Môđun liên tục

2.1. Các môđun liên tục.

2.1.1. Bổ đề. Một môđun tựa liên tục M là liên tục khi và chỉ khi đơn cấu

:

f MM với ảnh thực chất là một đẳng cấu.

Chứng minh. Kết luận chỉ khi là khá rõ ràng. Ngược lại, giả sử N  M và

M N

f :  là đơn cấu.

Vì M là tựa liên tục, M = A  B với fN eB. Do fN  N, B  N. Xét g: B  N là đẳng cấu. Khi đó:

M= A  B lg

A.N lf

A  B = M

Là một đơn cấu với ảnh A  fN e M. Theo giả sử, (l  f) (l  g) là một đẳng cấu. Do đó B = fN.

Như thế fN  M và (C2) đúng.

2.1.2. Mệnh đề. Xét M là môđun tựa liên tục, S = EndM.

 S e M



  :ker và J là căn Jacobson của S. Khi đó M liên tục khi và chỉ khi J và S/ đều.

Chứng minh. Điều kiện cần dễ thấy. Ngược lại, giả sử J và S/ đều. Xét

S



 là một đơn cấu với ảnh, thực chất tồn tại S sao cho . Kéo theo 1K0 với K e M nào đó. Do  là đơn cấu, K e M, như thế

K e M do M e M. Suy ra 1J và suy ra  là đơn vị trong S. Như thế  là đẳng cấu. Vậy M liên tục theo bổ đề 2.1.1

2.1.3. Định lý. Các kết luận dưới đây là tương đương. Cho một môđun M =

AM



(i) M liên tục

(ii) M tựa liên tục và các M liên tục

(iii) M liên tục và M đơn cấu với mọi i.

Chứng minh. (i) (ii) dễ dàng. Và (ii) tương đương với (iii). Ta chỉ cần chỉ ra

(ii) (i). Theo bổ đề 2.1.1, ta phải chỉ ra mọi đơn cấu thực chất f: M  M là đẳng cấu. đầu tiên chúng ta xét trường hợp tập chỉ số hữu hạn A= {1, …, n}.

ở đây ta có E(M) =    E M n 1   =    E fM n 1   . Ta chọn bao đóng C của fM

trong M. Do fM M  M. Ta có C M. Như thế ta được một đơn cấu thực chất M  fM e C M của M mà cũng là 1 đẳng cấu theo bổ đề 2.1.1. kéo theo fM C là một số hạng của M và là đóng.

Ta suy ra MEfM= fM. Do M là tựa liên tục, ta thu được

M = 1 n M   EfM=   fM n 1 

 = fM. Điều này hoàn tất chứng minh trong trường hợp hữu hạn.

Trong trường hợp chung, giả sử tồn tại một đơn cấu thực chất ánh xạ

f: M M mà không đẳng cấu. Bằng quy nạp ta sẽ xây dựng một dãy

n M

xn  - fM với n phân biệt tăng ngặt linh hóa tử 0

n

x . Điều này đúng với M.

Xét x1Mi được xây dựng với in.

 1,..., n.

A   M(A) fM rõ ràng là thực chất trong M(A). Suy ra M(A)

là bao đóng của M(A) fM trong M. Do fM Mlà tựa liên tục, M(A) fM có bao đóng khác, V, trong fM.

Giờ xét một bao đóng W của V trong M, khi đó

fM A

trong M . Ta có mọi bao đóngM(A), V, M đều là đẳng cấu chúng liên tục theo trường hợp hữu hạn đã được giải quyết ở trên. Như thế kết luận VeW kéo theo phép đơn cấu thực chất WW. Ta có V Wtheo bổ đề 2.1.1.

Do VM( A)0 và các môđun con đều là các số hạng, )

( A M

V  là một số hạng của M theo (C3).

NhưngV M(A) fM e M(A)VM(A) là thực chất trong M, kéo theo bằng M. Viết i y n V Z x   tương ứng. DoxnfM và V fM , tồn tại yi fM. Xét xn1làyivà n1 chỉ số i của nó. Rõ ràng n11,...,n. Hơn nữa xn1 (xn), với ánh xạ

1 ) ( :      n M A M V M   . Như thế 0 1 0   n n x x .Theo tính thực chất, tồn tạirR với 0 xnrM(A) fM V. Ta cóxn1r(xnr)0 và suy ra 0 0 1 n n x x r   . Hoàn tất phép xây dựng và chứng minh.

