Nhóm cơ bản của phức đơn hình luận văn thạc sỹ toán học

1 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đồng luân 1.2 Nhóm 1.3 Phức đơn hình Chương NHÓM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH ………… 2.1 Ánh xạ đơn hình …………………………………… 2.2 Nhóm phức đơn hình ………………… 2.3 Nhóm đồ thị KẾT LUẬN ………………………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO…… ……………………………… 4 13 17 17 20 31 41 42 LỜI NĨI ĐẦU Tơpơ đại số ngành toán học đại Nó đời vào năm đầu kỉ XX, gắn kết hai lĩnh vực toán học tôpô đại số Tôpô đại số vừa nghiên cứu với tư cách ngành độc lập, vừa xem công cụ để giải nhiều vấn đề tốn học đại Nhóm khái niệm tôpô đại số Mỗi điểm không gian tơ pơ có nhóm liên kết với nó, mang thơng tin cấu trúc chiều phần khơng gian quanh điểm Nhiều ví dụ tính tốn nhóm khơng gian riêng lẻ hay phương pháp cho cách tính nhóm số lớp không gian, chẳng hạn phức đơn hình hữu hạn đề cập đến tài liệu chuyên sâu Để nghiên cứu sâu sắc vấn đề này, đề tài luận văn tập trung vào nghiên cứu cách có hệ thống phức đơn hình nhóm chúng Luận văn chia làm hai chương sau: Chương Các kiến thức sở 1.1 Đồng luân 1.2 Nhóm 1.3 Phức đơn hình Chương Nhóm phức đơn hình 2.1 Ánh xạ đơn hình 2.2 Nhóm phức đơn hình 2.3 Nhóm đồ thị Trong chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm đồng ln, tương đương đồng luân, cách xây dựng nhóm khơng gian tơpơ bất kỳ, vài tính chất khơng gian liên thơng đường; trình bày khái niệm đơn hình, phức đơn hình, phức phức đơn hình, hình đỉnh, khung r chiều, thứ phân phức đơn hình, lấy ví dụ minh họa Trong chương 2, chúng tơi trình bày kiến thức nhóm phức đơn hình trường hợp đặc biệt phức đơn hình nhóm đồ thị Cụ thể, mục 2.1 chúng tơi trình bày khái niệm ánh xạ đơn hình, xấp xỉ đơn hình, định lý xấp xỉ đơn hình Trong mục 2.2, chúng tơi trình bày khái niệm tương đương mật tiếp, tương đương cạnh, ví dụ tính chất chúng, cơng thức tính nhóm phức đơn hình ví dụ ứng dụng Cuối cùng, mục 2.3, nêu cơng thức tính nhóm đồ thị ví dụ ứng dụng Luận văn hồn thành hướng dẫn nghiêm túc tận tình thầy giáo, Tiến sỹ Nguyễn Duy Bình Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy! Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn, thầy tổ mơn Hình học, Khoa sau đại học trường Đại học Vinh, Phòng quản lý khoa học trường đại học Hải Phịng nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả Xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp bạn bè tạo điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tác giả thời gian học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn tránh khỏi thiếu sót, kính mong bảo, góp ý thầy cô bạn Xin trân trọng cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương trình bày khái niệm đồng luân, tương đương đồng ln, khơng gian co rút, cách