ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị có ước của không

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Huyền MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Tp. Hồ Chí Minh, tháng 10/2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Huyền MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MODULE TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 05 Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN HUYÊN Tp, Hồ Chí Minh, tháng 10/2011 0BLỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh về sự tận tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua. Đặc biệt, tôi xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tôi xin cảm ơn đến các bạn, những học viên cao học khóa 19, đã cùng tôi đồng hành và giúp đỡ tôi trong thời gian qua. Hồ Chí Minh, ngày 19 tháng 9 năm 2011 Lê Thị Thu Huyền 1BMỤC LỤC 0TLỜI CẢM ƠN0T 3 0TMỤC LỤC0T 4 0TMỞ ĐẦU0T 7 0TCHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị0T 8 0T1.1.Các kiến thức cơ bản về vành0T 8 0T1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị:0T 8 0T1.1.2.Ideal của vành giao hoán R:0T 8 0T1.1.3.Ideal sinh bởi tập X0T 8 0T1.2.Ước của 0 và miền nguyên0T 8 0T1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị:0T 8 0T1.2.2.Miền nguyên:0T 8 0TTrong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy:0T 9 0T1.3.Linh tử hóa:0T 9 0T1.4.Module:0T 9 0T1.4.1.Module:0T 9 0T1.4.2.Module con0T 9 0T1.4.3.Ví dụ :0T 10 0T1.5.Module tự do0T 10 0T1.5.1.Định nghĩa:0T 10 0T1.5.2.Ví dụ:0T 10 0T1.5.3.Một vài định lí:0T 10 0TCHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ, CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG 0T 12 0T2.1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN0T 12 0T2.1.1. Định nghĩa MA TRẬN:0T 12 0T2.1.2. Một số ma trận dạng đặc biệt :0T 12 0T2.1.3. Các phép toán trên ma trận0T 13 0T2.1.4. Một số tính chất khác của các phép toán trên ma trận:0T 14 0T2.1.5. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận0T 14 0T2.1.6.Ma trận bậc thang0T 15 0T2.2. ĐỊNH THỨC0T 16 0T2.2.1. Định nghĩa 2.2.1:0T 16 0T2.2.2. Các tính chất cơ bản của định thức:0T 17 0T2.2.3. Ma trận con và định thức con:0T 17 0T2.2.4. Một số định lý khai triển định thức:0T 18 0T2.2.5. Ma trận khả nghịch0T 19 0T2.3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MA TRẬN0T 21 0TĐịnh nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1):0T 21 0TĐịnh nghĩa 2.3.2:0T 22 0THệ quả 2.3.2:0T 23 0TĐịnh nghĩa 2.3.3. (Định nghĩa 2):0T 24 0TTính chất 2.3.3:0T 24 0T2.4. Hệ phương trình tuyến tính0T 29 0TĐịnh lí 2.4.1:0T 29 0THệ quả 2.4.1:0T 31 0TĐịnh lí 2.4.2:0T 32 0TĐịnh lí 2.4.3:0T 33 0TVí dụ 2.4.3:0T 33 0TĐịnh lí 2.4.4:0T 34 0THệ quả 2.4.4:0T 36 0TCHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG TRONG LÍ THUYẾT MODULE0T 37 0T3.1. HẠNG CỦA HỆ HỮU HẠN PHẦN TỬ TRÊN MODULE TỰ DO0T 37 0TĐịnh nghĩa 3.1.1:0T 37 0TĐịnh lí 3.1.1:0T 37 0TĐịnh lí 3.1.2:0T 37 0TVí dụ 3.1.2:0T 38 0TBổ đề 3.1.2:0T 38 0TĐịnh lý 3.1.3.0T 39 0THệ quả 3.1.3:0T 39 0THệ quả 3.1.3:0T 41 0T3.2. HẠNG CỦA MODULE TỰ DO0T 41 0TĐịnh lí 3.2.1:0T 41 0TĐịnh nghĩa 3.2.1 (Hạng của module tự do)0T 42 0TĐịnh lí 3.2.2.0T 43 0TVí dụ 3.3.2:0T 45 0TKẾT LUẬN0T 46 