Ta luôn giả thiết R là vành Noether và M làR-môđun. Trong mục trước ta đa biết mỗi môđun con của M đều phân tích được thành giao hữu hạn các môđun con bất khả quy.
Định nghĩa 2.2.1. Cho N là môđun con của M. Một phân tích bất khả quy của
N được gọi là phân tích thu gọn nếu không bỏ được bất cứ thành phần bất khả quy
nào trong phân tích đó. Ví dụ 2.2.2.
6Z= 2Z∩3Z 12Z= 22Z∩3Z
là các phân tích thu gọn của 6Z và 12Z.
Trước khi đưa ra ví dụ tiếp theo về sự phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức ta nhắc lại kết quả sau.
Bổ đề 2.2.3. Cho m, n là hai đơn thức không chứa biến chung, m1, ..., mr là các đơn thức. Khi đó (m1, ..., mr, mn) = (m1, ..., mr, m)∩(m1, ..., mr, n). Ví dụ 2.2.4. (i) Trong vành Q[x, y], ta có I = (x3y, xy4) = (x3, xy4)∩(y, xy4) = (x3, x)∩(x3, y4)∩(y, x)∩(y, y4) = (x)∩(x3, y4)∩(x, y)∩(y) = (x)∩(x3, y4)∩(y).
(ii) Trong vành Q[x1, x2, x3], ta có I = (x31x42, x1x33, x2x23, x21x22x3) = (x1, x2x23)∩(x33, x31x42, x2x23, x21x22x3) = (x1, x2)∩(x1, x23)∩(x33, x2)∩(x33, x23, x31x42, x21x22x3) = (x1, x2)∩(x1, x23)∩(x33, x2)∩(x23, x31x24, x21x22x3) = (x1, x2)∩(x1, x23)∩(x33, x2)∩(x23, x31x42, x3)∩(x23, x31x42, x21x22) = (x1, x2)∩(x1, x23)∩(x33, x2)∩(x31x42, x3)∩(x23, x21x22) = (x1, x2)∩(x1, x23)∩(x33, x2)∩(x31, x3)∩(x42, x3)∩(x32, x21)∩(x23, x22) = (x1, x2)∩(x21, x23)∩(x33, x2)∩(x31, x3)∩(x42, x3)∩(x23, x22)
(ở trên ta bỏ iđêan thừa : (x1, x23))
= (x1, x2)∩[(x21, x23)∩(x31, x3)]∩[(x2, x33)∩(x22, x23)∩(x42, x3)].
Định lý sau là kết quả chính của mục chỉ ra rằng số thành phần bất khả quy trong phân tích bất khả quy thu gọn của môđun con là một bất biến của môđun con đó.
Định lý 2.2.5. Cho N là môđun con của M. Khi đó số thành phần bất khả quy
của một phân tích bất khả quy thu gọn của môđun con N là không đổi, tức là chỉ
phụ thuộc vào N.
Chứng minh. Ta có toàn cấu tự nhiên p : M → M/N. Từ sự phân tích môđun không trong M/N ta có sự phân tích của môđun N và ngược lại. Do đó, ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp N = 0. Giả sử
0 = Q1∩Q2∩...∩Qr =L1∩L2∩...∩Ls
là hai phân tích bất khả quy thu gọn của 0. Với (i= 1, r, j = 1, s), đặt
Lj =L1∩...∩Lj−1∩Lj+1∩...∩Ls.
Ta chứng minh với mọi i= 1, r, tồn tại j ∈ {1, ..., s} sao cho Qi∩Lj = 0. Thật vậy, nếu Qi∩L1 = 0 thì khẳng định trên là đúng. Ngược lại, giả sử Qi∩L1 ̸= 0. Đặt
T1 =Qi∩L1, T2 =Qi∩L1. Ta có
T1∩T2 =Qi∩L1∩L1 = 0
và Qi⊆(T1+Qi)∩(T2+Qi). Mặt khác, với mọi a ∈Qi,
a =t1+qi=t2+qi′, t1∈T1, t2∈T2, qi, q′i∈Qi
Suy rat1−t2 =qi−qi′ ∈Qi∩Qi= 0. Do đó t1=t2 ∈T1∩T2= 0 haya =qi∈Qi. Từ đóQi = (T1+Qi)∩(T2+Qi). VìQi là môđun con bất khả quy nên hoặcT1+Qi =Qi
hoặcT2+Qi =Qi. Suy raT1⊆Qi∩Qi= 0 hoặcT2⊆Qi∩Qi= 0. Do đóQi∩L1= 0 hoặc Qi∩L1= 0. Theo giả sử ở trên, suy ra Qi∩L1 = 0.
Với j ≤s, đặt L∗j =Lj+1∩...∩Ls. Tương tự chứng minh ở trên, nếuQi∩L2= 0 thì khẳng định là đúng. Ngược lại giả sử Qi∩L2 ̸= 0. Khi đóQi∩L∗2= 0. Tiếp tục như trên ta có quá trình sẽ dừng do Ls =L∗s. Vậy tồn tại j sao cho Qi∩Lj = 0.
