Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HOA SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2011 MỤC LỤC Trang bìa phụ Mục lục Mở đầu Sự phân tích nguyên sơ môđun Noether 1.1 Iđêan nguyên sơ số lớp iđêan đặc biệt khác 1.2 Vành môđun Noether 1.3 Iđêan nguyên tố liên kết môđun 1.4 Môđun nguyên sơ 14 18 1.5 Sự phân tích nguyên sơ môđun Noether 21 Sự phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức 26 2.1 Vành đa thức nhiều biến 26 2.2 Iđêan đơn thức 32 2.3 Sự phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức 37 2.4 Ví dụ 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 MỞ ĐẦU Định lý Lasker - Noether phân tích nguyên sơ tổng quát hóa Định lý Số học Ý nghĩa hình học định lý phân tích nguyên sơ cho iđêan là: Mỗi tập đại số afin phân tích thành hợp số hữu hạn tập đại số afin bất khả quy Cho R vành giao hoán có đơn vị, M R-môđun Noether Theo Định lí Lasker - Noether phân tích nguyên sơ môđun N M có phân tích nguyên sơ thu gọn giả sử N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn (∗) phân tích nguyên sơ thu gọn môđun N , Qi môđun pi -nguyên sơ với i = 1, 2, , n (phân tích (*) gọi thu gọn iđêan pi phân biệt môđun Qi thừa) Khi tập hợp {p1 , p2 , , pn } xác định không phụ thuộc vào cách phân tích môđun N Cụ thể {p1 , p2 , , pn } = Ass (M/N ) Nếu pi tối thiểu tập hợp {p1 , p2 , , pn } Qi xác định gọi thành phần cô lập Trái lại, Qi gọi thành phần nhúng Cho R vành giao hoán Noether (nghĩa R R-môđun Noether) Khi iđêan I vành R môđun R-môđun R nên theo Định lý Lasker - Noether, I có phân tích thành giao iđêan nguyên sơ Giả sử I = q ∩ q2 ∩ ∩ qn (∗) phân tích nguyên sơ thu gọn iđêan I , qi pi -nguyên sơ với i = 1, 2, , n Tập hợp {p1 , p2 , , pn } xác định không phụ thuộc vào cách phân tích iđêan I {p1 , p2 , , pn } = Ass (R/I) Nếu pi tối thiểu tập hợp {p1 , p2 , , pn } iđêan qi xác định qi gọi thành phần cô lập Trái lại, gọi thành phần nhúng Cho K trường Khi theo Định lý Hilbert sở vành đa thức n biến K [x1 , x2 , , xn ] vành Noether Một iđêan I vành K [x1 , x2 , , xn ] gọi iđêan đơn thức sinh đơn thức Lớp iđêan đơn thức trông đơn giản có nhiều tính chất thú vị Lớp iđêan quan trọng, trước hết ví dụ cho nhiều vấn đề Đại số giao hoán Hơn nữa, lí thuyết sở Gr¨obner cho phép xấp xỉ iđêan tùy ý iđêan đơn thức, mà nhiều trường hợp từ cấu trúc nhận thông tin ngược trở lại iđêan ban đầu Như phần trình bày iđêan đơn thức I có phân tích nguyên sơ Có phương pháp để phân tích làm để phân tích nhanh iđêan đơn thức thành giao iđêan nguyên sơ Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để trình bày vấn đề Luận văn chia thành chương Chương Sự phân tích nguyên sơ môđun Noether Trong chương này, trình bày lý thuyết phân tích nguyên sơ vành môđun Noether Cụ thể trình bày vấn đề như: iđêan nguyên sơ, môđun nguyên sơ, tập iđêan nguyên tố liên kết môđun, Định lí Lasker - Noether phân tích nguyên sơ vành môđun Noether, Ngoài ra, nêu số kết có sẵn dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương Sự phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức Chương nội dung luận văn Chúng trình bày vành đa thức nhiều biến; lớp iđêan đặc biệt vành đa thức nhiều biến, lớp iđêan đơn thức phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức vành đa thức số phương pháp phân tích Để hoàn thành luận văn tác giả xin cảm ơn hướng dẫn tận tình, chu đáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, cô giáo tổ Đại số - Khoa Toán trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Mặc dù có nhiều cố gắng chắn luận văn có nhiều sai sót mong muốn nhận bảo quý báu thầy giáo, cô giáo bạn học viên Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA MÔĐUN NOETHER 1.1 Iđêan nguyên sơ số lớp iđêan đặc biệt khác 1.1.1 Iđêan nguyên sơ Cho R vành giao