xây dựng nhóm khơng gian tơpơ bất kỳ, tính nhóm số khơng gian tơpơ đặc biệt, trình bày cách có hệ thống khái niệm đơn hình, phức đơn hình 1.1 Đồng luân 1.1.1 Định nghĩa (Xem [1]) Cho không gian tôpô X, Y, f , g : X → Y ánh xạ liên tục, I = [ 0,1] không gian đường thẳng thực ¡ , ánh xạ liên tục F : X × I → Y cho F ( x, 0) = f ( x); F ( x,1) = g ( x) với x ∈ X gọi phép đồng luân nối f g Khi f gọi đồng luân với g phép đồng luân F ký hiệu f : g 1.1.2 Các ví dụ: n Ví dụ 1: X = Y = ¡ , x0 ∈ ¡ n 1X : X → Y ánh xạ đồng ε x0 : X → Y ánh xạ x0 Khi 1X : ε x0 phép đồng luân F : X × I → Y , F ( x, t ) = (1 − t ) x + tx Ví dụ 2: X không gian tôpô bất kỳ, Y tập lồi ¡ n , C ( X , Y ) = { f : X → Y f liên tục} Khi đó: ∀f , g ∈ C ( X , Y ) f : g phép đồng luân: F : X × I → Y , F ( x, t ) = (1 − t ) f ( x ) + tg ( x ) 1.1.3 Nhận xét Quan hệ đồng luân ánh xạ quan hệ tương đương Chứng minh • f : f phép đồng luân F : X × I → Y ( x, t ) a F ( x, t ) = f ( x ) ∀t ∈ I • Nếu f : g g : f phép đồng luân: E : X × I → Y , E ( x, t ) = F ( x,1 − t ) • Nếu f : g phép đồng luân F1 , g : h phép đồng luân F2 f : h phép đồng luân F : X × I → Y với  F1 ( x, 2t ) , ≤ t ≤   F ( x, t ) =   F ( x, 2t − 1) , ≤ t ≤   Vậy quan hệ đồng luân ánh xạ quan hệ tương đương W 1.1.4 Bổ đề (Bổ đề dán) (Xem [7]) Cho X, Y không gian tôpô, X = A ∪ B , với A, B tập đóng (mở) X Giả sử f1 : A → Y , f : B → Y f1 ( x) = f ( x), ∀x ∈ A ∩ B Khi ánh xạ liên tục cho ánh xạ g : X →Y cho bởi:  f ( x), x ∈ A g ( x) =  ánh xạ liên tục  f ( x), x ∈ B 1.1.5 Định lý (Xem [1]) Cho X, Y, Z không gian tôpô Giả sử ánh xạ f0 , f1 : X → Y , f : f1 g , g1 : Y → Z , g : g1 Khi g f : g1 f1 1.1.6 Định nghĩa (Xem [1]) Hai không gian tôpô X, Y gọi tương đương đồng luân (có kiểu đồng luân) tồn hai ánh xạ liên tục f : X → Y , g : Y → X cho fg : 1Y ; gf : 1X 1.1.7 Nhận xét 1) Quan hệ tương đương đồng luân không gian tôpô quan hệ tương đương 2) Các không gian đồng phơi với tương đương đồng ln 1.1.8 Định nghĩa (Xem [1]) Không gian tôpô X gọi co rút ánh xạ đồng X đồng luân với ánh xạ x0 ∈ X Khi ta cịn nói X co rút điểm x0 ∈ X 1.1.9 Ví dụ: X tập lồi ¡ n , X không gian co rút điểm x0 ∈ X 1X : ε x0 ( x0 ∈ X ) phép đồng luân: F : X × I → Y ( x, t ) a (1 − t ) x + tx 1.1.10 Định lý Không gian tôpô X co rút tương đương đồng luân với không gian điểm Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X co rút được, tức 1X : ε x ( x0 ∈ X ) Xét ánh xạ f = ε x : X → { x0 } ; g : { x0 } → X , g ( x0 ) = x0 Khi đó: fg = 1{ x } : 1{ x } ; gf = ε x : 1X 0 Suy X tương đương đồng luân với không gian điểm Điều kiện đủ: Giả sử X tương đương đồng luân với không gian điểm Y = { a} , có nghĩa tồn ánh xạ f : X → Y , g : Y → X cho fg : 1Y ; gf : 1X Đặt x0 = g (a) ε x : X → { x0 } ánh xạ Ta có: gf : X → X , gf ( x) = g (a ) = x0 , ∀x ∈ X Do ε x = gf : 1X Vậy X co rút W 1.2 Nhóm 1.2.1 Định nghĩa (Xem [2]) Cho X không gian tôpô, I = [ 0,1] không gian đường thẳng thực R Một đường ω X từ x0 đến x1 ánh xạ liên tục ω : I → X cho ω (0) = x0 , ω(1) = x1 Điểm x0 gọi điểm gốc, điểm x1 gọi điểm cuối đường ω Nếu ω (0) = ω (1) = x0 ∈ X ω gọi đường đóng x0 1.2.2 Định nghĩa Cho ω đường từ x0 đến x1 , ω ′ đường từ x1 đến x2 ¸nh xạ liên tục ω ∗ ω ' : I → X cho bởi:  ω (2t )  ω ∗ ω '(t ) =  ω '(2t − 1)   nÕu ≤ t ≤ nÕu ≤ t ≤1 gọi nối tiếp hai đường ω , ω ' Đường ngược ω đường ω −1 từ x1 đến x0 cho ω −1 (t ) = ω(1 − t ) Chú ý đường ω ∗ ω ' có điểm gốc ω ∗ ω '(0) = ω (0) = x0 điểm cuối ω ∗ ω '(1) = ω '(1) = x2 x ω (0) o ω (1) x2 ω '(0) ω '(1) x2 Hình 1.2.3 Định nghĩa (Xem [1]) Cho hai đường ω , ω ' có điểm gốc x0 điểm cuối x1 khơng gian tơpơ X Ta nói ω đồng ln với ω ' ký hiệu ω ; ω ′ tồn ánh xạ liên tục F : I × I → X cho: F (0, t2 ) = ω (0) = ω ′(0) = x0 , ∀t2 ∈ I F (1, t2 ) = ω (1) = ω ′(1) = x1 , ∀t2 ∈ I F (t1 , 0) = ω (t1 ); F (t1 ,1) = ω ′(t1 ), ∀t1 ∈ I 10 1.2.4 Nhận xét - Quan hệ đồng luân đường quan hệ tương đương - Nếu ω1 đồng luân với ω2 ω1−1 đồng luân với ω2 −1 ′ - Giả sử ω1 ; ω2 ; ω1′ ; ω2 đường cho ω1 ∗ ω1′ xác định Khi ′ ′ ω2 ∗ ω2 xác định ω1 ∗ ω1′ ; ω2 ∗ ω2 1.2.5 Định nghĩa Đặt [ ω ] = { ω ′ | ω ′ ; ω} Tích nghịch đảo [ ω ] định nghĩa sau: [ ω ] ∗ [ ω ′] = [ ω ∗ ω ′] ; [ ω ] = ω −1    −1 1.2.6 Định lý: Cho X không gian tôpô, x0 ∈ X , π1 ( X , x0 ) tập hợp lớp đồng luân đường đóng x0 Khi π1 ( X , x0 ) lập thành nhóm với phép tốn cho Chứng minh • Phần tử đơn vị ε x0  vì:   [ ω ] ∗ ε x  F ( t1 , t2 )  = ω ∗ ε x0  ω ∗ ε x0 ; ω phép đồng luân:      2t1  t2 + ω  ÷; ≤ t1 ≤  t +1 =   t2 +  ≤ t1 ≤  x0 ;  Tương tự ε x  ∗ [ ω ] = ε x ∗ ω  ε x ∗ ω ; ω     0 Như [ ω ] ∗ ε x  = ε x  ∗ [ ω ] = [ ω ]     0 • Phần tử đối [ ω ] [ ω ] [ ω ] ∗[ ω ] −1 −1 = ω −1  vì:   = ω ∗ ω −1  ω ∗ ω −1 ; ε x0 phép đồng luân:   31 Theo định lý 2.2.5, tồn thứ phân I’ I ánh xạ đơn hình ϕ0 , ϕ1 : I ′ → K cho ϕ0 xấp xỉ đơn hình ϕω ϕ1 xấp xỉ đơn hình C ε a ϕ0 ; ϕ1 Vì ε a ánh xạ đơn hình, ϕ1 xấp xỉ đơn hình ε a suy 0 E ϕ1 = ε a (theo bổ đề 2.1.6 ) Để chứng minh ω ; a0 a0 ta chứng minh: E C (i) Nếu ϕ ,ψ : I ′ → K ánh xạ đơn hình ϕ ; ψ ωϕ ; ωψ với ωϕ , ωψ đường liên kết với ϕ ψ Thật vậy: ω = ϕ ( t0 ) ϕ ( t1 ) ϕ ( t1 ) ϕ ( t2 ) ϕ ( tk −1 ) ϕ ( tk ) ϕ ω = ψ ( t0 ) ψ ( t1 ) ψ ( t1 ) ψ ( t2 ) ψ ( tk −1 ) ψ ( tk ) ψ Suy ra: ωϕωψ −1 = ϕ ( t0 ) ϕ ( t1 ) ϕ ( t1 ) ϕ ( t2 ) ϕ ( tk −1 ) ϕ ( t k ) ψ ( tk ) ψ ( t k −1 ) ψ ( t1 ) ψ ( t0 ) C Vì ϕ ; ψ nên ϕ ( tk −1 ) , ϕ ( tk ) ,ψ ( tk ) ,ψ ( tk −1 ) đỉnh đơn hình thuộc K Mà ϕ ( tk ) =ψ ( tk ) = a0 nên ϕ ( tk −1 ) ϕ ( tk ) ψ ( tk ) ψ ( tk −1 ) ; ϕ ( tk −1 ) ψ ( tk −1 ) E Suy ra: E ωϕ ωψ −1 ; ϕ ( t0 ) ϕ ( t1 ) ϕ ( t1 ) ϕ ( t2 ) ϕ ( tk − ) ϕ ( tk −1 ) ϕ ( t k −1 ) ψ ( tk −1 ) ψ ( t k −1 ) ψ ( tk −1 ) ψ ( t1 ) ψ ( t0 ) E ; ϕ ( t0 ) ϕ ( t1 ) ϕ ( t1 ) ϕ ( t2 ) ϕ ( tk − ) ψ ( tk − ) ψ ( t1 ) ψ ( t0 ) E E E ; ; ϕ ( t0 ) ϕ ( t1 ) ψ ( t1 ) ψ ( t0 ) ; ϕ ( t0 ) ψ ( t0 ) = a0 a0 E ⇒ ωϕ ; ωψ (ii) Nếu ψ : I → K ánh xạ đơn hình ϕ : I’ → K xấp xỉ đơn hình E ψ thứ phân I’ I ωϕ ; ωψ Thật vậy: Giả sử I ′′ phức I ′ chứa đỉnh t0 , t1 , , tk I Khi theo định lý 2.1.7 ta có: ϕ I ′′ =ψ I ′′ ⇒ ϕ ( ti ) = ψ ( ti ) , ∀i = 0, k Mà ψ ánh xạ đơn hình nên ( ψ ( ti ) ,ψ ( ti +1 ) ) đơn hình (S) K có chiều 32 Với đỉnh u I ′ mà ti < u < ti +1 ψ ( u ) đỉnh (S) Vì ϕ xấp xỉ đơn hình ψ nên ψ ( u ) ∈ψ ( st ( u ) ) ⊂ st ( ϕ ( u ) ) ( S ) ∩ st ( ϕ ( u ) ) ≠ ∅ ⇒ ( S ) ⊂ st ( ϕ ( u ) ) ⇒ ϕ ( u ) đỉnh (S) Do đó, ti < u1 < < ur −1 < ti +1 đỉnh I ′ ϕ ( u1 ) , , ϕ ( ur −1 ) đỉnh đơn hình (S) K Hơn ta có: u0 = ti ⇒ ϕ ( u0 ) = ϕ ( ti ) = ψ ( ti ) ∈ ( S ) ; ur = ti +1 ⇒ ϕ ( ur ) = ϕ ( ti +1 ) = ψ ( ti +1 ) ∈ ( S ) Vì ϕ ( u0 ) , ϕ ( u1 ) , , ϕ ( ur ) đỉnh đơn hình (S) K Ta có ωψ [ ti ,ti+1 ] = ψ ( u0 ) ψ ( u1 ) ψ ( u1 ) ψ ( u2 ) ψ ( ur −1 ) ψ ( ur ) E ; ψ ( u0 ) ψ ( ur ) = ψ ( ti ) ψ ( ti +1 ) = ϕ ( ti ) ϕ ( ti +1 ) = ωϕ [ ti ,ti+1 ] E Vậy ωϕ ; ωψ Từ hai chứng minh ta có: E Theo (ii), ϕ0 xấp xỉ đơn hình ϕω nên ωϕ ; ωϕ = ωε theo (i) ω E C ϕ0 ; ϕ1 nên ωϕ0 ; ωϕ1 = ωε = a0 a0 ⇒ h đơn ánh Vậy h đẳng cấu hay E ( K , a0 ) đẳng cấu với π ( K , a0 ) W 2.2.14 Ví dụ: Nếu K đơn hình a0 đỉnh K π ( K , a0 ) nhóm tầm thường Thật vậy, giả sử ω ∈ E ( K , a0 ) , ω = a0 a1 a1a2 ak a0 Do K đơn hình E nên ω ; a0 a0 Suy E ( K , a0 ) = { a0 ao } ⇒ π ( K , a0 ) = { ε a } W 2.2.15 Hệ Cho K phức đơn hình, K khung chiều K, a0 ∈ K0, i : K2 → K ánh xạ bao hàm Khi i sinh đẳng cấu i* : E(K2, a0) → E(K, a0) Do đó, ánh xạ cảm sinh π ( i∗ ) : π1 ( K , a0 ) → π ( K , a0 ) đẳng cấu 33 Chứng minh Một đường gấp khúc phức K xác định cặp đỉnh, cặp thuộc đơn hình Mặt khác, tính tương đương đường xác định đỉnh, đỉnh thuộc đơn hình Vì E(K, a0) phụ thuộc K2 Do ánh xạ i* : E ( K , a0 ) → E ( K , a0 ) biến đường K2 thành nó, vừa đơn cấu, vừa toàn cấu nên i* đẳng cấu, suy E ( K , a0 ) ; E ( K , a0 ) Mặt khác, theo 2 định lý 2.2.12 thì: E ( K , a0 ) đẳng cấu với π1 ( K , a0 ) E ( K , a0 ) đẳng cấu với ( ) π ( K , a0 ) , π K , a0 ; π ( K , a0 ) hay π ( i∗ ) đẳng cấu W 2.2.16 Định lý (Xem [7]) Mặt cầu S n đơn liên với n > 1, tức π1( S n , p) nhóm tầm thường với p ∈ S n Chứng minh Gọi K n khung n chiều đơn hình n+1 chiều K n Xét ánh xạ ϕ : K → ¡ n +1 Giả sử b = ( b1 , , bn+1 ) ∈ ¡ n +1 tọa độ trọng tâm K n Mỗi x = ( x1 , , xn +1 ) ∈ K , xác định ϕ ( x ) ∈ ¡ ϕ ( x) =  2  ∑ ( xi − bi )   n =1  n +1 ( x1 − b1 , , xn+1 − bn+1 ) n +1 công thức: n n n n Khi đó: ϕ ( K ) = S ϕ : K → S phép đồng phôi Vì