Chỉ số khả quy và bội bất khả quy của môđun trên vành giao hoán noether

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOUPHALAK PHETSALAD CHỈ SỐ KHẢ QUY VÀ BỘI BẤT KHẢ QUY CỦA MƠĐUN TRÊN VÀNH GIAO HỐN NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SOUPHALAK PHETSALAD CHỈ SỐ KHẢ QUY VÀ BỘI BẤT KHẢ QUY CỦA MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN NOETHER Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2021 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái nguyên, tháng năm 2021 Người viết Luận văn SOUPHALAK PHETSALAD Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người hướng dẫn khoa học PGS.TS Trần Nguyên An i Mục lục Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun Noether Artin 1.2 Độ dài môđun 1.3 Chiều Krull 11 1.4 Vành môđun phân bậc 14 Chương Chỉ số khả quy bội bất khả quy 17 2.1 Sự phân tích bất khả quy 17 2.2 Chỉ số khả quy môđun Noether 22 2.3 Tính đa thức số khả quy 29 2.4 Bội Hilbert-Samuel bội bất khả quy 34 KẾT LUẬN 39 ii LỜI NĨI ĐẦU Định lí số học phát biểu số tự nhiên n lớn phân tích cách (khơng kể sai khác thứ tự thừa số) thành tích thừa số nguyên tố n = pα1 pα2 pαk k , p1 , p2 , , pk số nguyên tố α1 , α2 , , αk số nguyên dương Kết mở rộng tự nhiên cho vành Z số ngun Từ ta có phân tích iđêan nZ nZ = pα1 Z ∩ pα2 Z ∩ ∩ pαk k Z Các iđêan pαi Z iđêan nguyên tố với αi > iđêan đặc biệt, không viết thành giao iđêan thực chứa Kết tổng quát Emmy Noether năm 1921 [7, Satz II and Satz IV] cho vành có tính chất đặc biệt mà sau gọi vành Noether trở thành kết Đại số giao hoán Trong báo [7], Emmy Noether iđêan I vành giáo hốn Noether R biểu diễn thành giao hữu hạn iđêan bất khả quy số iđêan bất khả quy phân tích bất khả quy thu gọn số độc lập với cách chọn phân tích Số gọi số khả quy ký hiệu irR (I) Các kết khái niệm mở rộng tự nhiên cho mơđun Phân tích bất khả quy vấn đề quan trọng Đại số giao hốn, có ứng dụng Hình học đại số Vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Mục đích thứ luận văn tìm hiểu số khả quy mơđun Noether, số cách tính số khả quy đơn giản Mục đích thứ hai luận văn tìm hiểu kết số khả quy mơđun I n M , I iđêan nguyên sơ đa thức bậc dim M − n đủ lớn Đây kết báo [5] Nguyễn Tự Cường, Phạm Hùng Q Hồng Lê Trường Cũng từ Hồng Lê Trường [11] giới thiệu khái niệm bội bất khả quy tương tự bội Hilbert-Samuel đưa số đặc trưng môđun thông qua bội Trong [1], Trần Nguyên An Kumashiro đưa liên hệ bội bất khả quy bội Hilbert-Samuel Mục đích thứ luận văn trình bày lại kết Trần Nguyên An Kumashiro Luận văn chia làm chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị mơđun Noether, môđun Artin, độ dài môđun, chiều