Chú ý ta có kết quả về đa thức nhận giá trị nguyên sau.
Bổ đề 2.4.1. [4, Lemma 4.1.4] Cho P(X)∈ Q[X] là một đa thức bậc d−1. Khi
đó các điều kiện sau đây là tương đương. (i) P(n)∈Z với mọi n ∈Z.
(ii) Tồn tại số nguyên a0, . . . , ad−1 sao cho
P(X) = d−1 X i=0 ai X+i i .
Như vậy với n ≫0 ta có thể viết hM(n) = d−1 X i=0 ei n+i i
với mọi số nguyên ei.
Định nghĩa 2.4.2. Cho R = L i≥0
Ri là một vành phân bậc thuần nhất, Noether sao cho R0 là vành Artin và M =L
i≥0
Mi là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d. Bội e(M) được xác định bởi
e(M) = ed−1= lim n→∞ hM(n)(d−1)! nd−1 . Cho R =L i≥0
Ri là một vành phân bậc thuần nhất, Noether sao cho R0 là vành Artin và M = L
i≥0
Mi là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d. Cho N là môđun con phân bậc của M. Khi đó ta có dãy khớp ngắng
0→N →M →M/N →0.
Khi đó, nếu dimN <dimM, thì ta có dimM = dimM/N và e(M) = e(M/N). Nếu dimN = dimM và dimM/N < dimM, thì e(N) = e(M). Nếu dimN = dimM = dimM/N, thì e(M) =e(N) +e(M/N).
Từ đây, cho (R,m) là vành Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất m,
M là R-môđun hữu hạn sinh.
Định nghĩa 2.4.3. Ta nói rằng một iđêan I của R là iđêan của định nghĩa của
M nếu M/IM là môđun Artin.
Mệnh đề 2.4.4. Cho (R, m)là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn
sinh và I là một iđean của R. Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương.
(i) Iđêan I là iđêan định nghĩa của M.
(ii) Tồn tại số tự nhiên n ta có mn(M/IM) = 0. (iii) Môđun M/IM có độ dài hữu hạn.
Chú ý khi M ̸= 0, điều kiện thứ hai của Mệnh đề 2.4.4 tương đương với điều kiện m=pI+Ann(M). Với điều kiện này với mọi i, ta có √Ii+AnnM =m. Từ đó suy ra M/IiM là Artin với mọi i. Từ dãy khớp
0→InM/In+1M →M/In+1M →M/InM →0,
ta có ℓ(M/In+1M) = ℓ(M/InM) +ℓ(InM/In+1M).
Giả sử I là một iđêan của định nghĩa của M, ta xét R′ = R/Ann(M) và
I′ = (I+AnnM)/AnnM. Môđun M vừa là R-môđun, vừa là R′-môđun còn I′ là một iđêan của R′ và là một iđêan của định nghĩa của M. Ta cóR′/I′ là Artin.
Ta xét vành phân bậc GI′(R′) và môđun GI′(M) phân bậc. Theo Định lí 2.3.3, hàm Hilbert hG
I′(M)(n) là một đa thức với n ≫ 0. Vì(I′)nM/(I′)n+1M =
InM/In+1M,ta định nghĩahGI(M)(n) =hG
I′(M)(n)và do đóhGI(M)(n) = ℓ(InM/In+1M) là một đa thức hàm với n≫0. Bậc của đa thức là dimGI(M)−1 = dimM −1.
Định nghĩa 2.4.5. Cho R là vành Noether, địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh và I một iđêan của định nghĩa của M. Bội Hilbert-Samuel của I tương ứng với M, được ký hiệu bởi e(I, M) và được xác định bởi
e(I, M) =e(GI(M)).
Ví dụ 2.4.6. Cho R=M =Q[x, y](x,y) và I = (x3, xy, y2). Đa thức Hilbert h(n) =
ℓ(InM/In+1M) = 5n+ 4. Từ đó dimM = 2, bội Hilbert-Samuel e(I, M) = 5.
Từ các kết quả ở phía trên ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 2.4.7. Hàm
HI,M :N→N, n7→ℓR(InM/In+1M)
là đa thức bậc d−1 khi n ≫ 0. Từ đó tồn tại các số nguyên e0I(M), . . . ,edI−1(M) sao cho HI,M(n) = e0I(M) n+d−1 d−1 −e1I(M) n+d−2 n−2 +· · ·+ (−1)d−1edI−1(M)
với n ≫0. Các hệ số e0I(M), . . . ,eId−1(M) được gọi là hệ số Hilbert của M ứng với
I. Hệ số cao nhất e0I(M) được gọi là bội của M ứng với I.
Định lý 2.3.10 chỉ ra rằng rR(M/In+1M) =ℓR(In+1M :M m/In+1M) là đa thức bậc d−1 khi n ≫0. Do đó ta có định nghĩa sau
Định nghĩa 2.4.8. Hàm
irI,M :N→N, n7→rR(M/In+1M) =ℓR(In+1M :M m/In+1M)
là đa thức bậc d−1 khi n ≫ 0. Do đó tồn tại các số nguyên fI0(M), . . . ,fId−1(M) thỏa mãn irI,M(n) = fI0(M) n+d−1 d−1 −fI1(M) n+d−2 n−2 +· · ·+ (−1)d−1fId−1(M)
với n≫0. Ta gọi e0I(M), . . . ,eId−1(M) là hệ số bất khả quy của M ứng với I. Hệ số cao nhất rme0I(M) gọi là bội bất khả quy của M ứng với I.
Định lý sau trong bài báo [1] đưa ra mối liên hệ giữa bội Hilbert-Samuel và bội bất khả quy. Định lý 2.4.9. Ta có bất đẳng thức sau fI0(M)≤ e0I(M) nếu d̸= 1 e0I(M) +ℓR((0) :M m) if d= 1.
Hơn nữa dấu đẳng thức xảy ra nếu tồn tại n ≥0 sao cho mInM =In+1M .
Chứng minh. Chý ý tồn tại ℓ >0 sao cho ta có
In+1M :M m=In+1−ℓ(IℓM :M m) + (0) :M m and ((0) :M m)∩InM = 0
với mọi n≥ℓ. Suy ra
(In+1M :M m)∩InM = (In+1−ℓ(IℓM :M m) + (0) :M m)∩InM
với n≥ℓ. Hơn nữa ta có các dãy khớp ngắn 0→(In+1M :M m)∩InM/In+1M →In+1M :M m/In+1M →(0) :M m→0, 0→(In+1M :M m)∩InM/In+1M →InM/In+1M →InM/(In+1M :M m)∩InM →0 với n≥ℓ. Ta có [In+1−ℓ(IℓM :M m) + (0) :M m]/In+1−ℓ(IℓM :M m)∼= (0) : M m. Nên rR(M/In+1M) =ℓR((In+1M :M m)∩InM/In+1M) +ℓR((0) :M m) =ℓR(InM/In+1M) +ℓR((0) :M m)−ℓR(InM/(In+1M :M m)∩InM) ≤ℓR(InM/In+1M) +ℓR((0) :M m).(1) Vì ℓR((0) :M m) là hằng số, so sánh hệ số ta có fI0(M) ≤ e0I(M) nếu d ≥ 2. Nếu d = 1, ta có fI0(M) ≤ eI0(M) +ℓR((0) :M m). Xét trường hợp d = 0, ta có fI0(M) =ℓR((0) :M m)≤ℓR(M) = e0I(M).
Giả sử mInM = In+1M với n > 0. Ta có dấu đẳng thức khi n ≫ 0. Điều này kéo theo dấu bằng trong (1) vì InM ⊆In+1M :M m.
KẾT LUẬN
Trong luận văn chúng tôi đã trình bày một số kết quả sau về chỉ số khả quy bội bất khả quy của môđun Noether, cụ thể là:
- Trình bày hệ thống kiến thức cơ sở về về môđun Noether, môđun Artin, độ dài của môđun, chiều Krull, vành và môđun phân bậc, vành và môđun phân bậc liên kết.
- Trình bày hệ thống kiến thức về môđun con bất khả quy, sự phân tích môđun con thành giao của các môđun bất khả quy, liên hệ với phân tích nguyên sơ.
- Trình bày chỉ số khả quy của môđun Noether, công thức tính chỉ số khả quy. - Trình bày tính đa thức của chỉ số khả quy của môđun con đặc biệt.
Tài liệu tham khảo
[1] T. N. An and S. Kumashiro (2021), "Irreducible multiplicity and Ulrich mod- ules", preprint.
[2] P. Ammone (2015), "I đêan đơn thức và sự phân tích của iđêan đơn thức, Luận văn thạc sĩ, Trường ĐHSP-ĐHTN.
[3] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969), Introduction to Commutative Al- gebra, University of Oxford.
[4] W. Bruns and J. Herzog (1998), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univer- sity Press (Revised edition).
[5] N. T. Cuong, P. H. Quy and H. L. Truong (2015), "On the index of reducibility in Noetherian modules", J. Pure Appl. Algebra, 219, 4510-4520.
[6] H. Matsumura (1986),Commutative ring theory, Cambridge University Press.
[7] E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann. 83 (1921), 24–66.
[8] D.G. Northcott, On irreducible ideals in local rings, J. London Math. Soc. 32 (1957), 82–88.
[9] M. Rogers and S. Sather-Wagstaff (2011),Monomial ideals and their decom- position, http://www.ndsu.edu/pubweb/ ssatherw/DOCS/monomial.pdf.
[10] R. Y. Sharp (1990), Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press.
[11] H. L. Truong (2014), "Index of reducibility of parameter ideals and Cohen- Macaulay rings", J. Algebra, 415, 35-49.
[12] P. Schenzel, On the use of local cohomology in algebra and geometry. In: Elias, J. (ed.) et al., Six lectures on commutative algebra. Basel (1998), 241– 292.