Ta chỉ ra rằng các môđun liên tục thỏa mãn kết luận của định lý Schroder - Bermtein.

2.1.4. Định lý. Xét M là môđun liên tục và N là môđun tựa liên tục. Nếu

N

M  và NM thì M N.

Chứng minh. Không mất tổng quát, ta giả sửNM. Xét :M N là phép đơn cấu. Do M liên tụcM  M và suy ra M  N. Viết N AMvà

... 2     A A  A  (thực tế tổng này là trực tiếp).

Khi đó   A. Do M là (tựa) liên tục, M PQvới  e P. Khi đó   A e AP

Do  , P AP theo bổ đề 2.32. Như thế

N A M      A P Q P Q M M

Hệ quả 3.18. Các môđun đẳng cấu con lẫn nhau là đẳng cấu.

2.2. Môđun u - liên tục và môđun u - tựa liên tục 2.2.1. Định nghĩa

a) Môđun M được gọi là u - liên tục nếu M là môđun liên tục đối với môđun con đều, nghĩa là M là môđun (1 - C1) và thoả mãn điều kiện (C2).

b) Môđun M được gọi là u - tựa liên tục nếu M là môđun tựa liên tục đối với môđun con đều, nghĩa là nếu M là môđun (1 - C1) và thoả mãn điều kiện (C3)

c) Một vành R được gọi là liên tục phải nếu Rr là liên tục, vành R được gọi là u - liên tục phải nếu Rr là u - liên tục.

2.2.2. Bổ đề. Nếu M là môđun u - liên tục (u - tựa liên tục ) thì mọi hạng tử trực tiếp của M cũng là môđun u- liên tục (u - tựa liên tục).

Chứng minh.Được suy ra từ Bổ đề 1.2.3.

2.2.3. Bổ đề. Cho môđun M i I Ui trong đó Ui là các môđun đều  i I.

Nếu A là một môđun con đóng của M thì tồn tại

  e

i F i

FI sao cho A  U  M

Chứng minh. Nếu A=M thì hiển nhiên tồn tại F 

Nếu AMdo đó A đóng nên tồn tại iIsao cho AUi 0. Lấy F là tập con tối đại của I với tính chất AUi 0.

Đặt V1  i F Ui và V2  i J Ui trong đó J = I/F. Do tính tối đại của F nên

 1 k 0

A V U   k J. Khi đó tồn tại aA a, 0sao choa x u. Trong đó xV u U u1,  k, 0. Do đó u   a x A V. Vì vậy Uk AV10

với mọi kJ. Từ [3, Proposition 3.6] ta có A V1 e M.

2.2.4. Mệnh đề. Nếu m là môđun u - liên tục (u - tựa liên tục), thì môđun con đóng có dạngX U là hạng tử trực tiếp của M, trong đó X là hạng tử trực tiếp của M và U là môđun đều.

Chứng minh. Giả sử A X Ulà môđun con đóng của M với X là hạng tử trực tiếp của M, U là môđun đều và M X M1 với M1 là môđun con nào đó của M.

Xét phép chiếu :MM1 khi đó do X  U 0 nên | :U UM1 là đơn cấu. Suy ra  U U, vì vậy  U là môđun con đều của M1 . Theo bổ đề 3.1 ta có M1 là u - liên tục nên tồn tại môđun con đều V là hạng tử trực tiếp của M1mà   e

U V

  từ đó ta có 1 

X   U  V  X V.

Do V đều nên ta thu đượcA  X U e X V, mà A đóng nên

A X V. Từ M X M1 và V là hạng tử trực tiếp của M1, nên suy ra A là hạng tử trực tiếp của M.

2.2.5. Định lí Cho M là môđun có dạng M i I Ui trong đó mỗi Ui là môđun con đều i I. Khi đó M là môđun liên tục nếu và chỉ nếu M là môđun u - liên tục.

Chứng minh. Nếu M là môđun liên tục thì hiển nhiên M là môđun u - liên tục. Ngược lại, nếu M là môđun u - liên tục, ta chứng minh M là môđun liên tục. Do M là môđun u - liên tục nên có tính chất (C2). Vì vậy ta chỉ cần chứng minh M là CS - môđun. Giả sử A là môđun con đóng của môđun M. Theo bổ đề 2.2.3, tồn tại môđun con V1 của M có dạngV1  i F Ui trong đó

1

, : e

FI sao cho A V M.

