một số lớp vành và môđun và ứng dụng vào đào tạo ngành sư phạm toán tại trường đại học hà tĩnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN ĐỀ TÀI CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM VỀ MỘT SỐ LỚP VÀNH VÀ MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐÀO TẠO NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH Chủ nhiệm đề tài: TS LÊ VĂN AN Khoa Sư phạm tự nhiên HÀ TĨNH - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN ĐỀ TÀI CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM VỀ MỘT SỐ LỚP VÀNH VÀ MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐÀO TẠO NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH Chủ nhiệm đề tài: TS LÊ VĂN AN Khoa Sư phạm tự nhiên Thư ký đề tài: ThS NGUYỄN THỊ THANH TÂM Khoa Sư phạm tự nhiên Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài: TS Trần Giang Nam - Viện Toán học ThS Nguyễn Thị Hải Anh - Khoa Sư phạm tự nhiên ThS Nguyễn Khánh - Khoa Tiểu học mầm non CN Nguyễn Đình Nam - Khoa Sư phạm tự nhiên HÀ TĨNH - 2014 MỤC LỤC Trang TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI .1 Tính cấp thiết đề tài Tình hình nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Kết cấu đề tài PHẦN A MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐẠI SỐ KẾT HỢP CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 1.1 Cấu trúc nửa nhóm nhóm 1.2 Cấu trúc vành trường 1.3 Môđun đại số .6 CHƯƠNG MÔ ĐUN (1 - C2) VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐẶC TRƯNG VÀNH §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ I Môđun cốt yếu - Môđun - Chiều môđun 1.1 Định nghĩa 1.2 Ví dụ II Môđun nội xạ - Môđun tựa nội xạ 10 1.4 Tính chất 10 III Các điều kiện (Ci) 10 1.5 Định nghĩa 10 IV Đế môđun - Độ dài môđun - Vành tự đồng cấu môđun 11 V Vành nửa Artin V - vành 11 §2 MƠĐUN (1 - C2) VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP VÀNH 12 I MÔĐUN (1 - C2) .12 II ĐẶC TRƯNG V-VÀNH BỞI ĐIỀU KIỆN (1 - C2) 16 CHƯƠNG MÔ ĐUN TỰA CẤU XẠ, QF VÀNH VÀ ĐIỀU KIỆN BAER 19 §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 19 §2 CÁC KẾT QUẢ 22 I MÔ ĐUN TỰA CẤU XẠ 22 Trong mục đưa định nghĩa lớp môđun tựa cấu xạ lớp môđun mở rộng thực lớp môđun cấu xạ 22 II QF VÀNH 23 III ĐIỀU KIỆN CẤU XẠ VÀ ĐIỀU KIỆN BAER 24 CHƯƠNG MÔĐUN BAER VÀ CÁC SUY RỘNG CỦA NÓ 27 §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ 27 §2 CÁC KẾT QUẢ 30 I VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN BAER VÀ MÔĐUN BAER ĐỐI NGẪU 30 II MÔĐUN VỚI ĐỘ DÀI HỮU HẠN VÀ ĐIỀU KIỆN BAER SUY RỘNG 35 CHƯƠNG MA TRẬN VUÔNG CẤP HAI TRÊN ĐẠI SỐ LEAVITT 40 PHẦN B MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN GIẢNG DẠY NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 50 I Ứng dụng NCKH nâng cao chất lượng đội ngũ 50 II Trong cơng tác giảng dạy ngành SP Tốn 51 KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ .53 CÁC CÔNG BỐ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI .54 TÀI LIỆU THAM KHẢO .55 TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI Tính cấp thiết đề tài Đây đề tài khoa học nhằm góp phần phát triển tri thức hiểu biết Đại số kết hợp; cụ thể lớp môđun (môđun Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun morphic, ), lớp vành (vành Noether, vành Artin, vành QF ) lớp đại số (đại số Leavitt) Đề tài góp phần ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy ngành Tốn khoa SPTN theo hướng hình thành seminar khoa học dành cho giảng viên sinh viên ngành SP Tốn Qua nâng cao lực NCKH đội ngũ giảng viên lực tự học SV Đề tài góp phần hình thành hướng nghiên cứu