Krull, vành mơđun phân bậc Chương chương luận văn Mục 2.1 trình bày mơđun bất khả quy, mô tả môđun bất khả quy số lớp vành đặc biệt, môđun môđun Nother biểu diễn thành giao hữu hạn môđun bất khả quy (Định lý 2.1.4) Mục 2.2 tìm hiểu số khả quy mơđun Noether Định lý 2.2.5 số thành phần bất khả quy phân tích bất khả quy thu gọn môđun môđun Noether bất biến khơng phụ thuộc vào cách chọn phân tích Chứng minh định lý tương tự kết Noether cho iđêan [7] Mục trình bày số cách tính số bất khả quy Mục 2.3 tìm hiểu tính đa thức số khả quy môđun I n M n đủ lớn (Định lý 2.3.10) Mục 2.4 Tìm hiểu bội Hilbert-Samuel bội bất khả quy (Định lý 2.4.9) Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học PGS.TS Trần Nguyên An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Tốn học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Thái ngun, ngày 16 tháng năm 2021 Người viết Luận văn SOUPHALAK PHETSALAD Chương Kiến thức chuẩn bị Chương dành để trình bày số kiến thức chuẩn bị mơđun Noether, môđun Artin, độ dài môđun, vành môđun phân bậc, chiều Krull vành Trong suốt luận văn ta giả thiết R vành giao hốn có đơn vị 1.1 Mơđun Noether Artin Mệnh đề 1.1.1 Cho M R-mơđun Khi điều kiện sau tương đương (i) Mỗi tập khác rỗng mơđun M có phần tử cực đại (ii) Mỗi dãy tăng môđun M M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn ⊆ dừng, nghĩa tồn t ∈ N để Mk = Mk+1 với k ∈ N, k ≥ t (iii) Mỗi môđun M hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.2 Một R-môđun M gọi R-môđun Noether môđun M hữu hạn sinh Vành R gọi vành Noether R-mơđun Noether Nhận xét 1.1.3 Một tập ∅ = ̸ M ⊆ R R-môđun R-môđun R M iđêan R Do R vành Noether R thỏa mãn ba điều kiện tương đương sau đây: (i) Mỗi tập khác rỗng iđêan R có phần tử cực đại (ii) Mỗi dãy tăng iđêan R, I0 ⊆ I1 ⊆ ⊆ In ⊆ dừng, nghĩa tồn t ∈ N để với k ∈ N, k ≥ t Ik = Ik+1 (iii) Mỗi iđêan R hữu hạn sinh Ví dụ 1.1.4 (i) Mỗi trường vành Noether trường có hai iđêan {0} (ii) Mỗi vành vành Noether iđêan hữu hạn sinh, sinh phần tử Suy vành số nguyên Z vành đa thức biến K[x] trường K vành Noether (iii) Mỗi không gian véctơ V trường K K -môđun nên V K -môđun Noether dimK V < ∞ (iv) Vành đa thức vô hạn biến A = R [X1 , X2 , , Xn , ] vành Noether, tồn (X1 ) ⊂ (X1 , X2 ) ⊂ ⊂ (X1 , X2 , , Xn ) ⊂ , dãy tăng vô hạn iđêan A Mệnh đề 1.1.5 Cho vành R dãy khớp ngắn R-môđun f g → N → M → P → Khi M R-mơđun Noether P N R-môđun Noether Hệ 1.1.6 Tổng trực tiếp họ hữu hạn R-môđun Noether R-môđun Noether Hệ 1.1.7 Mỗi R-môđun hữu hạn sinh vành Noether R R-môđun Noether Định nghĩa 1.1.8 Cho R vành Một tập hợp R′ gọi R-đại số, hay gọi đại số R, R′ R-mơđun tồn phép tốn hai ngơi f : R′ × R′ −→ R′ , f (a, b) = ab gọi phép nhân, cho điều kiện sau thỏa mãn: x(ab) = (xa)b = a(xb), c(xa + yb) = xca + ycb, (xa + yb)c = xac + ybc, x, y ∈ R a, b, c ∈ R′ phần tử tùy ý Một tập hợp R R′ gọi đại số R′ , Rmơđun đóng kín với phép nhân R′ , nghĩa R R-đại số với phép nhân cảm sinh Định nghĩa 1.1.9 Cho R′ R-đại số Khi (i) Với tập M ⊊ R′ , ta đặt R[M ] = T T ⊃M T R-đại số R′ chứa M Theo cách đặt ta thấy R[M ] R-đại số nhỏ R′ chứa M R[M ] gọi R-đại số sinh M Nếu M = {c1 , , cn } hữu hạn ta viết R[M ] = R[{c1 , , cn }] R[c1 , , cn ] (ii) Ta nói R′ R-đại số hữu hạn sinh có hữu hạn c1 , , cn để R[c1 , , cn ] = R′ Nhận xét 1.1.10 Một đại số hữu hạn sinh vành Noether vành Noether Mệnh đề 1.1.11 Cho M R-mơđun Khi điều kiện sau tương đương: Cho M hữu hạn sinh Môđun N M gọi môđun đối hữu hạn ℓR (M/N ) < ∞ Tổng tất môđun đơn (mơđun gọi đơn mơđun khác khơng khơng có mơđun thực khác không) M gọi đế M Kí hiệu Soc(M ) Chẳng hạn, Z mơđun 2Z đối hữu hạn Khi (R, m, k) vành giao hoán địa phương (tức vành có iđêan cực đại) Soc(M) = (0 :M m) ∼ = HomR (k; M ) Thật vậy, trước hết ta có nhận xét R/I R-mơđun đơn I = m Tiếp theo ta chứng minh môđun đơn M đẳng cấu với R/m (0 :M m) Giả sử L môđun đơn M Lấy ̸= m ∈ L Xét đồng cấu f : R −→ M , f (r = rm) Ta có Im f = Rm ̸= Rm ⊆ L Vì L mơđun đơn nên L = Rm Do L ∼ = R/ Ker f , Ker f = {r ∈ R | rm = 0} = {r ∈ R | rL = 0} Vì L môđun đơn nên Ker f = m L = (0 :M m) Vì Soc(M ) tổng môđun đơn nên (0 :M m) Tiếp theo ta tìm cơng thức tính số khả quy môđun đối hữu hạn Từ đến hết mục ta giả thiết (R, m, k) vành giao hoán địa phương Bổ đề 2.2.9 Cho N mơđun M M có độ dài hữu hạn Khi N ∩ Soc(M ) = N = Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện cần Giả sử tồn 0M ̸= x ∈ N Do ℓR (M ) < ∞ nên M mơđun Artin Do dãy giảm sau dừng ̸= mx ⊇ m2 x ⊇ m3 x ⊇ Khi tồn số tự nhiên n cho mn x = mn+1 x Theo Bổ đề Nakayama ta có mn x = Giả sử n số nhỏ thoả mãn mn x = mn−1 x ̸= Khi đó, 27 m(mn−1 x) = 0, suy mn−1 x ∈ Soc(M ) Do ̸= mn−1 x ∈ N ∩ Soc(M ) = Điều vô lý Do N = Bổ đề 2.2.10 Cho N1 , N2 , , Ns mơđun R-mơđun có độ dài hữu hạn M , Hi = Ni ∩ Soc(M ), i = 1, s Khi H1 ∩ H2 ∩ ∩ Hs = N1 ∩ ∩ Ns = Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.2.9 với N = N1 ∩ ∩ Ns , ta suy điều phải chứng minh Định lý 2.2.11 Chỉ số khả quy môđun đối hữu hạn N môđun Noether M cho công thức irR (N ; M ) = dimk Hom(k; M/N ) = dimk Soc(M/N ) Chứng minh Do irR (N ; M ) = irR (0M/N ; M/N ) nên ta cần chứng minh irR (0M ; M ) = dimk Soc(M ) trường hợp ℓ(M ) < ∞ Giả sử dimk Soc(M ) = n {e1 , , en } sở Soc(M) Gọi Ni môđun tối đại M không chứa ei với i = 1, , n Đặt Hi = Ni ∩ Soc(M ) Khi Hi ⊆ Ni Ni môđun bất khả