PHÂN TÍCH NGUYÊN sơ của IDEAL đơn THỨC

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGÔ HOÀNG THÚY HIỀN PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CỦA IDEAL ĐƠN THỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN VĂN THIỆN HUẾ, KHÓA HỌC 2013 - 2017 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo, PGS.TS Phan Văn Thiện tạo điều kiện tốt bảo tận tình, sửa chữa giúp lỗi sai để hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp Bên cạnh đó, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy cô khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Huế tận tình giảng dạy truyền thụ kiến thức quý báu cho suốt bốn năm học tập trường Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình bạn bè, người động viên, khuyến khích giúp đỡ suốt trình hoàn thành khóa luận Huế, tháng năm 2017 Sinh viên Ngô Hoàng Thúy Hiền Mục lục Lời cảm ơn Danh mục ký hiệu Lời nói đầu I Ideal đơn thức vành K[x1 , , xn ] Vành đa thức 1.1 Vành trường 1.2 Vành đa thức nhiều biến Ideal phép toán 2.1 Ideal 2.2 Các phép toán ideal 2.3 Các lớp ideal đặc biệt 6 15 15 16 20 Ideal đơn thức 26 3.1 Ideal đơn thức 26 3.2 Tính chất ideal đơn thức 31 II Phân tích nguyên sơ ideal đơn thức vành K[x1 , , xn ] 35 Sự phân tích nguyên sơ 35 1.1 Vành Noether 35 1.2 Sự phân tích nguyên sơ Sự phân tích nguyên sơ ideal đơn thức vành K[x1 , , xn ] 2.1 Ideal đơn thức nguyên tố 2.2 Ideal đơn thức bất khả quy phân tích nguyên sơ ideal đơn thức Kết luận 37 39 39 40 46 Danh mục kí hiệu Vành đa thức biến trường K K[x1 , , xn ] Vành đa thức n biến trường K Nn = N × N × · · · × N Tích Decartes tập số tự nhiên √ rad(I) = I Căn ideal I x = (x1 , , xn ) Bộ biến vành K[x1 , · · · xn ] a = (a1 , , an ) Bộ số mũ đơn thức a xa = (x11 · · · xann ) Đơn thức vành K[x1 , , xn ] K[x] G(I) Tập sinh đơn thức tối tiểu I LỜI NÓI ĐẦU Đại số ngành quan trọng Toán học Nó không sở cho nhiều ngành Toán học khác mà có nhiều ứng dụng số ngành khoa học kĩ thuật Đại số xây dựng phát triển từ cấu trúc đại số như: nhóm, vành, trường, môđun Ideal phần quan trọng Đại số Các lớp ideal đặc biệt ideal nguyên sơ, ideal nguyên tố, ideal cực đại, ideal bất khả quy đặc biệt ideal đơn thức có vai trò quan trọng việc nghiên cứu Đại số giao hoán Hình học đại số Tuy nhiên, nội dung trình bày cách ngắn gọn trừu tượng chương trình Đại học Được giúp đỡ tận tình Thầy giáo, PGS.TS Phan Văn Thiện với yêu thích môn Đại số, chọn đề tài "Phân tích nguyên sơ ideal đơn thức" để làm khóa luận tốt nghiệp đại học với mong muốn tìm hiểu thêm phân tích nguyên sơ ideal đơn thức Khóa luận chia thành chương: • Chương 1: Ideal đơn thức vành K[x1 , , xn ] • Chương 2: Sự phân tích nguyên sơ ideal đơn thức vành K[x1 , , xn ] Chương chủ yếu trình bày kiến thức ideal ideal đơn thức làm sở tiền đề cho chương Chương nội dung khóa luận, trình bày chi tiết khái niệm định lý phân tích nguyên sơ, phân tích nguyên sơ ideal đơn thức đặc biệt thuật toán tìm phân tích nguyên sơ ideal đơn thức vành K[x1 , , xn ] Do thời gian kiến thức thân hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô giáo bạn sinh viên Tôi xin chân thành cảm ơn Chương I Ideal đơn thức vành K[x1, , xn] Chương trình bày số tính chất vành đa thức ideal đơn thức để làm tiền đề nghiên cứu chương sau Trong toàn tài liệu này, ta xét đến vành giao hoán có đơn vị Vành đa thức