để đội ngũ giảng viên môn Tốn định hướng q trình học tập nâng cao trình độ Đề tài hình thành vấn đề khoa học giúp SV hướng làm khóa luận tốt nghiệp đề tài Sinh viên NCKH cấp Bộ Tình hình nghiên cứu Các tác giả nghiên cứu tính chất lớp mơđun nội xạ suy rộng lớp môđun CS, liên tục, tựa liên tục Sử dụng lớp môđun để đặc trưng lớp vành Noether, Artin, QF, Các tác giả đạt nhiều kết sâu sắc lĩnh vực nhiều hướng mở rộng lớp môđun nội xạ ứng dụng chúng toán đặc trưng vành chưa nghiên cứu hoàn thiện Các chuyên gia lĩnh vực Đinh Văn Huỳnh, S K Jain, S T Rizvi, Các tác giả đưa lớp vành cấu xạ, tựa cấu xạ, môđun cấu xạ Nghiên cứu tính chất lớp vành lớp mơđun Sử dụng lớp vành môđun để nghiên cứu lớp vành quy, vành nhóm Tuy nhiên lớp môđun tựa cấu xạ sử dụng điều kiện cấu xạ nghiên cứu lớp vành QF chưa quan tâm nghiên cứu Các chuyên gia lĩnh vực W K Nicholson, V Camillo, Các tác giả phát triển lớp vành Baer, vành tựa Baer để đưa định nghĩa lớp môđun Baer, môđun tựa Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun tựa Baer đối ngẫu Sử dụng lớp môđun vành để nghiên cứu lớp vành môđun khác Tuy nhiên lớp môđun Baer đạt kết bước đầu nhiều vấn đề cần quan tâm nghiên cứu Kết hợp điều kiện cấu xạ suy rộng Baer suy rộng hứa hẹn đạt nhiều kết hấp dẫn Các chuyên gia lĩnh vực S T Rizvi, C S Roman, … Các tác giả nghiên cứu tính chất đại số Leavitt sử dụng đại số Leavitt để nghiên cứu graph có hướng Đây vấn đề có tính thời nghiên cứu khoảng - năm gần Các chuyên gia lĩnh vực G Abrams, G Aranda Pino, Phạm Ngọc Ánh, M Tomforde Trong nước nhà nghiên cứu Đại số kết hợp chịu ảnh hưởng trực tiếp GS Đinh Văn Huỳnh quan tâm nghiên cứu lớp môđun nội xạ suy rộng ứng dụng lớp môđun để đặc trưng vành Hướng nghiên cứu quan tâm Đại học Vinh chủ trì PGS TS Ngô Sỹ Tùng Đại học Huế chủ trì GS TS Lê Văn Thuyết Lớp vành mơđun cấu xạ hai nhóm nghiên cứu quan tâm bước đầu đạt số kết Điều kiện Baer Baer suy rộng bắt đầu quan tâm nghiên cứu seminar lý thuyết vành môđun Đại học Vinh Đại số Leavitt đại số quỹ đạo Leavitt vấn đề tiếp cận Việt Nam Tuy nhiên có nhà Tốn học Việt Nam Hungary GS Phạm Ngọc Ánh chuyên gia lĩnh vực Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính chất lớp môđun Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun morphic, mơđun nội xạ mở rộng Từ sử dụng lớp môđun để đặc trưng lớp vành Noether, vành Artin, vành QF Nghiên cứu tính chất đại số ma trận đại số Leavitt Hình thành seminar Đại số kết hợp quy tụ giảng viên mơn Tốn quan tâm Đại số kết hợp tập hợp SV giỏi ngành SP Toán Phương pháp nghiên cứu Đây đề tài thuộc lĩnh vực nghiên cứu khoa học chuyên ngành Toán học Phương pháp nghiên cứu đặc thù suy luận logic thông qua tính đắn lập luận chứng minh Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu tính chất lớp mơđun liên tục suy rộng (môđun (1 - C2), môđun - liên tục) ứng dụng chúng để đặc trưng lớp vành Noether, vành Artin, vành QF, vành nửa đơn Artin, Đề tài quan tâm tính chất lớp mơđun tựa cấu xạ ứng dụng lớp môđun để đặc trưng vành Đề tài quan tâm lớp vành Baer suy rộng, lớp môđun Baer suy rộng Mối liên quan lớp vành môđun Baer cấu xạ Đề tài quan tâm đến vành ma trận vành đa thức đại số Leavitt Kết cấu đề tài Ngoài phần tổng quan, kết luận kiến nghị, tài liệu tham khảo, nội dung đề tài chia làm chương sau: Chương Tổng quan cấu trúc đại số Trong chương giới thiệu ngắn gọn cấu trúc đại số đối tượng mà đề tài quan tâm nghiên cứu Chương Môđun (1 - C2) ứng dụng vào đặc trưng vành Trong chương chúng tơi nghiên cứu tính chất lớp môđun mở rộng môđun nội xạ lớp môđun (1 – C2), CS, liên tục, tựa liên tục, 1- liên tục ứng dụng vào đặc trưng lớp vành Artin, vành Noether, vành QF Chương thuộc chuyên đề I viết TS Lê Văn An ThS Nguyễn Thị Hải Anh Chương Môđun tựa cấu xạ, QF vành điều kiện Baer Trong chương nghiên cứu tính chất mơđun tựa cấu xạ lớp mơđun mở rộng thực môđun cấu xạ Chúng sử dụng điều kiện cấu xạ suy rộng để đặc trưng QF vành Chứng sử dụng điều kiện Baer suy rộng điều kiện cấu xạ suy rộng để đưa đặc trưng cho lớp vành môđun Chương thuộc chuyên đề II viết TS Lê Văn An TS Trần Giang Nam Một số nội dung chương luận văn tốt nghiệp học viên cao học Đặng Thị Thùy Linh Chương Môđun Baer suy rộng Trong chương chúng tơi nghiên cứu tính chất lớp mơđun Baer, mơđun tựa Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun tựa Baer đối ngẫu, vành Baer, vành tựa Baer Chúng đưa số tính chất vành tự đồng cấu mơđun Baer suy rộng Mối liên hệ điều kiện Baer suy rộng điều kiện độ dài hữu hạn môđun Chương thuộc chuyên đề III viết TS Lê Văn An, ThS Nguyễn Thị Hải Anh, CN Nguyễn Đình Nam Một số nội dung chương nội dung khóa luận tốt nghiệp SV Đặng Thị Oanh, SV Nguyễn Đình Nam, SV Nguyễn Thị Lệ Hằng lớp K1 - SP Toán, K2 - SP Toán, K3 - SP Tốn Chương Ma trận vng cấp hai Đại số Leavitt Trong chương nghiên cứu mối liên hệ Đại số Leavitt với vành ma trận vng cấp hai đại số Chúng tơi nghiên cứu mối liên hệ Đại số Leavitt đại số đa thức khái niệm tổng trực tiếp, tích trực tiếp Chương thuộc chuyên đề IV viết TS Lê Văn An Một số nội dung chương nội dung đề tài NCKH cấp SV Nguyễn Thanh Huyền, K51 - SP Toán trường Đại học Vinh Khi tiếp cận vấn đề liên quan đến chuyên đề TS Lê Văn An hướng dẫn SV Nguyễn Thị Dung, K2 - SP Tốn viết khóa luận tốt nghiệp lớp vành hốn tử Đề tài cịn có phần trình bày số ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy ngành SP Toán trường ĐH Hà Tĩnh hai nội dung NCKH nâng cao chất lượng đội ngũ giảng viên công tác giảng dạy ngành SP Tốn Các nội dung đề tài cơng bố 03 báo đăng tạp chí KH Đại học Hà Tĩnh, 01 đăng Tạp chí khoa học Đại học Vinh 01 nhận đăng tạp chí quốc tế Các kết đề tài báo cáo Đại hội Tốn học tồn quốc Nha Trang (2013), seminar Đại học Vinh Đại học Hà Tĩnh PHẦN A MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐẠI SỐ KẾT HỢP CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Trong chương giới thiệu ngắn gọn cấu trúc đại số Các định nghĩa tính chất chương chủ yếu dựa vào sách Đại số Đại cương Nguyễn Hữu Việt Hưng 1.1 Cấu trúc nửa nhóm nhóm 1.1.1 Nửa nhóm Tập hợp khác rỗng G với phép toán hai ngơi ”+” gọi nửa nhóm (a + b) + c = a + (b + c) ∀a, b, c ∈ G Nếu nửa nhóm G thỏa mãn điều kiện a + b = b + a ∀a, b ∈ G ta nói G nửa nhóm giao hốn Nếu nửa nhóm G tồn phần tử θ thỏa mãn điều kiện a + θ = θ + a = a ∀a ∈ G ta nói G vị nhóm 1.1.2 Nhóm Tập hợp khác rỗng G với phép tốn hai ngơi “.” gọi nhóm thỏa mãn ba điều kiện sau: (i) (a.b).c = a.(b.c) ∀a, b, c ∈ G (ii) Tồn phần tử θ ∈ G cho a.θ = θ a = a∀a ∈ G ; (iii) Với a ∈ G tồn phần tử a −1 ∈ G cho a.a −1 = a −1.a = θ Nếu nhóm G thỏa mãn điều kiện a.b = b.a, ∀a, b ∈ G ta nói G nhóm Abel Cho nhóm G S tập khác rỗng G Nếu S nhóm với phép tốn hai ngơi tập G lập thành nhóm S gọi nhóm G 1.2 Cấu trúc vành trường 1.2.1 Vành Cho tập hợp khác rỗng R với hai phép tốn hai ngơi “+” “.” gọi vành thỏa mãn điều kiện sau: (i) ( R, + ) nhóm Abel; (ii) Phép tốn R có tính chất kết hợp tức (a.b).c = a.