quy M Thật vậy, tồn môđun U, V M chứa thực Ni U ∩ V = Ni Ni mơđun tối đại không chứa ei nên ei ∈ U, V Suy ei ∈ U ∩ V = Ni , điều vô lý Mặt khác, ta có H1 ∩ ∩ Hn = 0M Từ Hi = Ni ∩ Soc(M ), theo Bổ đề 2.2.10 ta suy N1 ∩ ∩ Nn = 0M phân tích bất khả quy thu gọn 0M Vậy irR (0M ; M ) = n = dimk Soc(M ) Hệ 2.2.12 Cho M hữu hạn sinh q iđêan tham số M Khi số khả quy mơđun qM M cho công thức irR (q; M ) = dimk HomR (k; M/qM ) = dimk Soc(M/qM ) 28 Chứng minh Do ℓ(M/qM ) < ∞ nên theo Định lý 2.2.11 ta có điều phải chứng minh Nhận xét 2.2.13 Trong trường hợp tổng quát R vành giao hốn, Noether (khơng thiết địa phương) Cho N R-môđun M không thiết đối hữu hạn, N T Cường, P H Quý H L Trường đưa cơng thức tính ir(N ) (xem [5]) Tuy nhiên công thức cần nhiều kiến thức chuẩn bị khác nên luận văn khơng trình bày chứng minh mà nêu lại kết Cho R vành giao hoán Noether Với p iđêan nguyn tố, ta ký hiệu k(p) trường thặng dư Rp /pRp vành địa phương Rp Cho N môđun R-môđun M Khi dimk(p) Soc(M/N )p ir(N ) = p∈AssR (M/N ) Hơn với p ∈ AssR (M/N ), tồn môđun p-nguyên sơ N (p) M mà irM (N (p)) = dimk(p) Soc(M/N )p thỏa mãn N (p) N= p∈AssR (M/N ) phân tích nguyên sơ thu gon N 2.3 Tính đa thức số khả quy Mục tìm hiểu tính đa thức ir(I n M ) n đủ lớn, I iđêan m-nguyên sơ Trước hết ta nhắc lại số kết hàm đa thức Hilbert Nhận xét 2.3.1 Cho R = Ri vành phân bậc, M = i≥0 Mi R-môđun i≥0 phân bậc Nếu R vành phân bậc Noether, M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh thành phần Mi R0 -mơđun hữu hạn sinh Hơn R0 vành Artin Mi Artin Từ nhận xét ta có định nghĩa hàm Hilbert sau 29 Định nghĩa 2.3.2 Cho R = Ri vành phân bậc nhất, Noether i≥0 cho R0 vành Artin M = Mi R-môđun phân bậc hữu hạn sinh i≥0 Hàm Hilbert hM (n) xác định hM (n) = ℓ(Mn ) với n Định lý 2.3.3 [4, Theorem4.1.3] Cho R = Ri vành phân bậc i≥0 nhất, Noether cho R0 vành Artin M = Mi R-môđun phân bậc i≥0 hữu hạn sinh chiều d Khi tồn đa thức PM (x) với hệ số hữu tỉ bậc d − cho hM (n) = PM (n) với n ≫ Trước chứng minh kết chính, luận văn chứng minh chi tiết kết mở rộng [12, Mệnh đề 2.12] Mệnh đề 2.12 [12] trình bày kết cho iđêan, Mệnh đề 2.3.6 luận văn trình bày chi tiết kết cho môđun Bổ đề 2.3.4 (Artin-Rees) Cho I iđêan vành Noether R M Rmôđun hữu hạn sinh, N mơđun M Khi tồn k ≥ cho với số nguyên n I n+k M ∩ N = I n (I k M ∩ N ) Từ Bổ đề Artin-Rees, ta có hệ sau Hệ 2.3.5 Cho I iđêan vành Noether R M R-môđun hữu hạn sinh Cho b ∈ R Khi tồn k ≥ cho với n I n+k M :M b = I n (I k M :M b) + (0 :M b) Chứng minh Theo Bổ đề Artin-Rees, tồn k ≥ cho với số nguyên n I n+k M ∩ bM = I n (I k M ∩ bM ) 30 Do với n, ta có b(I n+k M :M b) = I n+k M ∩ bM = I n (I k M ∩ bM ) = bI