Báo cáo tóm tắt tổng kết đề tài khoa học công nghệ cấp bộ: Các đặc trưng của vành chính qui Von Neumann và các trường hợp tổng quát của vành và môđun nội xạ

Đề tài nghiên cứu đưa ra các đặc trưng của vành chính qui von Neumann, chính qui mạnh thông qua các trường hợp tổng quát của môđun nội xạ chính; nghiên cứu các trường hợp tổng quát của môđun nội xạ chính; đồng thời đưa ra các áp dụng của lớp môđun này vào lớp vành cổ điển.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÁO CÁO TÓM TẮT TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ CẤP BỘ TÊN ĐỀ TÀI CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA VÀNH CHÍNH QUI VON NEUMANN VÀ CÁC TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN NỘI XẠ MÃ SỐ: B2013-03-11 Chủ nhiệm đề tài: TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH ĐÀ NẴNG, 8/2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÁO CÁO TÓM TẮT TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ CẤP BỘ TÊN ĐỀ TÀI CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA VÀNH CHÍNH QUI VON NEUMANN VÀ CÁC TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN NỘI XẠ MÃ SỐ: : B2013-03-11 Xác nhận quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài TS Trương Cơng Quỳnh ĐÀ NẴNG, 8/2016 DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI TS Trương Công Quỳnh, Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng GS TS Lê Văn Thuyết, Đại học Huế TS Lê Đức Thoang, Trường ĐHSP Phú Yên TS Bành Đức Dũng, Trường ĐHGTVT-TPHCM Ths Phan Thế Hải, Trường CĐSP Bà Rịa-Vũng Tàu Ths Phan Hồng Tín, Trường CĐCN Huế Ths Lương Thị Minh Thủy, Trường ĐHSP Huế i THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thơng tin chung: - Tên đề tài: Các đặc trưng vành qui Von Neumann trường hợp tổng quát vành môđun nội xạ - Mã số: B2013-03-11 - Chủ nhiệm: TS Trương Công Quỳnh - Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Sư Phạm-Đại học Đà Nẵng - Thời gian thực hiện: 24 tháng Mục tiêu: Đưa đặc trưng vành qui von Neumann, qui mạnh thơng qua trường hợp tổng qt mơđun nội xạ Nghiên cứu trường hợp tổng qt mơđun nội xạ Đồng thời đưa áp dụng lớp môđun vào lớp vành cổ điển Tính sáng tạo: Các kết đề tài làm rõ số kết lý thuyết vành môđun góp phần làm phong phú thêm cấu trúc đại số Kết nghiên cứu: - Đưa đặc trưng tính quy các đồng cấu liên quan tính "xạ ảnh" chúng - Đặc trưng quy nhóm Hom thơng qua tính chẻ địa phương đồng cấu - Đưa đặc trưng tính nửa quy nhóm Hom cấu trúc ∆, ∇ với tính chất ảnh hạt nhân nhóm Hom - Nghiên cứu tính quy mơđun thương thơng qua lớp môđun mở rộng môđun phần phụ - Đặc trưng lớp vành nửa nguyên sơ, vành quy thông qua lớp môđun mở rộng giả nội xạ nghiên cứu - Đặc trưng vành giả GP-nội xạ với điều kiện dây chuyền iđêan cực đại vành tự đồng cấu môđun giả qgp-nội xạ Sản phẩm: báo khoa học • Kosan, M Tamer; Quynh, Truong Cong, On essential extensions of direct sums of either injective or projective modules, J Algebra Appl 13 (2014), 1450038, pp ii • Truong Cong Quynh and Nguyen Van Sanh (2014), “On quasi pseudo-GP-injective rings and modules”, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 37(2), 321-332 • Truong Cong Quynh (2013), “On pseudo semi-projective