Sử dụng phép thay thế Qi bởi Lj trong phân tích bất khả quy của 0 ta có tồn tại i1, i2, ..., ir ∈ {1, ..., s} sao cho
0 = Q1∩Q2∩...∩Qr =Li1 ∩Q2∩...∩Qr
=Li1 ∩Li2 ∩Q3∩...∩Qr =...
=Li1 ∩Li2 ∩...∩Lir.
Do L1∩L2∩...∩Ls là phân tích thu gọn nênL1, ..., Ls ∈ {Li1, ..., Lir}. Suy rar≥s. Đổi vai trò r và s ta có s≥r. Suy ra r =s.
Sau đây luận văn đưa ra cách chứng minh thứ 2 dựa trên gợi ý trong cuốn sách [3].
Chứng minh cách hai : Chuyển qua M/N ta có thể giả thiết N = 0. Giả sử 0 = N1∩...∩Nr = L1∩...∩Ls là các phân tích bát khả quy thu gọn của 0. Xét
đồng cấu tự nhiên
f :M →M/N1×...×Mr.
Vì Tr
i=1Ni = 0 nênf là đơn cấu.
Xét φ:M/N1×...×M/Nr →M/Ni là phép chiếu chính tắc. Chú ý vì Ni bất khả quy nên 0 trong M/Ni là bất khả quy tức là nếu U, V là các môđun con khác 0 của M/Ni thì M/Ni thì U ∩V ̸= 0 Với mỗi i∈ {1, ..., r} đặt Qj =N1∩...∩Ni−1∩Lj∩Ni+1∩...∩Nr, j = 1, .., s Ta có Q1∩...∩Qjs ⊆L1∩...∩Ls = 0 hay Ts
j=1Qj = 0. Kéo theo φf(Tsj=1Qj) = 0. Hay Ts
j=1φf(Qj) = 0 trong M/Ni. Theo phân tích trên ∃j ∈ {1, ..., s}, φf(Qj) = 0. Ta có
φf(Qj) =φ(0×...×(Lj+Ni)/Ni×0...0) = (Lj +Ni)/Ni = 0. Do đó Lj+Ni⊆Ni. Do đó Qj =N1∩...∩Ni−1∩Lj∩Ni+1∩...∩Nr ⊆N1∩...∩Ni−1∩(Lj +Ni)∩Ni+1∩...∩Nr ⊆ r \ i=1 Ni= 0.
Như vậy với mỗi i∈ {1, ..., r}, tồn tại j để
Ta có
0 =N1∩N2∩...∩Nr
=Li1 ∩N2∩...∩Nr
...
=Li1 ∩...∩Lir,vớii1, ir ∈ {1, ..., s}.
Do L1∩...∩Ls là phân tích thu gọn nên L1, ..., Ls ∈ {Li1, ..., Lir}. Suy ra r⩾s. Tương tự ta có s ⩾r.
Định nghĩa 2.2.6. Cho N là môđun con của M. Số môđun con bất khả quy xuất
hiện trong một phân tích thu gọn của môđun con N được gọi là chỉ số khả quy của
môđun con N và được kí hiệu là irR(N;M) (hay irM(N) hay ngắn gọn là ir(N)).
Ví dụ 2.2.7. (i) Trong Z, ir(6Z) = ir(12Z) = 2.
(ii) Trong Q[x, y], ir(x3y, xy4) = 3.
Một câu hỏi tự nhiên là làm thế nào để tính được bất biến irR(N;M). Mục tiếp theo đưa ra công thức đó trong trường hợp đặc biệt. Trước hết ta cần một số kết quả bổ trợ sau.
Mệnh đề 2.2.8. Cho I là một iđêan của R và M là R-môđun. Khi đó
Hom(R/I, M)∼= (0 : M I).
Chứng minh. Xét ánh xạ ϕ : Hom(R/I, M) → (0 :M I) được xác định như sau:
ϕ(f) =f(1 +I),với mỗi f ∈Hom(R/I, M). Rõ ràng với mỗi x∈I ta có rf(1 +I) =
f(x+I) = 0 và do đó f(1 +I)∈(0 :M I). Dễ dàng kiểm tra được ϕ là R-đồng cấu. Ta có
Kerϕ={f :R/I →M |f(1 +I) = 0}.
Nếu f(1 +I) = 0 thì f(r+I) = rf(1 +I) = 0, với mọi r ∈R.
Suy ra Kerϕ={0} và do đó ϕ là đơn cấu. Dễ thấyϕ là toàn cấu. Vì vậy ϕ là đẳng cấu.
Cho M là hữu hạn sinh. Môđun con N củaM được gọi là môđun con đối hữu hạn nếu ℓR(M/N)<∞. Tổng của tất cả các môđun con đơn (môđun được gọi là đơn nếu nó là môđun khác không và không có môđun con thực sự khác không) của M được gọi là đế của M. Kí hiệu là Soc(M). Chẳng hạn, trong Z môđun con 2Z là đối hữu hạn.
