Cousin
Trong chương này ta luôn giả thiết A một vành giao hoán Noether có đơn vị và M là một A−môđun. Ta luôn kí hiệu phức Cousin của
A−môđun M là CA(M) (hoặc C(M)). Mục đích của chương là tìm hiểu đặc trưng của vành Cohen-Macaulay và vành Gorenstein thông qua phức CousinCA(A). Trước tiên ta cần nghiên cứu mối liên hệ giữa phức Cousin và địa phương hóa.
3.1 Phức Cousin và vành các phân thức Định nghĩa 3.1.1. (Đồng cấu phức) Cho
X• : . . . −→Xn−1 f n −→ Xn −→. . . và Y• : . . . −→Yn−1 g n −→Yn −→. . .
là các phức của các A−môđun và các A−đồng cấu môđun. Ta nói có một đồng cấu phức Ψ : X• → Y• giữa các phức X• và Y•, nghĩa là có một họ {ψn}n∈Z gồm các A−đồng cấu môđun ψn : Xn → Yn sao cho
hình vuông sau giao hoán Xn f n −−→ Xn+1 ψn y yψn+1 Yn g n −−→ Yn+1
với mọi n ∈ Z. Nếu mỗi ψn là một đẳng cấu thì ta sẽ nói rằng Ψ là một đẳng cấu của các phức.
Kí hiệu 3.1.2. Giả sử S là một tập đóng nhân của vành A và M là
A−môđun. Giả sử M có phức Cousin như sau
CA(M) : 0→ M d− 1 −−→ M0 d 0 −→ M1 −→... −→Mn d n −→Mn+1 −→ ... .
(i) Đặt N = S−1M. Khi đó N là một S−1A−môđun. Do đó N
cũng có một phức Cousin CS−1A(N) gồm các S−1A−môđun Nn và các
S−1A−đồng cấu môđun en như sau
CS−1A(S−1M) : 0 −→N e
−1
−−→ N0 −→ . . .−→ Nn e
n
−→Nn+1 → . . . .
(ii) Ta sử dụng kí hiệu S−1(CA(M)) để thể hiện phức sau đây 0 −→N S
−1(d−1)
−−−−−→ S−1(M0) −→... −→S−1(Mn) S
−1(dn)
−−−−→ S−1(Mn+1) → . . . .
Tiếp theo sẽ xây dựng một đẳng cấu của các phức gồm cácS−1A−môđun và S−1A−đồng cấu
Ψ ={ψn}n≥−1 : S−1(CA(M)) −→CS−1A(S−1M)
sao cho ψ−1 : N −→ N là phép đồng nhất. Trước hết ta cần một số bổ đề chuẩn bị.
Bổ đề 3.1.3. Cho S là tập đóng nhân của vành A và M là A−môđun. Khi đó
htS−1M(S−1p) = htM(p)
Chứng minh. Lưu ý rằng
SuppS−1A(S−1M) = S−1p | p ∈ SuppA(M),p ∩S = ∅ .
Do đó, nếu có p ∈ SuppA(M) với p∩S = ∅ thì
S−1p ∈ SuppS−1A(S−1M).
Vì thế ta có
htS−1M(S−1p) = dim(S−1A)S−1p((S−1M)S−1p) = dimAp(Mp)
= htM(p).
Bổ đề 3.1.4. Cho p ∈ SuppA(M) có htM(p) =n và p∩ S 6= ∅. Khi đó
S−1[(Coker(dn−2))p] = 0.
Chứng minh. Do p ∩ S 6= ∅ nên có một phần tử x ∈ p ∩ S. Nếu
y ∈ (Coker(dn−2))p, khi đó theo Mệnh đề 2.3.5, ta có y bị triệt tiêu bởi một lũy thừa nào đó của p, và do đó, y bị triệt tiêu bởi một lũy thừa nào đó của x. Suy ra S−1[(Coker(dn−2))p] = 0.
Bổ đề 3.1.5. Giả sử S là tập đóng nhân của vành A, X là một
A−môđun, và p ∈ Spec(A) mà p ∩ S = ∅. Khi đó Xp được xem như
một A−môđun và vì thế ta có S−1A−môđun S−1(Xp); đồng thời có
θ :S−1(Xp) −→ (S−1X)S−1p
được xác định bởi θ[(x/t)/s] = (x/s)/(t/1) (với x ∈ X, t ∈ A \ p, và
s ∈ S) là một S−1A−đẳng cấu.