modules”, Turkish Journal of Mathematics, 37, 27 - 36 • Truong Cong Quynh and Phan Hong Tin (2013), “Some properties of e-supplemented and e-lifting modules”, Vietnam Journal of Mathematics, 41(3), 303-312 • Truong Cong Quynh, M Tamer Kosan and Phan The Hai (2013), “A Note on regular Morphisms”, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp., 41, 249-260 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết nghiên cứu khả áp dụng: Đề tài dùng để làm tài liệu tham khảo cho nghiên cứu sinh cao học Cơ quan chủ trì Đà Nẵng, Ngày tháng năm 2016 Chủ nhiệm đề tài iii INFORMATION ON RESEARCH RESULTS General information: - Project title: On characterizations of von Neumann regular rings and generalizations of injective rings and modules - Code number: B2010-ĐN-03-50 - Coordinator: Ph.D Truong Cong Quynh - Implementing institution: Da Nang University of Education - Duration: from 1/2013 to 12/2014 Objective(s): We give some characterizations of von Neumann regular, strongly regular via general principally injective We study some general principally injective Moreover, we also give some characterizations of classical rings via this class of modules Creativeness and innovativeness: The results of the research to clarify some of the results of rings and modules theory and contribute the abundant algebraic structures Research results: - Characterizations of regularity of homomorphisms with "projectivity" of them - Characterizations of regularity of Hom group by local splitting of homomorphisms - Give some properties about regularity of Hom group and substructures of ∆, ∇ with kernels and images - Study some properties of factor modules via general supplemented modules - We characterize of semiprimary rings, regular rings via general principally pseudo-injective are studied - Characterizations of pseudo GP-injective rings with condition chains of maximal ideals of its endomorphism rings Products: papers • Kosan, M Tamer; Quynh, Truong Cong, On essential extensions of direct sums of either injective or projective modules, J Algebra Appl 13 (2014), 1450038, pp • Truong Cong Quynh and Nguyen Van Sanh (2014), “On quasi pseudo-GP-injective rings and modules”, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 37(2), 321-332 iv • Truong Cong Quynh (2013), “On pseudo semi-projective modules”, Turkish Journal of Mathematics, 37, 27 - 36 • Truong Cong Quynh and Phan Hong Tin (2013), “Some properties of e-supplemented and e-lifting modules”, Vietnam Journal of Mathematics, 41(3), 303-312 • Truong Cong Quynh, M Tamer Kosan and Phan The Hai (2013), “A Note on regular Morphisms”, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp., 41, 249-260 Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: Direction for Doctor of Philosophy and Masters students MỞ ĐẦU Năm 1940, Baer đưa tiêu chuẩn quan trọng để kiểm tra tính nội xạ mơđun Từ có tiêu chuẩn Baer kiểm tra tính nội xạ, có hai hướng mở rộng nội xạ tồn Hướng thứ mở rộng theo tiêu chuẩn Baer Năm 1952, Ikeda đưa khái niệm vành P-nội xạ F-nội xạ, tác giả nghiên cứu áp dụng chúng vào lý thuyết vành tựa Frobenius Tác giả Ikeda chứng minh vành tựa Frobenius vành cho Artin phải F-nội xạ phải Năm 1970, Bjork mở rộng kết tác giả Ikeda cho vành thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải Một số đặc trưng vành P-nội xạ trường hợp tổng quát nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu vành môđun thu nhiều kết quả: Rutter (1975), Ming (1978), Chen-Ding (2001), Shen-Chen (2006) Hướng thứ hai mở rộng nội xạ theo định nghĩa gốc Năm 1961, tác giả Johnson-Wong nghiên cứu lớp môđun tựa nội xạ đưa mối liên hệ môđun tựa nội xạ vành tự đồng cấu Cụ thể tác giả môđun tựa nội xạ bất biến qua tự đồng cấu bao nội xạ Hơn nữa, vành tự đồng cấu môđun tựa nội xạ vành nửa quy vành thương Jacobson vành tựa nội xạ Từ tính chất "tốt" lớp mơđun tựa nội xạ, tác giả Jain- Singh (1967) nghiên cứu trường hợp tổng quát lớp môđun giả nội xạ đưa đặc trưng lớp mơđun Hơn nữa, tính quy vành tự đồng cấu môđun giả nội xạ xem xét Sau có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu đưa đặc trưng khác lớp môđun này: Hai (2005), Alahmadi- Er- Jain (2005) Tuy nhiên, tính bất biến mơđun qua tự đồng cấu tự đẳng cấu bao nội xạ chưa xem xét Như biết đặc trưng đẹp vành nửa đơn Artin chứng minh Osofsky là: Một vành nửa đơn Artin môđun phải (hoặc trái) xyclic nội xạ Kết thu hút nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Năm 1973, Michler Villamayor nghiên cứu trường hợp tổng quát vành nửa đơn Artin V-vành, theo vành gọi V-vành phải môđun phải đơn nội xạ Các cấu trúc lớp vành đưa Năm 1978, Ming quan tâm đặc trưng vành mà môđun phải đơn (suy biến) P-nội xạ Đây lớp vành mở rộng V-vành Từ tác giả đưa nhiều đặc trưng lớp vành nửa đơn Artin, quy, quy mạnh Tiếp tục công việc Ming, tác giả Kim, Nam, Chen, Ding tìm cách đưa đặc trưng lớp vành thông qua môđun điều kiện yếu họ thu số kết làm sáng tỏ thêm cấu trúc vành cổ điển Tuy nhiên, tác giả chưa mối liên hệ vành quy vành tự đồng cấu môđun M mà môđun phải đơn (suy biến) M -nội xạ Nếu thực điều này, có cấu trúc hồn chỉnh tính quy cho lớp mô đun phạm trù σ[M ] Năm 1999, Zhang chứng minh vành quy môđun GP-nội xạ Kết mở rộng kết tác giả Ming, Chen cho trường hợp P-nội xạ Các kết đặc trưng vành quy thông qua lớp môđun mở rộng môđun nội xạ Tuy nhiên mối liên hệ vành quy vành tự đồng cấu mơđun M mà môđun phải M -tổng quát nội xạ chưa tác giả giải Năm 1972, Zelmanowitz tổng quát khái niệm vành quy von Neumann cho môđun Tác giả đưa đặc trưng mơđun quy với lớp môđun hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp Năm 2004, Kach Mader xem xét khái niệm vành mơđun quy von Neumann tính quy đồng cấu Các kết biết vành mơđun quy tác giả tổng quát hóa nhiều đặc trưng khác đưa nghiên cứu Vấn đề thu hút nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu chẳng hạn Nicholson (2007), Zhou (2009), Lee (2010) Tuy nhiên, vấn đề tính quy Hom(M, N ) thông qua trường hợp tổng quát môđun nội xạ nội xạ (chẳng hạn mơđun C2, GC2) chưa giải Hiện nhiều tác giả ngồi nước quan tâm nghiên cứu tính quy vành thông qua trường hợp nội xạ mối liên hệ vành tự đồng cấu môđun mà môđun thỏa mãn điều kiện mở rộng nội xạ Vì vấn đế mang tính thời cần nghiên cứu Mục đích làm sáng tỏ thêm cấu trúc vành mơđun góp phần vào phát triển chuyên ngành Đại số CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm liên quan đến nội dung đề tài Sau số khái niệm kết tiêu biểu 1.1.2 Môđun nội xạ trường hợp tổng quát Môđun U gọi nội xạ theo M (hay U M -nội xạ) với đơn cấu ι : N −→ M đồng cấu f : N −→ U tồn đồng cấu g : M −→ U cho f = g · ι Môđun U gọi tự nội xạ U U -nội xạ Môđun U gọi nội xạ U M -nội xạ, với M ∈ Mod-R Một cách để kiểm tra mơđun có nội xạ hay không, thường dùng tiêu chuẩn sau: Tiêu chuẩn Baer (để kiểm tra tính nội xạ môđun): Môđun N nội xạ với iđêan phải I R, đồng cấu f : I −→ N tồn đồng cấu f¯ : RR −→ N cho f¯ι = f , ι : I → RR đơn cấu tắc Nhờ tiêu chuẩn Baer này, nhiều nhà toán học định nghĩa lớp môđun F-nội xạ, P-nội xạ, AGP-nội xạ Môđun N gọi P-nội xạ (F-nội xạ) với iđêan phải (t.ư, hữu hạn sinh) I R, đồng cấu f : I −→ N mở rộng thành đồng cấu g : RR −→ N Môđun N gọi GP-nội xạ với = a ∈ R, tồn số tự nhiên n cho an = đồng cấu f : an R −→ N mở rộng đến đồng cấu g : RR −→ N Định nghĩa 1.1.1 Vành R gọi tự nội xạ phải (t.ư, F-nội xạ phải, P-nội xạ phải, GP-nội xạ phải, tự nội xạ đơn phải) RR môđun nội xạ (t.ư, F-nội xạ, P-nội xạ, GP-nội xạ, nội xạ đơn) 1.2 Vành quy trường hợp tổng quát Liên quan đến khái niệm liên tục, chúng tơi muốn nhắc đến khái niệm quy (theo nghĩa von Neumann vành) Phần tử a vành R gọi quy thỏa mãn điều kiện tương đương sau đây: (i) Tồn phần tử x ∈ R thỏa mãn axa = a (ii) RR = aR ⊕ T với T iđêan phải R (iii) R R = Ra ⊕ L với L iđêan trái R Vành R gọi quy phần tử R quy Vành R gọi vành nửa quy R/J(R) vành quy lũy đẳng nâng modulo J(R) Định nghĩa 1.2.5 Cho MR NR môđun Đồng cấu α ∈ [M, N ] gọi quy tồn β ∈ [N, M ] cho α = αβα Mơđun [M, N ] gọi quy α ∈ [M, N ] quy Mơđun MR gọi quy [M, R] quy Rõ ràng End(M ) vành quy [M, M ] quy Bổ đề 1.2.6 Cho α ∈ [M, N ] quy, nói cách khác α = αβα với β ∈ [N, M ] Khi điều kiện sau thỏa Định lý 2.1.2 Giả sử M N -nội xạ Khi điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] quy (2) [M, α(M )] quy với α ∈ [M, N ] (3) Với α ∈ [M, N ], với đồng cấu f : M → α(M ) g : α(M ) → α(M ), tồn đồng cấu h : α(M ) → M cho f h = g α(M ) g M  | f / α(M ) /0 Cho Q N môđun Đồng cấu h : Q −→ N gọi chẻ địa phương cho x0 ∈ h(Q) tồn đồng cấu h : N −→ Q cho h(h (x0 )) = x0 Định lý sau đưa đặc trưng quy [M, N ] thơng qua tính chẻ địa phương đồng cấu Định lý 2.1.5 Cho M N môđun Nếu M hữu hạn sinh, điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] quy (2) Mỗi đồng cấu từ môđun M -sinh vào N chẻ địa phương (3) Mỗi đồng cấu M −→ N chẻ địa phương Cho M R-môđun phải M gọi quy theo nghĩa Zelmanowitz cho m ∈ M , tồn đồng cấu f : M −→ R cho m = mf (m) Cho M = R, theo định nghĩa ta có hệ sau Hệ 2.1.6 Cho N mơđun Khi điều kiện sau tương đương: (1) N mơđun quy theo nghĩa Zelmanowitz (2) Mỗi đồng cấu từ mơđun vào N chẻ địa phương (3) Mỗi đồng cấu R −→ N chẻ địa phương Ví dụ sau điều kiện "M hữu hạn sinh" khơng thể bỏ định lý Ví dụ 2.1.7 Cho A = a/pn ∈ Q|a ∈ Z, n ∈ N} nhóm Q với nhóm Z Ta có nhóm thương A/Z kí hiệu Zp∞ Khi Zp∞ khơng hữu hạn sinh Z-môđun Đặt M = N = Zp∞ Khi [M, N ] khơng quy Từ bổ đề ta có kết sau Định lý 2.1.9 Các điều kiện sau tương đương môđun M N : (1) [M, N ] quy (2) N M -xạ ảnh trực tiếp môđun M -sinh hữu hạn N hạng tử trực tiếp N Ta nói mơđun H gọi N -nội xạ hạn chế đến M α ∈ [M, N ], đồng cấu từ α(M ) đến H mở rộng đến N Mơđun H gọi M -xạ ảnh hạn chế đến N toàn cấu p : M −→ A, A ≤ N đồng cấu f : H −→ A, tồn đồng cấu g : H −→ M cho pg = f Định lý 2.1.10 Cho M, N mơđun Khi [M, N ] quy H vừa N -nội xạ hạn chế đến M vừa M -xạ ảnh hạn chế đến N với môđun H với e2 Vành R gọi P P phải với a ∈ R, r(a) = eR = e ∈ R 2.2 Đồng cấu nửa quy Định lý sau mở rộng kết Nicholson Zhou Định lý 2.2.2 Cho M N môđun Nếu M vừa (GC2) vừa N -nội xạ trực tiếp, điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] nửa quy [M, N ] = J[M, N ] (2) Ker(α) nằm hạng tử trực tiếp M với α ∈ [M, N ] Định lý sau đối ngẫu với Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.3 Cho M N môđun Nếu N vừa (GD2) vừa M -xạ ảnh trực tiếp, điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] nửa quy J[M, N ] = [M, N ] (2) Im(α) nằm hạng tử trực tiếp M với α ∈ [M, N ] Định lý 2.2.4 Cho M N môđun Giả sử M vừa liên tục tổng quát vừa N -nội xạ trực tiếp Khi [M, N ] nửa quy J[M, N ] = [M, N ] Trường hợp M = N định lý ta có hệ sau Hệ 2.2.5 Cho M mơđun liên tục Khi EM nửa quy J(EM ) = {α ∈ S = End(M )| Ker(α) ≤e M } Chúng ta có định lý sau đối ngẫu sau Định lý 2.2.6 Cho M N môđun Giả sử N vừa rời rạc tổng quát vừa M -xạ ảnh trực tiếp Khi [M, N ] nửa quy J[M, N ] = [M, N ] Với M = N , ta có hệ sau Hệ 2.2.7 Nếu M môđun rời rạc, EM nửa quy J(EM ) = {α ∈ S = End(M )| Im(α) M } Định lý 2.2.9 Cho M N môđun Nếu M vừa (GC2) vừa N -nội xạ, điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] nửa quy (2) Ker(α) nằm hạng tử trực tiếp M với α ∈ [M, N ] Chúng ta có định lý đối ngẫu sau đây: Định lý 2.2.11 Cho M N môđun Nếu N vừa (GD2) vừa M -xạ ảnh, điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] nửa quy (2) Im(α) nằm hạng tử trực tiếp M với α ∈ [M, N ] Định lý sau mở rộng kết Nicholson Yousif Định lý 2.1.12 Cho M N mơđun Nếu N xạ ảnh, điều kiện sau tương đương: (1) [M, N ] nửa quy (2) N/K có phủ xạ ảnh với môđun M -sinh hữu hạn K N Định lý 2.2.14 Giả sử môđun M T -đối suy biến tương môđun N Nếu N rời rạc tổng quát môđun M -xạ ảnh trực tiếp, [M, N ] quy Cho M N môđun I EM − EN song môđun [M, N ] [M, N ] gọi I-chính quy với f ∈ [M, N ] tồn g ∈ [N, M ] cho f gf − f ∈ I Cho X ≤ [M, N ], Ker(X) = {Ker(g)|g ∈ X} gọi mơđun M -linh hóa tử M Định lý 2.2.15 Cho M N môđun Nếu M N -nội xạ M thỏa mãn ACC môđun M -linh hóa tử M , [M, N ] [M, N ]-chính quy Chúng ta có định lý đối ngẫu sau: Định lý 2.2.16.Cho M N môđun Nếu N M -xạ ảnh N thỏa mãn DCC {Im(α)|α ∈ [M, N ]}, [M, N ] [M, N ]chính quy Cho M N môđun Ta sử dụng kí hiệu sau r.U (EN ) = {t ∈ EN |∃t l.U (EN ) = {t ∈ EN |∃t r.U (EM ) = {s ∈ EM |∃s l.U (EM ) = {s ∈ EM |∃s ∈ EN , tt = 1N } ∈ EN , t t = 1N } ∈ EM , ss = 1M } ∈ EM , s s = 1M } Định lý 2.2.21 Những điều kiện sau tương đương môđun M N : (1) dãy f0 EM ≥ f1 EM ≥ ≥ fn EM ≥ EN f0 ≥ EN f1 ≥ ≥ EN fn ≥ dừng, với gi ∈ [N, M ], fi ∈ [M, N ] fi+1 = fi −fi gi fi (2) Với gi ∈ [N, M ] fi ∈ [M, N ], đặt fi+1 = fi − fi gi fi Khi ta có dãy (a) Im(f0 ) ≥ Im(f1 ) ≥ ≥ Im(fn ) ≥ ; (b) Ker(f0 ) ≤ Ker(f1 ) ≤ ≤ Ker(fn ) ≤ dừng Trong trường hợp [M, N ] J[M, N ]-chính quy Ta nhận thấy EM hay EN không chứa tập vô hạn phần tử lũy đẳng trực giao r.U (EM ) = l.U (EM ) r.U (EN ) = l.U (EN ) Hệ 2.2.22 Cho M N môđun, với T = End(N ) S = End(M ) Giả sử EM hay EN không chứa tập vô hạn phần tử lũy đẳng trực giao Khi điều kiện sau tương đương: (1) Với gi ∈ [N, M ], f0 ∈ [M, N ], fi+1 = fi − fi gi nfi , dãy 10 f0 EM ≥ f1 EM ≥ ≥ fn EM ≥ dừng (2) Với gi ∈ [N, M ], f0 ∈ [M, N ], fi+1 = fi − fi gi fi , dãy EN f0 ≥ EN f1 ≥ ≥ EN fn ≥ dừng (3) Với gi ∈ [N, M ], f0 ∈ [M, N ], fi+1 = fi − fi gi fi , có dãy sau (a) Im(f0 ) ≥ Im(f1 ) ≥ ≥ Im(fn ) ≥ ; (b) Ker(f0 ) ≤ Ker(f1 ) ≤ ≤ Ker(fn ) ≤ dừng 2.3 Tính quy mơđun số lớp mơđun khác Trước hết, gọi môđun N M e-đối cốt yếu M (ký hiệu N e M ), N + L = M với L ≤e M suy L = M Cho N, L môđun M Môđun L gọi e-phần phụ N M M = N + L N ∩ L e L Một môđun M gọi e-phần phụ mơđun M có e-phần phụ M Cho M môđun Ký hiệu Rade (M ) = {N ≤e M | N cực đại M } Khi Rade (M ) = {N | N e M } Trong phần xét điều kiện dây chuyền môđun e-đối cốt yếu Hơn số đặc trưng môđun Artin nghiên cứu Từ thu đặc trưng quy vành thương R/J(R) Trước hết có đặc trưng Rade (M ) xác định dây chuyền tăng môđun e-đối cốt yếu Định lý 2.3.3 Các điều kiện sau tương đương môđun M: (1) Rade (M ) môđun Nơte 11 (2) M thỏa mãn điều kiện ACC môđun e-đối cốt yếu Mệnh đề 2.3.4 Các điều kiện sau tương đương mơđun M : (1) Rade (M ) có chiều Goldie hữu hạn (2) Mỗi môđun e-đối cốt yếu M có chiều Goldie hữu hạn tồn số nguyên dương k cho udim N ≤ k cho N e M (3) M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun e-đối cốt yếu Định lý 2.3.5 Các điều kiện sau tương đương môđun M: (1) Rade (M ) môđun Artin (2) Mỗi môđun e-đối cốt yếu M Artin (3) M thỏa mãn điều kiện DCC môđun e-đối cốt yếu Một môđun N M gọi e-nửa cực đại N = ∩ni=1 Li với Li môđun cực đại cốt yếu M cho i = 1, , n Mệnh đề 2.3.6 Các điều kiện sau tương đương môđun M: (1) M môđun Artin (2) M thỏa mãn điều kiện DCC môđun e-đối cốt yếu M môđun e-nửa cực đại M (3) M thỏa mãn điều kiện DCC môđun e-đối cốt yếu M Rade (M ) môđun e-nửa cực đại M 12 Định lý 2.3.7 Cho M mơđun Khi M Artin môđun M e-phần phụ nhiều thỏa mãn điều kiện DCC môđun e-phần phụ e-đối cốt yếu M Mệnh đề 2.3.9 Nếu M môđun e-phần phụ thỏa mãn điều kiện ACC môđun e-đối cốt yếu M , mơđun thương M/A với mơđun A M CHƯƠNG MÔĐUN GIẢ NỘI XẠ CHÍNH VÀ ĐỐI NGẪU CỦA NĨ Nội dung chương bao gồm kết nghiên cứu tính chất quy vành mơđun thơng qua lớp mơđun tổng qt mơđun nội xạ Hơn nữa, trường hợp đối ngẫu lớp môđun tổng quát mơđun nội xạ xét đến Từ chúng tơi thu số kết vành tự đồng cấu 3.1 Mơđun giả nội xạ Trong phần chúng tơi nghiên cứu đặc trưng lớp môđun tổng quát lớp mơđun nội xạ Một số đặc trưng lớp vành nửa ngun sơ, vành quy thơng qua lớp môđun nghiên cứu 3.1.1 Vành môđun giả QP −nội xạ Định nghĩa 3.1.1 (1) Một R-môđun phải N gọi M -nội xạ (viết tắt, M − p−nội xạ) đồng cấu từ mơđun M -cyclic M vào N mở rộng đến đồng cấu từ M vào N Một R-môđun phải M gọi tựa nội xạ (viết tắt, qp-nội xạ) M M − p−nội xạ Vành R gọi vành P -nội xạ phải RR qp-nội xạ (2) Một R-môđun phải N gọi giả M -nội xạ với mơđun A M đơn cấu α : A → N 13 mở rộng đến đồng cấu M → N Một R-môđun phải M gọi giả nội xạ M giả M -nội xạ (3) Một môđun N gọi giả M − p−nội xạ đơn cấu từ môđun M -cyclic M vào N mở rộng đến đồng cấu từ M vào N Một môđun M gọi tựa giả nội xạ (viết tắt, giả qp-nội xạ) M giả p-nội xạ Vành R gọi giả P -nội xạ RR giả qp-nội xạ Ta có quan hệ sau: M -p-nội xạ → giả M -p-nội xạ | M -nội xạ ↓ giả M -nội xạ Ví dụ sau chứng tỏ chiều ngược lại khơng Ví dụ 3.1.2 (1) Cho R = F0 FF với F trường, MR = F F N = 0 Khi R 0 0F (i) N M -nội xạ giả M -p-nội xạ (ii) N M -p-nội xạ (2) Cho Z vành số nguyên Khi Z-mơđun Z /2 Z giả Z −p-nội xạ Z −p-nội xạ (3) Cho R = {(xn )n∈N | hầu hết phần tử xn a ∈ Z2 trừ số hữu hạn} Khi đó, RR giả RR -nội xạ không RR -nội xạ Định lý 3.1.8 Các điều kiện sau tương đương với môđun M với S = End(M ): (1) M giả qp-nội xạ (2) Nếu Ker(f ) = Ker(g) với f, g ∈ S Sf = Sg 14 (3) Nếu f ∈ S α, β : f (M ) → M đơn cấu, α = sβ với s ∈ S Định lý 3.1.9 Các điều kiện sau tương đương với vành R: (1) R vành giả P -nội xạ phải (2) Nếu r(x) = r(y) với x, y ∈ R Rx = Ry 3.1.2 Vành môđun giả QGP −nội xạ Định nghĩa 3.1.10 (1) Một R-mơđun phải M gọi nội xạ suy rộng (viết tắt, gp-nội xạ) = x ∈ R đó, tồn n ∈ N cho xn = R-đồng cấu từ xn R vào M mở rộng đến đồng cấu từ RR vào M Một vành R gọi GP -nội xạ phải RR gp-nội xạ (2) Một R-môđun phải N gọi giả M −gp−nội xạ đồng cấu = α ∈ End(M ), tồn n ∈ N cho αn = đơn cấu từ αn (M ) vào N mở rộng đến đồng cấu M vào N Một môđun M gọi giả qgp-nội xạ M giả M − gp−nội xạ Vành R gọi giả GP -nội xạ phải RR giả qgp-nội xạ Ta có mối quan hệ sau đây: qp-nội xạ ⇒ giả qp-nội xạ ⇒ giả qgp-nội xạ Ví dụ sau chứng tỏ chiều ngược lại không Ví dụ 3.1.11 (i) Cho R = {(xn )n∈N | hầu hết phần tử xn a ∈ Z2 trừ số hữu hạn} Khi đó, RR giả qp-nội xạ không qp-nội xạ 15 (ii) Cho K = F (y1 , y2 , ) L = F (y2 , y3 , ) với F trường ρ : K → L đẳng cấu qua ρ(yi ) = yi+1 ρ(c) = c với c ∈ F Cho K[x1 , x2 ; ρ] vành đa thức xoắn trái K mà xi k = ρ(k)xi với tất k ∈ K i = 1, Xét R = K[x1 , x2 ; ρ]/(x21 , x22 ) Khi RR giả gqp-nội xạ mà không giả qp-nội xạ Định lý 3.1.19 Nếu M giả qgp-nội xạ M thỏa mãn điều kiện GC2 Hệ 3.1.20 Nếu R vành giả GP -nội xạ phải RR thỏa mãn điều kiện GC2 Định lý 3.1.23 Cho M môđun giả qgp-nội xạ, tự sinh S = End(M ) Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) S vành hoàn chỉnh phải (2) Với s1 , s2 , ∈ S dãy Ker(s1 ) ≤ Ker(s1 s2 ) ≤ · · · dừng 3.2 Môđun giả qgp-nội xạ vành tự đồng cấu iđêan cực đại Trong phần nghiên cứu đặc trưng vành giả GP-nội xạ với điều kiện dây chuyền iđêan cực đại vành tự đồng cấu mơđun giả qgp-nội xạ Chúng ta tóm tắt kết mục sau: Mệnh đề 3.2.3 Cho M môđun giả qgp-nội xạ S = End(M ) Khi đó, với phần tử u S Au = {s ∈ S| Ker(s) ∩ Im(u) = 0} iđêan trái cực đại S chứa lS (Im(u)) 16 3.3 Về môđun giả M -xạ ảnh Trong phần chúng tơi nghiên cứu tính chất lớp mơđun đối ngẫu lớp mơđun giả qp-nội xạ đồng thời trường hợp tổng quát môđun s-xạ ảnh Một số đặc trưng vành quy, Artin, hồn chỉnh, thông qua lớp môđun đưa 3.3.1 Một số khái niệm Định nghĩa 3.3.1 Một R-môđun N gọi giả M -xạ ảnh cho tự đồng cấu ε M, toàn cấu p : M → ε(M ) tự đồng cấu f : N → ε(M ), tồn đồng cấu h : N → M cho ph = f h M ♣♣ ♣✠♣ p ♣♣ ♣ ♣♣ ♣N f ❄ ✲ ε(M ) ✲ ❄ tương đương nếu, cho tự đồng cấu ε M tự đồng cấu f : N → M/ Ker(ε), tồn đồng cấu h : N → M cho πh = f với π : M → M/ Ker(ε) toàn cấu tắc Một mơđun M gọi giả s-xạ ảnh M giả M -xạ ảnh 3.3.2 Một số kết khác môđun giả s-xạ ảnh Trong phần nghiên cứu số tính chất mơđun giả s-xạ ảnh vành tự đồng cấu Định lý 3.3.9 Cho M N môđun α ∈ [M, N ] Khi điều kiện sau tương đương α ∈ [M, N ]: 17 (1) α quy (2) α(M ) hạng tử trực tiếp N cho đồng cấu f : M → α(M ) g : α(M ) → α(M ), tồn đồng cấu h : α(M ) → M cho f h = g α(M ) g M  | f / α(M ) /0 Bây xét mối quan hệ chiều Goldie M vành tự đồng cấu Định lý 3.3.17 Giả sử M vật p-tự sinh giả s-xạ ảnh Khi MR có chiều Goldie hữu hạn SS có chiều Goldie hữu hạn Hơn nữa, trường hợp này, dim(MR ) = dim(SS ) Một áp dụng cho kết là: Ví dụ 3.3.18 Cho R vành với dim(RR ) = k, n số nguyên dương S vành tất matrận cấp n × n vành R Khi dim(SS ) = nk Tiếp theo có đặc trưng vành nửa đơn xác định tính giả s-xạ ảnh mơ đun Định lý 3.3.20 Các điều kiện sau tương đương vành R cho: (1) R vành nửa đơn (2) Mỗi môđun giả s-xạ ảnh xạ ảnh (3) Mỗi tổng trực tiếp họ môđun giả s-xạ ảnh xạ ảnh (4) Tổng trực tiếp hai môđun giả s-xạ ảnh xạ ảnh 18 Như biết vành R hoàn chỉnh phải R-mơđun phải có phủ xạ ảnh Chúng ta có kết tương tự cho môđun s-xạ ảnh Định lý 3.3.21 Các điều kiện sau tương đương với vành R cho: (1) R vành hồn chỉnh phải (2) Cho R-mơđun phải M , tồn tồn cấu f : N → M cho N giả s-xạ ảnh Ker(f ) N 19 Kết luận Đề tài bao gồm kết sau đây: Đưa đặc trưng tính quy các đồng cấu liên quan tính "xạ ảnh" chúng (Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2) Đặc trưng quy nhóm Hom thơng qua tính chẻ địa phương đồng cấu (Định lý 2.1.5) Đưa đặc trưng tính nửa quy nhóm Hom cấu trúc ∆, ∇ với tính chất ảnh hạt nhân nhóm Hom (Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9, Định lý 2.2.11) Nghiên cứu tính quy môđun thương thông qua lớp môđun mở rộng môđun phần phụ (Định lý 2.3.5, Mệnh đề 2.3.6, Định lý 2.3.7) Đặc trưng lớp vành nửa nguyên sơ, vành quy thơng qua lớp mơđun mở rộng giả nội xạ nghiên cứu (Định lý 3.1.8, Định lý 3.1.9, Mệnh đề 3.1.21 Định lý 3.1.23) Đặc trưng vành giả GP-nội xạ với điều kiện dây chuyền iđêan cực đại vành tự đồng cấu môđun giả qgp-nội xạ (Mệnh đề 3.2.1, Mệnh đề 3.2.2, Mệnh đề 3.2.3 Mệnh đề 3.2.6) Đề tài đặt số vấn đề mở: Nghiên cứu đặc trưng vành mà môđun cyclic (iđêan) giả GP-nội xạ Nghiên cứu áp dụng lớp vành GP-nội xạ giả GP-nội xạ lý thuyết vành tựa-Frobenius Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu để trả lời vấn đề nói 20 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG BÁO CÁO TÓM TẮT TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC CÔNG NGHỆ CẤP BỘ TÊN ĐỀ TÀI CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA VÀNH CHÍNH QUI VON NEUMANN VÀ CÁC TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN NỘI... 1.1.1 Vành R gọi tự nội xạ phải (t.ư, F -nội xạ phải, P -nội xạ phải, GP -nội xạ phải, tự nội xạ đơn phải) RR môđun nội xạ (t.ư, F -nội xạ, P -nội xạ, GP -nội xạ, nội xạ đơn) 1.2 Vành quy trường hợp tổng. .. minh vành quy môđun GP -nội xạ Kết mở rộng kết tác giả Ming, Chen cho trường hợp P -nội xạ Các kết đặc trưng vành quy thơng qua lớp môđun mở rộng môđun nội xạ Tuy nhiên mối liên hệ vành quy vành