Đạo hàm của đại số tensor luận văn thạc sỹ toán học

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng ®¹i häc vinh phan m¹nh trêng ®¹o hµm cña ®¹i sè tenSOR CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔPÔ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN HỮU QUANG VINH - 2011 2 MỤC LỤC Mở đầu……………………………………………………………………….1 Chương I:Trường Tensor trên đại số 5 I.Đại số ……………………………………………………………… 4 II.Tensor trên đại số …………………………………………………………7 Chương II: Đạo hàm của đại số tensor 15 I. Đạo hàm trên đại số B……………………………………………………15 II. Đạo hàm trên đại sô tensor ImB…………………………………………19 2.2.1 Đại số tensor ImB…………………………………………………….19 2.2.2 Đạo hàm trên ImB……………………………………………………20 III. Liên thông tuyến tính trên môdun các đạo hàm……………………… 25 IV.Ứng dụng ………………………………………………………………30 A.Ứng dụng 1………………………………………………………………30 B.Ứng dụng 2………………………………………………………………35 Kết luận ……………………………………………………………………38 Tài liệu tham khảo …………………………………………………… .39 1 MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết phép tính tensor đã được nghiên cứu những năm 1900 qua các công trình của Ricci và Levi-Civita,đại số các tensor cũng đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu. Chúng ta cũng biết rằng đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến, thuận biến đã được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết về các chuyển động của không gian Riemann, không gian afin và không gian xạ ảnh liên kết. Một vấn đề nữa là để nghiên cứu sự biến thiên của các trường véctơ, trường tensor trên các mặt nói riêng và trên đa tạp nói chung thì cần dựa vào phép tịnh tiến song song, để giải quyết vấn đề này thì lý thuyết liên thông được ra đời. Liên thông tuyến tính trong hình học được giới thiệu bởi H.Weyl vào năm 1918 và không gian afin liên kết ở dạng tổng quát được định nghĩa bởi E.Cartan. Toán tử đạo hàm Lie ứng dụng cho trường vec tơ và trường ten xơ lần đầu tiên được xem xét bởi Van Danzig, Slebodzinski, Davis, Schouten và Van Campen. Các kết quả cơ bản trong lý thuyết đạo hàm Lie và các không gian tổng quát được V.V.Vagner tìm ra. Kĩ thuật đạo hàm Lie ứng dụng cho các không gian phân tử được giới thiệu chi tiết bởi B.L.Laptev. Một đóng góp quan trọng cho lý thuyết đạo hàm Lie trên các đa tạp trơn là xem xét nó trên một nền tảng cơ bản bằng cách sử dụng một phép nhúng p: E →M được đưa ra bởi B.N. Shapukov. Mục tiêu của luận văn này là mở rộng các toán tử của đạo hàm Lie và đạo hàm hiệp biến, thuận biến cho các phần tử xác định trên mô đun của các đạo hàm của một đại số. Luận văn là trình bày một cách có hệ thống các vấn đề về đại số, tensor trên đại số và đạo hàm trên tensor đại số. Trên 2 cơ sở tham khảo các tài liệu có thể có được trong điều kiện hiện nay, dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS.Nguyễn Hữu Quang, tác giả đã chọn đề tài nghiên cứu : Đạo hàm của đại số tensor. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Là chương cơ sở nêu một số kiến thức cơ bản về đại số và tensor trên đại số. Gồm các nội dung chính : I . Đại số: Các kiến thức cơ bản về đại số. II . Tensor trên đại số. Chương 2: Đạo hàm của đại số tensor. Gồm các nội dung chính : I . Đạo hàm trên đại số B. II . Đại số tensor ImB. III . Liên thông tuyến tính trên đại số B . IV . Ứng dụng: A . Ứng dụng 1 : Áp dụng các kết quả trên vào đa tạp M. B . Ứng dụng 2 : Áp dụng các kết quả trên vào đại số các đa thức. Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng tận tình chu đáo của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang . Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng tới thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn tới TS.Nguyễn Duy Bình , TS Kiều Phương Chi - Đại Học Vinh, Th.s Bùi Cao Vân - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi, Th.s Nguyễn Viết Sơn - Đại Học Hồng Đức, cùng các Thầy trong hội đồng đánh giá luận văn, các thầy cô trong khoa Toán, 3 khoa Sau Đại học, các anh chị học viên CH 17 chuyên ngành Hình Học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Lộc Hà, Hà Tĩnh, gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học. Xin chân thành cảm ơn ! Tác giả. 4 CHƯƠNG I TRƯỜNG TENSOR TRÊN ĐẠI SỐ Trong chương này, ta luôn giả thiết K là một vành giao hoán có đơn vị ( nghĩa là phép nhân trong vành có tính chất giao hoán có đơn vị 1 và giả thiết là 1 khác 0; trong đó 0 là đơn vị của nhóm cộng K ). Như ta đã biết một modun G trên K là một nhóm cộng Abel cùng với phép nhân: K G G× → ( , ) .a x a xa thỏa mãn các tiên đề sau: 1 . a(x+y) = ax+ay ; ; ,a K x y G∀ ∈ ∈ 2 . (a+b)x =ax+bx ; , ;a b K x G∀ ∈ ∈ 3 . (ab)x =a(bx) ; , ;a b K x G∀ ∈ ∈ 4 . 1.x =x ; x G∈ Rõ ràng khi K là một trường thì G là một không gian véc tơ trên K . I. Đại số 1.1.1. Định nghĩa. G được gọi là một đại số trên K nếu G là một modun và trong G được trang bị phép toán nhân trong : :G G G• × → 5 ( , ) .a b a ba thỏa mãn : 1. .( ) . .a b c a b a c+ = + 2. ( ). . .a b c a c b c+ = + 3. ( ). .( . )a b a b α α = . Với , , ;a b c G K α ∀ ∈ ∈ . 1.1.2. Chú ý 1. Nếu phép nhân trong giao hoán thì G được gọi là đại số giao hoán. 2. Nếu phép nhân trong có tính chất kết hợp thì G được gọi là đại số kết hợp. 3. Nếu a.b = 0 với ,a b G∀ ∈ thì G được gọi là đại số tầm thường. 4. Nếu tích trong thỏa mãn: [a,b] [b,a] [[a,b], ] [[b,c], ] [[c,a], ] 0c a b = −   + + =  , ,a b c G∀ ∈ và K là một trường thì G được gọi là đại số Lie. Trong trường hợp này tích trong a.b được viết là [a,b] .([ , ] được gọi là móc Lie ). 5. Giả sử G là đại số Lie n - chiều trên trường K và { } 1 n i i e = là cơ sở của G. Khi đó với 1 1 ; n n i i i i i i a a e b b e = = = = ∑ ∑ ta có sự biểu diễn : [ ] , , , , , k i j i j i j ij k i j i j k a b a b e e a b g e   = =   ∑ ∑ ( trong đó 1 , n k i j ij k k e e g e =   =   ∑ ) Bộ số { } k ij g được gọi là hằng số cấu trúc của đại số Lie G . 1.1.3. Ví dụ 6 1. Ta kí hiệu n M ={A | A là ma trận vuông thực cấp n}. Với các phép toán như sau : . . A B k A A B +      với A,B ∈ n M , k ∈ ¡ . Khi đó thì n M thành một đại số kết hợp không giao hoán có đơn vị . Thật vậy : - Ta dễ dàng kiểm tra các tính chất sau : • a(A+B) = aA+aB ; ;a∀ ∈ ¡ A,B ∈ n M • (a+b)A =aA+bA ; , ;a b∀ ∈ ¡ A ∈ n M , • (ab)A =a(bA) ; , ;a b∀ ∈ ¡ A ∈ n M , - Và các tính chất của tích trong : • A(B+C) = AB+AC • (A+B)C =AC+BC • (a.A)B =a.(AB) với ;a∀ ∈ ¡ A,B,C ∈ n M . Hoàn toàn tương tự ta có thể kiểm tra được các ví dụ sau là những đại số. 2. Giả sử M là đa tạp khả vi và F (M) là tập các hàm thực khả vi trên M với phép toán thông thường thì F (M) là đại số giao hoán, kết hợp có đơn vị trên ¡ . 3. G= 3 ¡ cùng với phép toán thông thường, [a,b]=a b∧ thì G là một đại số Lie trên ¡ . 4. Giả sử L (G) là tập hợp tất cả các dạng tuyến tính thực trên R- môđun.Ta đưa vào L (G) các phép toán sau : 7 • ( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + ; với ∀ ,f g ∈ L (G) , ∀ x ∈ G. • ( )( ) . ( )kf x k f x= ; với ∀ f ∈ L (G) , ∀ x ∈ G, ∀ k ∈ ¡ . • ( )( ) ( ). ( )fg x f x g x= ; với ∀ ,f g ∈ L (G) , ∀ x ∈ G. • Khi đó L (G) là một đại số trên ¡ . 1.1.4. Nhận xét 1. Giả sử G là một đại số kết hợp trên trường K. Ta đặt tích trong là [ ] ,a b ab ba= − . Khi đó G là một đại số Lie . 2. Giả sử G là một đại số Lie ,với bộ hằng số cấu trúc { } k ij g của ta có : a . 0 k k ij ji g g + = . b . . . . 0 k l k l k l ij ks js ki si kj g g g g g g + + = II. Tensor trên đại số Trong mục này, ta luôn giả thiết A là đại số giao hoán, kết hợp trên trường P có đơn vị e, và dimA = n. Gọi A * là đối ngẫu của A. Bây giờ ta xét các phép toán sau : 1 . Phép toán * * : A A A× × → ( , ) .f a f aa thỏa mãn : ( )( ) ( )fa c f ac= 2 . Phép nhân trong * * * A A A× → ( , ) .f g f ga mà : . ( ) ( ). ( )f g x f x g x= Ta có nhận xét sau : 8 . Chương 2: Đạo hàm của đại số tensor. Gồm các nội dung chính : I . Đạo hàm trên đại số B. II . Đại số tensor ImB. III . Liên thông tuyến tính trên đại số B chất đạo hàm. Bây giờ, chúng ta trình bày một cách tương tự về các phép đạo hàm trên đại số, và đạo hàm trên đại số tensor . I. Đạo hàm trên đại số B 2.1.1.