Về một vài cấu trúc đa tuyến tính luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ HỒNG VỀ MỘT VÀI CẤU TRÚC ĐA TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN 2011 1 MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính khởi đầu từ việc giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính. Về sau, để có thể mô tả được cấu trúc của tập hợp nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, cần xây dựng những khái niệm trừu tượng hơn như không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính. Chúng ta cũng có nhu cầu khảo sát các không gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, trong đó có thể đo độ dài vectơ và góc giữa hai vectơ. Xa hơn, hướng nghiên cứu này dẫn đến bài toán phân loại các dạng toàn phương và tổng quát hơn phân loại các tenxơ, dưới tác động của một nhóm cấu trúc nào đó. Với mục đích tìm hiểu sâu hơn những vấn đề nâng cao của Đại số tuyến tính, trong luận văn này này, chúng tôi giới thiệu các cấu trúc đa tuyến tính: Tích tenxơ, Đại số tenxơ, Đại số đối xứng, Đại số ngoài. Nền tảng của các cấu trúc đa tuyến tính là khái niệm tích tenxơ của các không gian vectơ. Vượt ra xa ngoài khuôn khổ của Đại số tuyến tính, các cấu trúc đa tuyến tính nói trên có nhiếu ứng dụng sâu sắc trong cơ học và vật lý, hình học vi phân, giải tích trên đa tạp và lý thuyết biểu diễn nhóm (xem [5]). Luận văn gồm hai chương, với các nội dung chủ yếu sau: - Trình bày việc xây dựng các cấu trúc đa tuyến tính: Tích tenxơ, Đại số tenxơ, Đại số đối xứng, Đại số ngoài; - Trình bày chi tiết các chứng minh về: tính phổ dụng và các tính chất cơ bản khác của tích tenxơ (Định lý 1.1.5); - Giới thiệu một số đẳng cấu chính tắc liên quan đến tích ten xơ (xem 1.1.8); - Nêu các ví dụ về một vài tenxơ quan trọng: tenxơ ma trận và ánh xạ tuyến tính, tenxơ mêtric, tenxơ cấu trúc đại số (xem ví dụ 5); - Trình bày chi tiết chứng minh của định lý về sự đẳng cấu của đại số đối xứng và đại số đa thức (Định lý 2.1.7); 2 - Giải quyết một số bài tập có liên quan đến các cấu trúc đa tuyến tính. Nhân dịp hoàn thành bản luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang – người thầy giáo đã đặt vấn đề nghiên cứu và tận tình chỉ dẫn, để tác giả hoàn thành bản luận văn này. ơ Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán học và Khoa Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh đã động viên, cổ vũ, có những góp ý quý báu và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu theo chương trình đào tạo sau đại học. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song do nhiều nguyên nhân, luận văn chắc chắn còn có nhiều thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các quý thầy cô và các bạn bè đồng nghiệp. 