S n đồng phơi với khung n chiều K n đơn hình n+1 chiều K n Bây ta chứng minh π ( K , a0 ) nhóm tầm thường Thật vậy, theo n định lý 2.2.13, phần tử π ( K , a0 ) có đại diện α đường 34 nằm khung chiều K K Nếu n > tồn điểm p ∈ K n , p ∉ K n Mà K − { p} đồng phôi với ¡ n n co rút Do α ; ε a hay π ( K , a0 ) n n nhóm tầm thường, suy π ( S , p ) , p ∈ S nhóm tầm thường W 2.3 Nhóm đồ thị 2.3.1 Định nghĩa (Xem [7]) - Đồ thị phức đơn hình có chiều bé - Một T đồ thị liên thơng đường cho đơn hình chiều s ∈ T T − ( s ) khơng cịn liên thơng 2.3.2 Ví dụ: Hình 11 a0 Đây a1 a3 a4 Hình 12 Đây đồ thị không 2.3.3 Định nghĩa Điểm đồ thị đỉnh cho đỉnh nhiều đơn hình chiều Ví dụ: Ở đồ thị trên, đỉnh , i = 0,3 điểm 2.3.4 Định lý (Xem [7]) Mọi co rút Chứng minh 35 Ta chứng minh định lý phương pháp quy nạp theo số đỉnh • Nếu T có đỉnh định lý thoả mãn • Giả sử định lý thỏa mãn với có n đỉnh • Gọi T có n+1 đỉnh gọi a0 điểm T Suy tồn đơn hình chiều s ∈ T có đỉnh a0 Đặt L = T − { ( s ) , a0 } , L phức đơn hình L = T − ( s ) ∪ { a0 } L cây, t phức đơn hình chiều L, cho L − ( t ) liên thơng T − ( t ) liên thơng (điều khơng thể T cây) Cây L có n đỉnh nên co rút Hơn nữa, L T có kiểu đồng luân (Xét ánh xạ f : T → L x a f(x) = x x ∈ [L] đỉnh lại (s) x ∈ (s) ∪ {a0} gọi g : L → T phép bao hàm Thì: f g : L , g f : 1T ) Do T co rút W 2.3.5 Hệ Nếu T a0 đỉnh T thì: π ( T , a0 ) = E ( T , a0 ) = { θ } 2.3.6 Định nghĩa Cho K đồ thị, α0 số đỉnh K, α1 số đơn hình chiều K Số nguyên χ ( K ) = α − α1 gọi số đặc trưng Ơle K Nhận xét: Số đặc trưng Ơle số thứ phân K Thật vậy, thêm vào đỉnh K chia đơn hình chiều thành đơn hình chiều, α0 α1 tăng thêm 2.3.7 Định lý Nếu T χ ( T ) = Chứng minh Chứng minh định lý phương pháp quy nạp theo số đỉnh n T • Cho n = ⇒ α0 = 1, α1 = ⇒ χ ( T ) = • Giả sử định lý với có n đỉnh 36 • Gọi T có n+1 đỉnh gọi a0 điểm T Suy tồn đơn hình chiều ( s ) ∈ T có đỉnh a0 Đặt L = T − { ( s ) , a0 } , theo chứng minh định lý 2.3.4 L có n đỉnh Suy χ ( L ) = ⇔ α ( L ) − α1 ( L ) = Mà α ( T ) = α ( L ) + 1, α1 ( T ) = α1 ( L ) + Do đó, χ ( T ) = α ( T ) − α1 ( T ) = W 2.3.8 Định lý Cho K đồ thị liên thông đường, n số đơn hình mở chiều lớn bỏ mà khơng làm tính liên thơng K Khi n = − χ ( K ) Chứng minh • Nếu K n = χ ( T ) = nên n = − χ ( K ) • Nếu K không cây, gọi (s 1) đơn hình mở chiều cho K − ( s1 ) liên thông Nếu K − ( s1 ) χ ( K − ( s1 ) ) = ⇔ α ( K ) − ( α1 ( K ) − 1) = ⇔ χ ( K ) + = ⇒ χ ( K ) = ⇒ n = = − χ ( K ) Nếu K − ( s1 ) không cây, gọi (s2) đơn hình mở chiều cho K − ( s1 ) ∪ ( s2 ) liên thông…Tiếp tục q trình trên, có hữu hạn đơn hình mở chiều K nên trình dừng lại, tức có số n cho: K − { ( s1 ) ∪ ( s2 ) ∪ ∪ ( sn ) } χ ( K ) = χ ( T ) − n = − n hay n = − χ ( K ) T Khi W 2.3.9 Định nghĩa (Xem [7]) Cho tập S = {a1, a2, , an} ký hiệu a1-1, , an-1 e T tập tất “từ” thu cách xếp ký hiệu theo thứ tự hàng hữu hạn, lặp lại Phép tốn T xây dựng sau: 37 • α ,β ∈ T, tích α.β xác định phép ghép: β gắn vào −1 −1 −1 điểm cuối α Chẳng hạn: α = ( a1a2 a3 a4 ) ; β = ( a1 a2 a3 a4 a5 ) αβ = ( a1a2 a3−1a4 a1−1a2 a3a4 a5−1 ) • Từ ngược từ α từ α −1 xác định cách lấy ngược thứ tự −1 −1 xếp α thời điểm, thay a j a j , a j a j e e −1 −1 −1 −1 −1 −1 Chẳng hạn: α = ( a1 a2 a3 a4 a5 ) α = ( a5 a4 a3a2 a1 ) • Một quan hệ tương đương từ T định nghĩa sau: ee : e; a j a −1 : e; a −1a j : e j j a j e : a j ; ea j : a j ; a −1e : a −1 ; ea −1 : a −1 ; ∀j j j j j Hai từ tương đương từ thu từ từ lại dãy phép tương đương • Tập hợp lớp tương đương từ lập thành nhóm với phép tốn [ α ] [ β ] = [ αβ ] , đơn vị nhóm lớp tương đương e Nhóm gọi nhóm tự sinh n phần tử , ký hiệu Fn 2.3.10 Nhận xét Nếu Fn nhóm tự với phần tử sinh: a1, a2, , an G nhóm bất kỳ, ánh xạ h: {a1, a2, , an} → G mở % rộng thành đồng cấu h : Fn → G xác định bởi: ( ) ( ) h( a ) % h a ±11a ±21 a ±r1 = h a j1 j j j ±1 ±1 j2 ( ) .h a jr ±1 2.3.11 Định lý (Xem [7]) Nếu K đồ thị liên thông đường, a0 đỉnh K π ( K , a0 ) ; Fn với n = − χ ( K ) Chứng minh Ta xây dựng đồng cấu: h: E(K, a0) → Fn h1: Fn → E(K, a0) 38 cho hh1 = 1F ; h1h = 1E ( K ,a ) Khi E ( K , a0 ) ; Fn , mà theo định lý 2.2.13 n E ( K , a0 ) ; π ( K , a0 ) nên π ( K , a0 ) ; Fn Xây dựng h: Gọi (s1), , (sn) ( n = − χ ( K ) ) đơn hình mở chiều K cho T = K − { ( s1 ) ∪ ( s2 ) ∪ ∪ ( sn ) } (xem chứng minh định lý 2.3.8) Gọi Fn nhóm tự sinh { ( s ) , ( s ) , , ( s ) } Với n j ∈ { 1, 2, , n} , đặt s + cạnh a j a j′ K, s − cạnh a j′a j , aj aj’ j j ± ± ± đỉnh sj Khi đường ω K có dạng: ω = ρ1s j ρ s j ρ k s j ρ k +1 k với ρi đường T Đặt h ( ω ) = ( s j ) (s ) ±1 j2 ±1 ( ) s jk ±1 Ta phải kiểm tra h xác định Do h ( ω ) phụ thuộc vào lớp tương đương cạnh ω nên ta cần chứng minh: ω1 ω2 tương đương cạnh sơ cấp h ( ω1 ) = h ( ω2 ) Giả sử ω1 = α a1a2 a2 a3 τ , ω2 = α a1a3 τ , α τ đường K, a1 , a2 , a3 đỉnh đơn hình K Do K đồ thị nên khơng có đơn hình chiều, xảy trường hợp: a1 = a2 = a3 ; a1 = a2 ; a2 = a3 ; a1 = a3 Trong trường hợp đầu đơn hình ( a1 , a2 ) , ( a2 , a3 ) đơn hình chiều, nên trường hợp đầu ta có h ( ω1 ) = h ( ω2 ) Trường hợp 4: ω1 = α a1a2 a2 a1 τ , ω2 = α a1a1 τ Nếu ( a1 , a2 ) khơng (sj) h ( ω1 ) = h ( ω2 ) Nếu ( a1 , a2 ) (sj) với j : ω1 = α s ± s mτ ⇒ h ( ω1 ) = h ( α ) ( s j ) ( s j ) h ( τ ) = h ( α ) eh ( τ ) = h ( α ) h ( τ ) = h ( ω2 ) j j ± m Vậy trường hợp ta ln có h ( ω1 ) = h ( ω2 ) ⇒ h xác định h đồng cấu nhóm 39 Xây dựng h1: Do Fn nhóm tự do, ta định nghĩa h1 theo phần tử sinh (sj) = (aj, aj’) Gọi α j đường T từ a0 đến aj , τj đường T từ a0 đến a j′ h1 ( ( s j ) ) lớp tương đương cạnh đường ( ) α j s +τ −1 h1 ( s j ) xác định độc lập với α j (vì T nên liên thơng, theo j j định lý 2.3.4 đường từ a0 đến aj tương đương cạnh với α j ) Khi đó, h1 mở rộng đồng cấu từ Fn → E(K, a0) + Vì với phần tử sinh ( s j ) Fn ta có: h.h1 ( ( s j ) ) = h ( α j s j τ j ) = ( s j ) nên h.h1 đồng ± ± ± Nếu ω = α1s j α s j α k s j α k +1 đường K thì: k (( h1.h ( ω ) = h1 s j1 ( ) (s ) ±1 = α j1 s +1τ −1 j j ±1 j2 ) (α ±1 j2 ( ) s jk s +2τ −2 j j ) ±1 ±1 ) ( α jk s +k τ −k j j ) ±1 = σ j1 s ±1σ ′j1σ j2 s ±2 σ ′j2 σ jk s ±k σ ′jk j j j Trong đó: α ji s j xuất s + ji i σ ji = τ ji s j xuất s − ji i τ −i1 s ji xuất s + j ji σ ′ji = α −i1 s ji xuất s − j ji ± Nhưng α1 , σ j đường T từ a0 đến điểm gốc s ji Do T liên thông nên α1 , σ j tương đương cạnh Tương tự α , σ ′j σ j tương 1 E đương cạnh Tiếp tục trình nên ta h1.h ( ω ) ; ω hay h1.h đồng 2.3.12 Các ví dụ: W 40 Ví dụ Nhóm biên tam giác đẳng cấu với nhóm tự F1 Gọi K phức đơn hình tạo biên tam giác, suy K đồ thị liên thông đường Ta có: χ ( K ) = − = ⇒ n = − χ ( K ) = Vậy theo định lý 2.3.11, π1 ( K , a0 ) ; Fn = F1 Hình 13 (a0 đỉnh tam giác) Hơn nữa, K khung chiều đơn hình chiều nên S đồng phơi với K Vì π1 ( S ) ; F1 2 Ví dụ Cho p1 , p2 ∈ ¡ , p1 ≠ p2 Đặt L = ¡ − { p1 , p2 } Khi với p ∈ L π1 ( L , p ) ; F2 Thật vậy, ta xét K đồ thị hình 14 (p1, p2 khơng thuộc K) Khi đó, a3 K L có kiểu đồng luân vì: a1 • p1 a2 • p2 a4 Hình 14 a0 • • 41 Hình 15 Ánh xạ L → K xác định phép chiếu hình 15 Ánh xạ K → L ánh xạ đồng K Suy π1 ( L, p ) ; π ( K , a0 ) Mà χ ( K ) = − = −1 nên n = − χ ( K ) = Khi đó, theo định lý 2.3.11 π1 ( K , a0 ) ; F2 hay π1 ( L, p ) ; F2 Ví dụ Hình xuyến thu cách dán hai đơn hình chiều sau (Hình 16): - dán cạnh c, hình vng - dán tiếp cạnh a, hình trụ v b a c - dán cạnh b hình xuyến Gọi K phức đơn hình tạo xuyến v v K khung chiều K Khi đó, K đồ thị liên thơng đường a v b Hình 16 1 Và χ ( K ) = − = −2 ⇒ n = − ( −2 ) = Vậy, π1 ( K , a0 ) ; F3 2.3.13 Hệ Nhóm phức đơn hình đẳng cấu với nhóm thương nhóm tự Chứng minh Gọi K phức đơn hình K khung chiều K Theo định nghĩa nhóm đường gấp khúc, [ ω ] ∈ K [ ω ] thuộc K Do ánh xạ: i∗ : E ( K , a0 ) → E ( K , a0 ) (a0 đỉnh K) toàn ánh 42 1 Theo định lý 2.2.13 ta có: E ( K , a0 ) ; π1 ( K , a0 ) ; E ( K , a0 ) ; π1 ( K , a0 ) nên ( ) i∗ : π K , a0 → π ( K , a0 ) toàn ánh Do K đồ thị nên theo định lý 2.3.11 π1 ( K , a0 ) ; Fn Vì vậy, i∗ : Fn → π ( K , a0 ) toàn ánh Gọi H = ker i∗ , theo định lý đồng cấu thì: π1 ( K , a0 ) ; Fn H W 2.3.14 Nhận xét H = ker i∗ nhóm nhóm tự Fn sinh −1 đường có dạng: α1 a1a2 a2 a3 a3a1 α , α1 , α đường T từ a0 tới a1 ( a1 , a2 , a3 ) đơn hình chiều K Chứng minh Giả sử [ ω ] ∈ H ⇒ ω đường K có điểm điểm gốc a0 C  ω = a a ⇒ω; a a [ ]  0  0 thỏa mãn i* ( [ ω ] ) =  a0 a0  ⇒    ω ∈ K  Vì tính tương