phức cousin của các môđun trên vành giao hoán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HỮU GIÁP PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HỮU GIÁP PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60. 46. 01. 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - 2014 Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của cán bộ hướng dẫn i Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 4 1.2 Môđun mở rộng Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein . . . . . . . . 11 2 Xây dựng phức Cousin 14 2.1 Một số tính chất về tập các iđêan nguyên tố . . . . . . . . 14 2.2 Xây dựng phức Cousin cho một môđun . . . . . . . . . . 19 2.3 Tính chất của phức Cousin cho một môđun . . . . . . . . 21 3 Đặc trưng một số vành qua phức Cousin 25 3.1 Phức Cousin và vành các phân thức . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Đặc trưng của vành Cohen-Macaulay qua phức Cousin . . 32 3.3 Đặc trưng của vành Gorenstein qua phức Cousin . . . . . 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 1 Mở đầu Phức Cousin của các môđun trên vành giao hoán là một công cụ để nghiên cứu về cấu trúc của một số lớp môđun quan trọng của Đại số giao hoán và Hình học đại số. Phức Cousin của các môđun trên vành giao hoán được nghiên cứu bởi tác giả R. Y. Sharp năm 1969 (xem [17]). Từ đó đến nay phức Cousin đã được ứng dụng khá nhiều bởi các nhà toán học trên thế giới, chẳng hạn R. Y. Sharp ([17], [18]), P. Schenzel ([19]), T. Kawasaki ([10]), M. Dibaei ([5]), Cho A là vành giao hoán Noether và M là A−môđun. Trong [17], Sharp đã xây dựng phức Cousin của môđun M: C A (M) : 0 −→ M d −1 −−→ M 0 d 0 −→ M 1 −→ −→ M n d n −→ M n+1 −→ thỏa mãn tính chất Supp(Coker(d n−2 )) ⊆ U n (M) với mọi n ≥ 0, trong đó U n (M) = {p ∈ Supp(M) | dim A p (M p ) ≥ n} (xem Định nghĩa 2.2.1). Tiếp theo Sharp đã sử dụng phức Cousin để đặc trưng được lớp vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein, đó là các vành quan trọng của Đại số Mục đích chính của luận văn là trình bày lại chi tiết các chứng minh của các kết quả trong bài báo [17] của R. Y. Sharp "The Counsin Complex for a Module over a Commutative Noetherian Ring, Math. Z. 112 (1969), 340-356" về phức Cousin và một số áp dụng của nó như đã nêu tóm tắt ở trên. Luận văn được chia làm 3 chương. • Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ sở để chứng minh các kết quả chính của luận văn, bao gồm: tập giá và tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun, khái niệm chiều, độ cao, môđun Ext, môđun Cohen-Macaulay, vành Gorenstein. 2 • Chương 2. Trình bày một số tính chất về một số tập các iđêan nguyên tố đặc biệt (ở Mục 2.1). Trên cơ sở đó trình bày định nghĩa về xây dựng phức Cousin C A (M) cho một A−môđun M (ở Mục 2.2). Phần tiếp của Chương 2 dành để trình bày một số tính chất quan trọng khác của phức Cousin (ở Mục 2.3). • Chương 3. Phần đầu trình bày mối liên hệ giữa phức Cousin và địa phương hóa, thể hiện ở Định lý 3.1.8. Phần tiếp của chương là nghiên cứu một đặc trưng của vành Cohen-Macaulay thông qua phức Cousin, đó là Định lý 3.2.6: Vành giao hoán A là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi phức Cousin C A (A) là dãy khớp. Cuối cùng, sau khi nhắc lại một số kiến thức quan trọng cần thiết về môđun nội xạ, phần còn lại của chương này dành để mô tả đặc trưng của vành Gorenstein thông qua phức Cousin đó là Định lý 3.3.5: Vành giao hoán A là Gorenstein khi và chỉ khi phức Cousin C A (A) là một phép giải nội xạ của A−môđun A. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở LĐTBXH tỉnh Thái Nguyên, Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và khoa Văn hóa cơ sở Trường Trung cấp nghề Nam Thái Nguyên (Phổ Yên - Thái Nguyên) đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. Thái Nguyên, ngày tháng năm 2014 TÁC GIẢ 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhằm trình bày một số kiến thức cơ sở cần thiết cho chứng minh các kết quả của các chương sau. Ta sử dụng các thuật ngữ theo Atiyah-Macdonald [1], và Matsumura [6]. Ta luôn giả thiết A là một vành giao hoán Noether có đơn vị và M là một A−môđun. 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản Kí hiệu 1.1.1. i) Cho N là môđun con của A−môđun con của M và Y là một tập con của M. Khi đó ta dễ thấy tập hợp {a ∈ A | ay ∈ N, ∀y ∈ Y } là một iđêan của A, ta kí hiệu nó là (N : Y ) A . Đặc biệt, ta còn kí hiệu (0 : M) A bởi ann A (M) (hay Ann A (M)) và gọi là linh hóa tử của M; hơn nữa, với mỗi x ∈ M, ta kí hiệu (0 : x) A = ann A (x) = Ann A (x) = {a ∈ A | ax = 0}, và gọi là linh hóa tử của x. ii) Nếu S là một tập đóng nhân của A, và f : M −→ N là một đồng cấu của các A−môđun, thì ta kí hiệu S −1 f : S −1 M −→ S −1 N 4 là một đồng cấu của các S −1 A-môđun xác định bởi quy tắc  S −1 f  ( m s ) = f(m) s với mọi m s ∈ S −1 M. Định nghĩa 1.1.2. (Giá của môđun) Cho M là một A−môđun, giá của môđun M được kí hiệu là Supp(M) hoặc Supp A (M), nó là một tập con của Spec(A) được xác định bởi: Supp A (M) = {p ∈ Spec(A) | M p = 0} . Chú ý rằng M = 0 khi và chỉ khi Supp(M) = ∅. Hàm tử địa phương hóa S −1 (−) có một số các tính chất sau đây. Mệnh đề 1.1.3. Cho S là một tập đóng nhân của A và M là một A−môđun. Giả sử N và P là các môđun con của M, với P là hữu hạn sinh. Khi đó các phát biểu sau là đúng. (i) S −1 ((N : P ) A ) = (S −1 N : S −1 P ) S −1 A . (ii) Với x ∈ M, ta có S −1 ((N : x) A ) = (S −1 N : x 1 ) S −1 A . Đặc biệt ta có S −1 ((0 : x) A ) = (0 : x 1 ) S −1 A . Chứng minh. (i) ” ⊆ ”: Lấy a/s ∈ S −1 ((N : P ) A ) với a ∈ (N : P ) A . Khi đó aP ⊆ N. Từ đó  a s  S −1 P ⊆ S −1 N. Do vậy S −1 ((N : P ) A ) ⊆ (S −1 N : S −1 P ) S −1 A . ” ⊇ ”: Với mọi a/s ∈ (S −1 N : S −1 P ) S −1 A , ta có  a/s  S −1 P ⊆ S −1 N. Suy ra a/1(S −1 P ) = (s/1)(a/s)(S −1 P ) ⊆ S −1 N. Do P hữu hạn sinh nên có m 1 , . . . , m n sao cho P = m 1 , . . . , m n . Ta có (a/1)(m i /1) ∈ S −1 N với mọi i. Suy ra tồn tại s i ∈ S để s i (am i ) ∈ N với mọi i. Đặt s  = s 1 . . . s n . Khi đó s  am i ∈ N với mọi i, suy ra s  aP ⊆ N. Vì thế a/s = s  a/s  s và (s  a)P ⊆ N (hay s  a ∈ (N : P )). Như vậy a/s = s  a/s  s ∈ S −1 (P : N). Do đó S −1 ((N : P ) A ) ⊇ (S −1 N : S −1 P ) S −1 A . 5 (ii) Đặt P = x. Khi đó P hữu hạn sinh, do đó theo i), ta có S −1 ((N : P ) A ) = (S −1 N : S −1 P ) S −1 A hay S −1 ((N : Ax) A ) = (S −1 N : S −1 (Ax)) S −1 A . Ta lại có (N : Ax) A = (N : x) A và (S −1 N : S −1 (Ax)) S −1 A = (S −1 N : x/1) S −1 A ; nên S −1 ((N : x) A ) = S −1 ((N : Ax) A ) = (S −1 N : S −1 (Ax)) S −1 A = (S −1 (N : x/1) S −1 A , đó là điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.1.4. Cho S là tập đóng nhân của A và M là A−môđun. Khi đó ta có Supp S −1 A (S −1 M) = {S −1 p | p ∈ Supp A (M), p ∩ S = ∅}. Chứng minh. ” ⊇ ”: Lấy P ∈ {S −1 p | p ∈ Supp A (M), p∩S = ∅}. Khi đó tồn tại p ∈ Supp A (M) sao cho p ∩ S = ∅ và P = S −1 p. Suy ra M p = 0. Mặt khác theo [6, Hệ quả 4, trang 24 và Định lý 4.4, trang 26] và [1, Bài tập 2.15], ta có (S −1 M) S −1 p ∼ = (M ⊗ A S −1 A) ⊗ S −1 A (S −1 A) S −1 p ∼ = M ⊗ A  S −1 A ⊗ S −1 A (S −1 A) S −1 p  ∼ = M ⊗ A  (S −1 A) S −1 p  ∼ = M ⊗ A A p ∼ = M p = 0. Suy ra S −1 p ∈ Supp S −1 A (S −1 M) hay Supp S −1 A (S −1 M) ⊇ {S −1 p | p ∈ Supp A (M), p ∩ S = ∅}. 6 ” ⊆ ”: Lấy P ∈ Supp S −1 A (S −1 M). Suy ra (S −1 M) P = 0 và tồn tại p ∈ Spec(A) sao cho p ∩ S = ∅, P = S −1 p. Vì 0 = (S −1 M) P = (S −1 M) S −1 p ∼ = M p , nên p ∈ Supp A (M). Do đó Supp S −1 A (S −1 M) ⊆ {S −1 p | p ∈ Supp A (M), p ∩ S = ∅}. Vậy ta có điều cần chứng minh. Tiếp theo ta nhắc lại sơ lược về lý thuyết iđêan nguyên tố liên kết. Định nghĩa 1.1.5. (Iđêan nguyên tố liên kết) Cho M là một A−môđun và p ∈ Spec(A). Ta nói p là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử 0 = x ∈ M sao cho Ann A (x) = p. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu bởi Ass A (M) hoặc Ass(M). Mệnh đề 1.1.6. Cho A là vành Noether, S là tập đóng nhân của A và M là A−môđun. Khi đó ta có Ass S −1 A (S −1 M) = {S −1 p | p ∈ Ass A (M), p ∩ S = ∅}. Chứng minh. (⊆). Lấy P ∈ Ass S −1 A (S −1 M) khi đó tồn tại p ∈ Spec(A) và tồn tại x/s ∈ S −1 M sao cho P = S −1 p, p ∩ S = ∅ và S −1 p = Ann S −1 A (x/s). Tiếp theo ta chứng minh p ∈ Ass A (M). Vì A là Noether nên tồn tại a 1 , . . . , a n ∈ p sao cho p = a 1 , . . . , a n . Với mỗi i = 1, . . . , n, ta có a i /1 ∈ S −1 p hay (a i /1)(x/s) = 0; suy ra tồn tại t i ∈ S sao cho a i t i x = 0. Đặt t = t 1 . . . t n . Lúc đó t ∈ S và a i (tx) = 0 với mọi i = 1, . . . , n. Do đó a i ∈ Ann A (tx) với mọi i = 1, . . . , n. Vì thế p ⊆ Ann A (tx). Mặt khác, lấy b ∈ Ann A (tx) suy ra b(tx) = 0 suy ra (bt/1)(x/s) = 0. Do đó (bt)/1 ∈ S −1 p. Suy ra tồn tại a  ∈ p, s  ∈ S sao cho (bt)/1 = a  /s  . Từ đó có u ∈ S để b(uts  ) = ua  ∈ p; suy ra b ∈ p (vì us  t ∈ S mà S ∩ p = ∅ nên us  t /∈ p). Do đó Ann A (tx) ⊆ p. Vậy p = Ann A (tx) ∈ Ass A (M). Nói cách khác Ass S −1 A (S −1 M) ⊆ {S −1 p | p ∈ Ass A (M), p ∩ S = ∅}. 7 [...]... đẳng cấu của Mp ) 24 Chương 3 Đặc trưng một số vành qua phức Cousin Trong chương này ta luôn giả thiết A một vành giao hoán Noether có đơn vị và M là một A môđun Ta luôn kí hiệu phức Cousin của A môđun M là CA (M ) (hoặc C(M )) Mục đích của chương là tìm hiểu đặc trưng của vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein thông qua phức Cousin CA (A) Trước tiên ta cần nghiên cứu mối liên hệ giữa phức Cousin và... như các Ap môđun 3.2 Đặc trưng của vành Cohen-Macaulay qua phức Cousin Trong mục này ta giả thiết A là một vành giao hoán Khi xem A như là một môđun trên chính nó thì nó cũng có phức Cousin C(A) Mục đích của mục này là chứng minh một vành A là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi phức Cousin C(A) của nó là dãy khớp Ta sử dụng ký hiệu x = (x1 , , xr ) để kí hiệu thay cho một dãy các phần tử x1 , , xr của. .. phương hóa 3.1 Phức Cousin và vành các phân thức Định nghĩa 3.1.1 (Đồng cấu phức) Cho fn X • : → X n−1 − X n → − → − và gn Y • : → Y n−1 − Y n → − → − là các phức của các A môđun và các A−đồng cấu môđun Ta nói có một đồng cấu phức Ψ : X • → Y • giữa các phức X • và Y • , nghĩa là có một họ {ψ n }n∈Z gồm các A−đồng cấu môđun ψ n : X n → Y n sao cho 25 hình vuông sau giao hoán fn X n − →... phổ nguyên tố của vành A, đó là tập tất cả các iđêan nguyên tố của A Lưu ý rằng nếu M là A môđun hữu hạn sinh thì V (ann(M )) = SuppA (M ) Tiếp theo ta giới thiệu khái niệm chiều của vành và của môđun dựa vào cuốn sách [6, Trang 30, 31] Định nghĩa 1.1.9 (Chiều) Cho A là vành giao hoán có đơn vị Chiều Krull của A được kí hiệu là dim(A), đó là cận trên đúng của hàm độ dài r, lấy trên tất cả các dãy giảm... [6, Định lý 18.1], thì một vành Gorenstein là vành Cohen-Macaulay 13 Chương 2 Xây dựng phức Cousin Trong chương này, ta luôn giả thiết vành A sẽ là một vành giao hoán Noether có đơn vị 1 = 0 Kiến thức của chương này được viết dựa theo phần đầu của bài báo [17] Mục đích chính của chương là xây dựng phức Cousin của một A môđun M cho trước, sau đó trình bày một số tính chất của nó Trước tiên cần xây dựng... thì ta sẽ nói rằng Ψ là một đẳng cấu của các phức Kí hiệu 3.1.2 Giả sử S là một tập đóng nhân của vành A và M là A môđun Giả sử M có phức Cousin như sau d−1 d0 dn CA (M ) : 0 → M −→ M 0 − M 1 → → M n − M n+1 → − → − − → − (i) Đặt N = S −1 M Khi đó N là một S −1 A môđun Do đó N cũng có một phức Cousin CS −1 A (N ) gồm các S −1 A môđun N n và các S −1 A−đồng cấu môđun en như sau e−1 en CS −1 A (S −1... A là vành Noether ta có dim(A) < ∞ (vì mọi dãy tăng các iđêan đều dừng) Khi M là A môđun hữu hạn sinh thì dim(M ) = dim SuppA (M ) bằng cận trên đúng của độ dài của mọi dãy giảm thực sự p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pr gồm các phần tử của SuppA (M ) Định nghĩa 1.1.10 (M −độ cao) Cho p ∈ SuppA (M ) Khi đó, ta nói M −độ cao của p, kí hiệu là htM (p), là cận trên đúng của độ dài của các dãy các iđêan nguyên tố của SuppA... trên Với mỗi i ≥ −1, ta sẽ kí hiệu môđun đối đồng điều thứ i của CA (M ) bởi H i (M ); nói cách khác H i (M ) = Ker(di )/ Im(di−1 ) 2.3 Tính chất của phức Cousin cho một môđun Mục này sẽ trình bày một số tính chất của phức Cousin CA (M ) của A môđun M d−2 d−1 d0 dn CA (M ) : 0 −→ M −→ M 0 − M 1 → → M n − M n+1 → − − → − − → − Mệnh đề 2.3.1 Nếu M n = 0 thì M n+r = 0 với mọi r > 0 Chứng minh Theo cách... p1 ⊃ ⊃ pr gồm các iđêan nguyên tố của A nếu cận trên đúng này tồn tại, và dim(A) = ∞ nếu cận trên đúng không tồn tại Cho p ∈ Spec(A), khi đó ta có các vành Ap và A/p, ta gọi ht(p) = dim(Ap ) là độ cao của p; và ta gọi coht(p) = dim(A/p) là đối độ cao của p Cho M là A môđun, chiều 9 Krull của M , kí hiệu dimA (M ) hoặc dim(M ), nó được xác định là chiều của vành A/ AnnA (M ) Nói cách khác dimA (M... trù các A môđun) Môđun dẫn xuất phải thứ i của F đối với A môđun N được gọi là môđun mở rộng thứ i của M và N và được ký hiệu Exti (M, N ) A Để xây dựng môđun mở rộng Exti (M, N ) ta có cách sau: A Cách 1: Lấy một giải nội xạ của N , chẳng hạn là d0 d1 0 → N → E 0 − E 1 − − → → Khi đó ta có phức d0 d1 0 → E 0 − E 1 − → → Tác động hàm tử F = HomA (M, −) vào phức trên ta thu được đối phức 0 (d0 )∗ 1 . GIÁP PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HỮU GIÁP PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên. Cohen-Macaulay qua phức Cousin . . 32 3.3 Đặc trưng của vành Gorenstein qua phức Cousin . . . . . 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 1 Mở đầu Phức Cousin của các môđun trên vành giao hoán là một công. một công cụ để nghiên cứu về cấu trúc của một số lớp môđun quan trọng của Đại số giao hoán và Hình học đại số. Phức Cousin của các môđun trên vành giao hoán được nghiên cứu bởi tác giả R. Y.