hoán có đơn vị, I iđêan vành R I = R Iđêan I gọi iđêan nguyên sơ ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I , x ∈ / I ∃n ∈ N cho y n ∈ I Ví dụ, vành số nguyên Z, iđêan mZ nguyên sơ m = pk (trong p số nguyên tố k ∈ N∗ ) m = 1.1.2 Iđêan nguyên tố Cho R vành giao hoán có đơn vị, p iđêan vành R p = R Iđêan p gọi iđêan nguyên tố ∀x, y ∈ R mà xy ∈ p x ∈ p y ∈ p Ví dụ, vành số nguyên Z, iđêan mZ nguyên tố m số nguyên tố m = Chú ý, p iđêan nguyên tố vành R R/p miền nguyên 1.1.3 Iđêan cực đại Cho R vành giao hoán có đơn vị, m iđêan vành R m = R Iđêan m gọi iđêan cực đại không tồn iđêan J = R mà m J Ví dụ, vành số nguyên Z, iđêan mZ cực đại m số nguyên tố Chú ý rằng, m iđêan cực đại vành R R/m trường Do iđêan m cực đại ⇒ iđêan m nguyên tố ⇒ iđêan m nguyên sơ 1.1.4 Iđêan sinh tập, iđêan hữu hạn sinh Cho R vành S ⊂ R Khi giao tất iđêan R chứa S iđêan R chứa S Iđêan gọi iđêan sinh tập hợp S , kí hiệu: < S > Như vậy, I = < S > I iđêan bé vành R chứa S Nếu S iđêan vành R < S > = S Vì vậy, hệ sinh iđêan không Cho I iđêan vành R Nếu tồn hệ sinh I gồm hữu hạn phần tử I gọi iđêan hữu hạn sinh 1.1.5 Iđêan Iđêan sinh phần tử gọi iđêan Ví dụ, vành số nguyên Z, iđêan có dạng mZ với m số nguyên đó, nên chúng iđêan mZ = < m > 1.1.6 Iđêan bất khả quy Cho R vành giao hoán có đơn vị, I iđêan vành R I = R Iđêan I gọi iđêan bất khả quy I phân tích thành giao hai iđêan thực chứa I 1.1.7 Iđêan Cho R vành giao hoán có đơn vị, I iđêan vành R Kí hiệu √ √ I = {a ∈ R| ∃n ∈ N : an ∈ I} I iđêan vành R gọi iđêan I √ Nếu I = I I gọi iđêan Khi 1.1.8 Tích iđêan Cho R vành giao hoán, có đơn vị với I, J iđêan vành R Kí hiệu IJ iđêan sinh tất phần tử dạng ab với a ∈ I b ∈ J , tức n bi | ∈ I, bi ∈ J, n ∈ N IJ = i=0 Khi IJ gọi tích hai iđêan I J Tương tự, định nghĩa cho tích hữu hạn iđêan Cho I1 , I2 , , In iđêan vành R Khi m a1i a2i ani | aji ∈ Ij , ∀i = 0, m, ∀j = 1, n, m ∈ N I1 I2 In = i=0 iđêan vành R gọi tích iđêan I1 , I2 , , In Đặc biệt, I n = m a1i a2i ani | aji ∈ I, ∀i = 0, m, ∀j = 1, n, m ∈ N i=0 Quy ước, I = R = < > 1.1.9 Thương iđêan Cho vành R I, J iđêan vành R Khi tập hợp I : J = {a ∈ R| aJ ⊆ I} = {a ∈ R| ab ∈ I, ∀b ∈ J} iđêan vành R gọi thương hai iđêan I J Kí hiệu AnnR (J) := : J = {a ∈ R| ab = 0, ∀b ∈ J} iđêan vành R AnnR (J) gọi linh hoá tử iđêan J Cho x ∈ R, x = Ta viết AnnR (x) thay cho AnnR (< x >), tức AnnR (x) = {a ∈ R| ax = 0} 1.1.10 Phổ vành Cho vành R I iđêan vành R Kí hiệu SpecR = {p| p iđêan nguyên tố R}, V (I) = {p ∈ SpecR| p ⊇ I} Các tập hợp dạng V (I) có tính chất sau: (i) Nếu I, J iđêan vành R V (IJ) = V (I) ∪ V (J) Điều cho họ hữu hạn iđêan (ii) V Ij = V (Ij ), với S tập số tuỳ ý √ √ (iii) V (I) = V (J) I = J j∈S j∈S (iv) V (0) = SpecR, V (R) = ∅ Các tập hợp dạng V (I) với I iđêan vành R thoả mãn tiên đề họ tập đóng không gian tôpô Khi X = SpecR trở thành không gian tôpô với họ tập đóng V (I) I iđêan vành R Tôpô gọi tôpô Zariski Không gian tôpô Zariski gọi phổ vành R Mỗi tập hợp V (I) gọi tập đại số xác định I 1.2 Vành môđun Noether 1.2.1 Môđun Noether Cho M R-môđun Môđun M gọi môđun Noether dãy tăng môđun M dừng, nghĩa M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn ⊂ dãy tăng môđun M tồn số tự nhiên m cho Mk = Mm với k ≥ m Định lí sau đặc trưng môđun Noether 1.2.2 Định lí Cho môđun M Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Noether; (ii) Mọi tập hợp khác rỗng môđun M có phần tử cực đại theo quan hệ thứ tự bao hàm; (iii) Mọi môđun M hữu hạn sinh Chứng minh (i) ⇒ (ii) Gọi S = {Ai | Ai môđun M } Lấy A1 ∈ S Nếu A1 tối đại S ta có (ii) Nếu A1 không tối đại S ∃A2 ∈ S mà A1 ⊂ A2 Lập luận A2 A1 ta có A1 ⊂ A2 ⊂ A3 Tiếp tục trình lập luận ta có dãy tăng A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ Ak ⊂ Và M môđun Noether nên ∃k ∈ N∗ để Ak = Ak+1 = Do Ak tối đại S nên ta có (ii) 10 (ii) ⇒ (iii) Lấy A môđun M Xét tập hợp Γ = {môđun hữu hạn sinh A} Ta thấy Γ tập hợp môđun M nên Γ = ∅ Vì x ∈ A nên Rx ∈ Γ, Rx xyclic nên hữu hạn sinh < x > = Rx = {rx| r ∈ R} Do Γ thoả mãn (ii) nên Γ có phần tử tối đại < x1 , x2 , , xk > = C với xi ∈ A Ta phải chứng minh < x1 , x2 , , xk > = A Ta sử dụng chứng minh phản chứng Giả sử < x1 , x2 , , xk > A ∃a ∈ A mà a∈ / < x1 , x2 , , xk > Lấy B = < x1 , x2 , , xk , a > suy C B điều mâu thuẫn với tính tối đại C C = A < x1 , x2 , , xk > = A Vậy A hữu hạn sinh, tức ta có (iii) (iii) ⇒ (i) Lấy dãy tăng môđun M sau A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ Ak ⊂ (∗) Gọi A = ∞ i=1 An Kiểm tra A môđun M theo (iii) nên ta có A hữu hạn sinh A = < x1 , x2 , , xk > Do (∗) dãy tăng nên ∃n ∈ N∗ để x1 , x2 , , xk ∈ An Suy < x1 , x2 , , xk >⊆ An suy A ⊆ An Mà A= ∞ i=1 An nên An ⊆ A nên A = An tức An = An+1 = Vậy dãy (∗) dừng nên M môđun Noether, tức ta có (i) 1.2.3 Ví dụ a) Xét Z Z-môđun Z môđun Noether b) V không gian vectơ hữu hạn chiều V môđun Noether 1.2.4 Vành Noether Vành R gọi vành Noether dãy tăng iđêan R dừng, nghĩa I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ In ⊂ dãy tăng iđêan R tồn số tự nhiên m cho Ik = Im với k ≥ m Như vậy, vành R Noether môđun Noether Chúng ta có nhiều cách nhận biết vành Noether qua định lí đặc trưng vành Noether sau 31 Vì R miền nguyên nên theo Mệnh đề 2.1.6 ta có fp gq = Do degfp gq = p + q số hạng lại tổng có bậc tổng thể nhỏ p + q − nên deg f (x)g(x) = p + q 2.1.8 Hệ Vành đa thức K [x] trường K miền nguyên bậc tổng thể đa thức thoả mãn mệnh đề 2.1.9 Định lí (Định lí Hilbert sở) Cho R vành Noerther x tập n biến Khi vành R[x] vành Noether Chứng minh Qui nạp theo số biến, cần chứng minh cho vành biến R[x] Cho I0 ⊆ I1 ⊆ ⊆ Ij ⊆ dãy tăng iđêan R[x] Với iđêan I R[x] i ∈ N, đặt i aj xj ∈ I} Li (I) = {ai ∈ R| ∃ai−1 , , a0 ∈ R : j=0 Rõ ràng Li (I) iđêan R Ta có Li (I1 ) ⊆ Li (I2 ) ⊆ ⊆ Li (Ij ) ⊆ với ∀j ∈ N: L0 (Ij ) ⊆ L1 (Ij ) ⊆ ⊆ Li (Ij ) ⊆ Vì R vành Noether nên ∃p, q ∈ N cho Lp (Iq ) phần tử cực đại họ iđêan {Li (Ij )| i, j ∈ N} Từ dãy tăng suy với ∀i ≥ p ∀j ≥ q ta có: Li (Ij ) = Lp (Iq ) = Li (Iq ) Xét dãy tăng thứ trên, ta thấy tồn q cho với i = 0, , p−1 có Li (Ij ) = Li (Iq ) = Li (Iq ) ∀j ≥ q 32 Đặt t = max{q, q }, ta có Li (Ij ) = Li (It ) = Li (Iq ) ∀j ≥ t, ∀i ∈ N Ta chứng tỏ Ij = It j ≥ t Giả sử ngược lại It ⊂ Ij Trong đa thức khác tập hợp Ij \It chọn đa thức có bậc nhỏ nhất, chẳng hạn f (x) = a0 + .+am xm với a0 , , am ∈ R, am = Vì am ∈ Lm (Ij ) = Lm (It ) nên tồn g(x) = b0 + + bm−1 xm−1 + bm xm ∈ It Rõ ràng f − g ∈ Ij \It , deg(f (x)−g(x)) < deg(f (x)), mâu thuẫn với cách chọn f Vậy Ij = It với j ≥ t, hay R[x] vành Noerther 2.1.10 Hệ Cho K trường Khi vành đa thức K [x] vành Noether 2.1.11 Hệ Mọi iđêan vành đa thức K [x] trường K hữu hạn sinh có phân tích nguyên sơ Từ sau ta xét vành đa thức với hệ tử trường K 2.2 Iđêan đơn thức Cho K trường Khi theo Định lý Hilbert sở vành đa thức n biến K[x] := K [x1 , x2 , , xn ] vành Noether Trong vành đa thức K[x] có iđêan đặc biệt gọi iđêan đơn thức, trông đơn giản có nhiều tính chất thú vị Lớp iđêan quan trọng, trước hết ví dụ cho nhiều vấn đề Đại số giao hoán Hơn nữa, lí thuyết sở Gr¨obner cho phép xấp xỉ iđêan tùy ý iđêan đơn thức, mà nhiều trường hợp từ cấu trúc nhận thông tin ngược trở lại iđêan ban đầu Như phần trình bày iđêan đơn thức I có phân tích nguyên sơ Có phương pháp để phân tích làm để phân tích nhanh iđêan đơn thức thành giao iđêan nguyên sơ 33 2.2.1 Định nghĩa Iđêan I ⊆ K[x] gọi iđêan đơn thức sinh đơn thức Như iđêan đơn thức có dạng I = (xa ; a ∈ A), A ⊆ Nn không yêu cầu tập A hữu hạn 2.2.2 Ví dụ a) Cho I iđêan vành đa thức biến K[x] sinh x: I = (x) = {xf (x)| f (x) ∈ K[x]} = tất