Phần nhắc lại số kiến thức vành trường Trọng tâm khái niệm số tính chất vành đa thức 1.1 Vành trường Định nghĩa 1.1.1 ([1], Định nghĩa 1.1) Vành tập hợp R = ∅ trang bị phép toán cộng “ + ” : (a, b) → a + b phép toán nhân “ · ” : (a, b) → a · b thỏa mãn tính chất sau: (i) R với phép cộng nhóm Abel (ii) Phép nhân có tính kết hợp, tức với a, b, c ∈ R: a · (b · c) = (a · b) · c (iii) Phép nhân phân phối phép cộng, tức với a, b, c ∈ R ta có: a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc Chú ý 1.1.2 (i) R gọi vành có đơn vị chứa phần tử thỏa mãn a1 = 1a = a với a ∈ R (ii) R gọi vành giao hoán với a, b ∈ R, ab = ba (iii) Phần tử không vành R kí hiệu 0R (iv) Phần tử đơn vị vành R kí hiệu 1R Ví dụ 1: (i) Tập số nguyên Z, số thực R, số phức C với phép cộng phép nhân thông thường lập thành vành Tập số tự nhiên N vành (ii) Tập R[x] đa thức biến x với hệ số thực lập thành vành (iii) Tập ma trận vuông cấp n trường số với phép cộng phép nhân ma trận vành có đơn vị Vành không giao hoán n > (iv) Tập C[a, b] hàm số thực liên tục đoạn [a, b], với phép cộng phép nhân hàm số vành Định nghĩa 1.1.3 ([1], Định nghĩa 1.6) Một tập S ⊆ R đóng phép cộng phép nhân R gọi vành chứa phần tử R thân với phép toán cảm sinh lập thành vành Để kiểm tra tập R có phải vành hay không ta thường dùng tiêu chuẩn: Bổ đề 1.1.4 Cho R vành S ⊆ R Khi điều kiện sau tương đương: (i) S vành R (ii) Với a, b ∈ S a + b ∈ S, ab ∈ S, −a ∈ S (iii) Với a, b ∈ S a − b ∈ S, ab ∈ S Ví dụ 2: • Vành đa thức Z[x1 , , xn ] vành vành Q[x1 , , xn ] • Tập đa thức biến tập hàm số vành thực không tầm thường vành C[a, b] • Tập số nguyên chẵn 2Z nhóm nhóm cộng Z đóng với phép nhân không vành Z đơn vị Định nghĩa 1.1.5 ([1], Định nghĩa 1.2) Cho R vành a, a , b ∈ R (i) Phần tử a gọi ước không a = tồn = b ∈ R cho ab = (ii) Phần tử a gọi khả nghịch tồn c ∈ R cho ac = (iii) Ta nói a, a liên kết với tồn u khả nghịch cho a = ua a = au (iv) Phần tử a gọi ước thực b a ước b, a không khả nghịch a không liên kết với b (v) Phần tử a gọi bất khả quy a = 0, a không khả nghịch a ước thực (vi) Phần tử a gọi nguyên tố a = không khả nghịch, a | uv a | u a | v Vành R giao hoán, có đơn vị không chứa ước không gọi miền nguyên Ví dụ 3: • Vành Z miền nguyên với hai phần tử đơn vị −1 • Vành C[a, b] không miền nguyên, hàm số f (x) ∈ C[a, b] f (x) = 0, a ≤ ∀x ≤ b Định nghĩa 1.1.6 ([1], Định nghĩa 1.3) Trường miền nguyên mà phần tử khác khả nghịch Nhận xét: Nếu R trường thì: • (R, +) nhóm Abel • (R∗ , ·) nhóm Abel, với R∗ = R\{0} Ví dụ 4: • Tập số hữu tỷ Q, tập số thực R, tập số phức C với phép cộng phép nhân thông thường trường số Những trường số có vô hạn phần tử • Với p số nguyên tố tập hợp lớp thặng dư theo module p lập thành trường gồm p phần tử Trường kí hiệu Fp Bổ đề sau số tính chất phần tử vành Bổ đề 1.1.7 ([1], Bổ đề 1.4) Cho R vành a, b ∈ R Khi (i) a · = Nói riêng không khả nghịch (ii) Nếu ab = ab ước không a b ước không (iii) ab phần tử đơn vị a b phần tử đơn vị (iv) Ước không không đơn vị (v) Tập tất đơn vị vành lập thành nhóm giao hoán phép nhân Bổ đề 1.1.8 ([1], Bổ đề 1.5) (i) Nếu R miền nguyên R có luật giản ước với phép nhân, tức ac = bc c = kéo theo a = b (ii) Mọi trường miền nguyên (iii) Mọi miền nguyên hữu hạn trường Định nghĩa 1.1.9 Giả sử R trường, S phận ổn định hai phép toán R S trường trường R S với hai phép