [14] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [15] D G Northcott (1957), On the irreducible ideals in local rings, J London Math Soc, 32, 82-88 [16] P H Quy (2013), On the uinform bound of the index of reducibility of parameter ideals of a module whose polynomial type is at most one, Arch Math (Basel), 101, 469-478 [17] J D Sally (1978), Numbers of generators of ideals in local rings, Marcel Dekker, Inc., New York - Basel 35 ... thiết (R, m) vành Noether địa phương M R -môđun hữu hạn sinh chiều d, L R -môđun không thiết hữu hạn sinh Mục tiêu chương trình bày kết chặn số khả quy cho iđêan tham số môđun hữu hạn sinh M kiểu... sinh M kiểu đa thức p(M ) ≤ báo gần P H Quý [16] 2.1 Chỉ số khả quy iđêan tham số môđun Noether Chặn cho số khả quy iđêan tham số cho lớp môđun Cohen-Macaulay, Buchsbaum, Cohen-Macaulay suy rộng... nhắc lại khái niệm số khả quy trình bày số kết biết chặn số khả quy cho iđêan tham số Định nghĩa 2.1.1 R -môđun L M gọi môđun bất khả quy cách viết L = L1 ∩ L2 , L1 , L2 R -môđun M kéo theo L =