Iđêan và sự phân tích nguyên sơ các iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Vương Thị Thu Hà IĐÊAN VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CÁC IĐÊAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - 2017... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vương Thị Thu Hà

IĐÊAN VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CÁC IĐÊAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - 2017

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

IĐÊAN VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CÁC IĐÊAN

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Tiến Sĩ: Nguyễn Thị Kiều Nga

Hà Nội - 2017

Trang 3

Mục lục

1.1 Vành 5

1.2 Vành con và điều kiện tương đương 6

1.3 Một số định nghĩa 7

1.4 Miền nguyên và trường 8

1.5 Iđêan và vành thương 9

1.5.1 Iđêan 9

1.5.2 Vành thương 10

1.6 Đồng cấu vành 11

2 Iđêan trên vành giao hoán 15 2.1 Các phép toán trên iđêan 15

2.1.1 Tổng các iđêan 15

2.1.2 Tích các iđêan 16

Trang 4

2.1.4 Căn các iđêan 17

2.2 Iđêan hữu hạn sinh 19

2.2.1 Tập sinh của iđêan 19

2.2.2 Iđêan sinh bởi n phần tử 19

2.3 Iđêan cực đại 20

2.4 Iđêan nguyên tố 23

2.5 Iđêan nguyên sơ 25

2.6 Mối quan hệ của iđêan cực đại, iđêan nguyên tố và iđêan nguyên sơ 27

2.7 Iđêan đối cực đại 30

2.8 Iđêan bất khả quy 34

2.9 Một số bài tập về iđêan 35

3 Sự phân tích nguyên sơ các iđêan 45 3.1 Vành Noether 45

3.1.1 Định nghĩa 45

3.1.2 Định lý 45

3.1.3 Định lý Hilbert về cơ sở 47

3.2 Sự phân tích nguyên sơ của các iđêan 48

3.2.1 Định nghĩa sự phân tích nguyên sơ 48

3.2.2 Định lý về sự phân tích nguyên sơ 50

3.2.3 Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether 51

Trang 5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vương Thị Thu Hà

Lời cảm ơn

Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với

sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên Đến

nay, khóa luận của em đã được hoàn thành Em xin bày tỏ lòng

cảm ơn chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo trong tổ Đại số

-khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là cô giáo

Nguyễn Thị Kiều Nga , người đã trực tiếp tạo mọi điều kiện

giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt thời gian nghiên cứu,

hoàn thành khóa luận này

Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân

nên khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính

mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Trang 6

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp "Iđêan và sự phân tích nguyên sơ

các iđêan" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và

nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo Nguyễn Thị

Kiều Nga

Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như

đã viết trong phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin cam đoan kết

quả trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả

của tác giả nào khác

Trang 7

Lời nói đầu

Đại số là một bộ phận quan trọng của Toán học Đại số được

xây dựng và phát triển trên cơ sở các cấu trúc của đại số là nhóm,

vành, trường, môđun, Đại số cũng là cơ sở của nhiều ngành toán

học khác, có nhiều ứng dụng trong khoa học - kĩ thuật

Ở bậc Đại học chúng em đã được học về đại số đại cương, đại số

hiện đại và một số nội dung quan trọng khác của Đại số Trong đó

iđêan là phần kiến thức quan trọng của Đại số đại cương và Đại số

giao hoán Xuất phát từ lòng yêu thích môn Đại số cũng như ham

mê nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài "Iđêan và sự phân

tích nguyên sơ các iđêan" để thực hiện khóa luận của mình

Nội dung khóa luận gồm ba chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về vành, vành giao

hoán

Chương 2: Iđêan trên vành giao hoán

Chương này trình bày các phép toán trên iđêan, một số lớp iđêan

đặc biệt trên vành giao hoán như iđêan nguyên tố, iđêan cực đại,

iđêan nguyên sơ và mối quan hệ giữa các iđêan này

Chương 3: Sự phân tích nguyên sơ các iđêan

Trong chương này trình bày kiến thức về vành Noether, sự phân

tích nguyên sơ của các iđêan

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do còn nhiều hạn chế về kiến

Trang 8

thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được các

ý kiến đóng góp từ thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của

em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Trang 9

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

a, Định nghĩa

Cho X là tập hợp khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán hai

ngôi gọi là phép cộng và phép nhân và kí hiệu lần lượt là (+), (.),

X được gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel

(ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm

(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức ∀x, y, z ∈ X ta có

(x + y)z = xz + yz

z(x + y) = zx + zy

b, Chú ý

Vành X là vành có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân

Vành X là một vành giao hoán nếu phép nhân có tính chất giao

hoán

Vành X là giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân giao hoán

Phần tử đơn vị của phép cộng là phần tử không của vành và kí

Trang 10

hiệu là 0 Phần tử đơn vị (nếu có) của phép nhân thường kí hiệu là

(các phép toán vẫn là phép cộng và phép nhân thông thường)