Đặt V2  i J Ui với J I \ F. Ký hiệu  1, 2 là phép chiếu của M

lên V1 và V2 khi đó 2 |A là đơn cấu. Đặt   1 1 2 |A 

    là đồng cấu của

 

2 A

 vào V1 . Dễ thấy Ax  x |x2 A . Chứng minh sẽ suy ra rằng  không mở rộng được thực sự trong V2.

Giả sử :BV1 trong đó 2 A  B V2 là mở rộng của  trong

V2.. Đặt Cx  x |xB. Từ AV1 là cốt yếu trong M ta có

   

2 A A V1

    cốt yếu trong 2 M V2. Suy ra 2 A cốt yếu trong 2

BV . Do đó A cốt yếu trong C. Nhưng do A đóng nên ta thu được A = C, suy ra 2 A B nghĩa là   .

Bây giờ với mỗi k J ta đặt Xk Uk 2 A . Dễ dàng thấy Xk 0

với mọi k J . Do đó Xk đều. ĐặtAk x  x :xXk. Ta có Xk Aknên

Ak là môđun con đều của A. Giả sử Ak e TUkV1. Từ Ak  V1 0 ta có 1 0

T V .

Suy ra 2 |Tlà đơn cấu. Đặt   k |2  Ak . Vì  không mở rộng được thực sự trong V2 nên k cũng không mở rộng thực sự trong 2 Ak .

Đặt   1  

1 2 | : 2 1

k T

f      T V. Khi đó fk là một mở rộng của k. Do đó 2 T  2 Ak . Mặt khác , từ 2|Tlà đơn cấu và Ak e T suy ra Ak = T.

Do Ak là môđun con đóng và đều, nên Ak  M. Mà Xk  Aknên theo tính chất (C2), ta cũng có Xk  M. Do Xk eUk  Mlà đều nên Xk = Uk  k J

suy ra 2 A V2. Vì vậy A = V2 và A M do C( ( 2)).

2.2.6. Bổ đề. Cho M là môđun với chiều Goldie hữu hạn. Khi đó M là môđun liên tục nếu và chỉ nếu M là môđun u - liên tục.

Chứng minh. Được suy ra từ bổ đề 1.2.5 và định lí 2.2.5.

2.2.7. Bổ đề. Cho m là môđun u - liên tục. Nếu M U V trong đó U và V là các môđun đều, thì U và V là môđun đều, thì U và V là các môđun nội xạ lẫn nhau.

Lấy X là môđun con tuỳ ý của U và :X Vlà một đồng cấu bất kì. Đặt X'x  x |xX. Gọi Y là bao đóng của X' trong M.

Có X' V 0.Suy ra Y V 0. Do đó Y  U Y , trong đó U là ánh xạ chiếu của M lên U. Vì Y là môđun con đóng đều của M, nên Y là hạng tử trực tiếp của M. Do M thoả mãn điều kiện (C2) nên U Y cũng là hạng tử trực tiếp của M. Nhưng U là môđun đều nên ta nhận được U Y U.

Như vậy,  là một mở rộng của , hay V là U - nội xạ. Tương tự ta có

U là V nội xạ .

2.2.8. Bổ đề. Cho M U V, trong đó UVlà những môđun liên tục và đều. Khi đó ta có các khẳng định sau:

i) Nếu A là một hạng tử trực tiếp khác 0 của M thì AU. ii) M thoả mãn điều kiện (C2)

Chứng minh. i) Cho M A Vvới môđun con X nào đó của M. Do U là môđun liên tục theo [7, Theorem 3.24 ], U có tính chất trao đổi , nên ta có

1 1

U  V U A X , trong đó A1 A và X1 X . Khi đó V A1X1 mà V

là môđun đều nên A1 = 0 hoặc X1 = 0. Điều này kéo theo AU.

ii) Giả sử A và B là các môđun con của M với AB và A M. Theo i) B A U do đó B là môđun đều và chúng ta có B U 0

hoặc B V 0.

Nếu B V 0 thì B  U B trong đó U là phép chiếu của M lên

U. Do BUsuy ra U B U. Theo cách chứng minh của bổ đề 2.2.7 ta thu được B V M nên B M. Tương tự nếu B U 0 ta cũng có B M.

2.2.9.Định lí. Cho MU1U2  ... Unlà tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun con đều Ui (1 i n sao cho UiUj) là CS - môđun với 1  i j n . Khi đó nếu M là môđun u - liên tục thì M môđun tựa nội xạ.

Chứng minh. Suy ra từ bổ đề 2.2.7 và [6, Corollary 1.19] .

2.2.10. Định lí. Cho R là vành nửa hoàn chỉnh phải, u - liên tục phải sao cho

eReR là CS - môđun với mỗi phần tử luỹ đẳng nguyên thuỷ e của R. khi đó R là vành tựa nội xạ phải.

Chứng minh. Suy ra từ định lý 2.2.9 và [6, Proposition 2.5]

2.2.11. Hệ quả. Nếu R là vành artin phải, u - liên tục phải thì R là vành liên tục phải.

Chứng minh. Theo hệ quả 2.2.6.

2.2.12. Mệnh đề. Cho M là môđun u - tựa liên tục có tính chất mọi hạng tử trực tiếp đều địa phương là hạng tử trực tiếp của M thì tổng trực tiếp của một môđun u - liên tục với đế cốt yếu và một môđun u - tựa liên tục với đế bằng 0. Chứng minh. Ta có SSoc M  i I Si, trong đó Si là các môđun con đơn của M. Rõ ràng Si là môđun đều. Do M là môđun (1 - C1) nên Si e Ai và

( )

i

A  M iI

Khi đó họ  Ai i I là họ các môđun con độc lập của M. Vì M thoả mãn điều kiện (1 - C3) nên mỗi tổng trực tiếp hữu hạn của họ  Ai i I là hạng tử trực tiếp của M. Từ giả thiết, A i I Ai M. Suy ra M A B với BM. Vì với (iI), Si  Ai nên Soc(M) = i I Si  e i I Ai A. Khi đó S = Soc(A)

và Soc(B)= 0.

Cũng như áp dụng môđun u - liên tục vào việc nghiên cứu H - vành và co-H- vành. Chúng ta sẽ áp dụng vào nghiên cứu QF - vành.

2.2.13. Bổ đề. [7, Theorem 4.3]. Đối với một vành R, những mệnh đề sau là tương đương:

i) R là QF - vành.

ii) R là H - vành phải với Z(R) = J(R). iii) R là co - H - vành phải với Z(R)=J(R).

Chúng ta có đặc trưng mới về QF - vành như sau:

2.2.14.Định lí. Những khẳng định sau đây là tương đương đối với một vành R: i) R là QF - vành.

ii) R là H - vành phải và u - liên tục phải. iii) R là co - h - vành phải và i - liên tục phải.

Chứng minh. Dễ thấy (i) => (ii) và (i) => (iii). Theo Bổ đề 2.2.13.

(ii) => (i): Theo [7,Theorem 2.11] R là vành artin phải. Mặt khác theo hệ quả 2.2.11, R là vành liên tục. theo [9, Lemma 4.1] ta thu được Z(R) = J(R). Áp dụng bổ đề 2.2.12 ta có R là QF - vành.

(iii) => (i) : Dễ thấy nếu R là co - H - vành phải thì R là vành hoàn chỉnh phải. Theo giả thiết và định lí 2.2.5 ta có R là vành liên tục phải. Do đó theo [9, Lemma 4.1] thì Z(R) = J(R). Áp dụng bổ đề 2.2.12 ta thu được R là

QF - vành.

2.2.15. Định lí. Cho P là môđun xạ ảnh trên vành liên tục phải nửa hoành chỉnh phải. Khi đó P là môđun u - tựa liên tục nếu và chỉ nếu P là (1 - C1) môđun.

Chứng minh. Vì R là nửa vành hoàn chỉnh nên tồn tại hệ lũy đẳng trực giao nguyên thủy  ei i1,n sao cho Rr e R1 e R2  ... e Rn . Ở đây End(R) là vành địa phương. Từ R là vành phải liên tục, suy ra eiR là môđun đều và không thể nhúng thực sự vào eJR (1i j; n).

Theo [1, Theorem 27.11], chúng ta có P i I Pi (1)

Với tập chỉ số I nào đó và mỗi Pi là môđun đều và không thể nhúng