Chứng minh. Vì Xp là Ap−môđun mà ta lại có đồng cấu vành tự nhiên
A → Ap, a 7−→ a/1, nên Xp có cấu trúc của một A−môđun. Do đó ta có S−1A−môđun S−1(Xp)
Ta cũng có
(S−1X)S−1p = {(x/s)/(t/s0) | x ∈ X, s, s0 ∈ S, t ∈ A\p}.
Dễ thấy θ là S−1A−đồng cấu. Nếu (x/t)/s ∈ Kerθ thì (x/s)/(t/1) = 0. Suy ra tồn tại t0/1 ∈ S−1A \ S−1p thỏa mãn (t0/1)(x/s) = 0, hay (t0x)/s = 0. Suy ra có s0 ∈ S sao cho t0s0x = 0. Lưu ý rằng
x/t = (t0x/t0t). Do đó ta có s0(x/t) = (s0/1)(t0x/t0t) = (s0t0x)/(tt0) = 0. Nghĩa là (x/t)/s = 0 trong S−1(Xp). Chứng tỏ Kerθ = 0. Còn lại ta cần chứng tỏ θ là toàn cấu. Lấy tùy ý (x/s)/(t/s0) ∈ (S−1X)S−1p. Ta thấy (x/s)/(t/s0) = [(s0x)/(st)]/(1/1). Do đó tồn tại [(s0x)/1]/(st) ∈ S−1(Xp) sao cho θ([(s0x)/1]/(st)) = (x/s)/(t/s0). Chứng tỏ θ là toàn cấu.
Kí hiệu 3.1.6. (i) Lưu ý rằng để thuận tiện trong lập luận về sau ta sẽ vẫn viết M−1 = M, M−2 = 0, 0 = d−2 : M−2 →M−1,
N−1 = (S−1M)−1 = S−1M = N,
N−2 = (S−1M)−2 = 0 và 0 = e−2 : N−2 −→ N−1.
(ii) Nếu n≥ 0là một số nguyên thì ta kí hiệuπ : Mn−1 −→ Coker(dn−2), π0 : S−1(Mn−1) −→ Coker(S−1(dn−2)), và
π00 :Nn−1 −→ Coker(en−2) là các toàn cấu tự nhiên.
(iii) Nếu m ∈ Mn, ký hiệu m = (π(mp)/sp) sẽ được dùng để biểu thị rằng, khi p ∈ Supp(M) có htM(p) = n, thì thành phần của m trong hạng tử trực tiếp (Coker(dn−2))p của Mn là π(mp)/sp. Do đó tất cả chỉ trừ một số hữu hạn các phần tử π(mp)/sp sẽ bằng không. (Các kí hiệu này ta sẽ dùng về sau mà không cần giải thích thêm).
Bổ đề 3.1.7. Giả sử n ≥ 0. Khi đó có một S−1A−đẳng cấu
γn : S−1(Mn) → M
q∈SuppS−1A(S−1M) htS−1Mq=n
sao cho, nếu m = (π(mp)/sp) ∈ Mn, s ∈ S và p0 ∈ SuppA(M)
có htM(p0) = n và p0 ∩ S = ∅ thì thành phần của γn(m/s) trong
[Coker(S−1(dn−2))]S−1p0 là π0(mp0/s)/(sp0/1).
Chứng minh. Trước hết, từ dãy khớp
(E) : Mn−2 dn−
2
−−→ Mn−1 → Coker(dn−2) →0
ta thu được sơ đồ sau (E) S−1(Mn−2) S −1(dn−2) −−−−−−→ S−1(Mn−1) −−→ S−1(Coker(dn−2)) −−→ 0 yθ (C) (E) S−1(Mn−2) S −1(dn−2) −−−−−−→ S−1(Mn−1) −−→ Coker(S−1(dn−2)) −−→ 0.
Có duy nhất một S−1A−đẳng cấu
θ : S−1(Coker(dn−2)) →Coker(S−1(dn−2))
mà nó làm cho sơ đồ trên là giao hoán. Bởi vì θ(π(x)/s) = π0(x/s) (với
x ∈ Mn−1và s ∈ S).