2) Tập hợp Z/nZ các số nguyên mod n cùng với phép cộng vàphép nhân các số nguyên mod n là một vành giao hoán có đơn vị,

gọi là vành các số nguyên mod n

3) Tập hợp M (n, R) các ma trận vuông cấp n, n > 1 (với cácphần tử là thực) cùng với phép cộng và nhân ma trận là một vành

có đơn vị Vành này không giao hoán

d, Tính chất

(1) 0.x = x.0 = 0, ∀x ∈ X

(2) n(xy) = x(ny) = (nx)y, ∀x, y ∈ X, ∀n ∈ Z

(3) x.(y − z) = xy − xz; (x − y).z = xz − yz, ∀x, y, z ∈ X

(4) Luật phân phối tổng quát

Trang 11

toán cộng và nhân trong X, tức x + y ∈ A, xy ∈ A với ∀x, y ∈ A

Khi đó A là một vành con của vành X nếu A cùng hai phép toán

cảm sinh trên A là một vành

b, Ví dụ

1) Vành số nguyên Z là vành con của vành số hữu tỉ Q

2) Tập mZ các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước

là một vành con của vành số nguyên Z

c, Điều kiện tương đương

Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X Ta có

các điều kiện sau là tương đương

(i) A là một vành con của X

(ii) ∀x, y ∈ A thì x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A

(iii) ∀x, y ∈ A thì x − y ∈ A, xy ∈ A

Định nghĩa 1.1 Cho X là một vành có đơn vị 1 ta nói đặc số của

X là n > 0 nếu n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho n.1 = 0

Nếu không có số nguyên dương nào như thế thì ta có X có đặc số

bằng 0 Đặc số của X kí hiệu là CharX

Ví dụ: 1) CharZ = CharQ = CharR = CharC = 0

2) CharZm = m

3) CharZ[X] = CharQ[X] = CharR[X] = CharC[X] = 0

Định nghĩa 1.2 Cho X là một vành giao hoán có đơn vị 1 Tập

con A được gọi là tập con nhân đóng của X nếu:

Trang 12

(i) 1 ∈ A.

(ii) ∀x, y ∈ A thì xy ∈ A

Ví dụ: N là một tập con nhân đóng của Z, Z là một tập con nhânđóng của Q

Định nghĩa 1.3 Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị Phần

tử a ∈ X được gọi là phần tử bất khả quy nếu a 6= 0, a không khả

nghịch và a không có ước thực sự

Định nghĩa 1.4 Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị Phần

tử a 6= 0, a không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên tố nếu

a|uv thì a|u hoặc a|v

Định nghĩa 1.5 Một vành giao hoán có đơn vị, có nhiều hơn một

phần tử và không có ước của không được gọi là một miền nguyên

Ví dụ: Vành số nguyên Z, vành số hữu tỉ Q đều là những miềnnguyên

Định nghĩa 1.6 Trường là một miền nguyên trong đó mọi phần

tử khác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân

Ví dụ: Các tập Q, R, C với phép cộng và nhân thông thường làmột trường

Nhận xét : Nếu X là trường thì

+ (X, +) là một nhóm Abel có phần tử đơn vị 0

+ (X∗, ) là một nhóm Abel có phần tử đơn vị 1

Trang 13

Định nghĩa 1.7 Giả sử X là một trường, A là một bộ phận của

X ổn định với hai phép toán trong X A là một trường con của X

nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một trường

1.5.1 Iđêan

a, Định nghĩa

Cho A là một vành và I là một vành con của A Khi đó:

(i) I được gọi là một iđêan trái của A nếu với mọi x ∈ A, mọi a ∈ I

thì xa ∈ I

(ii) I được gọi là một iđêan phải của A nếu với mọi x ∈ A, mọi

a ∈ I thì ax ∈ I

(iii) I được gọi là một iđêan của A nếu I vừa là một iđêan trái vừa

là một iđêan phải của A

b, Nhận xét

(i) Trong một vành giao hoán thì mọi iđêan trái cũng là iđêan phải

(ii) Nếu A là một vành có đơn vị, và I là một iđêan của A thì

IA = AI = I Nếu A không có đơn vị thì đẳng thức trên không

đúng

c, Điều kiện tương đương

Cho A là vành, I ⊂ A, I 6= ∅ Các điều kiện sau là tương đương:

(i) I là iđêan của A

(ii) Với mọi a, b ∈ I thì a − b ∈ I, và mọi x ∈ A thì ax ∈ I và

xa ∈ I

Trang 14

a, b ∈ R

là iđêan phải của vành

các ma trận vuông cấp hai với các phần tử thực

1.5.2 Vành thương

a, Xây dựng vành thương

Cho A là một vành và I là một iđêan của A Khi đó I là nhóm

con của nhóm cộng Abel A Ta có A/I = {x = x + I|x ∈ A} là một

nhóm Abel với phép toán cộng (x + I) + (y + I) = x + y + I

Trên A/I trang bị phép toán nhân như sau: (x + I)(y + I) = xy + I

Khi đó phép nhân là phép toán hai ngôi trên X/A

Với hai phép toán (+) và (.) xác định ở trên, A/I là một vành và

gọi là vành thương của A theo iđêan I

b, Nhận xét

+ Phần tử không của vành thương A/I là lớp 0 + I = I

+ Nếu A là vành giao hoán thì A/I cũng là vành giao hoán

+ Nếu A là vành có đơn vị thì A/I cũng là vành có đơn vị, với

đơn vị là 1 + I

c, Iđêan của vành thương

Cho vành giao hoán A, I là iđêan của A

Trang 15

+ Nếu J là iđêan của A sao cho J ⊇ I thì J/I là iđêan của vành

thương A/I, với mỗi r ∈ A ta có r + I ∈ J/I nếu và chỉ nếu r ∈ J

+ Mỗi iđêan B của RI đều có dạng KI, với K là iđêan của

A thỏa mãn điều kiện K ⊇ I

Tồn tại duy nhất iđêan K = {a ∈ R a + I ∈ J } của A thỏa mãn

điều kiện trên

+ Cho J1, J2 là các iđêan của A sao cho J1, J2 ⊃ I ta có J1/I ⊃

a, Định nghĩa

Cho X, Y là hai vành, ánh xạ f : X → Y gọi là đồng cấu vành

nếu thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi x, y ∈ X thì

Trang 16

+f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là song

ánh

+ Cho hai vành X, Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một

đẳng cấu vành f : X → Y Nếu vành X đẳng cấu với vành Y ta kí

hiệu X ∼= Y

b, Tính chất cơ bản

Tính chất 1 Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành

Tính chất 2 Cho f : X → Y là một đồng cấu vành, trong đó X

là một trường thì f là đồng cấu không hoặc đơn cấu

Tính chất 3 Cho f : X → Y là một đồng cấu vành

+ Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành

g : X → Y sao cho gf = 1X thì f là đơn cấu

+ Nếu f có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu vành

g : X → Y sao cho gf = 1Y thì f là toàn cấu

+ Nếu f vừa có nghịch đảo trái, vừa có nghịch đảo phải thì f là

Cho f : X → Y là đồng cấu vành Hạt nhân của f kí hiệu là

Kerf , được xác định bởi

Kerf = {x ∈ X|f (x) = 0}

Trang 17

Và ảnh của đồng cấu f kí hiệu là Imf , được xác định bởi

Imf = f (X) = {f (x) ∈ Y |x ∈ X}

Khi đó Kerf là iđêan của X và Imf là vành con của Y

Tính chất 5 f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0X}, f là toàncấu khi và chỉ khi Imf = Y

Tính chất 6 Định lí cơ bản của đồng cấu vành

Cho đồng cấu vành f : X → Y , A, B là các iđêan của X, Y sao

cho f (A) ⊂ B với pA : X → X/A, pB : Y → Y /B là toàn cấu chínhtắc

Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X/A → Y /B sao cho

f pA = pBf , tức biểu đồ sau giao hoán:

f

pBf

pA

Y BXA

Đặc biệt nếu A = Kerf, B = {0Y} thì Y /B = Y /{0Y} = Y tứcbiểu đồ sau giao hoán:

Trang 18

fp

Trang 19

Chương 2

Iđêan trên vành giao hoán

Trang 20

Khi đó: a − b = a1b1 + + anbn + (−c1)d1 + + (−cm)dm ∈ IJ

ax = a1(b1x) + + an(bnx) ∈ IJ

xa = (xa1)b1 + + (xan)bn ∈ IJ

Suy ra IJ là một iđêan của A

Trang 21

Ngược lại, với mọi x ∈ nmZ thì x = nmt = (m1)(nt), t ∈ Z Suy

Mà (ax)y = x(ay) ∈ I Suy ra ax ∈ I : J

Vì A là một vành giao hoán nên xa = ax suy ra xa ∈ I : J

Vậy I : J là iđêan của A

Trang 22

I, x ∈ A khi đó tồn tại n ∈ N sao cho an, bn ∈ I.

Ta có (ax)n = (xa)n = anxn ∈ I (I là một iđêan của A) Suy ra

c, Căn lũy linh

Nếu I = {0} khi đó p{0} = √0 gọi là căn lũy linh của A

Kí hiệu RadA tức là Rad(A) = {x ∈ A| ∃n ∈ N∗, xn = 0}

Chứng minh Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n:

+ Với n = 1 thì (∗) hiển nhiên đúng

+ Khi n = 2, ta chỉ ra √

A1 ∩ A2 = √

A1 ∩√A2 Thật vậy:Với mọi a ∈ √

A1 ∩ A2 luôn tồn tại m ∈ N để am ∈ A1 ∩ A2.Tức tồn tại m ∈ N để

v = u + r, r ∈ N Khi đó bv = bu+r = bubr ∈ A1 Lại có bv ∈ A2.Suy ra tồn tại v ∈ N để bv ∈ A1 ∩ A2 Suy ra b ∈ √

A1 ∩ A2

Trang 23

Vậy √

A1 ∩√A2 ⊆ √A1 ∩ A2 (2)

Từ (1) và (2) ta có √

A1 ∩ A2 ⊆√A1 ∩√A2+ Giả sử (∗) đúng với n − 1, tức

2.2.1 Tập sinh của iđêan

Định nghĩa : Cho vành X, tập S ⊂ X Giao của tất cả các iđêan

của X chứa S là iđêan nhỏ nhất của X chứa S và gọi là iđêan của

X sinh bởi S Kí hiệu

B Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì B là iđêan hữu hạn sinh

Trang 24

Mặt khác mọi iđêan chứa các ai, i = 1, n thì cũng chứa x1a1, , xnan,với x1, , xn ∈ X Vậy B là giao của tất cả các iđêan chứa ai, i = 1, n.Hay B là iđêan sinh bởi n phần tử ai, i = 1, n.

Đặc biệt, iđêan sinh bởi một phần tử của a ∈ X gọi là iđêan

chính Xác định bởi < a >= {xa| với mọi x ∈ X} = Xa = aX

a, Định nghĩa

Iđêan I của vành giao hoán A được gọi là iđêan cực đại nếu thỏa

mãn các điều kiện sau:

(i) I 6= A,

(ii) Nếu tồn tại iđêan J của A mà I ⊂ J, I 6= J thì J = A

Trang 25

Do I là iđêan cực đại nên J = A Do đó 1 ∈ J

Vậy tồn tại x0 ∈ A, a ∈ I sao cho 1 = xx0 + a

Suy ra 1 + A = xx0+ a + I = xx0+ I = (x + I)(x0+ I) hay nghịchđảo của x + I là x0 + I Vậy AI là một trường

⇐] Giả sử AI là trường

Khi đó AI 6= ∅ và có ít nhất hai phần tử là 0 + I, 1 + I Suy ra

Vậy tồn tại a ∈ I để a = xx0 − 1 Suy ra 1 = xx0 − a ∈ J

Vậy J = A hay I là iđêan cực đại của A

Trang 26

c, Định lý 2

Trong một vành giao hoán R có đơn vị, khác không luôn tồn tại

ít nhất một iđêan cực đại

Chứng minh

Gọi Ω là tập tất cả các iđêan thực sự của R

Do R không tầm thường nên {0} là một iđêan thực sự của R Suy

+ Với a, b ∈ J luôn tồn tại I1, I2 ∈ ∆ sao cho a ∈ I1, b ∈ I2

Do (∆, ⊆) sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có I1 ⊆ I2 hoặc I2 ⊆ I1.Không mất tính tổng quát, ta giả sử I1 ⊆ I2 khi đó a − b ∈ I2 ⊆ J.Vậy J là iđêan thực sự của R vì với mọi I ∈ Ω, 1 /∈ I suy ra 1 /∈ J.Suy ra J ∈ Ω, vì vậy J là cận trên của ∆ trong Ω

Theo bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận (Ω, ⊆) luôn có phần

tử cực đại nên R luôn có ít nhất một iđan cực đại

d, Hệ quả

Cho R là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của R Luôn tồn tại

một iđêan cực đại M của R sao cho M ⊇ I

Trang 27

phải có dạng MI với iđêan M của R thỏa mãn M ⊇ I

Lại có RI

MI ∼= RM Vì M I là cực đại nên (RI)

(MI)

là một trường Suy ra RM cũng là một trường Vậy M là iđêancực đại của R và M ⊇ I

(1) Trong một miền nguyên thì iđêan không {0} là một iđêan

nguyên tố vì nếu ab = 0 thì a = 0 hoặc b = 0

(2) Trong vành các số nguyên Z các iđêan nguyên tố của Z làiđêan {0} hoặc nZ, với n là số nguyên tố

Thật vậy, nếu I là iđêan nguyên tố tùy ý khác {0} của Z thì I códạng I = nZ, n > 1, ta sẽ chỉ ra n là số nguyên tố Giả sử n không

là số nguyên tố thì n = n1.n2 với 1 < n1, n2 < n (1)

Ta có n = n1.n2 ∈ Z và nZ là iđêan nguyên tố nên n1 ∈ nZ hoặc

n2 ∈ nZ suy ra n1 chia hết cho n hoặc n2 chia hết cho n (2)

Từ (1) và (2) mâu thuẫn, nên điều giả sử là sai Vậy n là số

nguyên tố

Ngược lại giả sử n là số nguyên tố, ta sẽ chứng minh nZ là iđêan

Trang 28

x chia hết cho n hoặc y chia hết cho n Vậy x ∈ nZ hoặc y ∈ nZVậy nZ là iđêan nguyên tố.

c, Định lý 1

Cho R là vành giao hoán có đơn vị, A là iđêan nguyên tố của R

nếu và chỉ nếu R/A là một miền nguyên

Chứng minh

⇒] Giả sử A là iđêan nguyên tố của R, với mọi xy ∈ A thì x ∈ Ahoặc y ∈ A

Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R/A là vành giao hoán, có

đơn vị 1 + A Vậy R/A 6= ∅ vì

xy ∈ A Vì A là iđêan nguyên tố nên x ∈ A hoặc y ∈ A Suy ra

x + A ∈ A hoặc y + A ∈ A Do đó R/A không có ước của không

Vậy R/A là miền nguyên

⇐] Ngược lại, giả sử R/A là miền nguyên, A là iđêan của R Nếu

có x, y ∈ R mà xy ∈ A thì x.y + A = A suy ra (x + A).(y + A) = A

Do R/A là miền nguyên nên x + A = A hoặc y + A = A hay x ∈ A

hoặc y ∈ A Vậy A là iđêan nguyên tố

d, Định lý 2

Cho I, J là hai iđêan của vành giao hoán R thỏa mãn J ⊇ I Khi

đó J là iđêan nguyên tố của R nếu và chỉ nếu iđêan J/I là iđêan

nguyên tố của vành thương R/I

Chứng minh

J là iđêan nguyên tố của R khi và chỉ khi R/I là miền nguyên

Trang 29

Theo hệ quả của định lý cơ bản của đồng cấu vành ta có (R/I)

(I/J ) ∼=

R/J Mà R/J là miền nguyên nên (R/I)

(J/I) cũng là miền

nguyên Vậy J/I là iđêan nguyên tố

a, Định nghĩa

Cho A là iđêan của vành giao hoán R, A gọi là iđêan nguyên sơ

của R nếu thỏa mãn hai điều kiện:

+ Trong vành giao hoán Z có 4Z là iđêan nguyên sơ

+ Trong vành giao hoán Z, iđêan mZ là nguyên sơ nếu và chỉnếu m = pk (trong đó p là số nguyên tố và k ∈ N∗) hoặc m = 0.Thật vậy

⇒] Giả sử mZ là iđêan nguyên sơ, ta chứng minh m = pk với p

của R thỏa mãn hai điều kiện:

+ Trong vành giao hoán Z có 4Z iđêan nguyên sơ

+ Trong vành giao hoán Z, iđêan mZ nguyên sơ chỉnếu m = pk...

hoặc y ∈ A Vậy A iđêan nguyên tố

d, Định lý

Cho I, J hai iđêan vành giao hốn R thỏa mãn J ⊇ I Khi

đó J iđêan nguyên tố R iđêan J/I iđêan

nguyên tố vành thương R/I

Chứng... Trong miền ngun iđêan khơng {0} iđêan

ngun tố ab = a = b =

(2) Trong vành số nguyên Z iđêan nguyên tố Z l? ?iđêan {0} nZ, với n số nguyên tố

Thật vậy, I iđêan nguyên tố tùy ý

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	331,01 KB