Ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Huyền MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh, tháng 10/2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Huyền MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MODULE TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN HUYÊN Tp, Hồ Chí Minh, tháng 10/2011 LỜI CẢM ƠN B Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy suốt khóa học vừa qua Đặc biệt, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Huyên, người thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn trình hoàn thành luận văn Cuối xin cảm ơn đến bạn, học viên cao học khóa 19, đồng hành giúp đỡ thời gian qua Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng năm 2011 Lê Thị Thu Huyền MỤC LỤC B LỜI CẢM ƠN 0T T MỤC LỤC 0T T MỞ ĐẦU 0T T CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị 0T 0T 1.1.Các kiến thức vành 0T 0T 1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị: T 0T 1.1.2.Ideal vành giao hoán R: T 0T 1.1.3.Ideal sinh tập X T 0T 1.2.Ước miền nguyên 0T 0T 1.2.1.Ước vành giao hoán có đơn vị: T T 1.2.2.Miền nguyên: T 0T Trong miền nguyên có luật giản ước cho phần tử khác Thật vậy: 0T T 1.3.Linh tử hóa: 0T T 1.4.Module: 0T T 1.4.1.Module: T 0T 1.4.2.Module T 0T 1.4.3.Ví dụ : 10 T T 1.5.Module tự 10 0T 0T 1.5.1.Định nghĩa: 10 T 0T 1.5.2.Ví dụ: 10 T T 1.5.3.Một vài định lí: 10 T 0T CHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ, CÓ ƯỚC CỦA 0T KHÔNG 12 T 2.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN 12 0T 0T 2.1.1 Định nghĩa MA TRẬN: 12 T 0T 2.1.2 Một số ma trận dạng đặc biệt : 12 T 0T 2.1.3 Các phép toán ma trận 13 T 0T 2.1.4 Một số tính chất khác phép toán ma trận: 14 T T 2.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận 14 T T 2.1.6.Ma trận bậc thang 15 T 0T 2.2 ĐỊNH THỨC 16 0T 0T 2.2.1 Định nghĩa 2.2.1: 16 T 0T 2.2.2 Các tính chất định thức: 17 T T 2.2.3 Ma trận định thức con: 17 T 0T 2.2.4 Một số định lý khai triển định thức: 18 T T 2.2.5 Ma trận khả nghịch 19 T 0T 2.3 ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN 21 0T T Định nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1): 21 T 0T Định nghĩa 2.3.2: 22 T 0T Hệ 2.3.2: 23 T 0T Định nghĩa 2.3.3 (Định nghĩa 2): 24 T 0T Tính chất 2.3.3: 24 T 0T 2.4 Hệ phương trình tuyến tính 29 0T 0T Định lí 2.4.1: 29 T 0T Hệ 2.4.1: 31 T 0T Định lí 2.4.2: 32 T 0T Định lí 2.4.3: 33 T 0T Ví dụ 2.4.3: 33 T T Định lí 2.4.4: 34 T 0T Hệ 2.4.4: 36 T 0T CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT MODULE .37 0T T 3.1 HẠNG CỦA HỆ HỮU HẠN PHẦN TỬ TRÊN MODULE TỰ DO 37 0T T Định nghĩa 3.1.1: 37 T 0T Định lí 3.1.1: 37 T 0T Định lí 3.1.2: 37 T 0T Ví dụ 3.1.2: 38 T T Bổ đề 3.1.2: 38 T T Định lý 3.1.3 39 T 0T Hệ 3.1.3: 39 T 0T Hệ 3.1.3: 41 T 0T 3.2 HẠNG CỦA MODULE TỰ DO 41 0T 0T Định lí 3.2.1: 41 T 0T Định nghĩa 3.2.1 (Hạng module tự do) 42 T T Định lí 3.2.2 43 T T Ví dụ 3.3.2: 45 T T KẾT LUẬN .46 0T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 0T 0T MỞ ĐẦU B Đại số tuyến tính nói chung lí thuyết ma trận nói riêng xây dựng trường số thực Trường cấu trúc đại số trọn vẹn nên việc xây dựng ma trận có nhiều kết đa dạng phong phú Những kết này, học chương trình đại số tuyến tính năm đại học Tuy nhiên thay trường bẳng cấu trúc đại số khác, mà cụ thể vành giao hoán có đơn vị, có ước không kết biết có đúng, hay thay đổi biến dạng nào? Những kết giữ nguyên, tính chất không bảo toàn sao? Những biến đổi có ảnh hưởng liên hệ lí thuyết