Với mỗi q ∈ SuppS−1A(S−1M), có một S−1A−đẳng cấu cảm sinh từ θ
là
θq : [S−1(Coker(dn−2))]q →[Coker(S−1(dn−2))]q
Lấy tổng trực tiếp của các đẳng cấu trên (với q chạy) cho ta một
S−1A−đẳng cấu δn : M q∈SuppS−1A(S−1M) htS−1Mq=n [S−1(Coker(dn−2))]q → M q∈SuppS−1A(S−1M) htS−1Mq=n [Coker(S−1(dn−2))]q.
sau đây: ξn : S−1(Mn) → M p∈SuppA(M) htMp=n S−1[(Coker(dn−2))p] = M p∈SuppA(M) htMp=n p∩S=∅ S−1[(Coker(dn−2))p] (sử dụng 3.1.4)) → M p∈SuppA(M) htMp=n p∩S=∅ [S−1(Coker(dn−2))]S−1p (sử dụng 3.1.5) = M q∈SuppS−1A(S−1M) htS−1Mq=n [S−1(Coker(dn−2))]q (sử dụng 1.1.3 và 3.1.3).
Khi đó, nếu m = (π(mp)/sp) ∈ Mn, s ∈ S và p0 ∈ SuppA(M) có htM(p0) = n và p0 ∩ S = ∅; thì thành phần của ξn(m/s) trong [S−1(Coker(dn−2))]S−1p0 là (π(mp0)/s)/(sp0/1).
Cuối cùng ta lấy γn là hợp thành của δn và ξn, tức là γn = δnξn. Định lý 3.1.8. Có một đẳng cấu phức của các S−1A−môđun và các
S−1A−đồng cấu
ψ = {ψn}n≥−1 : S−1(CA(M)) → CS−1A(S−1M)
sao cho ψ−1 : S−1M → S−1M là một phép đồng nhất.
Chứng minh. Lưu ý rằng để thuận tiện như trước đây ta vẫn dùng kí
hiệu M−2 = 0, M−1 = M, ...
ψ−2 = 0 :S−1(M−2) → (S−1M)−2
và viết ψ−1 thay cho phép đồng nhất ψ−1 :S−1(M−1) → (S−1M)−1. Ta sẽ xây dựng một họ {ψn}n≥−2 gồm các S−1A-đẳng cấu thỏa mãn yêu cầu bằng phép qui nạp theo n. Rõ ràng ψ−2 và ψ−1 bảo đảm bước cơ sở của phép quy nạp.
Giả sử qui nạp rằng với n ≥ 0 và đã có các S−1A-đẳng cấu
ψ−2, ψ−1, ψ0..., ψn−1 sao cho biểu đồ giao hoán sau 0 −−→ S−1M S −1(d−1) −−−−−→ ... →S−1(Mn−2) S −1(dn−2) −−−−−−→ S−1(Mn−1) yψn−2 yψn−1 (C) 0 −−→ S−1M −−→e−1 ... →(S−1M)n−2 −−→en−2 (S−1M)n−1 đã được xây dựng. Biểu đồ ở trên cảm sinh một S−1A−đẳng cấu
φ : Coker(S−1(dn−2)) →Coker(en−2),
trong đó φ(π0(x)) = π00(ψn−1(x)). Điều này sẽ sinh ra một S−1A−đẳng cấu νn : M q∈SuppS−1A(S−1M) htS−1Mq=n [Coker(S−1(dn−2))]q → M q∈SuppS−1A(S−1M) htS−1Mq=n [Coker(en−2)]q. Ta định nghĩa ψn : S−1(Mn) → (S−1M)n là đồng cấu hợp thành νnγn, trong đó γn là các S−1A−đẳng cấu của Bổ đề 3.1.7. Từ đó ta kiểm tra được biểu đồ sau là giao hoán
S−1(Mn−1) S −1(dn−2) −−−−−−→ Sn−1(Mn) yψn−1 yψn (Sn−1M)n−1 −−→en−1 (S−1M)n (C).
Điều này kết thúc chứng minh.
Định lý 3.1.8 sẽ rất có ích trong phần còn lại của luận văn này: ta sẽ sử dụng nó nhiều lần trong trường hợp S là phần bù của một iđêan nguyên tố. Trong trường hợp đó, ta có thêm một nhận xét khác như trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 3.1.9. Giả sử p ∈ SuppA(M) có htM(p) = n. Khi đó
(Mp)n ∼= (Coker(dn−2))p như các Ap−môđun, và (Mp)i = 0 với mọi
Chứng minh. Phần thứ hai được suy ra từ Mệnh đề 1.1.3, Bổ đề 3.1.3 và xây dựng của phức Cousin (vì không có iđêan nguyên tố nào trong SuppAp(Mp)) có Mp−độ cao lớn hơn n.
