Đạo hàm lie của liên thông tuyến tính luận văn thạc sỹ toán học

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh tạ thị thanh liên đạo hàm lie của liên thông tuyến tính CHUYấN NGNH: HèNH HC - TễPễ Mó s: 60.46.10 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS. TS. NGUYN HU QUANG VINH - 2011 2 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 2 CHƯƠNG I. ĐA TẠP KHẢ VI 4 I.ĐA TẠP KHẢ VI .4 II.LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI .7 III. ÁNH XẠ TIẾP XÚC 14 CHƯƠNG II. ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH 19 I.ĐỘ CONG TRÊN ĐA TẠP 19 II. ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH 22 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO .32 1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của toán học. Đặc biệt nó được xem như một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất của hình học trên các đa tạp Riemann. Trong một vài thập niên gần đây nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đại số, đại số Lie (xem [3]). Trên cơ sở một số kết quả của nhà toán học A.Ya.Sultanov và một số tài liệu nghiên cứu về đạo hàm Lie (xem [3], [7], [8]), chúng tôi nghiên cứu đề tài:“ §¹o hµm Lie cña liªn th«ng tuyÕn tÝnh”. Luận văn được trình bày trong hai chương: Chương I: Đa tạp khả vi. Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của đa tạp khả vi, liên thông tuyến tính, ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp. Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau. Chương I được chia làm ba phần I. Đa tạp khả vi. II. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi. III. Ánh xạ tiếp xúc. Chương II. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính. Đây là chương thể hiện các kết quả chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm và tính chất, ví dụ về độ cong trên đa tạp, đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính và xét mối quan hệ giữa ánh xạ tiếp xúc với đạo hàm Lie. Chương này được chia thành 2 phần I. Độ cong trên đa tạp. II. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính. 2 Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong bộ môn Hình học – Tôpô, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả 3 CHƯƠNG I ĐA TẠP KHẢ VI Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi liên thông tuyến tính, ánh xạ tiếp xúc trên đa tạp. I.ĐA TẠP KHẢ VI. 1.1.1.Định nghĩa.(Xem [4]). Giả sử M là một T 2 - không gian với cơ sở đếm được, U là tập mở trong M, V là tập mở trong R n và ánh xạ VU →: ϕ là đồng phôi thì ),( ϕ U được gọi là một bản đồ của M. Chú ý. . Với p ∈ U, ), .,,()( 21 n xxxp = ϕ . Khi đó ), .,,( 21 n xxx được gọi là tọa độ địa phương của p đối với ),( ϕ U . ( ),( ϕ U được gọi là hệ tọa độ địa phương của M). . Một điểm p có thể thuộc nhiều bản đồ của M, do đó p có nhiều bộ tọa độ địa phương khác nhau. 1.1.2.Ví dụ. Trong R 2 , ta lấy { } 1/);( 221 =+== yxyxSM . Ta xét { } 0/);( 1 1 >∈= ySyxU ; Rõ ràng U 1 là tập mở của S 1 và V 1 =(-1; 1); là tập mở trong R. Khi đó ,: 11 VU → ϕ là ánh xạ đồng phôi 1 ),( xyx  Như vậy, ),( 11 ϕ U là một bản đồ của S 1 . Thật vậy: * 1 ϕ là song ánh: • Ta lấy hai điểm )1,( 2 11 xxA − , )1,( 2 22 xxB − thuộc U 1 . Từ A ≠ B, ta suy ra x 1 ≠ x 2 . Do đó )()( 11 BA ϕϕ ≠ . Vậy 1 ϕ là đơn ánh. 4 • Với bất kỳ x ∈ V 1 , ta xét điểm 1 2 )1,( UxxA ∈− , ta có: 1 ϕ (A) ≠ 1 ϕ (B). Vậy 1 ϕ là toàn ánh. * Vì 1 ϕ là phép chiếu lên trục hoành nên 1 ϕ liên tục. Mặt khác, ,: 11 1 1 UV → − ϕ ( ) 2 1; xxx − ),( 21 1 1 ψψϕ = − ; với xx =)( 1 ψ và )1;1(,1)( 2 2 −∈∀−= xxx ψ Từ 1 ψ , 2 ψ liên tục, ta suy ra 1 1 − ϕ liên tục. Như vậy, ),( 11 ϕ U là một bản đồ của S 1 . 