môđun vành giao hoán có đơn vị, có ước không Vấn đề đặt giúp ta nhìn lại kết biết hướng gợi mở mẻ, qua tìm hiểu tính chất khác biệt ma trận, định thức môđun vành giao hoán có đơn vị, có ước không Bố cục luận văn chia thành ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ma trân trân định thức vành giao hoán có đơn vị Chương 3: Ứng dụng lí thuyết môđun Tuy có nhiều cô gắng thời gian khả có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý quý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn CHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị 3B 1.1.Các kiến thức vành 9B 1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị: B  Một vành R gọi giao hoán phép nhân giao hoán, tức ∀a , b ∈ R , ta có ab = ba  Một vành R gọi có đơn vị phép nhân có đơn vị, kí hiệu 1, tức ∀a , b ∈ R , ta có a.1 = 1.a = a 1.1.2.Ideal vành giao hoán R: B Một ideal vành giao hoán R vành A R có tính chất hấp thụ phép nhân bên trái bên phải Tức là: a.r ∈ A, r.a ∈ A với ∀r ∈ R , ∀a ∈ A 1.1.3.Ideal sinh tập X B Cho X tập vành R Giao tất ideal R chứa X gọi ideal sinh tập X Đó ideal nhỏ chứa X R 1.2.Ước miền nguyên 10B 1.2.1.Ước vành giao hoán có đơn vị: B Cho R vành giao hoán có đơn vị, phần tử a ≠ R gọi ước tồn phần tử b ≠ R cho ab = Khi ta nói R vành có ước Ví dụ:  a   , a , b ∈ R  vành giao hoán có đơn vị có ước 0, Vành M =   b    0  0   0   0     ,   =   M có ma trận khác  0 0 0          1.2.2.Miền nguyên: B Một vành giao hoán có đơn vị (1 ≠ ) ước gọi miền nguyên Trong miền nguyên có luật giản ước cho phần tử khác Thật vậy: 4B ∀a , b, c ∈ R , a ≠ : ac = bc ⇒ a (b − c ) = ⇒ b − c = ⇒ b = c 1.3.Linh tử hóa: 1B Cho M R module  Với m ∈ M, Ann R (m ) = {x ∈ R xm = 0} gọi linh tử hóa phần tử m R  Ann R (M ) = {x ∈ R xm = 0, ∀m ∈ M} gọi linh tử hóa M Nhận xét: o Ann R (m ), Ann R (M ) ideal R o Ann R (M ) = ∩ {Ann R (m ), ∀m ∈ M} o Với m ∈ M \ {0} , H = ∪ Ann R (m ) tập tất ước của M o Nếu A ⊂ B Ann R (B) ⊂ Ann R (A ) với A, B R- module 1.4.Module: 12B 1.4.1.Module: B Gỉa sử R vành giao hoán có đơn vị Một module R nhóm abel M (viết theo lối cộng) với ánh xạ R×M → M (a , x ) a ax thường gọi phép nhân vô hướng R, thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) a (x + y ) = ax + ay 2) (a + b )x = ax + bx 3) (ab )x = a (bx ) 4) 1x = x với a , b ∈ R , x , y ∈ M 1.4.2.Module B Cho R-module M tập khác rỗng N ⊂ M, N gọi module M ∀x , y ∈ N, ∀r ∈ R : x + y ∈ N, rx ∈ N Mỗi R-module M có hai module tầm thường M module 1.4.3.Ví dụ : B 1) Mỗi nhóm abel module vành Z 2) Nhóm cộng gồm phần tử module vành bất kì, gọi module 3) Mỗi không gian vectơ trường K module K ngược lại 4) Module Z-module M nhóm nhóm abel M (đối với cộng) 5) Nếu A ideal vành R M R-module AM = {a x + + a n x n a i ∈ A, x i ∈ M, n ∈ N} R-module M 1.5.Module tự 13B 1.5.1.Định nghĩa: B Giả sử M R-module  Tập khác rỗng S M gọi sở M phần tử M biểu thị tuyến tính qua phần tử S Nói cách khác, phần tử M có cách biểu diễn Tức là: Nếu với r1 , r2 , , rn ∈ R thỏa s1 , s , , s n ∈ S = r1s1 + r2 s + + rn s n r1 = r2 = = rn =  Module M gọi tự có sở, module 1.5.2.Ví dụ: B { Trên tập R n = (x , x , , x n ) x i ∈ R , i = 1, n } với hai phép toán sau: (x1 , x , , x n ) + (y1 , y , , y n )= (x + y1 , x + y , , x n + y n ) r (x , x , , x n ) = (rx , rx , , rx n ) r, x i , y i thuộc R Khi R n R-module tự có sở e1 = (1, 0, , ), e = (0,1, 0, ), e n = (0, 0, ,1) 1.5.3.Một vài định lí: B Định lí 1: Nếu họ (M i )i∈I R module tự M = ⊕ M i R module tự i∈I