đa thức K[x] có hệ số tự 0, I iđêan đơn thức b) Cho I1 , I2 , I3 iđêan vành K[x1 , x2 ] với I1 = (x1 , x2 ) = {x1 f + x2 g| f, g ∈ K[x]}, I2 = (x21 , x2 ) = {x21 f + x2 g| f, g ∈ K[x]}, I3 = (x1 , x22 ) = {x1 f + x22 g| f, g ∈ K[x]} iđêan đơn thức I2 ⊆ I1 , I3 ⊆ I1 phần tử sinh I2 , I3 thuộc I1 Sau tính chất iđêan đơn thức 2.2.3 Bổ đề Cho I = (xa ; a ∈ A) iđêan đơn thức Đơn thức xb ∈ I xb chia hết cho đơn thức xa với a ∈ A Chứng minh Rõ ràng xb ∈ I xb chia hết cho đơn thức xa với a ∈ A Ngược lại, xb ∈ I tồn hi ∈ K[x] a(i) ∈ A, i = 1, , s cho s hi xa(i) b x = i=1 Xem hi tổng hữu hạn từ khai triển vế phải đẳng thức ta thấy từ phải chia hết cho xa(i) Sau giản ước, 34 số từ lại phải xb Vậy xb phải có tính chất từ đó, tức chia hết cho xa(i) 2.2.4 Bổ đề Cho I iđêan đơn thức f ∈ K [x] Các điều kiện sau tương đương: (i) f ∈ I (ii) Mọi từ f thuộc I (iii) f tổ hợp tuyến tính K đơn thức thuộc I Chứng minh Hiển nhiên có (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i) Đối với (i) ⇒ (iii) nhận xét tương tự chứng minh bổ đề ta có từ f phải chia hết cho xa với a ∈ A Mà đơn thức chia hết cho xa lại thuộc I Do từ f tích đơn thức thuộc I phần tử K , tức có (iii) Như iđêan đơn thức xác định tập đơn thức 2.2.5 Hệ Hai iđêan đơn thức vành đa thức chúng chứa tập hợp đơn thức 2.2.6 Bổ đề Iđêan I iđêan đơn thức với f ∈ I , từ f thuộc I Chứng minh Điều kiện cần suy từ Bổ đề 2.2.4 Từ giả thiết suy tập tất đơn thức đa thức I sinh I Do điều kiện đủ chứng minh 2.2.7 Bổ đề (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I = (xa ; a ∈ A) viết dạng I = (xa(1) , , xa(s) ), a(1), , a(s) ∈ A Nói riêng I hữu hạn sinh 35 Chứng minh Chứng minh qui nạp theo biến số n Khi n = ta có A ⊆ N Chọn b ∈ A số nhỏ Khi xb1 chia hết đơn thức xa1 với a ∈ A Từ có I = (xb ) Giả sử bổ đề chứng minh ≤ n − biến Kí hiệu x = {x1 , x2 , , xn−1 } Như đơn thức K[x] viết dạng x α xqn , α ∈ Nn−1 q ∈ N Gọi J iđêan vành K[x ] sinh α m đơn thức x α cho tồn xm n để x xn ∈ I Theo giả thiết qui nạp, J sinh hữu hạn đơn thức vậy, tức J = (x α(1) , , x α(s) ) i Theo định nghĩa với i = 1, , s ∃mi ∈ N cho x α(i) xm n ∈ I Giả sử m = max{m1 , , ms } Với p = 0, , m − 1, xét iđêan Jp ⊆ K[x ] sinh đơn thức x β cho x β xpn ∈ I Lại theo giả thiết qui nạp Jp = (x αp (1) , , x αp (sp ) ), p = 0, , m − Ta chứng tỏ I sinh đơn thức (từ J :) (từ J0 :) (từ J1 :) (từ Jm−1 α(s) m x α(1) xm xn , n , ,x α0 (1) α0 (s0 ) x , ,x , α1 (1) α1 (s1 ) x xn , , x xn , , , x αm−1 (sm−1 ) xm−1 :) x αm−1 (1) xm−1 n n Thật vậy, giả sử x α xqn ∈ I Nếu q ≥ m, theo cách xây dựng J , x α phải chia hết cho x α(i) đó, x α xqn chia hết cho đơn thức dòng thứ Nếu q ≤ m − x α xqn chia hết cho đơn thức dòng thứ q + Theo Bổ đề 2.2.3 Hệ 2.2.5 đơn thức liệt kê sinh I Như I sinh tập hợp hữu hạn đơn thức xβ(1) , , xβ(r) Sử dụng Bổ đề 2.2.3 lần nữa, ta thấy đơn thức xβ(j) chia hết cho xγ(j) với γ(j) ∈ A Từ có I = (xγ(1) , , xγ(r) ) 36 Theo Bổ đề 2.2.7, để mô tả iđêan đơn thức I cần rõ tập tất đơn thức thuộc I 2.2.8 Mệnh đề Cho I, J hai iđêan đơn thức Khi I ∩ J I : J iđêan đơn thức Hơn nữa, I = (u1 , u2 , , ur ) J = (v1 , v2 , , vs ), ui , vj đơn thức, (i) I ∩ J = (BCNN(ui , vj )| ≤ i ≤ r; ≤ i ≤ j) (ii) I : vj = (ui /UCLN(ui , vj )| ≤ i ≤ r) Do I : J tính theo công thức I : J = ∩sj=1 (I : vj ) (i) Chứng minh Ta có I : J = ∩sj=1 (I : vj ) Do cần chứng minh I ∩ J iđêan đơn thức công thức tính (i) (ii) Cho f ∈ I ∩ J u từ f Vì I, J iđêan đơn thức nên theo Bổ đề 2.2.6 ta có u ∈ I u ∈ J Do u ∈ I ∩ J Lại theo Bổ đề 2.2.6 ta có I ∩ J iđêan đơn thức Để chứng minh (i), ta thấy bao hàm thức ⊇ hiển nhiên Cho đơn thức u ∈ I ∩ J Theo Bổ đề 2.2.3 ta có u chia hết cho ui vj Do u chia hết cho BCNN(ui , vj ) Suy u ∈ (UCLN(ui , vj )| ≤ i ≤ r), ta có (i) Chứng minh (ii) tương tự với lưu ý UCLN(ui , vj )BCNN(ui , vj ) = ui vj Để nhận biết lớp iđêan đơn thức đặc biệt vành đa thức n biến K[x1 , x2 , , xn ] ta dựa vào mệnh đề sau 2.2.9 Mệnh đề Cho I iđêan đơn thức vành đa thức K[x1 , x2 , , xn ], với K trường Khi đó: 37 (i) I iđêan nguyên tố I sinh biến (ii) I iđêan bất khả quy I sinh luỹ thừa biến √ (iii) I iđêan (tức I = I ) I sinh đơn thức không chứa bình phương (iv) I iđêan nguyên sơ I có tập Y biến cho đơn thức sinh tối thiểu I chứa biến Y và, với x ∈ Y , I chứa luỹ thừa x Ví dụ sau minh họa cho mệnh đề 2.2.10 Ví dụ Xét vành đa thức K[x1 , x2 , , xn ] với K trường Ta có: a) I1 = (x1 , x2 ) iđêan nguyên tố b) I2 = (x1 x2 x3 , x21 , x53 ) không iđêan nguyên sơ, với tập hợp Y = / I ∀n {x1 , x2 , x3 } ta có x2 ∈ Y xn2 ∈ c) I3 = (x1 x2 , x31 , x42 ) iđêan nguyên sơ d) I4 = (x21 , x43 ) iđêan bất khả quy 2.3 Sự phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức Định lý Lasker - Noether phân tích nguyên sơ tổng quát hóa Định lý Số học Ý nghĩa hình học định lý phân tích nguyên sơ cho iđêan là: Mỗi tập đại số afin phân tích thành hợp số hữu hạn tập đại số afin bất khả quy Theo Hệ 2.1.11, iđêan vành đa thức n biến K[x1 , x2 , , xn ] có phân tích nguyên sơ Do iđêan đơn thức vành đa thức n biến K[x1 , x2 , , xn ] có phân tích nguyên sơ Để phân tích iđêan đơn thức vành đa thức n biến K[x1 , x2 , , xn ] thành giao iđêan nguyên sơ ta dựa vào bổ đề sau 38 2.3.1 Bổ đề Giả sử u, v hai đơn thức không chứa biến chung u1 , , ur đơn thức Khi (u1 , , ur , uv) = (u1 , , ur , u) ∩ (u1 , , ur , v) Chứng minh Bao hàm thức ⊆ hiển nhiên Do ta cần chứng minh bao hàm thức ngược lại ⊇ Giả sử f ∈ (u1 , , ur , u) ∩ (u1 , , ur , v) w đơn thức xuất biểu diễn tắc f Do f ∈ (u1 , , ur , u) f ∈ (u1 , , ur , v), theo Bổ đề 2.2.3 Bổ đề 2.2.4 có hai khả xảy ra: - Nếu ∃ui (1 ≤ i ≤ r) cho w chia hết cho ui Khi theo Bổ đề 2.2.3 ta suy w ∈ (u1 , , ur , uv) - Nếu w không chia hết cho ui , với i = 1, , r Khi w chia hết cho u v Do u, v nguyên tố nên w chia hết cho uv Từ suy w ∈ (u1 , , ur , uv) Tóm lại, hai khả ta có f ∈ (u1 , , ur , uv) Áp dụng Bổ đề 2.3.1 nhiều lần, ta phân tích I thành giao iđêan đơn thức bất khả quy iđêan sinh luỹ thừa biến Loại bỏ iđêan bất khả quy chứa iđêan bất khả quy khác giao ghép iđêan bất khả quy có chung tập biến lại, ta phân tích nguyên sơ tối giản I Tuy nhiên để có cách phân tích nhanh phải ý chọn đơn thức uv khéo léo, chẳng hạn u v phải có bậc thấp Một vấn đề thú vị đặt tìm cách phân tích nhanh iđêan I mà dựa vào bổ đề Nhờ vào bổ đề sau phân tích I đưa dạng tối giản 2.3.2 Bổ đề Giả sử I1 , , Ir , I iđêan đơn thức sinh luỹ thừa biến Giả sử I1 I, , Ir I1 ∩ ∩ Ir I Khi I 39 Chứng minh Giả sử ngược lại I1 ∩ ∩ Ir ⊆ I Với i ≤ r, Ii I , chọn đơn thức sinh dạng xajii Ii cho không thuộc I Vì BCNN(xaj11 , , xajrr ) ∈ I1 ∩ ∩ Ir nên BCNN(xaj11 , , xajrr ) chia hết cho đơn thức sinh xak I Không tính tổng quát giả thiết j1 = k a1 số lớn tất số mà ji = k Khi a1 luỹ thừa biến xk BCNN(xaj11 , , xajrr ) Từ phải có a1 ≥ a Suy xaj11 ∈ I Mâu thuẫn Vậy I1 ∩ ∩ Ir I Từ hai bổ đề ta có kết sau 2.3.3 Mệnh đề Nếu I = ∩Ij phân tích nguyên sơ tối giản tuỳ ý với Ij đơn thức, Ij phải chứa thành phần nguyên sơ tương ứng với Ij phân tích ban đầu Mệnh đề sau cho ta thêm phương pháp để phân tích tích iđêan đơn thức thành giao iđêan nguyên sơ 2.3.4 Mệnh đề Cho I, J hai iđêan đơn thức Khi I ∩ J = IJ tập sinh đơn thức tối tiểu I J biến chung m2 mr 2.3.5 Bổ đề Cho iđêan q = (xm , x2 , , xr ) vành đa thức n biến K [x] với m1 , m2 , , mr ∈ N ≤ r ≤ n Khi q iđêan nguyên sơ √ √ q iđêan nguyên tố với q = (x1 , x2 , , xr ) Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.9 q iđêan nguyên sơ theo Hệ √ √ 1.4.4 q iđêan nguyên tố Ta cần chứng minh q = (x1 , x2 , , xr ) √ Trước hết ta chứng minh (x1 , x2 , , xr ) ⊆ q Lấy h ∈ (x1 , x2 , , xr ), r xi fi , fi ∈ K [x1 , x2 , , xn ] ∀i = 1, r Đặt tức h = i=1 a = max {ai | i = 1, 2, , r} 40 Ta có r a h = x i fi a ∈q⇒h∈ √ q, (x1 , x2 , , xr ) ⊆ √ q (1) i=1 Ta chứng minh √ q ⊆ (x1 , x2 , , xr ) Ta có √ q = qi , qi i∈Ω iđêan nguyên tố vành K [x1 , x2 , , xn ] chứa q , với ∀i ∈ Ω Mà (x1 , x2 , , xr ) iđêan nguyên tố vành K [x1 , x2 , , xn ] chứa q , √ suy (x1 , x2 , , xr ) ⊇ qi , (x1 , x2 , , xr ) ⊇ q (2) √i∈Ω Từ (1) (2) suy q = (x1 , x2 , , xr ) 2.4 Ví dụ Trong mục trình bày số ví dụ phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức nhằm mục đích minh hoạ cho phương pháp phân tích nguyên sơ trình bày Mục 2.3 2.4.1 Ví dụ Xét vành đa thức biến trường K R = K[x1 , x2 , x3 ] Cho I = (x21 , x22 , x1 x2 x3 ) iđêan R Rõ ràng I iđêan đơn thức không nguyên sơ Áp dụng Bổ đề 2.3.1, ta có I = (x21 , x22 , x1 x2 x3 ) = (x21 , x22 , x1 ) ∩ (x21 , x22 , x2 ) ∩ (x21 , x22 , x3 ) = (x1 , x22 ) ∩ (x21 , x2 ) ∩ (x21 , x22 , x3 ) (1) Đặt q1 = (x1 , x22 ); q2 = (x21 , x2 ) q3 = (x21 , x22 , x3 ) Khi theo Bổ đề 2.3.5, √ √ q1 , q2 , q3 iđêan nguyên sơ với q1 = (x1 , x2 ) = p1 ; q2 = (x1 , x2 ) = p2 ; √ q3 = (x1 , x2 , x3 ) = p3 Do I = q1 ∩ q2 ∩ q3 phân tích nguyên sơ √ √ iđêan I phân tích không thu gọn q1 = q2 = (x1 , x2 ) 41 Đặt q1 = q1 ∩ q2 = (x1 x2 , x21 , x22 ) Khi q1 iđêan nguyên sơ Ta có q1 = (x1 , x2 ) Khi I = q1 ∩ q3 (2) phân tích nguyên sơ thu gọn I Hơn nữa, AssR (R/I) = {(x1 , x2 ); (x1 , x2 , x3 )} = {p1 ; p3 } Ta thấy p1 ⊆ p3 tức p1 tối thiểu nên q1 thành phần cô lập phân tích nguyên sơ thu gọn (2) I 2.4.2 Ví dụ Xét vành đa thức biến trường K R = K[x1 , x2 , x3 ] Cho I = (x21 , x1 x2 , x1 x22 x3 ) iđêan R Rõ ràng I iđêan đơn thức không nguyên sơ Áp dụng Bổ đề 2.3.1 nhiều lần, ta có I = (x21 , x1 x2 , x1 x22 x3 ) = (x21 , x1 x2 , x1 x22 ) ∩ (x21 , x1 x2 , x3 ) = (x21 , x1 x2 ) ∩ (x21 , x3 , x1 ) ∩ (x21 , x3 , x2 ) = (x21 , x1 ) ∩ (x21 , x2 ) ∩ (x1 , x3 ) ∩ (x21 , x3 , x2 ) = (x1 ) ∩ (x21 , x2 ) ∩ (x1 , x3 ) ∩ (x21 , x3 , x2 ) (1) Đặt q1 = (x1 ); q2 = (x21 , x2 ); q3 = (x1 , x3 ); q4 = (x21 , x3 , x2 ) Khi theo √ √ Bổ đề 2.3.5, q1 , q2 , q3 , q4 iđêan nguyên sơ với q1 = (x1 ) = p1 ; q2 = √ √ (x1 , x2 ) = p2 ; q3 = (x1 , x3 ) = p3 ; q4 = (x1 , x3 , x2 ) = p4 Do I = q1 ∩ q2 ∩ q ∩ q4 phân tích nguyên sơ thu gọn I Hơn nữa, AssR (R/I) = {(x1 ); (x1 , x2 ); (x1 , x3 ); (x1 , x3 , x2 )} = {p1 ; p2 ; p3 ; p4 } Ta thấy p1 ⊆ p2 ; p1 ⊆ p3 ; p1 ⊆ p4 tức p1 tối thiểu nên q1 thành phần cô lập phân tích nguyên sơ thu gọn (1) I Do q1 có mặt 42 phân tích nguyên sơ thu gọn khác I Chẳng hạn, I = (x1 ) ∩ (x21 , x1 x2 , x22 ) ∩ (x1 , x3 ) ∩ (x21 , x3 , x2 ) = q1 ∩ q2 ∩ q3 ∩ q4 phân tích nguyên sơ thu gọn I (ở q2 = q2 ) 2.4.3 Ví dụ Xét vành đa thức biến trường K R = K[x1 , x2 , x3 ] Cho I = (x1 x22 , x2 x3 , x21 x43 ) iđêan R Rõ ràng I iđêan đơn thức không nguyên sơ Áp dụng Bổ đề 2.3.1 nhiều lần, ta có I = (x1 x22 , x2 x3 , x21 x43 ) = (x1 x22 , x2 , x21 x43 ) ∩ (x1 x22 , x3 , x21 x43 ) = (x1 , x2 , x21 x43 ) ∩ (x22 , x2 , x21 x43 ) ∩ (x1 x22 , x3 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x2 , x21 x43 ) ∩ (x1 x22 , x3 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x2 , x21 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x1 , x3 ) ∩ (x22 , x3 ) = (x21 , x2 ) ∩ (x2 , x43 ) ∩ (x1 , x3 ) ∩ (x22 , x3 ) (1) (vì (x1 , x2 ) ⊇ (x21 , x2 ) nên ta bỏ được) Đặt q1 = (x21 , x2 ); q2 = (x2 , x43 ); q3 = (x22 , x3 ); q4 = (x1 , x3 ) Khi theo Bổ đề 2.3.5, q1 , q2 , q3 , q4 √ √ iđêan nguyên sơ với q1 = (x1 , x2 ) = p1 ; q2 = (x2 , x3 ) = p2 ; √ √ q3 = (x2 , x3 ) = p3 ; q4 = (x1 , x3 ) = p4 Do I = q1 ∩ q2 ∩ q3 ∩ q4 √ phân tích nguyên sơ iđêan I phân tích không thu gọn q2 = √ q3 = (x2 , x3 ) Đặt q1 = q2 ∩ q3 = (x2 , x43 ) ∩ (x22 , x3 ) = (x22 , x22 x43 , x2 