1.1.3. Định nghĩa (xem [4]). Giả sử ),( 11 ϕ U và ),( 22 ϕ U là hai bản đồ của M và φ ≠∩= 211 UUW . Khi đó ),( 11 ϕ U và ),( 22 ϕ U được gọi là phù hợp nếu ánh xạ 12 ϕϕ o là một vi phôi. Chú ý • Ta ký hiệu W 1 = 1 ϕ (W), W 2 = 2 ϕ (W). Khi đó ),( 11 ϕ U và ),( 22 ϕ U phù hợp nếu ánh xạ : 1 12 − ϕϕ o W 1 → W 2 là vi phôi. • Nếu U 1 ∩ U 2 = φ , ta quy ước rằng ),( 11 ϕ U và ),( 22 ϕ U phù hợp Ta trở lại ví dụ 1.2. ở trên và xét thêm bản đồ { }      → −= >∈= 222 2 1 2 : )1;1( 0/);( VU V xSyxU ϕ (x;y)  y Ta kiểm tra tính phù hợp của ),( 11 ϕ U và ),( 22 ϕ U . Ta xét ( ) { }      == == ≠>>∈=∩= ).1;0()( )1;0()( 0,0/; 22 11 1 21 WW WW yxSyxUUW ϕ ϕ φ Khi đó, ta có: 21 1 12 : WWf o →= − ϕϕ 5 2 1 xx − là một song ánh và khả vi. Mặt khác, với bất kỳ y ∈ (0;1), ta có: ))(())(()()()( 1 21 1 21 11 12 1 yyyyf oo −−−−− === ϕϕϕϕϕϕ . Do đó f -1 liên tục. Vậy f là vi phôi hay ),( 11 ϕ U và ),( 22 ϕ U là hai bản đồ phù hợp của S 1 . 1.1.4. Định nghĩa (xem [4]). • Một hệ bản đồ { } I U ∈ α βα ϕ ; ; thỏa mãn: + MU I = ∪ ∈ α α + ),( αα ϕ U và ),( ββ ϕ U là phù hợp; với mọi I∈ βα , , được gọi là một cấu trúc khả vi của M. • Tập M cùng với một trúc khả vi được gọi là một đa tạp khả vi n – chiều. Ta tiếp tục xét M = S 1 , cùng thêm các bản đồ sau: Trở lại với ví dụ 1.4. Ta đặt: { } 0/);( 1 3 <∈= xSyxU )1;1( 3 −=V 333 : VU → ϕ ( ) yyy ;1 2 −− { } 0/);( 1 4 <∈= ySyxU )1;1( 4 −=V 444 : VU → ϕ ( ) xxx  2 1, −− Dễ thấy, MU =∪ = 4 4 1 α và hai bản đồ bất kỳ đều phù hợp. Do đó 4 1 ),( = ααα ϕ U là một cấu trúc khả vi của S 1 . 6 Vậy S 1 là một đa tạp khả vi 1 - chiều. II.LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI. Trong mục này, ta luôn giả thiết M là đa tạp khả vi thực với hệ bản đồ I U ∈ ααα ϕ ),( . Ta ký hiệu: F(U) = {f: U → R, khả vi} B(M) = { |X X là trường véc tơ tiếp xúc, khả vi trên M } T p M = { Không gian các véc tơ tiếp xúc với M tại p ∈ M } 1.2.1.Định nghĩa: (Xem [5]) Ánh xạ ∇ : B(M) x B(M) → B(M) (X,Y) a ∇ X Y được gọi là liên thông tuyến tính trên M nếu và chỉ nếu ∇ thoả mãn các điều kiện sau: T 1 . ( ) ; , , x x x Y Z Y Z X Y Z∇ + = ∇ + ∇ ∀ ∈ B(M) T 2. x y x y Z Z Z + ∇ = ∇ + ∇ ; , ,X Y Z∀ ∈ B(M) T 3 . x x Y Y ϕ ϕ ∇ = ∇ ; ; X∀ ∈ B(M), ϕ ∈F(M). T 4. [ ] . . ; x x Y X Y Y ϕ ϕ ϕ ∇ = + ∇ ,X Y∀ ∈ B(M), ϕ ∈F(M). x Y∇ được gọi là đạo hàm của trường véc tơ Y dọc theo X đối với ∇. 1.2.2. Ví dụ : 1. M = R n với trường mục tiêu tự nhiên, ∇ = D, ∇ : B(M) x B(M) → B(M) (X,Y)  D x Y = (X[Y 1 ], …, X[Y n ]) Trong đó Y có toạ độ (Y 1 ,…,Y n ). Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính. Thật vậy, ∇ thoả mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính: 1. ∇ X (Y+Z) = D X (Y+Z) = D X Y + D X Z 2. ∇ X+Y Z = D X+Y Z = D X Z + D Y Z 7 3. ∇ ϕ X Y = D ϕ X Y = ϕD X Y 4. ∇ X (ϕY) = D X (ϕY) = X[ϕ].Y + ϕ D X Y 2. M là đa tạp khả song với trường mục tiêu { E 1 , , E n } và Y = ∑ = n i ii EY 1 , ta đặt ∇ X Y = [ ] ∑ = n i ii EYX 1 . Khi đó ∇ là một liên thông tuyến tính. Thật vậy, ta có: T 1 . [ ] ∑ = +=+∇ n i iiiX EZYXZY 1 )()( [ ] [ ] )( 1 ii n i ii EZXEYX += ∑ = = [ ] [ ] ∑∑ == + n i ii n i ii EZXEYX 11 = ∇ X Y + ∇ X Z T 2 . [ ] ∑ = + +=∇ n i iiYX EZYXZ 1 )( = [ ] [ ] )( 1 ii n i ii EZYEZX + ∑ = = [ ] [ ] ∑∑ == + n i ii n i ii EZYEZX 11 = ∇ X Z + ∇ Y Z T 3 .∇ ϕ X Y = [ ] ∑ = n i ii EYX 1 ϕ = [ ] ∑ = n i ii EYX 1 ϕ =ϕ∇ X Y 8 . I. Đa tạp khả vi. II. Liên thông tuyến tính trên đa tạp khả vi. III. Ánh xạ tiếp xúc. Chương II. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính. Đây là chương thể. chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm và tính chất, ví dụ về độ cong trên đa tạp, đạo hàm Lie của liên thông tuyến