n (I k M :M b) Với m ∈ I n+k M :M b, ta có bm ∈ b(I n+k M :M b) Kéo theo bm ∈ bI n (I k M :M b) hay bm = bm′ , m′ ∈ I n (I k M :M b) Suy b(m − m′ ) = hay m − m′ ∈ (0 :M b) Từ ta có m = m′ + (m − m′ ) ∈ I n (I k M :M b) + (0 :M b) Do I n+k M :M b ⊆ I n (I k M :M b) + (0 :M b) Chiều ngược lại hiển nhiên nên ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.3.6 Cho I, J iđêan vành Noether R, M R-môđun hữu hạn sinh, N1 , , Nt , t ∈ N mơđun M Khi (i) Tồn k ∈ N cho t t (I n+k n M + Ni ) = I ( i=1 t k (I M + Ni )) + i=1 Ni i=1 với n (ii) Tồn k ∈ N cho I n+k M :M J = I n (I k M :M J) + :M J với n Chứng minh (i) Xét đơn cấu tự nhiên t φ : M/ t Ni → i=1 M/Ni , i=1 t t φ(m + Ni ) = (m + N1 , , m + Nt ) Do ta xem M/ i=1 t i=1 M/Ni Theo Bổ đề Artin-Rees, tồn k ∈ N t I n+k ( t M/Ni ) i=1 Ni R-môđun i=1 (M/ t Ni ) = I n i=1 k I ( M/Ni ) i=1 31 t (M/ Ni ) i=1 Lấy tạo ảnh qua toàn cấu tự nhiên t t M → M/ Ni → M/Ni i=1 i=1 ta có điều phải chứng minh (ii) Giả sử J = (b1 , , bs )R Theo Hệ 2.3.5, tồn k ≥ cho với n I n+k M :M bi ⊆ I n M + (0 :M bi ) Theo (i) tồn k ≥ cho với n s s I n+k M :M J = (I n+k n (0 :M bi ) M + :M bi ) = I M + i=1 i=1 Tiếp theo ta nhắc lại số kết vành môđun phân bậc Cho GR (I) = I n /I n+1 vành phân bậc R tương ứng với I GM (I) = n≥0 I n M/I n+1 M n≥0 GR (I)-môđun phân bậc M tương ứng với I Định lý 2.3.7 [4, Theorem 4.5.6] Cho R vành Noether, M R-môđun hữu hạn sinh I iđêan Khi dim GM (I) = dim M Định nghĩa 2.3.8 [4, Definition 4.6.7] Cho R vành địa phương với iđêan tối đại nhât m Độ trải giải tích (analytic spread) ℓM (I) I M định nghĩa ℓM (I) = dimGR (I) (GM (I)/mGM (I)) Iđêan I gọi đẳng bội ht I = ℓ(I) Ta ký hiệu ℓ(I) độ trải giải tích iđêan I R Định lý 2.3.9 [4, 4.6.13] Cho (R, m) vành địa phương Noether với iđêan cực đại m I iđêan R Khi ht I ≤ ℓ(I) ≤ dim R 32 Hơn I m-nguyên sơ dấu đẳng thức xảy ra, tức ht I = ℓ(I) = dim R Định lý 2.3.10 Cho R vành địa phương với iđêan tối đại suy m, k = R/m I iđêan R Khi (i) dimk Soc(M/I n M ) = ℓR (I n M : m/I n M ) đa thức bậc ≤ ℓM (I) − với n ≫ (ii) Giả sử I iđêan m-nguyên sơ Khi irM (I n M ) = ℓR (I n M : m/I n M ) đa thức bậc dimR M − với n ≫ ∞ Chứng minh (i) Xét môđun phân bậc liên kết GM (I) = ∞ phân bậc liên kết GR (I) = I n M/I n+1 M vành n=0 I n /I n+1 Ta có n=0 ∞ mI n M/I n+1 M mGM (I) = n=0 GR (I)-môđun phân bậc GM (I) Từ ta có mơđun phân bậc :GM (I) mGM (I) GM (I) Ta chứng minh (0 :GM (I) mGR (I))n = ((I n+1 M : m) ∩ I n M )/I n+1 M Ta có ((I n+1 M : m) ∩ I n M )/I n+1 M ⊆ I n M/I n+1 M = GM (I)n Với x + I n+1 M ∈ ((I n+1 M : m) ∩ I n M )/I n+1 M, ta có x.m ∈ I n+1 M hay xm = Kéo theo xmGR (I) = Do (0 :GM (I) mGR (I))n ⊇ ((I n+1 M : m) ∩ I n M )/I n+1 M Ngược lại lấy x + I n+1 M ∈ GM (I)n thỏa mãn xmGR (I) = Ta có xmGR (I)0 hay xm ⊆ I n+1 M Vậy (0 :GM (I) mGR (I))n ⊆ ((I n+1 M : m) ∩ I n M )/I n+1 M Từ suy ℓR (((I n+1 M : m) ∩ I n M )/I n+1 M ) = ℓR (0 :GM (I) mGR (I))n = đa thức với n ≫ theo Định lý 2.3.3 Theo Mệnh đề 2.3.6, tồn l thỏa mãn với n ≥ l, :M m ∩ I n M = I n+1 M : m = I n+1−l (I l M : m) + :M m 33 Do (I n+1 M : m) ∩ I n M = I n+1−l (I l M : m) + :M m ∩ I n M = I n+1−l (I l M : m) Kéo theo ℓR (I n+1−l (I l M : m)/I n+1 M ) = ℓR (((I n+1 M : m)∩I n M )/I n+1 M ) đa thức với n ≫ Từ ta có dimk Soc(M/I n M ) = ℓR ((I n M : m)/I n M ) = ℓR (I n−l (I l M : m)/I n M ) + ℓR (0 :M m) đa thức với n ≫ 0, bậc đa thức dimGR (I) (0 :GM (I) mGR (I)) − ≤ dimGR (I) (GM (I)/mGR (I)) − = ℓM (I) − (ii) Khảng định thứ suy từ i Lại có ℓR (I n M/I n+1 M ) = ℓR (HomR (R/I, I n M/I n+1 M )) ≤ ℓR (R/I)ℓR (HomR (R/m, I n M/I n+1 M )) ≤ ℓR (R/I)irM (I n+1 M ) Hơn ℓR (I n M/I n+1 M ) đa thức bậc d − ℓM (I) − ≤ d − nên ta có (ii) 2.4 Bội Hilbert-Samuel bội bất khả quy Chú ý ta có kết đa thức nhận giá trị nguyên sau Bổ đề 2.4.1 [4, Lemma 4.1.4] Cho P (X) ∈ Q[X] đa thức bậc d − Khi điều kiện sau tương đương (i) P (n) ∈ Z với n ∈ Z (ii) Tồn số nguyên a0 , , ad−1 cho  d−1  X +i    P (X) =  i=0 34 i Như với n ≫ ta viết  d−1  n+i   ei  hM (n) = i=0  i với số nguyên ei Định nghĩa 2.4.2 Cho R = Ri vành phân bậc nhất, Noether i≥0 cho R0 vành Artin M = Mi R-môđun phân bậc hữu hạn sinh i≥0 chiều d Bội e(M ) xác định hM (n)(d − 1)! n→∞ nd−1 e(M ) = ed−1 = lim Ri vành phân bậc nhất, Noether cho R0 vành Cho R = i≥0 Artin M = Mi R-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d Cho N i≥0 mơđun phân bậc M Khi ta có dãy khớp ngắng → N → M → M/N → Khi đó, dim N < dim M, ta có dim M = dim M/N e(M ) = e(M/N ) Nếu dim N = dim M dim M/N < dim M, e(N ) = e(M ) Nếu dim N = dim M = dim M/N, e(M ) = e(N ) + e(M/N ) Từ đây, cho (R, m) vành Noether, địa phương với iđêan tối đại m, M R-mơđun hữu hạn sinh Định nghĩa 2.4.3 Ta nói iđêan I R iđêan định nghĩa M M/IM môđun Artin Mệnh đề 2.4.4 Cho (R, m) vành Noether địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh I iđean R Khi mệnh đề sau tương đương (i) Iđêan I iđêan định nghĩa M (ii) Tồn số tự nhiên n ta có mn (M/IM ) = (iii) Mơđun M/IM có độ dài hữu hạn 35 Chú ý M ̸= 0, điều kiện thứ hai Mệnh đề 2.4.4 tương đương với điều kiện m = I + Ann(M ) Với điều kiện với i, ta có √ I i + AnnM = m Từ suy M/I i M Artin với i Từ dãy khớp → I n M/I n+1 M → M/I n+1 M → M/I n M → 0, ta có ℓ(M/I n+1 M ) = ℓ(M/I n M ) + ℓ(I n M/I n+1 M ) Giả sử I iđêan định nghĩa M , ta xét R′ = R/Ann(M ) I ′ = (I + AnnM )/AnnM Môđun M vừa R-môđun, vừa R′ -mơđun cịn I ′ iđêan R′ iđêan định nghĩa M Ta có R′ /I ′ Artin Ta xét vành phân bậc GI ′ (R′ ) môđun GI ′ (M ) phân bậc Theo Định lí 2.3.3, hàm Hilbert hGI ′ (M ) (n) đa thức với n ≫ Vì(I ′ )n M/(I ′ )n+1 M = I n M/I n+1 M, ta định nghĩa hGI (M ) (n) = hGI ′ (M ) (n) hGI (M ) (n) = ℓ(I n M/I n+1 M ) đa thức hàm với n ≫ Bậc đa thức dim GI (M ) − = dim M − Định nghĩa 2.4.5 Cho R vành Noether, địa phương, M R-môđun hữu hạn sinh I iđêan định nghĩa M Bội Hilbert-Samuel I tương ứng với M , ký hiệu e(I, M ) xác định e(I, M ) = e(GI (M )) Ví dụ 2.4.6 Cho R = M = Q[x, y](x,y) I = (x3 , xy, y ) Đa thức Hilbert h(n) = ℓ(I n M/I n+1 M ) = 5n + Từ dim M = 2, bội Hilbert-Samuel e(I, M ) = Từ kết phía ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.4.7 Hàm HI,M : N → N, n → ℓR (I n M/I n+1 M ) đa thức bậc d − n ≫ Từ tồn số nguyên e0I (M ), , ed−1 I (M ) cho HI,M (n) = e0I (M ) n+d−1 d−1 − e1I (M ) 36 n+d−2 n−2 + · · · + (−1)d−1 ed−1 I (M ) với n ≫ Các hệ số e0I (M ), , eId−1 (M ) gọi hệ số Hilbert M ứng với I Hệ số cao e0I (M ) gọi bội M ứng với I Định lý 2.3.10 rR (M/I n+1 M ) = ℓR (I n+1 M :M m/I n+1 M ) đa thức bậc d − n ≫ Do ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.4.8 Hàm irI,M : N → N, n → rR (M/I n+1 M ) = ℓR (I n+1 M :M m/I n+1 M ) đa thức bậc d − n ≫ Do tồn số nguyên fI0 (M ), , fId−1 (M ) thỏa mãn irI,M (n) = fI0 (M ) n+d−1 d−1 − fI1 (M ) n+d−2 n−2 + · · · + (−1)d−1 fId−1 (M ) với n ≫ Ta gọi e0I (M ), , ed−1 I (M ) hệ số bất khả quy M ứng với I Hệ số cao rme0I (M ) gọi bội bất khả quy M ứng với I Định lý sau báo [1] đưa mối liên hệ bội Hilbert-Samuel bội bất khả quy Định lý 2.4.9 Ta có bất đẳng thức sau    e0I (M ) fI0 (M ) ≤ d ̸=   e0 (M ) + ℓR ((0) :M m) if d = I Hơn dấu đẳng thức xảy tồn n ≥ cho mI n M = I n+1 M Chứng minh Chý ý tồn ℓ > cho ta có I n+1 M :M m = I n+1−ℓ (I ℓ M :M m) + (0) :M m and ((0) :M m) ∩ I n M = với n ≥ ℓ Suy (I n+1 M :M m) ∩ I n M = (I n+1−ℓ (I ℓ M :M m) + (0) :M m) ∩ I n M =I n+1−ℓ (I ℓ M :M m) + ((0) :M m) ∩ I n M = I n+1−ℓ (I ℓ M :M m) 37 với n ≥ ℓ Hơn ta có dãy khớp ngắn → (I n+1 M :M m) ∩ I n M/I n+1 M → I n+1 M :M m/I n+1 M → (0) :M m → 0, → (I n+1 M :M m) ∩ I n M/I n+1 M → I n M/I n+1 M → I n M/(I n+1 M :M m) ∩ I n M → với n ≥ ℓ Ta có [I n+1−ℓ (I ℓ M :M m) + (0) :M m]/I n+1−ℓ (I ℓ M :M m) ∼ = (0) :M m Nên rR (M/I n+1 M ) =ℓR ((I n+1 M :M m) ∩ I n M/I n+1 M ) + ℓR ((0) :M m) =ℓR (I n M/I n+1 M ) + ℓR ((0) :M m) − ℓR (I n M/(I n+1 M :M m) ∩ I n M ) ≤ℓR (I n M/I n+1 M ) + ℓR ((0) :M m).