(b.c) ∀a, b, c ∈ R ; (iii) Phép tốn + có tính chất phân phối tức a (b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc ∀a, b, c ∈ R Ví dụ (i) Tập hợp nguyên Z , tập hợp số hữu tỉ Q tập hợp số thực R với phép cộng phép nhân thông thường vành (ii) Cho vành R , tập hợp ma trận vuông cấp n R ký hiệu Mn(R) với phép toán cộng nhân ma trận lập thành vành gọi vành ma trận vuông cấp n (iii) Cho vành R , tập hợp đa thức hệ số R ký hiệu R [ x ] với phép toán cộng nhân đa thức lập thành vành gọi vành đa thức Nếu phép toán vành R giao hoán tức ab = ba ∀a, b ∈ R ta nói R vành giao hốn Nếu vành R tồn phần tử 1R cho a.1R = 1R.a = a ∀a ∈ R ta nói R vành có đơn vị Cho R S hai vành Ánh xạ f : R → S gọi đồng cấu vành thỏa mãn điều kiện sau: (i) f (a + b) = f (a ) + f (b) ∀a, b ∈ R ; (ii) f (ab) = f (a) f (b) ∀a, b ∈ R , Đồng cấu f gọi đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu f đơn ánh, toàn ánh song ánh, cách tương ứng Nếu tồn đẳng cấu nửa vành R S , nói R S đẳng cấu, ký hiệu R ≅ S Cho R vành Tập S khác rỗng R gọi vành R ( S , + ) nhóm ( R, + ) xy ∈ S ∀x, y ∈ S Cho vành R S vành R Nếu r.x ∈ S ∀r ∈ R, x ∈ S S gọi iđêan trái vành R Định nghĩa tương tự cho khái niệm iđêan phải Cho vành R S iđêan trái phải vành R Khi S gọi iđêan vành R 1.2.2 Trường thể Cho ( D, +,., 0,1) vành có đơn vị với đơn vị nhóm ( D, + ) Nếu D \ {0} lập thành nhóm ta nói D thể Nếu ( F , +,.,1, 0) thể với phép tốn “.” giao hốn ta nói F trường Ví dụ (i) Gọi H khơng gian vectơ thực chiều với sở 1, i, j , k Trang bị cho H phép toán “.” xác định hệ thức sau ij = − ji = k , ki = −ik = j jk = −kj = i Khi quaternion ( H , +,.) i = j = k = − 1, lập thành thể gọi thể (ii) Tập hợp số hữu tỉ Q , tập hợp số thực R tập hợp số phức C với phép cộng phép nhân thông thường trường 1.3 Môđun đại số 1.3.1 Môđun Cho R vành có đơn vị Tập hợp M khác rỗng với phép tốn cộng + : M × M → M phép nhân với vô hướng : R × M → M gọi R - môđun trái thỏa mãn điều kiện sau: (i) ( M , + ) nhóm Abel; (ii) a( x + y ) = ax + ay ∀a ∈ R, x, y ∈ M ; (iii) (a + b) x = ax + bx ∀a, b ∈ R, x ∈ M ; (iv) (ab) x = a (bx) ∀a, b ∈ R, x ∈ M ; (v) 1x = x ∀x ∈ M Định nghĩa tương tự cho phía phải Ví dụ (i) Mọi nhóm Abel Z - môđun trái phải (ii) Cho K trường V không gian vectơ K Khi V K môđun trái phải (iii) Cho R vành giao hoán Vành đa thức R [ x ] Mn(R) R - môđun trái phải (v) Cho R vành Khi R R - mơđun trái Tương tự cho phía phải (vi) Cho R vành M iđêan trái M R mơđun trái Tương tự cho phía phải Cho M R - môđun trái N tập khác rỗng M Khi N gọi mơđun M N nhóm nhóm Abel M N khép kín phép nhân với vơ hướng, tức rx ∈ N ∀r ∈ R, x ∈ N Giao họ môđun R - môđun trái M môđun M Đặc biệt, A tập R - môđun trái M , giao tất mơđun M chứa A , môđun M , gọi môđun sinh A ký hiệu < S > Nếu A sinh tồn M , A gọi tập sinh M Một R - mơđun trái M hữu hạn sinh chứa tập sinh hữu hạn Cho vành R M R - môđun trái Giả sử S tập khác rỗng M Khi tổ hợp tuyến tính phần tử S tổng ∑ s∈S as s , as ∈ R hầu hết (trừ số hữu hạn) hệ số as = Một tổng gọi có giá hữu hạn ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN ĐỀ TÀI CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM VỀ MỘT SỐ LỚP VÀNH VÀ MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG VÀO ĐÀO TẠO NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH Chủ nhiệm... thể lớp môđun (môđun Baer, môđun Baer đối ngẫu, môđun morphic, ), lớp vành (vành Noether, vành Artin, vành QF ) lớp đại số (đại số Leavitt) Đề tài góp phần ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy ngành. .. PHẦN B MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN GIẢNG DẠY NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 50 I Ứng dụng NCKH nâng cao chất lượng đội ngũ 50 II Trong công tác giảng dạy ngành SP Toán