Khi (R,m, k) là vành giao hoán địa phương (tức là vành chỉ có duy nhất một iđêan cực đại) thì
Soc(M) = (0 :M m)∼= Hom
R(k;M).
Thật vậy, trước hết ta có nhận xét R/I là R-môđun đơn khi và chỉ khi I = m. Tiếp theo ta sẽ chứng minh các môđun con đơn của M đẳng cấu với R/m và bằng (0 :M m). Giả sử L là một môđun con đơn của M. Lấy 0 ̸=m ∈ L. Xét đồng cấu
f :R −→M, f(r =rm). Ta có Imf =Rmvà 0̸=Rm⊆L. Vì L là môđun đơn nên
L=Rm.Do đóL∼=R/Kerf, trong đóKerf ={r∈R | rm= 0}={r∈R | rL = 0}. Vì L là môđun đơn nên Kerf =m và L= (0 :M m). Vì Soc(M) là tổng các môđun đơn nên bằng (0 :M m).
Tiếp theo ta sẽ tìm công thức tính của chỉ số khả quy của môđun con đối hữu hạn. Từ đây đến hết mục này ta luôn giả thiết (R,m, k) là vành giao hoán địa phương.
Bổ đề 2.2.9. Cho N là môđun con của M trong đó M có độ dài hữu hạn. Khi
đó N ∩Soc(M) = 0 nếu và chỉ nếu N = 0.
Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện cần. Giả sử tồn tại 0M ̸=x∈N. Do ℓR(M)<∞ nên M là môđun Artin. Do đó dãy giảm sau sẽ dừng
0̸=mx⊇m2x⊇m3x⊇...
Khi đó tồn tại số tự nhiên n sao cho mnx = mn+1x. Theo Bổ đề Nakayama ta có mnx = 0. Giả sử n là số nhỏ nhất thoả mãn mnx = 0 và mn−1x ̸= 0. Khi đó,
m(mn−1x) = 0, suy ra mn−1x∈Soc(M). Do đó
0̸=mn−1x∈N ∩Soc(M) = 0.
Điều này là vô lý. Do vậy N = 0.
Bổ đề 2.2.10. Cho N1, N2, ..., Ns là các môđun con của R-môđun có độ dài hữu hạn M, Hi = Ni∩Soc(M), i = 1, s. Khi đó H1∩H2∩...∩Hs = 0 nếu và chỉ nếu
N1∩...∩Ns = 0.
Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 2.2.9 với N =N1∩...∩Ns, ta suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.2.11. Chỉ số khả quy của môđun con đối hữu hạnN của môđun Noether
M được cho bởi công thức
irR(N;M) = dimkHom(k;M/N) = dimkSoc(M/N).
Chứng minh. DoirR(N;M) = irR(0M/N;M/N)nên ta chỉ cần chứng minhirR(0M;M) = dimkSoc(M) trong trường hợp ℓ(M)<∞.
Giả sử dimkSoc(M) =n và{e1, ..., en}là một cơ sở củaSoc(M). Gọi Nilà môđun con tối đại của M không chứa ei với i = 1, ..., n. Đặt Hi = Ni∩Soc(M). Khi đó
Hi ⊆ Ni và Ni là môđun con bất khả quy của M. Thật vậy, nếu tồn tại các môđun con U, V của M chứa thực sự Ni và U ∩V = Ni thì do Ni là môđun con tối đại không chứa ei nên ei ∈ U, V. Suy ra ei ∈ U ∩V = Ni, điều này là vô lý. Mặt khác, ta có H1∩...∩Hn = 0M. Từ Hi = Ni∩Soc(M), theo Bổ đề 2.2.10 ta suy ra N1 ∩...∩Nn = 0M là một phân tích bất khả quy thu gọn của 0M. Vậy irR(0M;M) =n = dimkSoc(M).
Hệ quả 2.2.12. Cho M là hữu hạn sinh và q là iđêan tham số của M. Khi đó
chỉ số khả quy của môđun con qM của M được cho bởi công thức
Chứng minh. Do ℓ(M/qM) < ∞ nên theo Định lý 2.2.11 ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.2.13. Trong trường hợp tổng quát R là vành giao hoán, Noether (không nhất thiết địa phương). Cho N là R-môđun con của M không nhất thiết đối hữu hạn, N. T. Cường, P. H. Quý và H. L. Trường đã đưa ra công thức tính ir(N)(xem [5]). Tuy nhiên công thức cần nhiều kiến thức chuẩn bị khác nên luận văn không trình bày chứng minh mà nêu lại kết quả đó ở đây. ChoR là vành giao hoán Noether. Với plà iđêan nguyn tố, ta ký hiệuk(p) là trường thặng dưRp/pRp
của vành địa phương Rp. Cho N là môđun con của R-môđun M. Khi đó
ir(N) = X
p∈AssR(M/N)
dimk(p)Soc(M/N)p.
Hơn nữa với mọi p∈AssR(M/N), tồn tại môđun con p-nguyên sơ N(p) củaM mà irM(N(p)) = dimk(p)Soc(M/N)p thỏa mãn
N = \
p∈AssR(M/N)
N(p)
là phân tích nguyên sơ thu gon của N.