toán cảm sinh S trường Bổ đề 1.1.10 Cho R trường S ⊆ R chứa nhiều phần tử trường R Khi điều kiện sau tương đương: (i) S trường R (ii) Với a, b ∈ S a + b ∈ S, ab ∈ S, −a ∈ S, a−1 ∈ S a = (iii) Với a, b ∈ S a − b ∈ S, ab−1 ∈ S b = Ví dụ 5: • R trường {0} trường R chứa phần tử • Trường số hữu tỷ Q trường trường số thực R, thân R lại trường trường số phức C 1.2 Vành đa thức nhiều biến Cho R vành x1 , , xn (n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng xa11 · · · xann , (a1 , , an ) ∈ Nn gọi số mũ 10 đơn thức Nếu a1 = · · · = an = 0, đơn thức Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau: (xa11 · · · xann )(xb11 · · · xbnn ) = xa11 +b1 · · · xann +bn Từ biểu thức có dạng αxa11 · · · xann , α ∈ R gọi hệ số từ Thông thường phần tử R gọi phần tử vô hướng Hai từ khác không αxa11 · · · xann βxa11 · · · xann đồng dạng với Như ta xem đơn thức từ với hệ số 1, phần tử vô hướng α từ α · Để cho tiện ta kí hiệu x = (x1 , , xn ), a = (a1 , , an ) ∈ N xa = xa11 · · · xann Đa thức n biến x1 , , xn vành R tổng hình thức từ: αa xa f (x) = a∈Nn có số hữu hạn hệ số αa = Từ αa xa với αa = gọi từ đa thức f (x) xa gọi đơn thức f (x) Hai đa thức f (x) = αa xa g(x) = βa xa xem αa = βa với a ∈ a∈Nn n N a∈Nn Phép cộng đa thức định nghĩa sau:     αa xa  +   a∈Nn β a xa  = a∈Nn (αa + βa )xa , a∈Nn Phép nhân đa thức định nghĩa sau:      αa xa  ·  a∈Nn βa xa  = a∈Nn γa xa , a∈Nn γa = α b βc b,c∈Nn ,b+c=a Với hai phép toán cộng đa thức nhân đa thức nêu kiểm tra tập tất đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị đơn thức Tập kí hiệu vành R[x1 , , xn ] Định nghĩa 1.2.1 ([1], Định nghĩa 3.1) Vành R[x1 , , xn ] xây dựng gọi vành đa thức n biến vành R 33 Vậy I : nj ⊂ mi /U CLN (mi , nj )|1 ≤ i ≤ r Ta có ideal J sinh tập hữu hạn đơn thức J = n1 , · · · , ns s ⇒ I : J = I : n1 , · · · , ns = I : nj j=1 Bổ đề 3.2.2 ([1], Bổ đề 4.8) Giả sử mn tích hai đơn thức m,n không chứa biến chung m1 , , mr đơn thức Khi đó: m1 , , mr , mn = m1 , , mr , m ∩ m1 , , mr , n Chứng minh (⊂) Ta chứng minh m1 , , mr , mn ⊂ m1 , , mr , m ∩ m1 , , mr , n Lấy đơn thức u thuộc m1 , , mr , mn + Nếu u chia hết cho mi , i = 1, r theo Mệnh đề 3.1.3 ⇒ u ∈ m1 , , mr , m ∩ m1 , , mr , n + Nếu u không chia hết cho mi , i = 1, r, tức u chia hết cho mn, suy u chia hết cho m u chia hết cho n Theo Mệnh đề 3.1.3 u ∈ m1 , , mr , m u ∈ m1 , , mr , n Suy u ∈ m1 , , mr , m ∩ m1 , , mr , n Vậy m1 , , mr , mn ⊂ m1 , , mr , m ∩ m1 , , mr , n (⊃) Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại: m1 , , mr , m ∩ m1 , , mr , n ⊂ m1 , , mr , mn Lấy đơn thức u thuộc m1 , , mr , m ∩ m1 , , mr , n + Nếu u chia hết cho mi , i = 1, r theo Mệnh đề 3.1.3 ⇒ u ∈ m1 , , mr , mn + Nếu u không chia hết cho mi , i = 1, r Khi u ∈ m1 , , mr , m u ∈ m1 , , mr , n Theo Mệnh đề 3.1.3 m | u n | u Vì m, n biến chung nên mn | u, theo Mệnh đề 3.1.3 u ∈ m1 , , mr , mn Vậy m1 , , mr , m ∩ m1 , , mr , n ⊂ m1 , , mr , mn Mệnh đề 3.2.3 Cho I ideal đơn thức vành K[x1 , , xn ] Khi đó: (i) I ideal I sinh đơn thức không chứa bình phương (ii) I ideal nguyên sơ I có tập Y biến cho đơn thức sinh tối tiểu I chứa biến Y với x ∈ Y , I chứa phần tử lũy thừa x Ví dụ 2: 34 • I2 = x1 x2 x3 , x21 , x53 không ideal nguyên sơ với tập Y = {x1 , x2 , x3 } ta có x2 ∈ Y xn2 ∈ / I, ∀n • I3 = x1 x2 , x31 , x42 ideal nguyên sơ 35 Chương II Phân tích nguyên sơ ideal đơn thức vành K[x1, , xn] Sự phân tích nguyên sơ Trong phần này, vành xét vành giao hoán có đơn vị 1.1 Vành Noether Định nghĩa 1.1.1 ([2], Định lý 1.3.3) Vành giao hoán có đơn vị gọi vành Noether ideal hữu hạn sinh, tức tồn tập sinh gồm hữu hạn phần tử Định lý 1.1.2 ([2], Định lý 1.4.2) Cho R vành Các điều kiện sau tương đương: (i) R vành Noether (ii) Mọi tập khác rỗng ideal R có phần tử cực đại (iii) Với I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Ik ⊂ Ik+1 ⊂ · · · dãy tăng R, tồn n để In = In+1 = In+2 = · · · , tức dãy tăng ideal R dừng sau hữu hạn bước Chứng minh Ta chứng minh (i) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (iii), (iii) ⇒ (i) 36 • (i) ⇒ (ii) Gọi A tập khác rỗng ideal R Giả sử I = {Iα }α∈S họ tùy ý ideal lồng R Khi I = {Iα }α∈S ideal R Do R vành Noether nên tồn a1 , , as ∈ I để I = a1 , , as Vì {Iα }α∈S họ ideal lồng nên tồn α để a1 , , as ∈ Iα , a1 , , as ⊂ Iα Hơn Iα ⊂ I nên Iα = I Suy Iα ∈ A ideal chứa tất ideal họ {Iα }α∈S Theo Bổ đề Zorn A tồn phần tử cực đại • (ii) ⇒ (iii) Giả sử I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ Ik ⊂ Ik+1 ⊂ dãy tăng ideal R Từ (ii) suy họ {Iα }α∈S tồn phần tử cực đại, ta giả sử In Do In ⊂ In+1 ⊂ In+2 nên In = In+1 = In+2 = Vậy dãy tăng ideal R dừng sau hữu hạn bước • (iii) ⇒ (i) Giả sử R vành Noether, R tồn ideal I không hữu hạn sinh Lấy a1 ∈ I (a1 ) thực chứa I , tồn a2 ∈ I \ a1 ta có a1 ⊂ a1 , a2 ⊂ I Lặp lại vô hạn lần với ý I hữu hạn sinh ta dãy vô hạn ideal thực lồng nhau: I1 ⊂ I2 ⊂ ⊂ Ik ⊂ Ik+1 ⊂ , điều mâu thuẩn với (iii) Suy điều giả sử sai Vậy R vành Noether Ví dụ 1: • Mỗi trường có hai ideal nên vành Noether • Vành C[a, b] không hữu hạn sinh nên vành Noether Định lý 1.1.3 (Định lý sở Hilbert) ([2], Định lý 1.4.5) Nếu R vành Noether vành đa thức R[x] vành Noether Chứng minh Gọi I ideal khác ideal {0} R[x] Ta cần chứng minh I hữu hạn sinh Thật vậy, giả sử I không hữu hạn sinh Gọi f1 = a1 xm1 + a0 ∈ I, ∈ R đa thức khác bậc thấp I Khi tồn dãy vô hạn đa thức f1 , , fn có bậc tăng dần xuất phát từ đa thức f1 , cho: fj+1 ∈ I \ f1 , , fj fj+1 có bậc thấp tất đa thức thuộc vào tập I \ f1 , , fj , với j 37 Gọi aj hệ số bậc cao fj Vì R vành Noether nên ideal J = a1 , , aj , ideal hữu hạn sinh, tức tồn số nguyên dương n đủ lớn để J = a1 , , an Giả sử fn+1 = bxd + ; b ∈ R, b = đa thức có bậc d n Do b ∈ J nên b biểu thị tuyến tính qua (a1 , , an ), tức b = n Xét đa thức g = fn+1 − λ i ; ∈ R i=1 λi fi xd−mi i=1 Do fi có hạng tử cao xmi ; i = 1, n nên hạng tử cao λi fi xd−mi ; i = 1, n λi xmi xd−mi = λi xd ; i = 1, n n Suy hạng tử cao λi fi xd−mi i=1 n λi xd = bxd i=1 ⇒ deg(g) < deg(fn+1 ) n Mặt khác, λi fi xd−mi ∈ I \ (f1 , , fn ) fn+1 ∈ I \ f1 , , fj i=1 ⇒ g ∈ I \ f1 , , f j Điều mâu thuẩn với fn+1 đa thức bậc thấp thuộc I \ f1 , , fj Vậy I hữu hạn sinh Suy R[x] vành Noether Hệ 1.1.4 ([2], Hệ 1.4.6) Các khẳng định sau đúng: (i) Nếu K vành Noether vành đa thức n biến K[x1 , , xn ] vành Noether (ii) Nếu K trường vành K[x1 , , xn ] vành Noether 1.2 Sự phân tích nguyên sơ Định nghĩa 1.2.1 ([3], Định nghĩa 7.3) Cho R vành giao hoán, I ideal R, I = R Một phân tích nguyên sơ I biểu diễn I thành giao hữu hạn ideal nguyên sơ R Tức là: √ I = Q1 ∩ Q2 ∩ · · · ∩ Qn , Qi = Pi , i = 1, n với Qi Pi −nguyên sơ, i = 1, n Định lý 1.2.2 (Định lý Lasker-Noether phân tích nguyên sơ) ([1], Định lý 1.2.7) Cho R vành Noether I ideal R Khi có phân tích nguyên sơ tối √ giản I = Q1 ∩ Q2 ∩ · · · ∩ Qr cho ideal nguyên tố Pi = Qi , i = 1, r đôi khác Hơn tập ideal nguyên tố {P1 , , Pr } xác định nhất, Pi ideal tối tiểu tập thành phần nguyên sơ Qi tương ứng xác định Nhận xét: 38 • Một ideal có nhiều phân tích nguyên sơ • Tính nêu nghĩa không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ • Tập {P1 , , Pr } nêu tập ideal nguyên tố liên kết I • Ta nói I ideal phân tích R I có phân tích nguyên sơ • Trong vành Noether ideal có phân tích nguyên sơ Ví dụ 2: Trong vành Z, ideal dZ có phân tích nguyên sơ là: dZ = pα1 Z ∩pα2 Z ∩· · ·∩pαnn Z n d = i=1 pαi i với pi số nguyên tố, i = 1, n Định nghĩa 1.2.3 ([3], Định nghĩa 7.5) √ Một phân tích nguyên sơ I I = Q1 ∩ · · · ∩ Qn với Qi = Pi , i = 1, n gọi phân tích nguyên sơ cực tiểu I điều kiện sau thỏa mãn: (i) Pi ideal nguyên tố khác R, 1, n n (ii) ∀j = 1, n : Qi Qj i=1,i=j Định lý 1.2.4 (Định lý phân tích nguyên sơ) ([4], Định lý 1.2) n Cho I = Qi với i=1 √ n Qi = Pi , i = 1, n I = i=1 Qi với Qi = Pi , i = 1, n phân tích nguyên sơ cực tiểu I Khi với i, i = 1, n mà Pi ideal nguyên tố cực tiểu I Ta có Qi = Qi Nói cách khác, phân tích nguyên sơ cực tiểu I, ideal nguyên sơ tương ứng với ideal nguyên tố độc lập I xác định I không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân tích nguyên sơ cực tiểu Chứng minh Ta chứng minh với trường hợp n + Với n = 1, định lý + Với n > 1: Cho Pi nguyên tố cực tiểu I Khi tồn a ∈ n Pj \ Pi Vì không, tồn j : Pj ⊆ Pi với ≤ j ≤ n j = i j=1;j=j Điều mâu thuẩn với giả thiết Pi ideal nguyên tố cực tiểu I Với j = 1, , n, j = i tồn hj ∈ N cho ahj ∈ Qj Cho t ∈ N thỏa mãn t ≥ max{h1 , , hi−1 , hi+1 , , hn } at ∈ / n Pi i=1 39 Vì (I : at ) = n j=1 Q j : at n = (Qj : at ) = Qj Như với số nguyên t đủ j=1 at ) lớn ta có (I : = Qi , i = 1, , n Tương tự ta có Qi = (I : at ) với t đủ lớn i = 1, , n Vậy Qi = Qi , i = 1, , n 2.1 Sự phân tích nguyên sơ ideal đơn thức vành K[x1, , xn] Ideal đơn thức nguyên tố Định nghĩa 2.1.1 ([4], Định nghĩa 1.1) Ideal đơn thức I gọi ideal nguyên tố đơn thức f, g f g ∈ I f ∈ I g ∈ I Mệnh đề 2.1.2 I ideal đơn thức nguyên tố I sinh biến Chứng minh (⇒) Giả sử I ideal đơn thức nguyên tố Gọi tập sinh đơn thức tối tiểu I G(I) = {m1 , , mr }, gọi S = {x1 , , xn } tập biến sinh phần tử mi , i = 1, s Ta cần chứng minh I = S Ta dễ dàng thấy I ⊂ S Lấy xk ∈ S tồn mi cho mi = qk xk với qk đơn thức Vì I ideal nguyên tố nên qk ∈ I xk ∈ I Ta lại có: ∀mi ∈ G(I), mi ước thực I nên qk không ước thực mi , suy mi = uxk với u ∈ R Do qk ∈ / I Suy xk ∈ I Vậy S ⊂ I (⇐) Giả sử I ideal đơn thức sinh biến, tức I = x1 , , xs Lấy f (x)g(x) ∈ I , suy từ f (x)g(x) chia hết cho xi với xi ∈ {x1 , , xs } Mà từ f (x)g(x) tích từ f (x) từ g(x) nên từ f (x) chia hết cho xi từ g(x) chia hết cho xi Suy f (x) ∈ I g(x) ∈ I Vậy I ideal nguyên tố Như vậy, ideal đơn thức nguyên tố hữu hạn sinh, đặc biệt vành đa thức n biến số ideal đơn thức nguyên tố hữu hạn Mệnh đề 2.1.3 Cho vành K[x1 , , xn ], số ideal đơn thức nguyên tố vành K[x1 , , xn ] 2n − Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.2 ideal đơn thức nguyên tố sinh biến Ta có: 40 Nếu I sinh biến có Cn1 ideal I Nếu I sinh biến có Cn2 ideal I Nếu I sinh n biến có Cnn ideal I Vậy ta có tất Cn1 + Cn2 + + Cnn = (1 + 1)n − Cn0 = 2− ideal nguyên tố Mệnh đề 2.1.4 Cho vành K[x1 , , xn ], ideal I = x1 , , xn ideal đơn thức tối đại Chứng minh Ta có I ideal đơn thức nguyên tố K[x1 , , xn ]/ x1 , , xn ∼ = K Vì K trường nên I ideal tối đại Vậy I ideal đơn thức tối đại 2.2 Ideal đơn thức bất khả quy phân tích nguyên sơ ideal đơn thức K[x1 , , xn ] vành đa thức trường K nên K[x1 , , xn ] vành Noether Theo định lý Lasker-Noether, ideal vành Noether có phân tích nguyên sơ, ta xét phân tích nguyên sơ ideal đơn thức m Qi vành đa thức K[x1 , , xn ] Một phân tích nguyên sơ ideal I I = i=1 gọi tối giản không ideal Qi lược bỏ biểu diễn này, ta có định lý tảng sau: Định lý 2.2.1 ([2], Định lý 3.3.3) m Cho I ⊂ K[x1 , , xn ] ideal đơn thức Khi I = Qi với Qi sinh i=1 lũy thừa biến nghĩa Qi = xai11 , , xaikk Hơn phân tích nguyên sơ Chứng minh Trước tiên ta chứng minh ideal đơn thức I có phân tích nguyên sơ tối giản Lấy G(I) = {u1 , , un }, suy I = u1 , , un giả sử u1 không lũy thừa biến Khi ta viết u1 = vw với v w đơn thức nguyên tố Áp dụng Bổ đề 3.2.2, ta có phân tích I = vw, , un = v, , un ∩ w, , un = I1 ∩ I2 với I1 = v, , un I2 = w, , un Nếu G(I1 ) G(I2 ) chứa phần tử không lũy thừa biến tiếp tục 41 làm Sau hữu hạn bước ta có phân tích ideal I giao ideal đơn thức sinh lũy thừa biến Loại bỏ ideal chứa giao ideal khác, ta phân tích nguyên sơ tối giản Hệ 2.2.2 ([2], Định lý 3.1.3) Một ideal đơn thức bất khả quy sinh lũy thừa biến Chứng minh Giả sử Q ideal đơn thức bất khả quy Lấy Q = xai11 , , xaikk cho Q = I ∩ J , với I, J ideal đơn thức thật chứa Q Theo định r lý 2.2.1 ta có I = s Qi J = i=1 j=1 Qj với Qi , Qj sinh lũy thừa biến Vì r s Qi ∩ ta có biểu diễn Q = I = i=1 j=1 Qj Ta loại bỏ ideal có sẵn giao vế phải, ta có phân tích nguyên sơ tối giản Q Do tính phân tích nguyên sơ tối giản, nên ta có Q = Qi Q = Qj với i, j Điều mâu thuẩn với Q ideal đơn thức bất khả quy, suy ra, Q sinh lũy thừa biến Ngược lại, G(Q) chứa đơn thức u = vw với U CLN (v, w) = v = = w Áp dụng Bổ đề 3.2.2 Q viết giao thật ideal đơn thức Để phân tích ideal đơn thức vành đa thức K[x1 , , xn ] thành giao ideal nguyên sơ ta dựa vào Bổ đề 3.2.2 Áp dụng Bổ đề 3.2.2 nhiều lần ta phân tích I thành giao ideal đơn thức bất khả quy, loại bỏ ideal bất khả quy chứa ideal bất khả quy khác giao ghép ideal bất khả quy có chung tập biến lại, ta phân tích nguyên sơ tối giản Tuy nhiên để có phân tích nguyên sơ nhanh thifnphair ý chọn đơn thức mn khéo léo, chẳng hạn m n phải có bậc thấp Một vấn đề thú vị đặt tìm cách phân tích nhanh ideal I mà dựa vào Bổ đề 3.2.2 Nhờ vào bổ đề sau đây, phân tích I đưa dạng tối giản Mệnh đề 2.2.3 ([1], Bổ đề 4.9) Giả sử I1 , , Ir , I ideal đơn thức sinh lũy thừa biến Giả sử I1 I, , Ir I Khi đó: I1 ∩ · · · ∩ Ir I Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề phương pháp phủ định Giả sử ngược lại: I1 ∩ · · · ∩ Ir ⊆ I , ta chứng minh điều vô lý 42 Vì Ii I, i = 1, r, nên với i ≤ r ta chọn đơn thức sinh xajii Ii cho xajii ∈ / I Khi đó: BCN N (xaj11 , , xajrr ) ∈ I1 ∩ · · · ∩ Ir ⊆ I ⇒ (xaj11 , , xajrr ) ∈ I Theo Mệnh đề 3.1.3 ta có BCNN(xaj11 , , xajrr ) chia hết cho đơn thức sinh xak I Không tính tổng quát, giả sử ji = k a1 số lớn tất số mà ji = k Khi đó, a1 lũy thừa biến xk BCNN(xaj11 , , xajrr ) Vì a1 ≥ a Suy xajii ∈ I Điều vô lý Vậy I1 ∩ · · · ∩ Ir I n Mệnh đề 2.2.4 Nếu I = phân tích nguyên sơ tối giản tùy ý với j=1 Ij ideal đơn thức Ij phải chứa thành phần nguyên sơ tương ứng với Ij phân tích ban đầu Mệnh đề sau cho ta thêm phương pháp để phân tích tích ideal đơn thức thành giao ideal nguyên sơ Mệnh đề 2.2.5 Cho I,J hai ideal đơn thức, I ∩ J = IJ tập sinh đơn thức tối tiểu I J biến chung mr vành đa thức n biến K[x , , x ] Bổ đề 2.2.6 Cho ideal Q = xm n , , xr √ với m1 , , mr ∈ N ≤ r ≤ n Khi Q ideal nguyên sơ Q ideal √ nguyên tố, với Q = x1 , , xn Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2.4 Q ideal nguyên sơ √ nguyên tố Ta cần chứng minh Q = x1 , , xn √ Trước hết ta chứng minh x1 , , xn ⊆ Q √ Q ideal r xi fi , fi ∈ K[x1 , , xn ], ∀i = 1, n Đặt a = max{ai | i = 1, , r} Lấy h = i=1 Ta có a r = xi f i ∈Q⇒h∈ √ Q ⇒ x1 , , x n ⊆ √ Q i=1 √ Ta chứng minh Q ⊆ x1 , , xn √ Ta có: Q = Qi Qi ideal nguyên tố vành K[x1 , , xn ] i∈Ω chứa Q, ∀i ∈ Ω Mà x1 , , xn ideal nguyên tố vành K[x1 , , xn ] √ chứa Q, suy x1 , , xn ⊇ Qi , x1 , , xn ⊇ Q Vậy √ i∈Ω Q = x1 , , x n Thuật toán sau giúp ta tìm phân tích nguyên sơ ideal đơn thức 43 Thuật toán Tính phân tích nguyên sơ ideal đơn thức Dữ liệu: Cho ideal đơn thức I = m1 , , mn , mi đơn thức sinh Bắt đầu: Nếu ∃mj đơn thức sinh nhỏ cho mj = mj · mj , mj mj nguyên tố I = I ∪ {mj } ∩ I ∪ {mj } = m1 , , mj−1 , mj , mj+1 , mn ∩ m1 , , mj−1 , mj , mj+1 , mn = I1 ∩ I2 Nếu I1 , I2 ideal nguyên sơ tối giản kết thúc Nếu không, quay lại phân tích tương tự I Lặp lại bước Ii , i = 1, , n ideal nguyên sơ tối giản lúc ta có phân tích nguyên sơ tối giản ideal đơn thức Ví dụ 1: Sử dụng thuật toán để tính phân tích nguyên sơ ideal đơn thức I = x21 , x22 , x1 x2 x3 vành K[x1 , x2 , x3 ] Đặt m1 = x21 , m2 = x22 , m3 = x1 x2 x3 Ta xét thấy đơn thức sinh m3 tích hai đơn thức nguyên tố nhau: x1 x2 x3 Đặt m2 = x1 , m2 = x2 x3 Theo thuật toán ta thấy rằng: I = x21 , x22 , x1 x2 x3 = x21 , x22 , x1 ∩ x21 , x22 , x2 x3 = x1 , x22 ∩ x21 , x22 , x2 x3 Đặt I1 = x1 , x22 , I2 = x21 , x22 , x2 x3 Xét ideal đơn thức I1 , ta thấy I1 ideal nguyên sơ tối giản Xét ideal đơn thức I2 , ta đặt u1 = x21 , u2 = x22 , u3 = x2 x3 Rõ ràng đơn thức u3 tích hai đơn thức x2 x3 Nên theo thuật toán ta có phân tích I2 là: I2 = x21 , x22 , x2 x3 = x21 , x22 , x2 ∩ x21 , x22 , x3 = x21 , x2 ∩ x21 , x22 , x3 Đặt Q1 = x1 , x22 ; Q2 = x21 , x2 , Q3 = x21 , x22 , x3 ; với Q1 , Q2 , Q3 ideal √ √ √ nguyên sơ với Q1 = x1 , x2 = P1 , Q2 = x1 , x2 = P2 , Q3 = x1 , x2 , x3 = P3 I = Q1 ∩ Q2 ∩ Q3 44 phân tích nguyên sơ không thu gọn I Ví dụ 2: Xét vành đa thức biến trường K K[x1 , x2 , x3 ] Cho I = x21 , x1 x2 , x1 x22 x3 ideal K[x1 , x2 , x3 ] Rõ ràng I ideal đơn thức không nguyên sơ Theo thuật toán ta có phân tích nguyên sơ ideal đơn thức I sau: I = x21 , x1 x2 , x1 x22 x3 = x21 , x1 x2 , x1 x22 ∩ x21 , x1 x2 , x3 = x21 , x1 x2 ∩ x21 , x1 , x3 ∩ x21 , x2 , x3 = x21 , x1 ∩ x21 , x2 ∩ x1 , x3 ∩ x21 , x2 , x3 = x1 ∩ x1 , x2 ∩ x1 , x3 ∩ x21 , x2 , x3 Đặt Q1 = x1 ; Q2 = x1 , x2 ; Q3 = ∩ x1 , x3 ; Q4 = x21 , x2 , x3 ; với Q1 , Q2 , Q3 , Q4 √ √ √ ideal nguyên sơ với Q1 = x1 = P1 , Q2 = x1 , x2 = P2 , Q3 = x1 , x3 = √ P3 , Q4 = x1 , x2 , x3 = P4 I = Q1 ∩ Q2 ∩ Q3 ∩ Q4 phân tích nguyên sơ thu gọn I Ví dụ 3: Xét vành đa thức biến trường K K[x1 , x2 , x3 ] Cho I = x31 x42 , x1 x33 , x2 x23 , x21 x22 x3 ideal K[x1 , x2 , x3 ] Rõ ràng I ideal đơn thức không nguyên sơ Theo thuật toán ta có phân tích nguyên sơ ideal đơn thức I sau: I = x31 x42 , x1 x33 , x2 x23 , x21 x22 x3 = x31 x42 , x1 , x2 x23 , x21 x22 x3 ∩ x31 x42 , x33 , x2 x23 , x21 x22 x3 = x1 , x2 x23 ∩ x31 x42 , x33 , x2 , x21 x22 x3 ∩ x31 x42 , x33 , x23 , x21 x22 x3 = x1 , x2 x23 ∩ x2 , x33 ∩ x31 x42 , x23 , x3 ∩ x31 x42 , x23 , x21 x22 = x1 , x2 x23 ∩ x2 , x33 ∩ x31 x42 , x3 ∩ x23 , x21 x22 = x1 , x2 ∩ x1 , x23 ∩ x2 , x33 ∩ x31 , x3 ∩ x42 , x3 ∩ x23 , x21 ∩ x23 , x22 = x1 , x2 ∩ x2 , x33 ∩ x31 , x3 ∩ x42 , x3 ∩ x23 , x21 ∩ x23 , x22 = x1 , x2 ∩ x2 , x33 ∩ x42 , x3 ∩ x23 , x22 ∩ x31 , x3 ∩ x23 , x21 Vì x1 , x23 ⊇ x21 , x23 nên ta bỏ Đặt Q1 = x1 , x2 ; Q2 = x2 , x33 ; Q3 = x42 , x3 ; Q4 = x23 , x22 ; Q5 = x31 , x3 ; Q6 = x23 , x21 ; với Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , Q5 , Q6 45 √ √ Q1 = x1 , x2 = P1 , Q2 = x2 , x3 = P2 , √ √ √ = P3 , Q4 = x2 , x3 = P4 , Q5 = x1 , x3 = P5 , Q6 = x1 , x3 = ideal nguyên sơ với √ Q3 = x2 , x3 P6 I = Q1 ∩ Q2 ∩ Q3 ∩ Q4 ∩ Q5 ∩ Q6 phân tích nguyên sơ I không thu gọn √ √ x2 , x3 Q5 = Q6 = x1 , x3 Đặt √ √ √ Q2 = Q3 = Q4 = Q1 =Q2 ∩ Q3 ∩ Q4 = x2 , x33 ∩ x42 , x3 ∩ x23 , x22 = x42 , x2 x3 , x42 x33 , x33 ∩ x23 , x22 = x42 x23 , x2 x23 , x42 x33 , x33 , x42 , x22 x3 , x42 x33 , x22 x33 = x42 x23 , x2 x23 , x42 x33 , x33 , x42 , x22 x3 , x22 x33 Q2 =Q5 ∩ Q6 = x31 , x3 ∩ x23 , x21 = x31 x23 , x31 , x23 , x21 x3 Ta có: Q1 = x2 , x3 , Q2 = x1 , x3 Khi I = Q1 ∩ Q1 ∩ Q2 phân tích nguyên sơ thu gọn I 46 KẾT LUẬN Khóa luận giải yêu cầu đặt trình bày phân tích nguyên sơ ideal đơn thức Chương trình bày khái niệm tính chất lớp ideal nguyên tố, ideal bất khả quy, ideal cực đại, ideal nguyên sơ, đặc biệt khái niệm tính chất ideal đơn thức vành K[x1 , · · · , xn ] Chương khóa luận trọng tâm khóa luận, trình bày phân tích nguyên sơ ideal đơn thức Một ideal đơn thức có phân tích nguyên sơ phân tích nguyên sơ Đồng thời khóa luận đưa thuật toán để tính phân tích nguyên sơ ideal đơn thức Phân tích nguyên sơ ideal đơn thức đề tài hay có nhiều tính chất thú vị để nghiên cứu Tuy nhiên, với kiến thức hạn hẹp thân thời gian ỏi, nên chưa đào sâu nghiên cứu kĩ tính chất Trong thời gian tới, thân mong muốn tiếp tục nghiên cứu tìm hiểu sâu lớp lớp ideal 47 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt L.T Hoa (2003), Đại số máy tính sở Groebner, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh W Moore, M Rogers, S Sather-Wagstaff (2015), Monomial Ideals and Their Decompositions, Mathematics Department at the University of Nebraska-Lincoln D Cox, J Little and D.O’Shea (1992), Ideals, Varieties and Algorithms, Springer - Verlag, New York A Ma (2014), Primary Decomposition Project, Online lecture notes https://agmablog.files.wordpress.com/2014/08/topics-in-ring-theoryproject.pdf ... Sự phân tích nguyên sơ Sự phân tích nguyên sơ ideal đơn thức vành K[x1 , , xn ] 2.1 Ideal đơn thức nguyên tố 2.2 Ideal đơn thức bất khả quy phân tích nguyên. .. tiết khái niệm định lý phân tích nguyên sơ, phân tích nguyên sơ ideal đơn thức đặc biệt thuật toán tìm phân tích nguyên sơ ideal đơn thức vành K[x1 , , xn ] Do thời gian kiến thức thân hạn chế nên... tài "Phân tích nguyên sơ ideal đơn thức" để làm khóa luận tốt nghiệp đại học với mong muốn tìm hiểu thêm phân tích nguyên sơ ideal đơn thức Khóa luận chia thành chương: • Chương 1: Ideal đơn thức