về các điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương của a. d. ioffe

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THANH LOAN VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CỦA A. D. IOFFE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2011 Thái Nguyên, tháng 5 năm 2011 dimY < ∞ F 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f 0 (x), F (x) = 0, f i (x) ≤ 0, i = 1, , n, x ∈ S, f 0 , , f n S ⊂ X f i F z ∈ S f i F 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn z ∈ S S f z h −→ f 0 (z; h) = lim sup u→z t↓0 f(u + th) − f(u) t ∂f(z) = {x ∗ ∈ X ∗ : f 0 (z; h) ≥ x ∗ , h, ∀h ∈ X} = ∂f 0 (z; 0) f z d S (x) x S z ∈ S T S (z) = {h ∈ X|d 0 S (z, h) = 0} S z N S (z) = {x ∗ ∈ X ∗ |x ∗ , h ≤ 0, ∀h ∈ T S (z)} S z ∂d S (z) ⊆ N S (z) ∂d S (z) = N S (z), ∂d S (z) ∂d S (z) z F S U z x ∈ U ∩ S d Q (x) ≤ F (x) − F (z), Q = {x ∈ S|F(x) = F (z)}. 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn z F (z) = 0 I = {i ∈ {1, 2, , n}|f i (z) = 0}. M r (x) = max{f 0 (x) − f 0 (z), max i∈I f i (x)} + r(F (x) + d S (x)) M r (x) z z f(x), F (x) = 0, x ∈ S, f(x) = max{f 0 (x) − f 0 (z), max i∈I f i (x)}. q > 0 V z x ∈ V ∩ S u ∈ S f(u) ≥ f(z), F (u) = 0, x − u ≤ qF (x). 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn c > 0 F f V r 1 ≥ qc x ∈ V ∩ S u ∈ S f(x) ≥ f(x) − f(u) + f(z) ≥ −cx − u + f(z) ≥ −cqF (x) + f(z) ≥ −r 1 F (x) + f(z). z {f(x) + r 1 F (x) : x ∈ S}. z r 1 z x ∈ S d S (x) = 0 z d S (.) X f(x) + r 1 F (x) r 2 > 0 z {f(x) + r 1 F (x) + r 2 d S (x)}. r = max{r 1 , r 2 } f(x) z φ(x) f z φ(tx) = tφ(x), ∀t ≥ 0, ∀x ∈ X, lim sup t↓0 f(z + th) − f(z) − tφ(h) t ≤ 0, ∀h ∈ X. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... ối vợi S v ta suy ra iãu phÊi chựng minh 14 14S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng 2 iãu kiằn tối ữu kiu Levitin Miljutin - Osmolovskii Chữỡng ny trẳnh by cĂch tiáp cên iãu kiằn tối ữu kiu Levitin Miljutin - Osmolovskii cừa Ioffe [3] dỹa trản cổng cử LMO - xĐp x v nh lẵ quy gồn cừa ổng Vợi iãu kiằn chuân tưc mÔnh thẳ s khổng cõ sỹ sai khĂc vã tẵnh chĐt nghiằm... z Náu x z /2, h /2 thẳ x + th z vợi t (0, 1) Theo nh lẵ giĂ tr trung bẳnh Lebourg [6], tỗn tÔi t0 (0, 1) v x f (x + t0h) sao cho x , h = f (x + h) f (x) Do x A , cho nản s(h, A ) = s(h, A) + h f (x + h) f (x) Ta suy ra iãu kiằn (c) ữủc thọa mÂn Cho f l hm lỗi v > 0 Têp hủp f (x) = {x X |f (x) + f (x ) x , x + } (khĂc rộng náu x domf ) ữủc gồi l - dữợi vi phƠn cừa f tÔi x, trong... sao cho mồi hm h (x, h) (x, 0) ãu l dữợi tuyán tẵnh Chựng minh (b) (a) l hin nhiản Ta chựng minh chiãu ngữủc lÔi GiÊ sỷ(a) úng t (x, h) = dS (x) + 2dW (x) (h) Cố nh > 0 Theo nh nghắa, tỗn tÔi > 0 sao cho dS (x + u) dS (x) + u , 20 20S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn khi x z < , u W (x) v u < Khi õ, vợi h X, x X thọa mÂn tẳm ữủc u W (x) sao cho. .. iãu kiằn cƯn tối ữu cĐp 1 p dửng nh lẵ 1.1.1, cĂc mằnh ã 1.2.2 v 1.2.3 ta nhên ữủc nh lỵ 1.3.1 ([2]) GiÊ sỷ (a) Tỗn tÔi cĂc hm lỗi 0, 1, , n, , lƯn lữủt l xĐp x cĐp 1 cừa