3 CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC TÍCH TENXƠ VÀ ĐẠI SỐ TENXƠ 1.1. Tích tenxơ 1.1.1. Đại số trên một trường. Một đại số trên trường K là một K-không gian vectơ A với phép nhân: A × A → A, ( , ) α β αβ a thỏa mãn những điều kiện sau: (a) A cùng với phép cộng vectơ và phép nhân lập thành một vành. (b) Các phép nhân với vô hướng và phép nhân của A liên hệ với nhau bởi hệ thức ( ) ( ) ( )a a a α β α β αβ = = , với mọi a ∈ K, , α β ∈ A. Tập con khác rỗng B ⊂ A được gọi là một đại số con của đại số A nếu nó vừa là một không gian véc tơ con vừa là một vành con của A. Cho các đại số A và A ’ . Ánh xạ ϕ : A → A ’ được gọi là một đồng cấu đại số nếu nó vừa là đồng cấu không gian véc tơ con vừa là một đồng cấu vành. Ví dụ 1. K- không gian vectơ các ma trận vuông M(n × n, K) với phép ma trận là một đại số trên trường K. 1.1.2. Iđêan của đại số. Giả sử A là một đại số trên trường K. Không gian vectơ con B của A được gọi là một iđêan của đại số A nếu có tính chất hấp thụ, nghĩa là: B αβ ∈ , B βα ∈ , với mọi A α ∈ B β ∈ . Tập các ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo bằng 0 là một iđêan của đại số con gồm các ma trận tam giác trên của đại số M(n × n, K). Dễ thấy rằng, nếu B là một iđêian của đại số A thì không gian thương A/B trở thành một đại số, gọi là đại số thương, với phép nhân định nghĩa như sau: ( )( ' ) ( ')B B B α α αα + + = + . 1.1.3. Ánh xạ song tuyến tính. Giả sử , ,L M N là không gian vectơ trên trường K. Ánh xạ : L M N ϕ × → được gọi là song tuyến tính nếu: 4 1 2 1 2, ( , ) ( , ) ( ), ϕ α α β ϕ α β ϕ α β + = + ( , ) ( , ),a a ϕ α β ϕ α β = 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ϕ α β β ϕ α β ϕ α β + = + ( , ) ( )a a ϕ α β ϕ αβ = , với mọi 1 2 1 2 , , , , , ,L M a α α α β β β ∈ ∈ ∈ K. Nói cách khác, ánh xạ song tuyến tính là một ánh xạ tuyến tính với mỗi biến, khi cố định biến kia. 1.1.4. Tích tenxơ của hai không gian vectơ. Giả sử ,L M là các không gian vectơ trên trường K. Gọi F ( )L M× là tập hợp tất cả các hàm có giá hữu hạn từ L M× vào trường K, tức là các hàm chỉ khác 0 tại một số hữu hạn điểm nào đó của L M× . Tập hợp này lập nên một K- không gian vectơ đối với các phép toán cộng và nhân vô hướng được định nghĩa theo giá trị của hàm, cụ thể như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,f g f g α β α β α β + = + , ( ) ( ) ( ) af , ,af α β α β = , với mọi ( ) ( ) , , , ,f g F L M a K L M α β ∈ × ∈ ∈ × . Mỗi phần tử ( , ) L M α β ∈ × được đặt tương ứng với một hàm, cũng ký hiệu là ( ) ( ) , F L M α β ∈ × được định nghĩa như sau: ( , ) : L M K α β × → , ( , ) α β a 1, ( ', ') α β a 0, ( ', ') ( , ) α β α β ∀ ≠ . Giả sử ( )f F L M∈ × là hàm chỉ khác 0 trên tập hữu hạn {( , ) } i i i I α β ∈ với ( ) , i i i f a α β = . Dễ thấy rằng: ( , ) i i i i I f a α β ∈ = ∑ . Như vậy, một cách trực giác, ta có thể hiểu ( )F L M× là tập hợp các tổng hình thức có giá hữu hạn của các phần tử trong L M× với hệ số trong K. Gọi H là không gian vectơ con của ( )F L M× sinh bởi các phần tử có dạng sau: 5 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , α α β α β α β + − − , ( ) ( , ) ,a a α β α β − , ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , α β β α β α β + − − , ( ) ( ) , ,a a α β α β − , trong đó 1 2 1 2 , , , , , ,L M a K α α α β β β ∈ ∈ ∈ . Ta gọi không gian vectơ thương ( ) /F L M H× là tích tenxơ của các không gian L và M. Nó được ký hiệu bởi L ⊗ M, hoặc chi tiết hơn L K ⊗ M. Ảnh của phần tử ( , ) α β bởi phép chiếu chính tắc ( )F L M× → L ⊗ M được ký hiệu là α β ⊗ . Như vậy ( ) ( ) , : , H α β α β α β ⊗ = = +    . Theo định nghĩa của không gian con H, ta có 1 2 1 2 ( ) , α α β α β α β + ⊗ = ⊗ + ⊗ ( ) ( ),a a α β α β ⊗ = ⊗ 1 2 1 2, ( ) α β β α β α β ⊗ + = ⊗ + ⊗ ( ) ( ),a a α β α β ⊗ = ⊗ trong đó 1 2 1 2 , , ; , , ;L M a K α α α β β β ∈ ∈ ∈ . Nói cách khác, ánh xạ t: L M L M× → ⊗ định nghĩa bởi công thức t ( , ) α β α β = ⊗ là ánh xạ song tuyến tính. Tích tenxơ được xây dựng nhằm mục đích tuyến tính hóa các ánh xạ song tính. Điều này được nói rõ trong định lý sau đây. 1.1.5. Định lí về tính phổ dụng của tích tenxơ. Với mọi ánh xạ song tuyến tính : L M N ϕ × → , tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính :h L M N ⊗ → sao cho biểu đồ sau đây giao hoán: 6 t L M× L M ⊗ ϕ h N, tức là h t ϕ = o . Chứng minh. Ta thác triển ánh xạ ϕ thành ánh xạ : ( )F L M N ϕ × → % xác định bởi công thức ( ( , )) ( , ) i i i i i i i I i I a a ϕ α β ϕ α β ∈ ∈ = ∑ ∑ % . Rõ ràng ϕ % là một ánh xạ tuyến tính. Hơn nữa, do ϕ là song tuyến tính cho nên H Ker ϕ ⊂ % . Thật vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , 0 ϕ α α β α β α β ϕ α α β ϕ α β ϕ α β + − − = + − − = % , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 0a a a a ϕ α β α β ϕ α β ϕ α β − = − = % , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , 0 ϕ α β β α β α β ϕ α β β ϕ α β ϕ α β + − − = + − − = % , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 0a a a a ϕ α β α β ϕ α β ϕ α β − = − = % , với mọi 1 2 1 2 , , , , , ,L M a K α α α β β β ∈ ∈ ∈ . Do H Ker ϕ ⊂ % , ánh xạ tuyến tính ϕ % cảm sinh ánh xạ tuyến tính : : ( ) /h L M F L M H N⊗ = × → [ ] ( )h x x ϕ = % , ở đây [ ] x x H= + là lớp của phần tử x bất kì trong ( )F L M× . Với mọi ,L M α β ∈ ∈ , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , .h h h t ϕ α β ϕ α β α β α β α β = = = ⊗ =    % Vì thế h t ϕ = o . 7 Tiếp theo, ta chứng minh tính duy nhất của h. Giả sử ':h L M N ⊗ → cũng là một ánh xạ tuyến tính thoả mãn hệ thức 'h t h t ϕ = =o o . Như thế 'h h= trên Im(t). Không gian ( )F L M× được sinh ra bởi các phần tử có dạng ( , ). α β Do đó, ( ) /L M F L M H⊗ = × được sinh ra bởi các phần tử có dạng ( , ) ( , )H t α β α β α β + = ⊗ = . Nói cách khác, Im(t) sinh ra không gian L M ⊗ . Các ánh xạ tuyến tính h và h ’ bằng nhau trên Im(t) nên chúng bằng nhau trên toàn không gian L M ⊗ . □ Gọi Λ ( ) , ;L M N là không gian vectơ các ánh xạ song tuyến tính từ L × M vào N. Định lý 1.1.5 cho phép xây dựng một ánh xạ Λ (L,M;N) → Λ ( , )L M N⊗ bằng cách chuyển ϕ thành h. Đó là một đẳng cấu tuyến tính sẽ nói trong hệ quả sau: 1.1.6. Hệ quả. L(L, M; N ) ≅ L ( L ⊗ M, N ). 1.1.7. Tích tenxơ của hai ánh xạ tuyến tính. Giả sử f: L → N và g: M → P là các ánh xạ tuyến tính. Dễ thấy rằng ánh xạ f × g : L × M → N ⊗ P, (f × g ) ( , ) α β = f ( ) ( ), ,g L M α β α β ⊗ ∈ ∈ là song tuyến tính. Do đó, theo Định lý 1.1.5 tồn tại duy nhất một ánh xạ được ký hiệu :f g L M N P⊗ ⊗ → ⊗ có tính chất ( g)( ) ( ) ( )f f g α β α β ⊗ ⊗ = ⊗ . Ánh xạ f g⊗ được gọi là tích ten xơ của f và g. 1.1.8. Các tính chất cơ bản của tích ten xơ. Trong các mệnh đề sau đây, giả sử rằng L, M, N là không gian vectơ trên trường K. Ta có: 1) Tính kết hợp: Tồn tại duy nhất một đẳng cấu tuyến tính ( ) ( ),L M N L M N ≅ ⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ sao cho ( ) ( ) α β γ α β γ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗a , với mọi , ,L M N α β γ ∈ ∈ ∈ . 8 Chứng minh. Chúng ta xét ánh xạ : ( ) ( )L M N L M N τ ⊗ × → ⊗ ⊗ xác định bởi (( ), ) ( ) τ α β γ α β γ ⊗ = ⊗ ⊗ . Dễ dàng kiểm tra lại rằng đó là một ánh xạ song tính đối với các biến α β ⊗ và γ . Theo Định lý 1.1.5, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính h: ( ) ( )L M N L M N⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ sao cho (( ) ) ( )h α β γ α β γ ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ , với mọi , ,L M N α β γ ∈ ∈ ∈ . Tương tự, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính ( ) : ( )k L M N L M N⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ sao cho ( ) ( ) ( ) k α β γ α β γ ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ , với mọi , , .L M N α β γ ∈ ∈ ∈ Như vậy kh: ( ) ( )L M N L M N⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn kh ( ) ( ) ( ) α β γ α β γ ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ , với mọi , ,L M N α β γ ∈ ∈ ∈ . Nói cách khác, kh trùng với ánh xạ đồng nhất id trên tập vectơ có dạng ( ) α β γ ⊗ ⊗ đó là một tập sinh của không gian ( )L M N⊗ ⊗ . Do đó kh=id, bởi vì cả hai đều là các ánh xạ tuyến tính. Lập luận tương tự, ta có hk = id. Hai đẳng thức kh =id và hk= id chứng tỏ h là một đẳng cấu tuyến tính. □ Mệnh đề này cho phép chúng ta định nghĩa tích ten xơ 1 2 3 n L L L L⊗ ⊗ ⊗ ⊗ của n không gian vectơ L 1 , L 2 , L 3 , …, L n . 2) Tính giao hoán. Tồn tại duy nhất một đẳng cấu tuyến tính L M M L ≅ ⊗ → ⊗ , sao cho α β β α ⊗ ⊗a với mọi ,L M α β ∈ ∈ . 3) Tính “có đơn vị”: Tồn tại duy nhất một đẳng cấu tuyến tính K K K L L K L ≅ ≅ ⊗ → ⊗ → , sao cho a a a α α α ⊗ ⊗a a với mọi ,a K L α ∈ ∈ . 4) Tính phân phối: 9 ( ) ( ) ( )L M N L N M N⊕ ⊗ ≅ ⊗ ⊕ ⊗ ( ) ( ) ( )L M N L M L N⊗ ⊕ ≅ ⊗ ⊕ ⊗ 1.1.9. Hệ quả. Giả sử 1 ( , , ) m α α K và 1 ( , , ) n β β K là các cơ sở tương ứng của các không gian vectơ L và M. Khi đó, hệ vectơ ( , 1 ,1 ) i i i m j n α β ≤ ≤ ≤ ≤ là một cơ sở không gian vectơ L M⊗ . Nói riêng dim( L M ⊗ )= dimL. dimM. Chứng minh. Theo định nghĩa của cơ sở, ta có các đẳng cấu của tuyến tính 1 m i i L K α = ≅ ⊕ 1 n j j M K β = ≅ ⊕ . Áp dụng các tính chất của phép tính tenxơ, ta có ( ) ( ) 1 1 m n i i j j L M K K α β = = ⊗ ≅ ⊕ ⊗ ⊕ ( ) ( ) 1 1 m n i j i j K K α β = = ≅ ⊕ ⊕ ⊗ 1 1 ( ) m n i j i j K α β = = ≅ ⊕ ⊕ ⊗ . Đẳng thức này chứng tỏ hệ vectơ ( 1 ,1 ) i i i m j n α β ≤ ≤ ≤ ≤ là một cơ sở của không gian véc tơ L M ⊗ . □ Các ví dụ sau đây giới thiệu một số đẳng cấu chính tắc liên quan đến tenxơ. Ví dụ 2. Nếu L 1 , …, L n là không gian vectơ hữu hạn chiều thì * * * 1 1 ( ) n n L L L L⊗ ⊗ ≅ ⊗ ⊗K K . Bằng phép quy nạp, ta chỉ cần kiểm chứng ví dụ này cho n=2. Giả sử 1 1 2 2 : , :f L K f L K→ → là các ánh xạ tuyến tính. Xét hợp thành của ánh xạ 1 2 1 2 :f f L L K K⊗ ⊗ → ⊗ với đẳng cấu tuyến tuyến tính : ,K K K a b ab ι ⊗ → ⊗ a , ta có 1 2 1 2 ( ) ( )f f L L ι ∗ ⊗ ∈ ⊗o . Tương ứng ( ) * * * 1 2 1 2 L L L L× → ⊗ , 10