Một số tính chất và ứng dụng của hàm đặc trưng

Lời nói đầu Hàm đặc trng là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu tổng các biến ngẫu nhiên độc lập. Hàm đặc trng là công cụ giải tích rất quan trọng để nghiên cứu các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất (luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm). Luận văn này trình bày khái niệm hàm đặc trng, một số tính chất cơ bản của hàm đặc trng, mối quan hệ khăng khít giữa hàm phân phối và hàm đặc trng, công thức ngợc (hay quan hệ duy nhất), quan hệ liên tục.Ngoài ra luận văn còn nghiên cứu định lý giới hạn trung tâm dới dạng tổng quát bằng ph- ơng pháp hàm đặc trng. Nội dung luận văn bao gồm 4 tiết. Tiết I trình bày định nghĩa và các ví dụ về hàm đặc trng. Tiết II nêu lên một số tính chất cơ bản của hàm đặc trng. Tiết III đa ra công thức ngợc và nêu lên định lý Bochner ứng dụng định lý để chứng minh một hàm là hàm đặc trng. Tiết IV dành cho việc trình bày định lý giới hạn trung tâm bằng phơng pháp hàm đặc trng Luận văn này đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo PGS - TS Nguyễn Văn Quảng. Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Điều khiển - Khoa Toán - Đại học Vinh và một số bạn bè trong tập thể lớp 40A 1 Toán đã đọc, góp ý và tạo điều kiện cho việc hoàn thành luận văn này. Do thời gian cũng nh năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự đánh giá và góp ý của thầy cô giáo và bạn bè.Tôi xin chân thành cảm ơn. Vinh ngày 16 tháng 4 năm 2003. Ngời thực hiện. Đoàn Thị Hờng. 1 mục lục Trang Lời mở đầu 1 1. Định nghĩa và các ví dụ về hàm đặc trng 2 2. Một số tính chất của hàm đặc trng 7 3. Công thức ngợc và định lý BOCHNER 12 4. Định lý giới hạn trung tâm 21 Tài liệu tham khảo 31 2 Đ1. Định nghĩa và các ví dụ về hàm đặc trng. Giả sử X, Y là hai biến ngẫu nhiên xác định trên (, F, P). Khi đó X + iY (i là đơn vị ảo) là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên mặt phẳng phức. Ta định nghĩa: E (X + iY) = EX + iEY nếu EX, EY xác định 1.1. Định nghĩa. Hàm số X (t) = Ee itX = EcostX + iEsintX t R (1) đợc gọi là hàm đặc trng của biến ngẫu nhiên X. - Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f X (x) và hàm phân phối F X (x) thì X (t) = + e itx f X (x)dx (2) - Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị {x j ; j J} thì X (t) = j itx Jj e p j (p j = P[X = x j ] = f X (x j )) (3) 1.2. Định nghĩa. Giả sử X = (X 1 , , X n ) là vectơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong R n . Hàm đặc trng của X là hàm số. X (t) = Ee i(t,X) = n R e i(t,X) dF X (x); t = (t 1 , , t n ) R n (4) trong đó (t, X) là tích vô hớng của t và X. (t, X) = X 1 t 1 + + X n t n 1.3. Các ví dụ. + Ví dụ 1: Giả sử X B(n, p), ta có: X (t) = n 0k = e itk k n C p k q n-k = n 0k = k n C (pe it ) k q n-k = (pe it + q) n (5) + Ví dụ 2: Giả sử X P() ( > 0) thì 3 X (t) = Ee itX = = 0k e itk = e !k e k = 0k !k )e( kit = e - it e e = )1e( it e (6) + Ví dụ 3: Giả sử X có hàm phân phối chuẩn N(0, 1) khi đó X (t) = 2 1 2 x 2 1 itx e + dx Bằng phơng pháp đạo hàm theo t ta tìm đợc X (t) = 2/t 2 e (7) Nếu X N(a, 2 ) thì X (t) = 2 t ita 22 e (7 * ) + Ví dụ 4: Nếu X G ( ,p) thì X (t) = p it 1.4 Mệnh đề. Giả sử X nhận giá trị - 1 và 1 với P (X= -1) = P (X = 1) = 2 1 khi đó hàm đặc trng của X là X (t) = cost Chứng minh: Theo công thức (3) ta có hàm đặc trng của X: X (t) = Jj itx j e p j = e -it . 2 1 + e it . 2 1 . = 2 1 (cos (-t) + isin(-t) + cost + isint) = 2 1 (cost + (-i sint) + cost + isint) = cost Vậy X (t) = cost. Mệnh đề đợc chứng minh. 1.5. Mệnh đề. Giả sử a k 0 = = 1k k 1a khi đó hai hàm số 1 (t) = = 0k k ktcosa và 2 (t) = = 1k ti k k ea ( 0 = 0) 4 đều là các hàm đặc trng. Chứng minh: * 1 (t)là hàm đặc trng. Theo công thức Ơ le ta có coskt = 2 1 (e -ikt + e ikt ) Do đó 1 (t) có thể đa về 1 (t) = = 0k k 2 a (e ikt + e -ikt ) = = Jj itX j ịtx Eepe j Với X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối tơng ứng là: P (X = 0) = a 0 P (X = k) = 2 a k (a k là thoả mãn vì a k o 1a 1k k = = ) Vậy 1 (t) là hàm đặc trng. * 2 (t) là hàm đặc trng. Ta có 2 (t) = = = = 0k 0k j itx ti k peea j k . = E e itX . Với X là biến ngẫu nhiên có phân phối tơng ứng là: P (X = 0) = a 0 P (X = k ) = a k (k 1) Vậy 2 (t) thoả mãn điều kiện hàm đặc trng. Mệnh đề đợc chứng minh. 1.6. Mệnh đề. Giả sử F(x), G(x) là các hàm phân phối f(t), g(t) là các hàm đặc trng t- ơng ứng. Khi đó R f(t) dG(t) = R g(u) dF(u) 5 Chứng minh: Theo công thức (2) xác định hàm đặc trng ta có: f(t) = R e itx dF(x) (*) g(t) = R e itx dG(x) (**) Do đó ta có: R f(t) dG(t) = R ( R e itx dF(x))dG(t) (thay (*) vào) = R ( R e itx dG(t))dF(x)) = R g(x) dF(x) (áp dụng (**) = R g(u) dF(u) (Tích phân không phụ thuộc vào ký hiệu biến) Vậy R f(t) dG(t) = R g(u)dF(u). Mệnh đề đợc chứng minh. 1.7.Mệnh đề. Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ ) a x 1( a 1 với ax f(x) = 0 với x > a Khi đó hàm đặc trng của X là (t) = 2 22 ta atcos1 Chứng minh: a.Theo công thức (2) xác định hàm đặc trng (t) = R e itx f(x) dx Ta có: Gọi 1 (t) là hàm đặc trng của f(x). Khi đó 1 (t) = R e itx f(x)dx = ax e itx f(x) dx + > ax e itx f(x) dx = ax ) a x 1( a e itx dx (theo cách xác định f(x)) = dx) a x 1( a e dx) a x 1( a e itx a 0 itx 0 a ++ 6 = dx) a x 1( a txcos dx) a x 1( a txcos a 0 0 a ++ + i ( dx) a x 1( a txsin dx) a x 1( a txsin a 0 0 a ++ ) = 2 dx) a x 1( a txcos a 0 áp dụng tích phần từng phần ta có: Đặt: u = 1- a x thì du = - dx a 1 dx = dx a txcos v = ta txsin Khi đó ta có: 1 (t) = 2(1 - ta txsin ) a x a 0 + 2 2 a 0 ta 1 sintx dx = 22 at txcos2 a 0 = 2 22 at atcos1 = (t) Vậy (t) là hàm đặc trng của X. Mệnh đề đợc chứng minh. 7 Đ2. Một số tính chất của hàm đặc trng. 2.1. Định lý. Giả sử X có hàm phân phối F và (t) là hàm đặc trng của nó. Khi đó: a. 1)0()t( = ; ))h(Re1(2)t()ht( + trong đó Rez là phần thực của z. b. (t) liên tục đều trên R c. (-t) = )t( d. (t) là hàm thực khi và chỉ khi X có phân phối đối xứng, nghĩa là X và -X có cùng phân phối hay tơng đơng P X (B) = P X (-B) B ò(R) e. Nếu X và Y độc lập thì: X+Y (t) = X (t) . Y (t) t R Do đó nếu X 1 , , X n độc lập thì: k k n 1k X n 1k X )t( = = = (t) t R (8) Chứng minh: a. * tXsinitXcosEEe)t( itX +== = 22 )tXsinE()tXcosE( + tXsinEtXcosE 22 + (Sử dụng E(X) (EX)) = )1(E = 1 = (0) * itXX)ht(i eEe)t()ht( =+ + = )1e(e ihXitX E 1ee ihXitX 2 ihX 2 itX 1eE.eE (*) = 2 Xsinhi1XcoshE + 8 = ))Xcosh1(2(E = ))t(Re1(2 ((*) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki E 22 YE.XEXY ) Ta có: 0 )Xcosh1(E2)h(Re1(2)t()ht( =+ Mà 1 - coshX 0 khi h 0 và 2)X(cosh1 Do đó theo định luật Lebesgue về hội tụ bị chặn suy ra E (1 - coshX) 0 khi h 0 Theo nguyên lý kẹp (t + h) - (t) 0 khi h 0 Suy ra (t) liên tục đều trên R. c, e dễ thấy. d. Trớc hết ta nhận thấy: Nếu X có phân phối đối xứng thì R sintx dF(x) = 0 Thật vậy: Do X có phân phối đối xứng nên có: F X (x) = F -X (x) = P(-X < x) = P(X > -x) = 1 - P(X < -x) = 1 - F X (-x) Suy ra: dF X (x) = - dF X (-x) Khi đó ta có: sin (-tx) dF(-x) = (-sintx) (-dF(x)) = sintx d F(x) Bằng phơng pháp đổi biến suy ra: R sintx dF(x) = 0 Mà (t) = Ee itX = E costX + iEsintX = R costx dF(x) + i R sintx dF(x) = R costx dF(x) R. 9 Vậy (t) là hàm thực. 2.2. Mệnh đề. Giả sử X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối P(X 1 = -1) = P(X 1 = 1) = 2 1 Khi đó hàm đặc trng của S n = X 1 + + X n là n S (t) = cos n t. Chứng minh: Theo mệnh đề 1.4 mỗi biến ngẫu nhiên X i đều có hàm đặc trng là: i X (t) = cost Vì X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập nên theo tính chất e ta có: n S (t) = )t( k X n 1k = = cos n t. Mệnh đề đợc chứng minh. 2.3. Mệnh đề. Giả sử (t) là hàm đặc trng với hàm phân phối tơng ứng F(x). Khi đó 2 )t( , n (t) đều là các hàm đặc trng. Chứng minh: * Trớc hết ta chứng minh 2 )t( là hàm đặc trng. áp dụng nhận xét (*) ta có: 2 )t( = (t) . )t( = (t) . (-t) Giả sử biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 độc lập cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X có hàm đặc trng (t). Khi đó: )t()t( 21 XX = = (t) Nên có )t( 21 XX = )XX(it 21 e = 21 itXitX .e = (t) . (-t)) Vậy 2 )t( là hàm đặc trng của hiệu hai biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với biến ngẫu nhiên X. * Tiếp theo ta chứng minh n (t) là hàm đặc trng . 10