cĂc hm f0, f1, , fn, F (.) , dS (.) tÔi z v chúng liản tửc trứ ra nhiãu nhĐt mởt hm, (b) z l im chẵnh quy cừa F ối vợi S Khi õ, náu l nghiằm a phữỡng cừa (1.1) - (1.4) thẳ tỗn tÔi 0 0, , n 0, r > 0 sao cho 0 +, , +n =... suy ra tứ tẵnh chĐt cừa dữợi vi phƠn v liản hủp Fenchel Gồi k l hơng số Lipschitz cừa f LĐy k > > 0 v chồn thọa mÂn 0 < /2k sao cho (2.2) (x, h) + h f (x + h) khi x z , h Ta ch cƯn chựng minh (2.2) úng khi thay (x, h) bơng (x, h) Thêt vêy, lĐy x v h sao cho x z , h Theo nh nghắa (x, h) (x, h) Náu ng thực xÊy ra ối vợi x v h thẳ khng nh trản l úng Do õ, ta giÊ sỷ (x, h) < (x,... = ( ) > 0 sao cho f (x) A , khi x z ( ), trong õ A l - lƠn cên cừa A trong X 16 16S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Vẵ dử 2.4 GiÊ sỷ f nhữ Vẵ dử 2.3 v A X l têp hỳu hiằu a phữỡng cừa f tÔi z Khi õ, (x, h) = f (x) + s(h, A) l LMO - xĐp x cừa f tÔi z Thêt vêy, iãu kiằn (a), (b) trong nh nghắa 2.1.2 hin nhiản thọa mÂn LĐy > 0 v > 0 sao cho f (x) A náu... ra (a) (b) (c) Hin nhiản (a) (b) Khng nh 0 (z, 0) ữủc suy ra tứ Mằnh ã 2.1.4 v Mằnh ã 1.2.2 LĐy > 0 Theo nh nghắa, tỗn tÔi 0 > 0 sao cho (x, h) + khi x z 0 , h 0 h f (x + h) f (z) 2 Vợi mội x v h nhữ vêy, ta cõ p (x, h) f (z) + LĐy 0 < 0 sao cho vợi (2.6) h f (z) 2 x z , ta cõ f (x) f (z) + 0 2 Vợi mội x nhữ thá ta cõ p (x, 0) = f (x) f (z) + 0 2 Náu h = 0 thẳ bi (2.6) p... | y 1, F (z)y = h } v Mr cõ dÔng: n Mr (x) trong õ r i (x, h ) i i = max{ y , F (x) r i=0 l hồ tĐt cÊ cĂc bở u r (x, )}, r (0 , , n , h , , h , y , u ) n 0 sao cho v (0, , n, h, , h , F (z)y, u) n 0 Náu i v ữủc cho bi nhữ (2.11) thẳ Mr nh nghắa dữợi dÔng (2.16) những y r L(0 , , n , y , x) = 0 f0 (x) + + n fn (x) + y , F (x) v r chựa tĐt cÊ cĂc vc tỡ (0, , n, y) thọa mÂn (2.8),... , D sao cho 0 > 0 khi (2.8) v (2.19) thọa mÂn Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta giÊ sỷ A0 A0 (náu khổng ta thay A0 bi A0 A0 ) Ta nh nghắa i , v nhữ (2.11) Vẳ (a) úng nản hm n Mr = max r i fi (x) + r( F (x) + dS (x)) i=0 Ôt cỹc tiu a phữỡng tÔi z (theo Vẵ dử 2.6) vợi mồi > 0 v r > 0 ừ lợn Dạ thĐy (2.8), (2.13) thọa mÂn v > 0 ừ nhọ thẳ 0 > 0 Hỡn nỳa, ta cõ th tẳm ữủc > 0 v > 0 sao cho 0 ,... cừa f0, , fn+m, dS sao cho Aik = fi (z), i = 1, , n + m; k=0 Dk = dS (z), (2.24) k=0 32 32S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn v têp n+m (2.25) conv(Aik (Aik )) Ck = i=n+1 Khi õ, Ck l têp hỳu hiằu a phữỡng cừa F (.) tÔi z Ta chựng minh bơng phÊn chựng GiÊ sỷ kát luên l sai Khi õ, vợi mồi k = 1, 2, ã ã ã , tỗn tÔi ik 0, , nk 0, rk > 0 sao cho n 0 n ik Aik + rk . h a bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THANH LOAN VỀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO CỰC TIỂU. ƯU CHO CỰC TIỂU Đ A PHƯƠNG C A A. D. IOFFE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2011 Thái Nguyên, tháng 5 năm 2011 dimY < ∞ F 1Số h a bởi Trung tâm. f(x) + kh. φ f z A ⊂ X ∗ f z  > 0 δ = δ() > 0 ∂f(x) ⊆ A  x − z ≤ δ() A   A X ∗ 16Số h a bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f A ⊂ X ∗ f z φ(x,