x3 , x43 ) √ √ Ta có q1 iđêan nguyên sơ q2 = q3 = (x2 , x3 ) Khi I = q1 ∩ q1 ∩ q4 phân tích thu gọn I Ngoài ta có AssR (R/I) = {(x1 , x2 ); (x2 , x3 ); (x1 , x3 )} = {p1 ; p2 ; p4 } 2.4.4 Ví dụ Xét vành đa thức biến trường K R = K[x1 , x2 , x3 ] Cho I = (x31 x42 , x1 x33 , x22 x33 , x21 x22 x3 ) iđêan R Rõ ràng I 43 iđêan đơn thức không nguyên sơ Áp dụng Bổ đề 2.3.1 nhiều lần, ta có I = (x31 x42 , x1 x33 , x2 x33 , x21 x22 x3 ) = (x1 , x2 x23 ) ∩ (x33 , x31 x42 , x2 x23 , x21 x22 x3 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x33 , x23 , x31 x42 , x21 x22 x3 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x23 , x31 x42 , x21 x22 x3 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x23 , x31 x42 , x3 ) ∩ (x23 , x31 x42 , x21 x22 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x31 x42 , x3 ) ∩ (x23 , x21 x22 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x31 , x3 ) ∩ (x42 , x3 ) ∩ (x23 , x21 ) ∩ (x23 , x22 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x21 , x23 ) ∩ (x33 , x2 ) ∩ (x31 , x3 ) ∩ (x42 , x3 ) ∩ (x23 , x22 ) Đặt q1 = (x1 , x2 ); q2 = (x21 , x23 ); q3 = (x33 , x2 ); q4 = (x31 , x3 ); q5 = (x42 , x3 ); √ q6 = (x23 , x22 ) Khi q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 iđêan nguyên sơ với q1 = √ √ √ (x1 , x2 ) = p1 ; q2 = (x1 , x3 ) = p2 ; q3 = (x2 , x3 ) = p3 ; q4 = (x1 , x3 ) = p4 ; √ √ q5 = (x2 , x3 ) = p5 ; q6 = (x2 , x3 ) = p6 Do I = q1 ∩ q2 ∩ q3 ∩ q4 phân tích nguyên sơ iđêan I Sự phân tích không thu gọn, √ √ √ q3 = q5 = q6 = (x2 , x3 ) Đặt q1 = q2 ∩ q4 = (x21 , x23 ) ∩ (x31 , x3 ) = (x31 , x31 x23 , x21 x3 , x23 ), q2 = q3 ∩ q5 ∩ q6 = (x33 , x2 ) ∩ (x42 , x3 ) ∩ (x23 , x22 ) = (x2 x3 , x42 , x42 x3 , x33 ) ∩ (x23 , x22 ) = (x2 x23 , x42 x23 , x42 x33 , x33 , x22 x3 , x42 , x42 x33 , x22 x33 ) = (x2 x33 , x42 x23 , x42 x33 , x33 , x22 x3 , x42 , x22 x33 ) Ta có q1 = (x1 , x3 ) q2 = (x2 , x3 ) Khi I = q1 ∩ q1 ∩ q2 phân tích nguyên sơ thu gọn I Hơn ta có AssR (R/I) = {(x1 , x2 ); (x1 , x3 ); (x2 , x3 )} = {p1 ; p2 ; p3 } KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo, Luận văn hoàn thành việc sau: Trình bày tồn phân tích nguyên sơ môđun Noether iđêan vành Noether Trình bày số tính chất iđêan đơn thức vành đa thức với hệ tử trường Trình bày phương pháp phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức Đưa số ví dụ minh họa cho việc phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Gr¨ obner, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, NXB Đại học Sư phạm [4] Dương Quốc Việt (2008), Lý thuyết chiều, NXB Đại học Sư phạm Tiếng Anh [5] M.F Atiyah and I.G Macdonal (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading, Mass [6] H Matsumura (1970), Commutative Algebra, Benjamin [...]... Mà mọi đơn thức chia hết cho xa lại thuộc I Do đó mỗi từ của f là tích của một đơn thức thuộc I và một phần tử K , tức là có (iii) Như vậy mỗi iđêan đơn thức được xác định duy nhất bằng tập các đơn thức của nó 2.2.5 Hệ quả Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau nếu chúng chứa cùng một tập hợp đơn thức 2.2.6 Bổ đề Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I , các từ của f đều... lập trong sự phân tích của N Nếu Qi không phải là thành phần cô lập thì được là thành phần nhúng Theo Định lí 1.5.2, trong sự phân tích nguyên sơ của N thì các thành phần cô lập là xác định duy nhất còn các thành phần nhúng có thể không duy nhất (ii) Cũng từ Định lí 1.5.2 ta thấy muốn tìm AssM ta chỉ cần tìm sự phân tích nguyên sơ của môđun con 0 của M Giả sử 0 của M có sự phân tích nguyên sơ thu gọn... nào để phân tích nhanh nhất một iđêan đơn thức thành giao của các iđêan nguyên sơ 33 2.2.1 Định nghĩa Iđêan I ⊆ K[x] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi các đơn thức Như vậy một