(1) Vì ℓR ((0) :M m) số, so sánh hệ số ta có fI0 (M ) ≤ e0I (M ) d ≥ Nếu d = 1, ta có fI0 (M ) ≤ e0I (M ) + ℓR ((0) :M m) Xét trường hợp d = 0, ta có fI0 (M ) = ℓR ((0) :M m) ≤ ℓR (M ) = e0I (M ) Giả sử mI n M = I n+1 M với n > Ta có dấu đẳng thức n ≫ Điều kéo theo dấu (1) I n M ⊆ I n+1 M :M m 38 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết sau số khả quy bội bất khả quy môđun Noether, cụ thể là: - Trình bày hệ thống kiến thức sở về môđun Noether, môđun Artin, độ dài môđun, chiều Krull, vành môđun phân bậc, vành mơđun phân bậc liên kết - Trình bày hệ thống kiến thức môđun bất khả quy, phân tích mơđun thành giao mơđun bất khả quy, liên hệ với phân tích nguyên sơ - Trình bày số khả quy mơđun Noether, cơng thức tính số khả quy - Trình bày tính đa thức số khả quy mơđun đặc biệt - Trình bày bội bất khả quy liên hệ với bội Hilbert-Samuel 39 Tài liệu tham khảo [1] T N An and S Kumashiro (2021), "Irreducible multiplicity and Ulrich modules", preprint [2] P Ammone (2015), "I đêan đơn thức phân tích iđêan đơn thức, Luận văn thạc sĩ, Trường ĐHSP-ĐHTN [3] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to Commutative Algebra, University of Oxford [4] W Bruns and J Herzog (1998), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press (Revised edition) [5] N T Cuong, P H Quy and H L Truong (2015), "On the index of reducibility in Noetherian modules", J Pure Appl Algebra, 219, 4510-4520 [6] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [7] E Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math Ann 83 (1921), 24–66 [8] D.G Northcott, On irreducible ideals in local rings, J London Math Soc 32 (1957), 82–88 [9] M Rogers and S Sather-Wagstaff (2011), Monomial ideals and their decomposition, http://www.ndsu.edu/pubweb/ ssatherw/DOCS/monomial.pdf [10] R Y Sharp (1990), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press 40 [11] H L Truong (2014), "Index of reducibility of parameter ideals and CohenMacaulay rings", J Algebra, 415, 35-49 [12] P Schenzel, On the use of local cohomology in algebra and geometry In: Elias, J (ed.) et al., Six lectures on commutative algebra Basel (1998), 241– 292 41 ... Chương Chỉ số khả quy bội bất khả quy Trong chương ta giả thiết vành giao hốn, có đơn vị 2.1 Sự phân tích bất khả quy Định nghĩa 2.1.1 Môđun N M gọi môđun bất khả quy M N ̸= M N biểu diễn thành giao. .. biệt, môđun môđun Nother biểu diễn thành giao hữu hạn môđun bất khả quy (Định lý 2.1.4) Mục 2.2 tìm hiểu số khả quy môđun Noether Định lý 2.2.5 số thành phần bất khả quy phân tích bất khả quy thu... bày số kiến thức chuẩn bị môđun Noether, môđun Artin, độ dài môđun, chiều Krull, vành môđun phân bậc Chương chương luận văn Mục 2.1 trình bày môđun bất khả quy, mô tả môđun bất khả quy số lớp vành