0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T 47 2BMỞ ĐẦU Đại số tuyến tính nói chung và lí thuyết ma trận nói riêng được xây dựng trên trường số thực. Trường là cấu trúc đại số trọn vẹn nhất nên việc xây dựng ma trận trên đó có nhiều kết quả đa dạng và phong phú. Những kết quả này, chúng ta đã được học trong chương trình đại số tuyến tính năm nhất đại học. Tuy nhiên nếu thay trường bẳng một cấu trúc đại số khác, mà cụ thể ở đây là trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không thì các kết quả đã biết có còn đúng, hay được thay đổi và biến dạng như thế nào? Những kết quả nào vẫn giữ nguyên, tính chất nào không còn bảo toàn và vì sao? Những biến đổi đó có ảnh hưởng và liên hệ như thế nào trong lí thuyết môđun trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không. Vấn đề đặt ra giúp ta nhìn lại những kết quả đã biết trong một hướng gợi mở mới mẻ, qua đó tìm hiểu những tính chất khác biệt của ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không. Bố cục luận văn được chia thành ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ma trân trân và định thức trên vành giao hoán có đơn vị Chương 3: Ứng dụng trong lí thuyết môđun Tuy đã có nhiều cô gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn. 3BCHƯƠNG 1: Kiến thức chuẩn bị 9B1.1.Các kiến thức cơ bản về vành 20B1.1.1.Vành giao hoán có đơn vị:  Một vành R gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó là giao hoán, tức Rb,a ∈∀ , ta có baab = .  Một vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, kí hiệu là 1, tức là Rb,a ∈∀ , ta có aa.11.a == . 21B1.1.2.Ideal của vành giao hoán R: Một ideal của vành giao hoán R là một vành con A của R có tính chất hấp thụ đối với phép nhân bên trái và bên phải. Tức là: Aa.r,Ar.a ∈∈ với Aa,Rr ∈∀∈∀ . 22B1.1.3.Ideal sinh bởi tập X Cho X là tập con bất kì của vành R. Giao của tất cả các ideal của R chứa X được gọi là ideal sinh bởi tập X. Đó chính là ideal nhỏ nhất chứa X trong R. 10B1.2.Ước của 0 và miền nguyên 23B1.2.1.Ước của 0 trong vành giao hoán có đơn vị: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, phần tử 0a ≠ của R được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần tử 0b ≠ của R sao cho 0ab = . Khi đó ta nói R là vành có ước của 0. Ví dụ: Vành       ∈         = Rb,a, b0 0a M 2 là vành giao hoán có đơn vị và có ước của 0, vì trong 2 M có ma trận khác 0 là                 70 00 , 00 07 và         =                 00 00 70 00 00 07 . 24B1.2.2.Miền nguyên: Một vành giao hoán có đơn vị 1 ( ) 01≠ và không có ước của 0 được gọi là miền nguyên. 4BTrong miền nguyên có luật giản ước cho các phần tử khác 0. Thật vậy: ( ) cb0cb0cbabcac:0a,Rc,b,a =⇒=−⇒=−⇒=≠∈∀ . 11B1.3.Linh tử hóa: Cho M là R module.  Với ( ) { } 0xmRxmAnn,Mm R =∈=∈ gọi là linh tử hóa của phần tử m trong R.  ( ) { } Mm,0xmRxMAnn R ∈∀=∈= gọi là linh tử hóa của M. Nhận xét: o ( ) ( ) MAnn,mAnn RR là các ideal của R. o ( ) ( ){ } Mm,mAnnMAnn RR ∈∀∩= . o Với { } 0\Mm∈ , ( ) mAnnH R ∪= là tập tất cả ước của 0 của M. o Nếu BA ⊂ thì ( ) ( ) AAnnBAnn RR ⊂ với A, B là R- module 12B1.4.Module: 25B1.4.1.Module: Gỉa sử R là một vành giao hoán có đơn vị 1. Một module trên R là một nhóm abel M (viết theo lối cộng) cùng với một ánh xạ ( ) axx,a MMR a →× thường gọi là phép nhân vô hướng trong R, thỏa mãn các điều kiện sau đây: ( ) ( ) ( ) ( ) xx1)4 bxaxab) 3 bxaxxba)2 ayaxyxa)1 = = += + +=+ với My,x,Rb,a ∈∈ 26B1.4.2.Module con Cho R-module M và tập con khác rỗng N,MN ⊂ được gọi là module con của M nếu .Nrx,Nyx:Rr,Ny,x ∈∈+∈∀∈∀ Mỗi R-module M bất kì có hai module con tầm thường là M và module 0. 