Đối với phần thứ nhất, ta sử dụng Định lý 3.1.8 và Bổ đề 3.1.4, ta thấy rằng khi xét như các Ap−môđun thì
(Mp)n ∼= (Mn)p ∼= M
q∈Supp(M) htMq=n
[(Coker(dn−2))q]p = [(Coker(dn−2))p]p
(vì nếu q ∈ SuppA(M),q 6= p và htM p = n thì q 6⊆ p). Ta lại có [(Coker(dn−2))p]p ∼= (Coker(dn−2))p
như các Ap−môđun.
3.2 Đặc trưng của vành Cohen-Macaulay qua phức Cousin
Trong mục này ta giả thiết A là một vành giao hoán. Khi xem A như là một môđun trên chính nó thì nó cũng có phức Cousin C(A). Mục đích của mục này là chứng minh một vành A là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi phức Cousin C(A) của nó là dãy khớp.
Ta sử dụng ký hiệu x = (x1, . . . , xr) để kí hiệu thay cho một dãy các phần tử x1, . . . , xr của A và kí hiệu (x) là iđêan sinh bởi x.
Chú ý 3.2.1. Nếu x là một A−dãy chính quy có độ dài r chứa trong iđêan thực sự a của A. Khi đó r = ht(x) ≤ ht(a). Đặc biệt ta có
depth(a, A) ≤ht(a).
Thật vậy, vì x1 không thuộc bất kì phần tử nào của Ass(A), nên
x1 ∈ ∪/ e0
j=1p0j (trong đó p0j là các iđêan nguyên tố tối tiểu của A có độ cao 0). Khi đó ht(x1) = 1. Lại vì x2 không thuộc bất kì phần tử nào của AssA(A/(x1)) nên x2 ∈ ∪/ e1
j=1p1j (trong đó p1j là các iđêan nguyên tố tối tiểu của (x1) có độ cao 1). Khi đó ht(x1, x2) = 2. Từ đó bằng quy
nạp ta suy ra được ht(x) = r. Rõ ràng (x) ⊆ a nên ht(x) ≤ ht(a). Trong trường hợp x là A−dãy chính quy cực đại trong a thì ta có depth(a, A) = r = ht(x) ≤ht(a).
Dưới đây ta nhắc lại một kết quả của D. Rees về đặc trưng vành Cohen-Macaulay thông qua độ cao và độ sâu.
Bổ đề 3.2.2. (Theo [15]) A là một vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi iđêan thực sự a của A đều có depth(a, A) = ht(a).
Tiếp theo để đi đến kết quả chính của mục này ta cần thêm một số bổ đề chuẩn bị liên quan đến các áp dụng của đại số đồng điều cho phức Cousin.
Bổ đề 3.2.3. Giả sử M là A−môđun có phức Cousin là
CA(M) : 0→ M d− 1 −−→ M0 d 0 −→ M1. . . →Mn d n −→Mn+1 → . . . .
Lấy r ≥ 0 là một số nguyên. Nếu L là một A−môđun hữu hạn sinh sao
cho annA(L) 6⊆p với mọi p ∈ Supp(M) có htM(p) =r, thì với mỗi i ≥ 0
ta có ExtiA(L, Mr) = 0.
Chứng minh. Nhớ lại rằng M−2 = 0, M−1 = M và d−2 = 0 : M−2 → M−1 và Mr = L
p∈Supp(M) htM(p)=r
(Coker(dn−2))p. Lấy a = annA(L). Khi đó vì
L là hữu hạn sinh nên theo Bổ đề 1.2.2 ta suy ra ExtiA(L, Mr) ∼= M
p∈Supp(M) htM(p)=r
ExtiA(L,(Coker(dr−2))p).
Nếu p ∈ Supp(M) có htM(p) = r, thì tồn tại a ∈ a sao cho a /∈ p. Phép nhân bởi a trên L là đồng cấu không, và trên (Coker(dn−2))p là một tự đẳng cấu. Do đó vì hàm tử ExtiA(−,−) là một hàm tử A−tuyến tính, nên phép nhân bởi a trên ExtiA(L,(Coker(dr−2))p) là đồng cấu không và là một tự đẳng cấu. Do đó ExtiA(L,(Coker(dr−2))p) = 0, từ đó dẫn đến ExtiA(L, Mr) = 0.