đương cạnh đường xác định đỉnh, đỉnh thuộc đơn hình Do theo chứng −1 minh định lý 2.3.11 ω có dạng: ω = α1 a1a2 a2 a3 a3a1 α , α1 , α đường T từ a0 tới a1 ( a1 , a2 , a3 ) đơn hình chiều K 2.3.15 Ví dụ: A K phức đơn hình chiều hình 16 Ta có ( A, C ) , ( A, D ) , ( C , D ) đơn hình mở bỏ để: K − { ( A, C ) , ( A, D ) , ( C , D ) } T B D C 43 Mỗi đường K1 có dạng: ω = α1s1α s2 α k skα k +1 đó, α i đường T, Hình 16 si ∈ { ( A, C ) , ( A, D ) , ( C , D ) } Vì đơn hình mở si K ln có đơn hình chứa đỉnh nên thay chúng tích đường T Do đó, ω biểu diễn dạng tích đường T, T co rút điểm K nên ( ) 1 ω ; BB Suy ánh xạ: i∗ : E ( K , B ) → E ( K , B ) có ker i∗ = E K , B , E π1 ( K , B ) ; { θ } KẾT LUẬN Trong luận văn này, đạt kết sau: 44 Trình bày số khái niệm tính chất quan hệ đồng luân Xây dựng khái niệm tính chất nhóm khơng gian tơpơ Trình bày cách có hệ thống khái niệm đơn hình, phức đơn hình, đưa ví dụ minh họa Trình bày khái niệm ánh xạ đơn hình, xấp xỉ đơn hình chứng minh chi tiết định lý xấp xỉ đơn hình, cụ thể định lý 2.1.5, 2.1.7, 2.1.8 Xây dựng khái niệm chứng minh chi tiết tính chất quan hệ tương mật tiếp, tương đương đương cạnh, cụ thể định lý 2.2.5, 2.2.13 Trình bày khái niệm tính chất đồ thị, cây, chứng minh chi tiết đưa ví dụ áp dụng định lý hệ nhóm đồ thị (Định lý 2.3.11, hệ 2.3.13, ví dụ 2.3.12, 2.3.15) Mơ tả hạt nhân ánh xạ i∗ (nhận xét 2.3.14) Hướng nghiên cứu luận văn là: Tính nhóm đa diện, từ chứng minh hai đa diện khơng đồng phơi Tìm hiểu tích phức đơn hình TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: 45 [1] Nguyễn Duy Bình, Bài giảng tôpô đại số, Đại học Vinh, 2009 [2] Nguyễn Văn Đồnh - Tạ Mân, Nhập mơn tơpơ đại số, NXB Đại học Sư Phạm, 2009 [3] Hoàng Tụy, Nguyễn Xuân My, Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy Khoái, Mở đầu số lý thuyết đại tôpô đại số, NXB Đại học THCN, 1979 Tiếng Anh: [4] E.H Spanier, Algebraic Topology, McGraw-Hill, 1966 [5] A.Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University press, 2002 [6] S.R.Lay, Convex Sets and Their Applications, Wiley - Intersciece, 1982 [7] I.M.Singer and J.A.Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer, 1967 ... thống phức đơn hình nhóm chúng Luận văn chia làm hai chương sau: Chương Các kiến thức sở 1.1 Đồng luân 1.2 Nhóm 1.3 Phức đơn hình Chương Nhóm phức đơn hình 2.1 Ánh xạ đơn hình 2.2 Nhóm phức đơn hình. .. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đồng luân 1.2 Nhóm 1.3 Phức đơn hình Chương NHÓM CƠ BẢN CỦA PHỨC ĐƠN HÌNH ………… 2.1 Ánh xạ đơn hình …………………………………… 2.2 Nhóm phức đơn hình ... 1.3.8 Định nghĩa Phức đơn hình L gọi phức phức đơn hình K đơn hình thuộc L thuộc K 17 1.3.9 Định nghĩa Cho K phức đơn hình có chiều k, khung r chiều phức đơn hình K tập hợp đơn hình K có chiều