27B1.4.3.Ví dụ : 1) Mỗi nhóm abel là một module trên vành Z. 2) Nhóm cộng chỉ gồm một phần tử 0 là một module trên một vành bất kì, được gọi là module 0. 3) Mỗi không gian vectơ trên một trường K là một module trên K và ngược lại. 4) Module con của Z-module M chính là nhóm con của nhóm abel M (đối với cộng) 5) Nếu A là một ideal của vành R và M là một R-module thì { } Nn,Mx,Aaxa xaAM iinn11 ∈∈∈++= là R-module con của M. 13B1.5.Module tự do 28B1.5.1.Định nghĩa: Giả sử M là một R-module  Tập con khác rỗng S của M được gọi là cơ sở của M nếu mỗi phần tử của M đều có thể biểu thị tuyến tính duy nhất qua các phần tử của S. Nói cách khác, phần tử 0 của M có cách biểu diễn duy nhất. Tức là: Nếu với R r ,,r,r n21 ∈ và Ss ,,s,s n21 ∈ thỏa nn2211 sr srsr0 +++= thì 0r rr n21 ==== .  Module M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở, hoặc nó là module 0. 29B1.5.2.Ví dụ: Trên tập ( ) { } n,1i,R xx ,,x,xR in21 n =∈= với hai phép toán sau: ( ) n21 x ,,x,x + ( ) n21 y ,,y,y = ( ) nn2211 yx ,,yx,yx +++ ( ) ( ) n21n21 rx, ,rx,rxx ,,x,xr = trong đó r, ii y,x thuộc R. Khi đó n R là R-module tự do có cơ sở ( ) ( ) ( ) 1 ,,0,0e,0 ,0,1,0e,0 ,,0,1e n21 === . 30B1.5.3.Một vài định lí: Định lí 1: Nếu họ ( ) Ii i M ∈ là các R module tự do thì i Ii MM ∈ ⊕= cũng là R module tự do. [...]... bản của định thức: B 8 3 Các tính chất của định thức trên trường mà việc chứng minh chúng không phụ thuộc vào tính riêng biệt của trường (mọi phần tử khác không đều khả nghịch) vẫn hoàn toàn đúng cho định thức trên vành giao hoán có đơn vị 1) Cho ma trận vuông A cấp n trên R và At là ma trận chuyển vị của ma trận A Khi đó P P det A = det A t 2) Nếu ma trận vuông A cấp n trên R có ít nhất một dòng không. . .Định lí 2: R-module M là tự do khi và chỉ khi M đẳng cấu với tổng trự tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R CHƯƠNG 2: MA TRẬN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ, CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG B 5 2.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN B 4 1 Xét R là vành giao hoán có đơn vị 2.1.1 Định nghĩa MA TRẬN: B 1 3 Cho m, n là hai số nguyên dương Ma trận A cấp m × n trên R là một hệ gồm m × n hệ tử... qua các ma trận con của A có định thức là 0 hoặc là ước của 0 thì hạng của ma trận và các tính chất đã có của ma trận trên trường có sự biến hóa như thế nào? Định nghĩa 2.3.2: B 3 4 Cho t ∈1, r với r = min{m, n} , ideal của R sinh ra bởi tất cả các định thức của ma trận con cấp t × t của A được kí hiệu I t (A ) Dựa vào cách tính định thức của định lí Laplace, ta có I t+1 (A ) là ideal con của I t... của ma trận trên trường, ta có một số định nghĩa về hạng của ma trận trên vành R như sau: Định nghĩa 2.3.1 (Định nghĩa 1): B 2 4 Cho ma trận A cấp m × n trên R Cấp cực đại của những định thức con khác không của A được gọi là hạng của nó và kí kiệu rk (A ) Ví dụ 2.3.1:  2 5 2 Xét trên vành Z 6 , ma trận A = 1 4 1    3 3 0   Ta có det (A ) = 3 ≠ 0 nên theo định nghĩa 1, rk (A ) = 3 Dựa trên. .. sẽ không là ước của 0 và khác 0 Vấn đề lo ngại của ta ban đầu, định thức của ma trận con của A là ước của 0 sẽ làm thay đổi hạng của ma trận A, đã được giải quyết Định nghĩa 2.3.3 (Định nghĩa 2): B 5 4 Cho A là ma trận cấp m × n trên R Hạng của ma trận A được định nghĩa là số nguyên dương t lớn nhất thỏa Ann R (I t (A )) = (0 ) Ta phân biệt với hạng của ma trận theo định nghĩa 1 và kí hiệu hạng của ma. .. Theo định nghĩa 1, rkC = rkB = 3 Bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta có mọi định thức con cấp 3 của B đều bằng 0 hay là ước của 0 nên theo định nghĩa 2, rankB = 2 Vậy hạng của ma trận B không bảo toàn qua phép biến đổi sơ cấp 3 Từ đây trở về sau, nếu không có chú thích thì ta hiểu hạng của ma trận theo định nghĩa 2 Định lí 2.3.1: Cho A là ma trận vuông cấp n trên R Nếu định thức của A khác không và không. .. không là ước của 0 trên R  Nếu Ann R (I t (A )) = (0 ) thì với ∀k ≤ t , Ann R (I k (A )) = (0 ) Như vậy, nếu Ann R (I t (A )) = (0 ) thì với mọi k ≤ t , ta có: o phần tử của I k (A ) không là ước của 0 trên R và khác 0 o các ma trận con cấp k của A có định thức không là ước của 0 và khác 0 Nếu ta gọi q là giá trị lớn nhất của số nguyên t sao cho Ann R (I t (A )) = (0 ) thì các ma trận con của A có. .. dòng bất kì của một ma trận vuông thì định thức của nó đổi dấu 4) Nếu ma trận vuông A có hai dòng bằng nhau thì detA=0 5) Cho ma trận vuông A = (a ij ) cấp n trên R Nếu nhân vào dòng thứ i của ma trận A với hệ tử k thuộc R ( k ≠ 0 ) thì định thức của ma trận nhận được bằng định thức của A nhân với k, tức là ka i1 ka i 2 ka in = k det A Nếu nhân k vào ma trận vuông A cấp n thì ta có det (k.A... 4) Ma trận đường chéo: Ma trận A cấp m × n trên R được gọi là ma trận đường chéo nếu a ij R =0 với mọi i ≠ j R 5) Ma trận đơn vị : Ma trận vuông A cấp n trên R được gọi là ma trận đơn vị nếu tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 và các phần tử còn lại đều bằng 0 Ma trận đơn vị cấp n trên R kí hiệu là In R R  Tính chất: Cho A ∈M(n,R), B ∈ M (m × n , R ) , In là ma trận đơn vị cấp n trên. .. nghĩa 2) của hạng ma trận Ví dụ 2.3.2:  2 2 1) Cho A =   trên vành Z 6 0 2 Ta có I1 (A ) = 2 nên Ann R (I1 (A )) ≠ (0 ) Do đó rank (A ) = 0 Trong lý thuyết ma trận trên trường, ma trận có hạng là 0 khi ma trận đó là ma trận (0) Tuy nhiên trong vành ma trận khác (0) vẫn có thể có hạng bằng 0 như trong ví dụ 1 trên ( ) Ta có thể dễ dàng chỉ ra rằng A = a ij ∈ M m×n (R ) có rank (A ) = 0 nếu và chỉ . biệt của ma trận, định thức và môđun trên vành giao hoán có đơn vị, có ước của không. Bố cục luận văn được chia thành ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ma trân trân và định thức. trong vành giao hoán có đơn vị: Cho R là vành giao hoán có đơn vị, phần tử 0a ≠ của R được gọi là ước của 0 nếu tồn tại phần tử 0b ≠ của R sao cho 0ab = . Khi đó ta nói R là vành có ước của. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thu Huyền MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG