Về các điều kiện (ci) của môđun và môđun liên tục

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI DANH HOAN VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN (Ci) CỦA MƠĐUN VÀ MƠĐUN LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC VINH – 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI DANH HOAN VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN (Ci) CỦA MÔĐUN VÀ MÔĐUN LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS TS NGÔ SỸ TÙNG VINH - 2010 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Các kí hiệu Chương Các kiến thức sở Môđun cốt yếu, mơđun đóng mơđun bé Môđun nội xạ, tựa nội xạ môđun xạ ảnh CS- môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục Môđun chiều đều(chiều Goldie) Môđun suy biến 10 Một số khái niệm khác 11 Chương 2: Về điều kiện (Ci ) môđun môđun liên tục 12 Các điều kiện (Ci ) môđun 12 Môđun liên tục 25 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 LỜI NĨI ĐẦU Lớp mơđun nội xạ lớp mơđun xạ ảnh hai lớp mơđun đóng vai trị trụ cột nghiên cứu lý thuyết môđun lý thuyết vành Các kết chúng cịn cơng cụ trực tiếp để nghiên cứu đại số đồng điều, tôpô đại số, đại số giao hoán… Với tầm quan trọng nên vấn đề mở rộng lớp môđun nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, đặc biệt mở rộng lớp môđun nội xạ Trong nghiên cứu mở rộng lớp môđun nội xạ, người ta đưa điều kiện sau môđun M (C1) Mỗi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M (C2) Với A B môđun M đẳng cấu với nhau, A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M (C3) Với A B hạng tử trực tiếp M, A  B  A  B hạng tử trực tiếp M Một môđun M gọi liên tục M thỏa mãn điều kiện (C1) (C2) M gọi tựa liên tục M thỏa mãn điều kiện (C1) (C3) Một môđun thỏa điều kiện (C1) gọi CS - môđun hay môđun extending Trong luận văn chúng tơi tìm hiểu, nghiên cứu mối liên hệ điều kiện (Ci), môđun liên tục chứng minh số tính chất chúng Luận văn gồm hai chương: Chƣơng : Các khái niệm sở Trong chương giới thiệu số kiến thức sở bao gồm: Các định nghĩa số tính chất mơđun cốt yếu, mơđun nội xạ, môđun xạ ảnh, môđun đều, CS - môđun, môđun suy biến Chƣơng : Về điều kiện (Ci) môđun môđun liên tục Trong chương giới thiệu số tính chất, điều kiện (Ci), mối liên hệ chúng Một số tính chất CS - môđun, (1 - C1) môđun, môđun liên tục, môđun tựa liên tục đồng thời chứng minh cách chi tiết chặt chẽ số kết lớp CS - môđun, môđun liên tục Luận văn thực từ tháng năm 2010 hoàn thành Đại học Vinh hướng dẫn tận tình PGS TS Ngơ Sỹ Tùng Nhân dịp này, chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người dành cho chúng tơi bảo tận tình nghiêm khắc đầy lịng nhân Tơi xin cảm ơn thầy giáo khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Vinh trang bị cho kiến thức vững chắc, tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn bạn học viên cao học khóa 16, chuyên ngành Đại số, trường Đại học Vinh giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận đóng góp, bảo thầy giáo, giáo bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CÁC KÝ HIỆU Trong luận văn ngoại trừ trường hợp đặc biệt nói rõ mục cịn lại chúng tơi ln giả thiết vành ln phát biểu vành kết hợp có đơn vị môđun môđun phải unita NM : N môđun môđun M N  e M : N môđun cốt yếu môđun M N  M : N hạng tử trực tiếp môđun M  Mi : Tổng trực tiếp môđun Mi, i  I J(R) : Căn Jacobson R Soc(M) : Đế môđun M r(m) : Linh hóa tử phải phần tử m r(M) : Linh hóa tử phải mơđun M ZR(M) : Môđun suy biến môđun M iI CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ SỞ Chương trình bày định nghĩa, kết liên quan đến nội dung khóa luận Các khái niệm, tính chất kí hiệu chúng tơi chủ yếu dựa vào tài liệu: N.V.Dung - D.V.Huynh P.F.Smith - R.Wisbauer[3] Mohamed - Muller[6] Các vành giả thiết vành kết hợp có đơn vị, môđun vành hiểu môđun phải unita Mơđun cốt yếu, mơđun đóng môđun bé 1.1 Định nghĩa Cho R vành M R môđun phải Xét N môđun M (a) Môđun N gọi cốt yếu (essential) M kí hiệu N  e M với môđun K  M, K  K  N  Nếu N môđun cốt yếu M, ta nói M mở rộng cốt yếu (essential extension) N (b) Mơđun N gọi đóng (closed) M N khơng có mở rộng cốt yếu thực Nói cách khác, N gọi đóng M với mơđun K M N  e K K = N (c) Môđun K M gọi bao đóng (closure) mơđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K (d) Một môđun B môđun M gọi bé (Hay đối cốt yếu) M ký hiệu B