Một vài tính chất và ứng dụng của khoảng cách hausdorff

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Như Thị Ngọc Ánh MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Như Thị Ngọc Ánh

MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Như Thị Ngọc Ánh

MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN QUANG HUY

Hà Nội – Năm 2017

iLời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Quang Huy đã tận tình hướng dẫn để em

có thể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo

em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, động viên và giúp đỡ em trong suốt quátrình học tập và thực hiện đề tài khóa luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Như Thị Ngọc Ánh

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luậnnày được hoàn thành bởi chính tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.Nguyễn Quang Huy Các kiến thức và tài liệu được trích dẫn trong khóaluận này là trung thực.

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Như Thị Ngọc Ánh

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Khái niệm khoảng cách giữa các tập hợp được nghiên cứu bởi

Haus-dorff Hiện nay, khoảng cách Hausdorff được sử dụng rộng rãi trong

lý thuyết và ứng dụng của nhiều lĩnh vực toán học bao gồm Giải

tích không trơn, Lý thuyết tối ưu, Phép tính biến phân Hơn nữa,

khái niệm này cũng được sử dụng để giải các bài toán xấp xỉ Khái

niệm khoảng cách Hausdorff còn có mối liên hệ gần gũi với lý thuyết

điểm bất động, tính đều, phủ và các tính chất liên quan đến phủ, tính

Lipschitz và giả Lipschitz của ánh xạ đa trị

Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất và ứng dụng

của khoảng cách Hausdorff đã được phát triển mạnh mẽ Tuy nhiên

khoảng cách Hausdorff trên lớp các tập hợp đặc thù có những tính

chất và ứng dụng riêng biệt, đây có thể coi là một chủ đề thú vị để

nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán học Vì vậy, sau

khi học xong các kiến thức về toán giải tích, với mong muốn được tìm

hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của

chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Một vài tính chất và ứng dụng

của khoảng cách Hausdorff ”

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số tính chất và ứng dụng của khoảng cách Hausdorff

trên một lớp các tập hợp có tính chất đặc thù và trong không gian

định chuẩn Áp dụng kết quả đưa ra một đặc trưng cho không gian

định chuẩn hữu hạn chiều và ánh xạ đa trị Lipschitz

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu tính chất và ứng dụng của khoảng cách Hausdorff; mối

tương quan giữa các điểm thuộc hai tập hợp với khoảng cách Hausdorff

giữa hai tập ấy Áp dụng vào nghiên cứu đặc trưng của không gian

định chuẩn hữu hạn chiều, ánh xạ đa trị Lipschitz và tính ổn định

trong lý thuyết tối ưu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Tính chất và ứng dụng của khoảng cách

Hausdorff Phạm vi nghiên cứu: Không gian metric, không gian định

chuẩn và khoảng cách Hausdorff

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp

cận và nghiên cứu vấn đề Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên

quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước có liên quan

đến vấn để mà khóa luận đề cập

Hà Nội, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Như Thị Ngọc Ánh

Chương 1

Khoảng cách Hausdorff

Trong chương này chúng ta trình bày khái niệm khoảng cách Hausdorff

và một số tính chất liên tục của ánh xạ đa trị

1.1 Kiến thức chuẩn bị

Cho Γ là một ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y

và cho x0 là điểm thuộc X Ta nói Γ là nửa liên tục dưới tại x0 nếutập mở G và G ∩ Γ(x0) 6= ∅ tồn tại lân cận U(x0) sao cho

Nếu Γ là ánh xạ đơn trị thì định nghĩa nửa liên tục dưới và nửa

liên tục trên đưa ra ở trên trùng với định nghĩa liên tục thông thường

Ta nói rằng Γ là nửa liên tục dưới trên X nếu nó nửa liên tục dưới

tại mọi điểm trên X Và ta nói Γ là nửa liên tục trên X nếu nó nửa

liên tục trên tại mọi điểm trên X

Ví dụ 1.1.1 Cho Γ là một ánh xạ từ X vào Y sao cho Γ(x) =

K(x0), ∀x ∈ X, K0 là tập compact trong Y Khi đó Γ là nửa liên tụcdưới và nửa liên tục trên do đó nó liên tục

Định lý 1.1 Điều kiện cần và đủ để Γ nửa liên tục dưới là với mỗi

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh

Do đó Γ là nửa liên tục dưới

Định lý 1.2 Điều kiện cần và đủ để Γ nửa liên tục trên là tâp Γ(x)

là tập compact với mỗi x với mỗi tập mở G trên Y thì tập Γ+(G) làtập mở,ở đó, với ánh xạ liên tục trên, ta định nghĩa Γ+(G) bởi

Γ+(G) = {x | x ∈ X : Γ(x) ∩ G}

Chứng minh Giả sử Γ là nửa liên tục trên Nếu Γ+(G) là rỗng thì nó

là tập mở Giả sử Γ+(G) 6= ∅ và cho x0 ∈ Γ+(G) Khi đó tồn tại lâncận U (x0) sao cho

x ∈ U (x0) ⇒ Γ(x) ⊂ G

Do đó Γ là nửa liên tục trên

Ánh xạ từ X đến Y là nửa liên tục trên có tính chất cơ bản như

sau:

Định lý 1.3 Nếu Γ là nửa liên tục trên thì ảnh Γ(K) của một tập

con compact K của X cũng là compact

Chứng minh Cho { Gi | i ∈ I } là một phủ mở của Γ(K) Nếu x ∈

K thì tập Γ(x) là compact có thể được phủ bởi một số hữu hạn các

tập Gi Gọi Gx là kí hiệu của hợp các tập trong một họ hữu hạn Do

đó (Γ+(Gx) | x ∈ K) là một phủ mở của K cho nên nó chứa phủ conhữu hạn Γ+(Gx1), Γ+(Gx2), , Γ+(Gxn) Các tập Gx1, Gx2, , Gxn phủΓ(K) nên Γ(K) được phủ bởi một số hữu hạn các tập Gi

Ta nói rằng Γ là ánh xạ đóng từ X đến Y nếu với mọi x0 ∈ X, y0

∈ Y , y0 ∈ Γ(x/ 0) ở đó tồn tại hai lân cận U (x0) và V (y0) sao cho x ∈

U (x0) ⇒ Γ(x) ∩ V (y0) = ∅

Xét sự biểu diễn P

x∈X

Γ(x) của Γ trên X × Y , nó là tập đóng nếu và

chỉ nếu Γ là ánh xạ đóng, điều kiện trên tương đương với

⇒y0 ∈ Γ(x0)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh

Chứng minh Tập biểu diễn của Γ là một tập đóng

Định lý 1.6 Mọi ánh xạ nửa liên tục trên đều đóng

Chứng minh Cho Γ là ánh xạ nửa liên tục trên từ X đến Y và giả

sử rằng y0 ∈ Γ(x/ 0) Vì Γ(x0) là compact do đó tồn tại một tập mở G

trên Y chứa Γ(x0) và một lân cận V (y0) sao cho

xạ nửa liên tục trên

Chứng minh Với mọi x ∈ X, tập Γ(x) là compact vì nó là tập đóng

chứa trong một tập compact Γ2 Cho G là một tập mở sao cho

Γ(x0) = Γ1(x0) ∩ Γ2(x0) ⊂ G

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một lân cận U (x0) sao cho ΓU (x0) ⊂ G.Nếu Γ2 ⊂ G thì ta luôn có điều phải chứng minh Giả sử Γ2(x0) ∩(−G) = K 6= ∅ Cho y là một điểm thuộc K, khi đó tồn tại lân cận

V (y) và Uy(x0) sao cho

Γ1Uy(x0) ∩ V (y) = ∅

Vì K là tập compact, do đó tồn tại các phần tử y1, y2, , yn trên K

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh

Vậy Γ là nửa liên tục dưới

Hệ quả 1.1 Nếu Y là không gian compact, một ánh xạ từ X đến Y

là đóng nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục trên

Chứng minh Nếu Γ là đóng và ∆ là ánh xạ sao cho ∆(x) = Y với mọi

x, do đó Γ = Γ ∩ ∆ là nửa liên tục trên (do ∆ là nửa liên tục trên)

Vậy hệ quả được suy ra từ Định lý 1.6

1.2 Khoảng cách Hausdorff

Cho A và B là hai tập đóng khác rỗng trong không gian X và viết

ρ(A, B) = sup {d(x, B) | x ∈ A} ,

ρ(B, A) = sup {d(y, A) | y ∈ B}

Trong đó, d(x, B) là khoảng cách từ một điểm x ∈ A đến tập B Hàm

số δ được định nghĩa bởi

δ(A, B) = max {ρ(A, B), ρ(B, A)} ,

được gọi là khoảng cách Hausdorff

Ta sẽ chứng minh rằng δ thỏa mãn những tính chất cần thiết của

một metric trong một họ T 0 của những tập đóng khác rỗng

(i) δ(A, B) ≥ 0; δ(A, B) = 0 ⇔ ρ(A, B) = 0

⇒ A ⊂ B do tính đổi xứng nên A = B

(ii) δ(A, B) = δ(B, A)

(iii) Phải chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta thấy rằng x ∈ A

và ε > 0 Khi đó tồn tại các điểm y ∈ B và z ∈ C sao cho

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh

Do đó

ρ(A, C) = sup

x∈A

d(x, C) ≤ δ(A, B) + δ(B, C)

Trong bất đẳng thức này, ta có thể đổi chỗ A và C cho nhau mà không

có sự thay đổi ở vế phải, do đó

δ(A, C) ≤ δ(A, B) + δ(B, C)

Như vậy, ta có thể coi T0 như một không gian metric với metric δ.Định lý 1.8 Cho X và Y là hai không gian metric, K0 là họ nhữngtập compact khác rỗng trên Y Γ là một ánh xạ từ X đến Y sao cho

với mỗi x, Γ(x) 6= ∅ Khi đó Γ là ánh xạ liên tục từ X tới Y nếu nó

là một ánh xạ đơn trị liên tục của X trong K0

Nếu Γ là ánh xạ liên tục từ X đến Y thì với mỗi ε > 0 tồn tại một sỗ

Ngược lại, giả sử rằng Γ là một ánh xạ đợn trị liên tục của X trên

K0 Cho G là tập mở con của Y chứa Γ(x0), khi đó tồn tại ε sao cho

x ∈ Bη(x0) ⇒ Γ(x) ⊂ Bε(Γ(x0)) ⊂ G

Do đó Γ là nửa liên tục trên Ngoài ra, nếu G là một tập mở có giao

với Γ(x0) khi đó tồn tại điểm y0 trên Γ(x0) ∩ G và một số ε sao cho

Bε(y0) ⊂ G, hơn nữa tồn tại η sao cho

x ∈ Bη(x0) ⇒ Γ(x) ∩ Bε(y0) 6= ∅ ⇒ Γ(x) ∩ G 6= ∅

Khi đó Γ là nửa liên tục dưới

Hệ quả 1.2 Nếu Γ là một ánh xạ liên tục được định nghĩa trên một

không gian metric đầy đủ X, Γ là một ánh xạ liên tục đều, khi đó với

mỗi ε > 0 tương đương với việc có một số η sao cho với mỗi cặp (x, x0)

ta có

d(x, x0) ≤ n ⇒ δ(Γ(x), Γ(x0)) ≤ ε

Nhận xét 1.1 Khoảng cách Hausdorff cho phép ta tối ưu hóa họ T 0của những tập đóng khác rỗng trên X Trong trường hợp X không là

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh

không gian metric, ta có những vẫn đề tổng quát hơn, đó là: chúng ta

có thể kết hợp với T0 một topo có cấu trúc sao cho việc nghiên cứutính liên tục của ánh xạ Γ với giá trị trên X được chuyển sang một

ánh xạ đơn trị với giá trị trên T0

Tính chất và ứng dụng

Trong chương này chúng ta trình bày một số tính chất và ứng dụng

của khoảng cách Hausdorff trong không gian định chuẩn

2.1 Khoảng cách Hausdorff giữa các tập thỏa mãn

điều kiện Bolzano-Weierstrass

Định lý 2.1 Cho M và N là những tập đóng, tập N thỏa mãn điều

kiện Bolzano-Weierstrass, tức là mọi dãy bị chặn trong N đều có một

dãy con hội tụ Khi đó

∀x ∈ M, ∃y ∈ N : ρ(x, y) ≤ h(M, N ) (2.1)

Chứng minh Đặt r = h(M, N )

Không mất tính tổng quát giả sử rằng r < ∞ Với x ∈ M theo định

nghĩa khoảng cách Hausdorff suy ra rằng với mỗi số tự nhiên n tồn tại

yn ∈ N sao cho ρ(yn, x) ≤ r + n1 Vậy {yn} bị chặn Do đó tồn tại dãycon {ynm} và một điểm y ∈ X sao cho {ynm} hội tụ tới y Theo giảthiết N là tập đóng do đó y ∈ N Chuyển qua giới hạn cho m → ∞

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh

trong bất đẳng thức: ρ(ynm, x) ≤ r + n1

m ta được ρ(x, y) ≤ r

Nhận xét 2.1 Rõ ràng, mọi tập compact đều thỏa mãn điều kiện

Bolzano-Weierstrass Hơn nữa nếu X = Rn định lý Bolzano-Weierstrasschỉ ra rằng mọi tập đóng N ⊂ Rn thỏa mãn điều kiện Bolzano-Weierstrass

Điều ngược lại không đúng Cụ thể hơn trong không gian vô hạn phần

tử với metric rời rạc điều kiện (2.1) được thỏa mãn với mọi tập đóng

M, N ; tuy nhiên, tồn tại một dãy bị chặn không có điểm hội tụ Thật

vậy, cho X là một tập vô hạn phần tử, ρ là một metric rời rạc trên X

Rõ ràng mọi tập con của X đều là tập đóng Hơn nữa h(M, N ) = 1

khi và chỉ khi M 6= N Vậy điều kiện (2.1) được thỏa mãn Cho {xn}

là dãy các phần tử sao cho xn 6= xm, ∀n 6= m Hiển nhiên dãy đó bịchặn nhưng không có điểm hội tụ nào

Trong giả thiết của Định lý 2.1 dấu bất đẳng thức trong (2.1) không

thể thay thế bằng dấu đẳng thức Hơn nữa trong ví dụ sau, mọi giả

thiết của Định lý 2.1 thỏa mãn, tuy nhiên

∀x ∈ M, ∀y ∈ N : ρ(x, y) < h(M, N )

Ví dụ 2.1.1 Cho X = L2, N = {0}

M = xn = (xn1, xn2, ) ∈ N ; xnn = 1 − n−1; xnj = 0; ∀j 6= n

Do đó h(M, N ) = 1, tuy nhiên, ρ(0, xn) = 1 − n−1 < 1 ∀n

Một ví dụ nữa trong không gian X thỏa mãn điều kiện

Bolzano-Weierstrass, tuy nhiên

Bây giờ ta giới thiệu một mệnh đề đảm bảo sự tồn tại của điểm

x ∈ M và y ∈ N sao cho khoảng cách giữa chúng trùng với khoảng

x∈M

inf

y∈Nρ(x, y)

, sup

y∈N

inf



Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh

2.2 Khoảng cách Hausdorff giữa các tập con của

không gian định chuẩn

Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa của Birkhoff-James về tính trực

giao trong không gian định chuẩn và chứng minh một vài mệnh đề bổ

trợ

Định nghĩa 2.1 Vector x được gọi là trực giao với vector y trong

không gian định chuẩn X, nếu

kxk ≤ kx + αyk ∀α ∈ R

Kí hiệu là x ⊥ y Một vector x được gọi là trực giao với không gian

con L ⊂ X, khi và chỉ khi

x ⊥ y ∀y ∈ L,

điều này tương đương với

Định nghĩa 2.2 Chuỗi {en}∞n=1 được gọi là trực chuẩn trong khônggian định chuẩn X, khi và chỉ khi với mọi n nguyên dương ta có

kenk = 1, en+1 ⊥ L (e1, e2, , en) (2.3)

Trong đó L(e1, e2, , en) là kí hiệu bao tuyến tính của hệ vector

e1, e2, , en

Bổ đề 2.1 Cho X là một không gian hữu hạn chiều và L là không

gian con của X, L 6= X Khi đó tồn tại x ∈ X sao cho x 6= 0 và

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh

với mọi v ∈ L Thêm nữa, x 6= 0 vì nếu trái lại thì y = v0 ∈ L mâuthuẫn với giả thiết y /∈ L

Bổ đề 2.2 Trong mọi không gian định chuẩn vô hạn chiều, luôn tồn

tại một chuỗi định chuẩn

Chứng minh Cho X là không gian định chuẩn vô hạn chiều, ta sẽ

chứng minh quy nạp theo k Trước tiên, ta chọn một vector đơn vị

theo e1 ∈ X Do X là không gian định chuẩn vô hạn chiều nên tồn tạimột vector f2 ∈ X sao cho e1, f2 là độc lộc tuyến tính Vì vậy L(e1)

là không gian con thực sự của không gian hữu hạn chiều L(e1, f2).Theo Bổ đề 2.1, tồn tại một vector e2 ∈ L(e1, f2) sao cho e1 ⊥ e2.Giả sử các vector đơn vị e1, , ek, fk+1 là độc lập tuyến tính Vì vậy,L(e1, , ek) là một không gian con thực sự của không gian hữu hạnchiều L(e1, , ek, fk+1) Theo Bổ đề 2.1 tồn tại một vector đơn vị

ek+1 ∈ L(e1, , ek) Bằng quy nạp, ta chứng minh được sự tồn tạicủa chuỗi trực chuẩn

Định lý 2.2 Trong không gian định chuẩn vô hạn chiều X, luôn tồn

tại những tập khác rỗng, đóng và bị chặn M , N sao cho

Kí hiệu M là tập tất cả các vector x ∈ X có thể biểu diến dưới dạng

tổng của một số chẵn các vector f1, f2, Sự biểu diễn này là duynhất vì các vector f1, f2, là độc lâp tuyến tính Với mọi x ∈ M kíhiệu m(x) là chỉ số lớn nhất trong tổng tương ứng

Tương tự ta kí hiệu N là tập tất cả các vector y ∈ X sao cho y có thể

biểu diễn dưới dạng tổng của một số lẻ các vector f1, f2, Với mọi

y ∈ N kí hiệu n(n) là chỉ số lớn nhất trong tổng tương ứng

Từ bất đẳng thức (2.5) suy ra M và N là các tập đóng Hơn nữa, ta

có

ky − xk ≥ 1 + 1

max {m(x), n(y)} > 1,

với mọi x ∈ M, y ∈ N tùy ý Giờ ta sẽ đánh giá khoảng cách Hausdorff

h(M, N ) Với mọi x ∈ M vector y = x + fk thuộc tập N với mọi

k > m(x) Hơn nữa ky − xk = kfkk → 1 khi k → ∞ Hoàn toàntương tự, với mọi y ∈ N vector x = y + fk thuộc tập M vói k > n(y).Hơn nữa kx − yk = kfkk → 1 khi k → ∞ Do đó h(M, N ) ≤ 1

Ta đã xây dựng được các tập đóng và bị chặn M ⊂ X và N ⊂ X sao

cho h(M, N ) < 1 và kx − yk > 1 với mọi x ∈ M, y ∈ N

Định lý (2.1) và(2.2) chỉ ra đặc điểm của không gian định chuẩn

hữu hạn chiều

Mệnh đề 2.2 Không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều khi và chỉ

khi với mọi tập con khác rỗng, đóng và bị chặn M ⊂ X và N ⊂ X, ta

có ràng buộc sau

∀x ∈ M, ∃y ∈ N : ρ(x, y) ≤ h(M, N )

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Như Thị Ngọc Ánh2.3 Ánh xạ đa trị Lipschitz

Sử dụng các kết quả trong phần trước, ta hãy so sánh hai định nghĩa

thông dụng của những ánh xạ đa trị Lipschitz thường sử dụng trong

Mệnh đề 2.3 (i) Nếu ánh xạ đa trị Γ : X ⇒ Y là β -Lipschitz thì

nó là β -Lipschitz theo nghĩa khoảng cách Hausdorff

(ii) Nếu ánh xạ đa trị Γ : X ⇒ Y là β-Lipschitz theo nghĩa khoảngcách Hausdorff thì với mọi ε > 0 ánh xạ này là (β + ε)-Lipschits

Trong Mệnh đề 2.3 trường hợp tổng quát không thể cho ε = 0 Ta

hãy xem xét ví dụ sau

Ví dụ 2.3.1 Cho X là một không gian vô hạn chiều theo Định lý

2.2 vừa chứng minh rằng luôn tồn tại các tập đóng và bị chặn khác