Về kiểu đa thức dãy và chỉ số khả quy của môđun trên vành giao hoán tt

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s✉èt t✐➳t ♥➔② ❧✉æ♥ ①➨t Hm0 (M ) = Dt ⊂ ⊂ D1 ⊂ D0 = M ❧➔ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M ✈➔ di := dim Di ✈ỵ✐ ♠å✐ i ≤ t✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳✶✳ ❑✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❞➣② ❝õ❛ M ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ sp(M ) ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❤æ♥❣ q✉❛ ❦✐➸✉ ✤❛ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣ tr♦♥❣ ❧å❝ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ M ♥❤÷ s❛✉✿ sp(M ) = max{p(Di−1 /Di ) | i = 1, , t} ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❛ t❤➜② ♥❣❛② r➡♥❣✱ sp(M ) = −1 ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ M ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣②❀ sp(M ) ≤ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ M ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② rë♥❣ ❞➣②✳ ◆❤➻♥ ❝❤✉♥❣✱ sp(M ) ✤♦ t➼♥❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲ ▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ M ✳ ❈ư t❤➸✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❦➼ ❤✐➺✉ nSCM(M ) ❧➔ q✉ÿ t➼❝❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ M ✱ tù❝ ❧➔ nSCM(M ) := {p ∈ Spec(R) | Mp ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣②} ❑➳t q✉↔ s❛✉ ✤÷❛ r❛ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ sp(M ) ✈➔ ❝❤✐➲✉ ❝õ❛ q✉ÿ t➼❝❤ ❦❤æ♥❣ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ M ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✹✳ ◆➳✉ R ❧➔ ❝❛t❡♥❛r② t❤➻ sp(M ) ≥ dim(nSCM(M ))✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ♥➳✉ R ❧➔ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët ✈➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ữỡ ỵ s t tổ t tự ữợ t ữỡ õ ỵ p SuppR M ●✐↔ sû R ❧➔ ❝❛t❡♥❛r②✳ ◆➳✉ dim(R/p) > sp(M ) t❤➻ Mp ❧➔ Rp✲♠æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② 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m = n − ✈➔ H = (Hi+1 + xd M )/xd M ∼ = Hi+1 ✱ ✈ỵ✐ i = 1, , m i ❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✹✳ ●✐↔ sû R = R✳ ❈❤♦ Hn ⊂ ⊂ H1 ⊂ H0 = M ❧➔ ❧å❝ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✐➲✉ s❛♦ ❝❤♦ p(Hn) ≤ ✈➔ p(Hi−1/Hi) ≤ ✈ỵ✐ ♠å✐ i ≤ n✳ ❈❤♦ (x1, , xd) ❧➔ ❤➺ t❤❛♠ sè tèt ù♥❣ ✈ỵ✐ ❧å❝ tr➯♥✳ ❑❤✐ ✤â (x1, , xd−1) ❧➔ ❤➺ t❤❛♠ sè tèt ❝õ❛ M/xdM ù♥❣ ✈ỵ✐ ❧å❝ Hm ⊂ ⊂ H1 ⊂ H0 = M/xdM ◆❣♦➔✐ r❛✱ p(Hm) ≤ 1✱ dimR Hi < dimR Hi−1 ✈➔ p(Hi−1 /Hi ) ≤ ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, , m✳ ❚r♦♥❣ s✉èt t✐➳t ♥➔②✱ t❛ ✤➦t µ = µ(m) ❧➔ sè ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛ m✳ ❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✺✳ ●✐↔ sû sp(M ) ≤ ❈❤♦ = Hn+1 ⊂ Hn ⊂ ⊂ H1 ⊂ ❧➔ ♠ët ❧å❝ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✐➲✉✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ p(Hi/Hi+1) ≤ ✈ỵ✐ ♠å✐ i ≤ n ✈➔ Hn t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ Hn = M ❦❤✐ d ≤ 2✱ ✈➔ dimR Hn ≥ ❦❤✐ d > 2✳ ✣➦t hi = dimR Hi ✈ỵ✐ i ≤ n✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ✐✤➯❛♥ t❤❛♠ sè tèt q = (x1, , xd) ❝õ❛ M ù♥❣ ✈ỵ✐ ❧å❝ tr➯♥✱ t❛ ❝â H0 = M n irM (qM ) ≤ µ d n r i=0 j