Chú ý 3.2.4. Nếu ta lấy L = A/a với a là một iđêan của A sao cho
a 6⊆ p với mọi p ∈ Supp(M) có htM(p) = r; thì rõ ràng L thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 3.2.3.
Bổ đề 3.2.5. Giả sử n > 0 và phức Cousin C(M) của A−môđun
M là dãy khớp tại các vị trí M = M−1, M0, ..., Mn−2. Giả sử L là một A−môđun hữu hạn sinh sao cho annA(L) không chứa trong bất kỳ
p ∈ Supp(M) có htM(p) ≤n−1. Khi đó
ExtiA(L, M) = 0 nếu i ≤ n−1; ExtnA(L, M) ∼= Hom
A(L,Coker(dn−2));
và, nếu k > n, thì ExtkA(L, M) ∼= Extk−n
A (L,Coker(dn−2)). Chứng minh. Từ dãy khớp (E) : 0→ M−1 d− 1 −−→ M0 → ...→ Mn−2 dn− 2 −−→ Mn−1
cho ta các dãy khớp ngắn sau đây
0 →M−1 −−→d−1 M0 →Coker(d−1) → 0 (Chú ý M−1 = Coker(d−2)). (i) 0 →Coker(d−1) →M1 → Coker(d0) →0 (ii)
...
0 →Coker(dn−4) →Mn−2 →Coker(dn−3) → 0 (n-1) 0 →Coker(dn−3) →Mn−1 →Coker(dn−2) → 0. (n) Theo Bổ đề 3.2.3, ta có ExtiA(L, Mr) = 0 với mọi i ≥ 0 và mọi 0 ≤ r ≤ n − 1. Đặc biệt, ta có hệ quả rằng: các dãy khớp dài cảm sinh từ (i),...,(n) một cách tương ứng cho ta các điều sau
HomA(L, M) = 0 và, với k > 0,ExtkA(L, M) ∼= Extk−1
A (L,Coker(d−1)); HomA(L,Coker(d−1)) = 0 và, với k > 0,
ExtkA(L,Coker(d−1)) ∼= Extk−1
A (L,Coker(d0)); ...
HomA(L,Coker(dn−3)) = 0 và, với k > 0,
ExtkA(L,Coker(dn−3)) ∼= Extk−1
Như vậy các kết luận của bổ đề được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh kết quả chính của mục này.
Định lý 3.2.6. Vành A là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi phức Cousin
CA(A) của A là dãy khớp.
Chứng minh. (⇐) Giả sử C(A) là dãy khớp. Ta cần chỉ ra rằng, với mỗi iđêan cực đại m ∈ Spec(A), ta đều có depth(mAm, Am) = ht(mAm) (và do đó Am là vành Cohen-Macaulay). Giả sử m là iđêan cực đại của A có ht(mAm) = n. Nếu n = 0 thì không có gì phải chứng minh. Bây giờ ta giả sử n > 0. VìC(A) là dãy khớp nên theo Định lý 3.1.8 ta có CAm(Am) là khớp. Do mAm không chứa trong bất kì iđêan nguyên tố nào củaAm có độ cao ≤n−1. Từ đó theo Bổ đề 3.2.5, ta có ExtiAm(Am/mAm, Am) = 0 với mọi 0 ≤i ≤n−1, do đó depth(mAm, Am) = n= ht(mAm).
(⇒) Giả sử A là vành Cohen-Macaulay, và phức C(A) xác định như sau
C(A) : 0 d −2 −−→ A d −1 −−→ A0 d 0 −→ A1 →... →An d n −→An+1 →... .
Trước hết ta chỉ ra C(A) là khớp tại A = A−1. Giả sử điều này là không đúng, khi đó tồn tại 0 6= y ∈ H−1(A) ⊆ A = Coker(d−2). Từ đó HomA(A/(0 : y)A, A) 6= 0. Nhưng bởi Mệnh đề 2.3.6 ta có, nếu p ∈ Spec(A) \ U1(A), thì (0 : y)A 6⊆ p. Do đó (0 : y)A là một iđêan thực sự của A có độ cao ht(p) ≥ 1. Vì A là Cohen-Macaulay, nên depth((0 : y)A, A) = ht((0 : y)A) ≥ 1 (theo Bổ đề 3.2.2), và do đó HomA(A/(0 :y)A, A) = 0, mâu thuẫn. Vì vậyC(A) là khớp tạiA = A−1. Bây giờ giả sử qui nạp rằng, n ≥ 0 và C(A) đã được chứng tỏ là khớp tại các vị trí A = A−1, A0, ..., An−1. Ta sẽ chỉ ra rằng Hn(A) = 0 (nghĩa là C(A) khớp tại An). Giả sử Hn(A) 6= 0, khi đó tồn tại 0 6= y ∈ Hn(A) ⊆Coker(dn−1). Do đó
HomA(A/(0 :y)A,Coker(dn−1)) 6= 0.
Nhưng, bởi Mệnh đề 2.3.6, nếu p ∈ Spec(A)−Un+2(A) thì (0 :y)A * p. Vì thế (0 : y)A là một iđêan thực sự có độ cao ≥ n+ 2. Do đó, theo Bổ
đề 3.2.2, ExtiA(A/(0 : y)A, A) = 0 với 0 ≤ i ≤ n+ 1. Nhưng lưu ý rằng iđêan (0 : y)A không chứa trong bất kỳ p ∈ V(ann(A)) có độ cao ≤ n, và do đó theo Bổ đề 3.2.5 ta có
ExtnA+1(A/(0 :y)A, A) ∼= Hom
A(A/(0 : y)A,Coker(dn−1)) 6= 0,
như đã nhận xét ở trên. Vì vậy đã có sự mâu thuẫn và do đó Hn(A) = 0. Do đó C(A) khớp tại An, nên Định lý được chứng minh.
Hệ quả 3.2.7. Nếu vành A là vành Cohen-Macaulay và p ∈ Spec(A) có độ cao n thì (Coker(dn−2))p 6= 0.
Chứng minh. Vì C(A) là khớp, nên CAp(Ap) cũng là khớp. Do đó
Ap là Cohen-Macaulay có chiều là n. Theo Mệnh đề 3.1.9, ta có (Coker(dn−2))p ∼= (A
p)n. Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu A là vành Cohen-Macaulay địa phương với iđêan tối đại m và có chiều là n thì
An 6= 0. Trong trường hợp này depth(m, A) =n. Theo Bổ đề 3.2.5, ta có ExtnA(A/m, A) ∼= Hom
A(A/m,Coker(dn−2))). Nhưng An ∼= Coker(dn−2), từ đó ExtnA(A/m, A) 6= 0, dẫn đến An 6= 0.
3.3 Đặc trưng của vành Gorenstein qua phức Cousin
Trong mục này ta giả thiết A một vành giao hoán có đơn vị và M
là một A−môđun. Mục đích của mục này là để chứng minh vành A là Gorenstein khi và chỉ khi phức Cousin CA(A)củaAlà một giải nội xạ của
A−môđun A. Chứng minh này dựa trên nghiên cứu của Bass trong [2]. Việc nghiên cứu các vành Gorenstein liên quan mật thiết đến lý thuyết về các môđun nội xạ và vì thế ta cần sử dụng một số kết quả đã biết về môđun nội xạ.
Chú ý 3.3.1. Ta sẽ sử dụng thuật ngữ như sau. Một đồng cấu của các
A−môđun f : M → N được gọi là cốt yếu nếu mọi môđun con khác 0 của N đều có giao khác 0 với Imf, nghĩa là đơn cấu M/Ker(f) →N là cốt yếu theo nghĩa thông thường.
Một số tính chất cơ bản sau đây về môđun nội xạ được trình bày trong [6, Định lý 18.4 và 18.5].
Bổ đề 3.3.2. Cho A là vành giao hoán Noether. Khi đó (i) Tổng trực tiếp của một họ các môđun nội xạ là nội xạ.
(ii) Mọi môđun nội xạ đều viết được là tổng trực tiếp của các môđun nội xạ không phân tích được.
(iii) Phân tích tổng trực tiếp ở (ii) là duy nhất (không kể đến thứ tự), theo nghĩa
M = M
i∈I
Mi với Mi không phân tích được,
(iv) Bất kì A−môđun nội xạ không phân tích được nào đều có dạng
E(A/p) với p ∈ Spec(A).
(v) Với bất kì ξ ∈ E(A/p) (với p ∈ Spec(A)), luôn tồn tại n ∈ N để
pnξ = 0. Phép nhân bởi một phần tử x ∈ A− p cảm sinh một tự đẳng