Iđêan đơn thức

2 Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức

2.2.Iđêan đơn thức

Cho K là một trường. Khi đó theo Định lý Hilbert về cơ sở thì vành đa thức n biến K[x] := K[x1, x2, . . . , xn] là một vành Noether. Trong vành đa thức K[x] có các iđêan đặc biệt gọi là iđêan đơn thức, trông tuy đơn giản nhưng có rất nhiều tính chất thú vị. Lớp iđêan này rất quan trọng, trước hết vì nó là ví dụ cho nhiều vấn đề trong Đại số giao hoán. Hơn nữa, lí thuyết về cơ sở Gr¨obner cho phép xấp xỉ một iđêan tùy ý bằng iđêan đơn thức, mà trong nhiều trường hợp từ cấu trúc của nó có thể nhận thông tin ngược trở lại về iđêan ban đầu. Như phần trên đã trình bày thì iđêan đơn thức I có sự phân tích nguyên sơ. Có những phương pháp nào để phân tích và làm thế nào để phân tích nhanh nhất một iđêan đơn thức thành giao của các iđêan nguyên sơ.

2.2.1 Định nghĩa. Iđêan I ⊆ K[x] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi các đơn thức.

Như vậy một iđêan đơn thức có dạng I = (xa; a ∈ A), trong đó A ⊆ Nn và không yêu cầu tập A hữu hạn.

2.2.2 Ví dụ. a) Cho I là iđêan của vành đa thức một biến K[x] sinh bởi x: I = (x) ={xf(x)| f(x) ∈ K[x]}

= tất cả các đa thức trong K[x] có hệ số tự do bằng 0, và I là iđêan đơn thức.

b) Cho I1, I2, I3 là các iđêan của vành K[x1, x2] với I1 = (x1, x2) = {x1f +x2g| f, g ∈ K[x]}, I2 = (x21, x2) = {x2

1f +x2g| f, g ∈ K[x]}, I3 = (x1, x22) = {x1f +x22g| f, g ∈ K[x]}

là các iđêan đơn thức và I2 ⊆ I1, I3 ⊆ I1 vì mọi phần tử sinh của I2, I3 đều thuộc I1.

Sau đây là một tính chất của iđêan đơn thức.

2.2.3 Bổ đề. Cho I = (xa; a ∈ A) là iđêan đơn thức. Đơn thức xb ∈ I khi và chỉ khi xb chia hết cho một đơn thức xa với a ∈ A nào đó.

Chứng minh. Rõ ràngxb ∈ I nếuxb chia hết cho một đơn thứcxa với a ∈ A. Ngược lại, nếu xb ∈ I thì tồn tại hi ∈ K[x] và a(i) ∈ A, i = 1, . . . , s sao cho

xb =

s

X

i=1

hi.xa(i).

Xem hi như tổng hữu hạn các từ và khai triển vế phải của đẳng thức trên ta thấy mỗi từ của nó phải chia hết cho xa(i) nào đó. Sau khi giản ước, một

trong số từ đó còn lại và phải bằng xb. Vậy xb phải có tính chất của những từ đó, tức là chia hết cho xa(i) nào đó.

2.2.4 Bổ đề. Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ K[x]. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) f ∈ I.

(ii) Mọi từ của f thuộc I.

(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I.

Chứng minh. Hiển nhiên có (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i). Đối với (i) ⇒ (iii) nhận xét rằng tương tự như chứng minh bổ đề trên ta có mỗi từ của f phải chia hết cho xa với a ∈ A nào đó. Mà mọi đơn thức chia hết cho xa lại thuộc I. Do đó mỗi từ của f là tích của một đơn thức thuộc I và một phần tử K, tức là có (iii).

Như vậy mỗi iđêan đơn thức được xác định duy nhất bằng tập các đơn thức của nó.

2.2.5 Hệ quả. Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau nếu chúng chứa cùng một tập hợp đơn thức.

2.2.6 Bổ đề. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I, các từ của f đều thuộc I.

Chứng minh. Điều kiện cần được suy ra từ Bổ đề 2.2.4. Từ giả thiết suy ra tập tất cả các đơn thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I. Do đó điều kiện đủ được chứng minh.

2.2.7 Bổ đề (Bổ đề Dickson). Mọi iđêan đơn thức I = (xa; a ∈ A) bao giờ cũng viết được dưới dạng I = (xa(1), . . . ,xa(s)), trong đó a(1), . . . ,a(s) ∈ A. Nói riêng I là hữu hạn sinh.

Chứng minh. Chứng minh bằng qui nạp theo biến số n. Khi n = 1 ta có A ⊆ N. Chọn b ∈ A là số nhỏ nhất. Khi đó xb1 chia hết mọi đơn thức xa1 với a ∈ A. Từ đó có ngay I = (xb).

Giả sử bổ đề đã được chứng minh đối với ≤ n − 1 biến. Kí hiệu x0 =

{x1, x2, . . . , xn−1}. Như vậy mỗi đơn thức trong K[x] có thể viết dưới dạng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

x0αxqn, trong đó α ∈ Nn−1 và q ∈ N. Gọi J là iđêan của vành K[x0] sinh bởi các đơn thức x0α sao cho tồn tại xmn để x0αxmn ∈ I. Theo giả thiết qui nạp, J sinh bởi hữu hạn đơn thức như vậy, tức là

J = (x0α(1), . . . ,x0α(s)).

Theo định nghĩa với mỗi i = 1, . . . , s thì ∃mi ∈ N sao cho x0α(i)xmi

n ∈ I. Giả sử m = max{m1, . . . , ms}. Với mỗi p = 0, . . . , m−1, xét iđêan Jp ⊆ K[x0]

sinh bởi các đơn thức x0β sao cho x0βxpn ∈ I. Lại theo giả thiết qui nạp Jp = (x0αp(1), . . . ,x0αp(sp)), p= 0, . . . , m−1.

Ta sẽ chứng tỏ I sinh bởi các đơn thức

(từ J :) x0α(1)xmn, . . . ,x0α(s)xmn,

(từ J0 :) x0α0(1), . . . ,x0α0(s0),

(từ J1 :) x0α1(1)xn, . . . ,x0α1(s1)xn, . . .

(từ Jm−1 :) x0αm−1(1)xmn−1, . . . ,x0αm−1(sm−1)xmn−1.

Thật vậy, giả sử x0αxqn ∈ I. Nếu q ≥ m, theo cách xây dựng J, x0α phải chia hết cho x0α(i) nào đó, và do đó x0αxqn chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ nhất ở trên. Nếu q ≤ m−1 thì x0αxqn chia hết cho một đơn thức ở dòng thứ q + 2 ở trên. Theo Bổ đề 2.2.3 và Hệ quả 2.2.5 các đơn thức liệt kê ở trên sinh ra I.

Như vậy I sinh bởi một tập hợp hữu hạn các đơn thức xβ(1), . . . ,xβ(r). Sử dụng Bổ đề 2.2.3 lần nữa, ta thấy mỗi đơn thức xβ(j) chia hết cho xγ(j) nào đó với γ(j) ∈ A. Từ đó có ngay I = (xγ(1), . . . ,xγ(r)).

Theo Bổ đề 2.2.7, để mô tả iđêan đơn thức I chỉ cần chỉ rõ tập tất cả các đơn thức thuộc I.

2.2.8 Mệnh đề. Cho I, J là hai iđêan đơn thức. Khi đó I∩J và I : J là các iđêan đơn thức. Hơn nữa, nếu I = (u1, u2, . . . , ur) và J = (v1, v2, . . . , vs),

ui, vj là các đơn thức, thì

(i) I ∩J = (BCNN(ui, vj)| 1≤ i ≤ r; 1 ≤ i ≤ j).

(ii) I : vj = (ui/UCLN(ui, vj)| 1 ≤ i ≤ r).

Do đó I :J có thể tính được theo công thức I : J = ∩s

j=1(I : vj) và (i). Chứng minh. Ta đã có I : J = ∩s

j=1(I : vj). Do đó chỉ cần chứng minh I ∩J là iđêan đơn thức và công thức tính ở (i) và (ii) đúng. Cho f ∈ I ∩J và u là một từ của f. Vì I, J là các iđêan đơn thức nên theo Bổ đề 2.2.6 ta có u ∈ I và u ∈ J. Do đó u ∈ I ∩ J. Lại theo Bổ đề 2.2.6 ta có I ∩ J là iđêan đơn thức.

Để chứng minh (i), ta thấy bao hàm thức ⊇ là hiển nhiên. Cho đơn thức u ∈ I ∩ J. Theo Bổ đề 2.2.3 ta có u chia hết cho ui và vj nào đó. Do đó u chia hết cho BCNN(ui, vj). Suy ra u ∈ (UCLN(ui, vj)| 1 ≤ i ≤ r), và ta có (i).

Chứng minh (ii) tương tự với lưu ý rằng

UCLN(ui, vj)BCNN(ui, vj) = uivj.

Để nhận biết các lớp iđêan đơn thức đặc biệt trong vành đa thức n biến K[x1, x2, . . . , xn] ta dựa vào mệnh đề sau.

2.2.9 Mệnh đề. ChoI là iđêan đơn thức trong vành đa thứcK[x1, x2, . . . , xn], với K là một trường. Khi đó:

(i) I là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I sinh bởi các biến.

(ii) I là iđêan bất khả quy khi và chỉ khi I sinh bởi luỹ thừa của các biến.

(iii) I là iđêan căn (tức là I = √

I) khi và chỉ khi I sinh bởi các đơn thức không chứa bình phương.

(iv) I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi I có một tập con Y các biến sao cho các đơn thức sinh tối thiểu của I chỉ chứa các biến trong Y và, với mỗi (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

x ∈ Y, I chứa một luỹ thừa nào đó của x.

Ví dụ sau sẽ minh họa cho mệnh đề trên.

2.2.10 Ví dụ. Xét vành đa thức K[x1, x2, . . . , xn] với K là trường. Ta có: a) I1 = (x1, x2) là iđêan nguyên tố.

b) I2 = (x1x2x3, x21, x53) không là iđêan nguyên sơ, vì với tập hợp Y =

{x1, x2, x3} ta có x2 ∈ Y nhưng xn2 ∈/ I ∀n. c) I3 = (x1x2, x31, x42) là iđêan nguyên sơ. d) I4 = (x21, x43) là iđêan bất khả quy.

2.3 Sự phân tích nguyên sơ của iđêan đơn thức

Định lý Lasker - Noether về sự phân tích nguyên sơ là tổng quát hóa Định lý cơ bản trong Số học. Ý nghĩa hình học của định lý phân tích nguyên sơ cho iđêan là: Mỗi tập đại số afin đều được phân tích thành hợp của một số hữu hạn các tập đại số afin bất khả quy.

Theo Hệ quả 2.1.11, mọi iđêan trong vành đa thứcnbiếnK[x1, x2, . . . , xn]

đều có phân tích nguyên sơ. Do đó mọi iđêan đơn thức trong vành đa thức n biến K[x1, x2, . . . , xn] đều có phân tích nguyên sơ.

Để phân tích một iđêan đơn thức trong vành đa thứcnbiếnK[x1, x2, . . . , xn]

2.3.1 Bổ đề. Giả sử u, v là hai đơn thức không chứa biến chung và u1, . . . , ur

là các đơn thức. Khi đó

(u1, . . . , ur, uv) = (u1, . . . , ur, u)∩(u1, . . . , ur, v).

Chứng minh. Bao hàm thức⊆ hiển nhiên đúng. Do đó ta chỉ cần chứng minh bao hàm thức ngược lại ⊇. Giả sử f ∈ (u1, . . . , ur, u) ∩(u1, . . . , ur, v) và w

là đơn thức xuất hiện trong biểu diễn chính tắc của f. Do f ∈ (u1, . . . , ur, u)

và f ∈ (u1, . . . , ur, v), theo Bổ đề 2.2.3 và Bổ đề 2.2.4 có hai khả năng xảy ra:

- Nếu ∃ui nào đó (1 ≤ i ≤ r) sao cho w chia hết cho ui. Khi đó theo Bổ đề 2.2.3 ta suy ra w ∈ (u1, . . . , ur, uv).

- Nếu w không chia hết cho ui, với mọi i = 1, . . . , r. Khi đó w chia hết cho u và v. Do u, v nguyên tố cùng nhau nên w chia hết cho uv. Từ đó suy ra w ∈ (u1, . . . , ur, uv).

Tóm lại, cả hai khả năng trên thì ta đều có f ∈ (u1, . . . , ur, uv).

Áp dụng Bổ đề 2.3.1 nhiều lần, ta có thể phân tích I thành giao của các iđêan đơn thức bất khả quy là những iđêan sinh ra bởi luỹ thừa của các biến. Loại bỏ những iđêan bất khả quy chứa một iđêan bất khả quy khác trong giao và ghép các iđêan bất khả quy có cùng chung tập biến lại, ta sẽ được một phân tích nguyên sơ tối giản của I. Tuy nhiên để có cách phân tích nhanh thì phải chú ý chọn đơn thức uv khéo léo, chẳng hạn u hoặc v phải có bậc thấp. Một vấn đề khá thú vị đặt ra là tìm cách phân tích nhanh nhất iđêan I mà chỉ dựa vào bổ đề trên. Nhờ vào bổ đề sau đây mỗi phân tích của I đều có thể đưa về dạng tối giản.

2.3.2 Bổ đề. Giả sử I1, . . . , Ir, I là các iđêan đơn thức chỉ sinh bởi luỹ thừa của các biến. Giả sử rằng I1 * I, . . . , Ir * I. Khi đó

Chứng minh. Giả sử ngược lại I1 ∩ . . .∩Ir ⊆ I. Với mỗi i ≤ r, vì Ii * I, có thể chọn được đơn thức sinh dạng xai

ji của Ii sao cho nó không thuộc I. Vì

BCNN(xa1j1, . . . , xar

jr) ∈ I1∩. . .∩Ir nên BCNN(xa1j1, . . . , xar

jr) chia hết cho một đơn thức sinh xak nào đó của I. Không mất tính tổng quát có thể giả thiết j1 = k và a1 là số lớn nhất trong tất cả các số ai mà ji = k. Khi đó a1 là luỹ thừa của biến xk trong BCNN(xa1j1, . . . , xar

jr). Từ đó phải có a1 ≥ a. Suy ra xa1j1 ∈ I. Mâu thuẫn. Vậy I1 ∩. . .∩Ir * I.

Từ hai bổ đề trên ta có kết quả sau.

2.3.3 Mệnh đề. Nếu I = ∩Ij là một sự phân tích nguyên sơ tối giản tuỳ ý với Ij là đơn thức, thì Ij phải chứa trong thành phần nguyên sơ tương ứng với pIj ở phân tích ban đầu.

Mệnh đề sau cho ta thêm một phương pháp nữa để phân tích một tích các iđêan đơn thức thành giao của các iđêan nguyên sơ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

2.3.4 Mệnh đề. Cho I, J là hai iđêan đơn thức. Khi đó I ∩J = IJ khi và chỉ khi các tập sinh đơn thức tối tiểu của I và J không có biến chung.

2.3.5 Bổ đề. Cho iđêan q = (xm11 , xm22 , . . . , xmr

r ) trong vành đa thức n biến

K[x] với m1, m2, . . . , mr ∈ N và 1 ≤ r ≤ n. Khi đó q là iđêan nguyên sơ và

√

q là iđêan nguyên tố với √

q = (x1, x2, . . . , xr).

Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.2.9 thì q là iđêan nguyên sơ và theo Hệ quả 1.4.4 thì √

q là iđêan nguyên tố. Ta chỉ cần chứng minh√

q = (x1, x2, . . . , xr). Trước hết ta chứng minh (x1, x2, . . . , xr) ⊆√q. Lấy h ∈ (x1, x2, . . . , xr), tức là h = r P i=1 xifi, trong đó fi ∈ K [x1, x2, . . . , xn] và ∀i = 1, r. Đặt a = max{ai| i = 1,2, . . . , r}.

Ta có ha = r X i=1 xifia ∈ q ⇒ h ∈ √q, do đó (x1, x2, . . . , xr) ⊆√q (1). Ta chứng minh √ q ⊆ (x1, x2, . . . , xr). Ta có √ q = T i∈Ω qi, trong đó qi là các iđêan nguyên tố của vành K[x1, x2, . . . , xn] chứa q, với ∀i ∈ Ω. Mà

(x1, x2, . . . , xr) là một iđêan nguyên tố của vành K[x1, x2, . . . , xn] chứa q, suy ra (x1, x2, . . . , xr) ⊇ T i∈Ω qi, do đó (x1, x2, . . . , xr) ⊇ √q (2). Từ (1) và (2) suy ra √ q = (x1, x2, . . . , xr). 2.4 Ví dụ

Trong mục này chúng tôi trình bày một số ví dụ về phân tích nguyên sơ của các iđêan đơn thức nhằm mục đích minh hoạ cho các phương pháp phân tích nguyên sơ đã trình bày ở Mục 2.3.

2.4.1 Ví dụ. Xét vành đa thức 3 biến trên trường K là R = K[x1, x2, x3]. Cho I = (x21, x22, x1x2x3) là một iđêan của R. Rõ ràng I là một iđêan đơn thức không nguyên sơ. Áp dụng Bổ đề 2.3.1, ta có

I = (x21, x22, x1x2x3)

= (x21, x22, x1)∩(x21, x22, x2)∩(x21, x22, x3) = (x1, x22)∩(x21, x2)∩(x21, x22, x3) (1)

Đặt q1 = (x1, x22); q2 = (x21, x2) và q3 = (x21, x22, x3). Khi đó theo Bổ đề 2.3.5, q1, q2, q3 là các iđêan nguyên sơ với √

q1 = (x1, x2) = p1;√

q2 = (x1, x2) = p2; √

q3 = (x1, x2, x3) = p3. Do đó I = q1 ∩ q2 ∩ q3 là sự phân tích nguyên sơ của iđêan I và sự phân tích này không thu gọn vì √

q1 = √

Đặt q10 = q1 ∩ q2 = (x1x2, x21, x22). Khi đó q10 là iđêan nguyên sơ. Ta có

p

q10 = (x1, x2). Khi đó

I = q10 ∩ q3 (2)

là sự phân tích nguyên sơ thu gọn của I. Hơn nữa,

AssR(R/I) = {(x1, x2); (x1, x2, x3)} = {p1;p3}.

Ta thấy p1 ⊆ p3 tức là p1 là tối thiểu nên q10 là thành phần cô lập trong sự phân tích nguyên sơ thu gọn (2) của I.

2.4.2 Ví dụ. Xét vành đa thức 3 biến trên trường K là R = K[x1, x2, x3]. Cho I = (x21, x1x2, x1x22x3) là một iđêan của R. Rõ ràng I là một iđêan đơn thức không nguyên sơ. Áp dụng Bổ đề 2.3.1 nhiều lần, ta có

I = (x21, x1x2, x1x22x3) = (x21, x1x2, x1x22)∩(x21, x1x2, x3) = (x21, x1x2)∩(x21, x3, x1)∩ (x21, x3, x2) = (x21, x1)∩(x21, x2)∩(x1, x3)∩(x21, x3, x2) = (x1)∩(x21, x2)∩(x1, x3)∩(x21, x3, x2) (1) Đặt q1 = (x1); q2 = (x21, x2); q3 = (x1, x3); q4 = (x21, x3, x2). Khi đó theo Bổ đề 2.3.5, q1, q2, q3, q4 là các iđêan nguyên sơ với √ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

q1 = (x1) = p1; √ q2 = (x1, x2) =p2; √ q3 = (x1, x3) = p3; √ q4 = (x1, x3, x2) =p4. Do đó I = q1 ∩q2 ∩ q3 ∩q4

là sự phân tích nguyên sơ thu gọn của I. Hơn nữa,

AssR(R/I) = {(x1); (x1, x2); (x1, x3); (x1, x3, x2)}= {p1;p2;p3;p4}. Ta thấy p1 ⊆ p2;p1 ⊆ p3;p1 ⊆ p4 tức là p1 là tối thiểu nên q1 là thành phần cô lập trong sự phân tích nguyên sơ thu gọn (1) của I. Do đó q1 luôn có mặt

trong mọi sự phân tích nguyên sơ thu gọn khác của I. Chẳng hạn, I = (x1)∩(x21, x1x2, x22)∩(x1, x3)∩(x21, x3, x2) = q1 ∩q20 ∩q3 ∩q4

cũng là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của I (ở đây q20 6= q2).

2.4.3 Ví dụ. Xét vành đa thức 3 biến trên trường K là R = K[x1, x2, x3]. Cho I = (x1x22, x2x3, x21x43) là một iđêan của R. Rõ ràng I là một iđêan đơn thức không nguyên sơ. Áp dụng Bổ đề 2.3.1 nhiều lần, ta có

I = (x1x22, x2x3, x21x43) = (x1x22, x2, x21x43)∩(x1x22, x3, x21x43) = (x1, x2, x21x43)∩(x22, x2, x21x43)∩(x1x22, x3) = (x1, x2)∩(x2, x21x43)∩ (x1x22, x3) = (x1, x2)∩(x2, x21)∩(x2, x43)∩ (x1, x3)∩(x22, x3) = (x21, x2)∩(x2, x43)∩(x1, x3)∩ (x22, x3) (1)

(vì (x1, x2) ⊇ (x21, x2) nên ta có thể bỏ đi được). Đặt q1 = (x21, x2); q2 = (x2, x43); q3 = (x22, x3); q4 = (x1, x3). Khi đó theo Bổ đề 2.3.5, q1, q2, q3, q4 là các iđêan nguyên sơ với √

q1 = (x1, x2) = p1; √

q2 = (x2, x3) = p2; √

q3 = (x2, x3) = p3; √

q4 = (x1, x3) = p4. Do đó I = q1 ∩q2 ∩q3 ∩q4 là sự phân tích nguyên sơ của iđêan I và sự phân tích này không thu gọn vì √

q2 =

√

q3 = (x2, x3). Đặt q10 = q2 ∩ q3 = (x2, x43)∩ (x22, x3) = (x22, x22x43, x2x3, x43). Ta có q10 là iđêan nguyên sơ và √

q2 = √

q3 = (x2, x3). Khi đó I = q1∩q01∩q4 là sự phân tích thu gọn của I. Ngoài ra ta còn có

AssR(R/I) = {(x1, x2); (x2, x3); (x1, x3)} = {p1;p2;p4}.

2.4.4 Ví dụ. Xét vành đa thức 3 biến trên trường K là R = K[x1, x2, x3]. Cho I = (x31x42, x1x33, x22x33, x21x22x3) là một iđêan của R. Rõ ràng I là một

iđêan đơn thức không nguyên sơ. Áp dụng Bổ đề 2.3.1 nhiều lần, ta có