iđêan đơn thức có dạng I = (xa ; a ∈ A), trong đó A ⊆ Nn và không yêu cầu tập A hữu hạn 2.2.2 Ví dụ a) Cho I là iđêan của vành đa thức một biến K[x] sinh bởi x: I = (x) = {xf (x)| f (x) ∈ K[x]} = tất cả các đa thức trong... trong đó Qi là pi -nguyên sơ Khi đó AssM = {p1 , p2 , , pn } CHƯƠNG 2 SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC 2.1 Vành đa thức nhiều biến 2.1.1 Xây dựng vành đa thức Cho R là một vành và x1 , x2 , , xn (n 1) là các biến Ta gọi đơn thức là biểu thức có dạng xa11 xann trong đó (a1 , a2 , , an ) ∈ Nn được gọi một bộ số mũ của đơn thức Nếu a1 = a2 = = an = 0, thì đơn thức được kí hiệu... quả Mọi iđêan của vành đa thức K [x] trên trường K là hữu hạn sinh và đều có sự phân tích nguyên sơ Từ nay về sau ta đều xét vành đa thức với hệ tử trên một trường K 2.2 Iđêan đơn thức Cho K là một trường Khi đó theo Định lý Hilbert về cơ sở thì vành đa thức n biến K[x] := K [x1 , x2 , , xn ] là một vành Noether Trong vành đa thức K[x] có các iđêan đặc biệt gọi là iđêan đơn thức, trông tuy đơn giản... tích nguyên sơ của N Mỗi vành Noether R là một môđun Noether trên chính nó Khi đó mỗi iđêan nguyên sơ của vành R là một môđun con nguyên sơ của R-môđun R 25 Vì vậy từ định lí trên ta có ngay hệ quả sau là Định lí Lasker - Noether cho vành 1.5.3 Hệ quả Cho R là một vành giao hoán, Noether và I là một iđêan của vành R Khi đó tồn tại sự phân tích nguyên sơ I = q1 ∩ q2 ∩ ∩ qn (∗), trong đó qi là pi -nguyên. .. vị Lớp iđêan này rất quan trọng, trước hết vì nó là ví dụ cho nhiều vấn đề trong Đại số giao hoán Hơn nữa, lí thuyết về cơ sở Gr¨obner cho phép xấp xỉ một iđêan tùy ý bằng iđêan đơn thức, mà trong nhiều trường hợp từ cấu trúc của nó có thể nhận thông tin ngược trở lại về iđêan ban đầu Như phần trên đã trình bày thì iđêan đơn thức I có sự phân tích nguyên sơ Có những phương pháp nào để phân tích và... nguyên sơ Thật vậy, với ∀a ∈ R, x ∈ M sao cho ax ∈ N Suy ra ax ∈ N1 và ax ∈ N2 Điều đó dẫn đến a ∈ p hoặc x ∈ N1 ∩ N2 Do đó nếu a ∈ / rM (N ) = p thì x ∈ N1 ∩ N2 = N Vậy N là một môđun con nguyên sơ 21 1.5 Sự phân tích nguyên sơ của môđun Noether 1.5.1 Định nghĩa Cho vành R và M là một R-môđun (i) Cho N là môđun con của M Ta nói rằng N có sự phân tích nguyên sơ nếu tồn tại hữu hạn môđun con nguyên. .. là iđêan đơn thức b) Cho I1 , I2 , I3 là các iđêan của vành K[x1 , x2 ] với I1 = (x1 , x2 ) = {x1 f + x2 g| f, g ∈ K[x]}, I2 = (x21 , x2 ) = {x21 f + x2 g| f, g ∈ K[x]}, I3 = (x1 , x22 ) = {x1 f + x22 g| f, g ∈ K[x]} là các iđêan đơn thức và I2 ⊆ I1 , I3 ⊆ I1 vì mọi phần tử sinh của I2 , I3 đều thuộc I1 Sau đây là một tính chất của iđêan đơn thức 2.2.3 Bổ đề Cho I = (xa ; a ∈ A) là iđêan đơn thức Đơn. .. gọn được Định lí sau đây được gọi là Định lí phân tích nguyên sơ Lasker - Noether của môđun 1.5.2 Định lí Giả sử M là một R-môđun Noether Khi đó các phát biểu sau là đúng: (i) Mọi môđun con N của M luôn có sự phân tích nguyên sơ thu gọn; (ii) Giả sử N = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn (∗) là một sự phân tích thu gọn của môđun con N , trong đó Qi là môđun con pi -nguyên sơ với mọi i = 1, 2, , n Khi đó tập hợp {p1 ... Chương Sự phân tích nguyên sơ iđêan đơn thức Chương nội dung luận văn Chúng trình bày vành đa thức nhiều biến; lớp iđêan đặc biệt vành đa thức nhiều biến, lớp iđêan đơn thức phân tích nguyên sơ iđêan. .. CHƯƠNG SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA MÔĐUN NOETHER 1.1 Iđêan nguyên sơ số lớp iđêan đặc biệt khác 1.1.1 Iđêan nguyên sơ Cho R vành giao hoán có đơn vị, I iđêan vành R I = R Iđêan I gọi iđêan nguyên sơ. .. tìm phân tích nguyên sơ môđun M Giả sử M có phân tích nguyên sơ thu gọn = Q1 ∩ Q2 ∩ ∩ Qn , Qi pi -nguyên sơ Khi AssM = {p1 , p2 , , pn } CHƯƠNG SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC