Về một vài cấu trúc đa tuyến tính

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ HỒNG VỀ MỘT VÀI CẤU TRÚC ĐA TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN 2011 MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính khởi đầu từ việc giải biện luận hệ phương trình tuyến tính Về sau, để mơ tả cấu trúc tập hợp nghiệm điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, cần xây dựng khái niệm trừu tượng không gian vectơ ánh xạ tuyến tính Chúng ta có nhu cầu khảo sát khơng gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, đo độ dài vectơ góc hai vectơ Xa hơn, hướng nghiên cứu dẫn đến toán phân loại dạng toàn phương tổng quát phân loại tenxơ, tác động nhóm cấu trúc Với mục đích tìm hiểu sâu vấn đề nâng cao Đại số tuyến tính, luận văn này, giới thiệu cấu trúc đa tuyến tính: Tích tenxơ, Đại số tenxơ, Đại số đối xứng, Đại số Nền tảng cấu trúc đa tuyến tính khái niệm tích tenxơ khơng gian vectơ Vượt xa ngồi khn khổ Đại số tuyến tính, cấu trúc đa tuyến tính nói có nhiếu ứng dụng sâu sắc học vật lý, hình học vi phân, giải tích đa tạp lý thuyết biểu diễn nhóm (xem [5]) Luận văn gồm hai chương, với nội dung chủ yếu sau: - Trình bày việc xây dựng cấu trúc đa tuyến tính: Tích tenxơ, Đại số tenxơ, Đại số đối xứng, Đại số ngoài; - Trình bày chi tiết chứng minh về: tính phổ dụng tính chất khác tích tenxơ (Định lý 1.1.5); - Giới thiệu số đẳng cấu tắc liên quan đến tích ten xơ (xem 1.1.8); - Nêu ví dụ vài tenxơ quan trọng: tenxơ ma trận ánh xạ tuyến tính, tenxơ mêtric, tenxơ cấu trúc đại số (xem ví dụ 5); - Trình bày chi tiết chứng minh định lý đẳng cấu đại số đối xứng đại số đa thức (Định lý 2.1.7); - Giải số tập có liên quan đến cấu trúc đa tuyến tính Nhân dịp hồn thành luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang – người thầy giáo đặt vấn đề nghiên cứu tận tình dẫn, để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Đại số, Khoa Toán học Khoa Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh động viên, cổ vũ, có góp ý quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu theo chương trình đào tạo sau đại học Mặc dù có nhiều cố gắng song nhiều ngun nhân, luận văn chắn cịn có nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, góp ý q thầy bạn bè đồng nghiệp CHƢƠNG CẤU TRÚC TÍCH TENXƠ VÀ ĐẠI SỐ TENXƠ 1.1 Tích tenxơ 1.1.1 Đại số trƣờng Một đại số trường K K-không gian vectơ A với phép nhân: A  A  A, ( ,  )  thỏa mãn điều kiện sau: (a) A với phép cộng vectơ phép nhân lập thành vành (b) Các phép nhân với vô hướng phép nhân A liên hệ với hệ thức (a )   (a )  a( ) , với a  K,  ,  A Tập khác rỗng B  A gọi đại số đại số A vừa không gian véc tơ vừa vành A Cho đại số A A’ Ánh xạ  : A  A’ gọi đồng cấu đại số vừa đồng cấu không gian véc tơ vừa đồng cấu vành Ví dụ K- khơng gian vectơ ma trận vuông M(n  n, K) với phép ma trận đại số trường K 1.1.2 Iđêan đại số Giả sử A đại số trường K Không gian vectơ B A gọi iđêan đại số A có tính chất hấp thụ, nghĩa là:   B ,   B , với   A   B Tập ma trận tam giác với phần tử đường chéo iđêan đại số gồm ma trận tam giác đại số M(n  n, K) Dễ thấy rằng, B iđêian đại số A khơng gian thương A/B trở thành đại số, gọi đại số thương, với phép nhân định nghĩa sau: (  B)( ' B)  ( ')  B 1.1.3 Ánh xạ song tuyến tính Giả sử L, M , N khơng gian vectơ trường K Ánh xạ  : L  M  N gọi song tuyến tính nếu:  (1   ,  )   (1 ,  )   ( 2,  ),  (a ,  )  a ( ,  ),  ( , 1  2 )   ( , 1 )   ( , 2 )  ( , a )  a ( ) , với  ,1 ,  L,  , 1, 2  M , a  K Nói cách khác, ánh xạ song tuyến tính ánh xạ tuyến tính với biến, cố định biến 1.1.4 Tích tenxơ hai khơng gian vectơ Giả sử L, M không gian vectơ trường K Gọi F ( L  M ) tập hợp tất hàm có giá hữu hạn từ L  M vào trường K, tức hàm khác số hữu hạn điểm L  M Tập hợp lập nên K- không gian vectơ phép tốn cộng nhân vơ hướng định nghĩa theo giá trị hàm, cụ thể sau:  f  g  ,    f  ,    g  ,   ,  af  ,    af  ,   , với f , g  F  L  M  , a  K ,  ,    L  M Mỗi phần tử ( ,  )  L  M đặt tương ứng với hàm, ký hiệu  ,    F  L  M  định nghĩa sau: ( ,  ) : L  M  K , ( ,  ) ( ',  ') 1, 0, ( ',  ')  ( ,  ) Giả sử f  F ( L  M ) hàm khác tập hữu hạn {(i , i ) i  I } với f i , i   Dễ thấy rằng: f   ( i , i ) iI Như vậy, cách trực giác, ta hiểu F ( L  M ) tập hợp tổng hình thức có giá hữu hạn phần tử L  M với hệ số K Gọi H không gian vectơ F ( L  M ) sinh phần tử có dạng sau: 1  2 ,    1 ,     ,   , (a ,  )  a  ,   ,  , 1  2    , 1    , 2  ,  , a   a  ,   ,  ,1 ,2  L,  , 1 , 2  M , a  K Ta gọi không gian vectơ thương F ( L  M ) / H tích tenxơ khơng gian L M Nó ký hiệu L  M, chi tiết L  K M Ảnh phần tử ( ,  ) phép chiếu tắc F ( L  M )  L  M ký hiệu    Như      ,   :  ,    H Theo định nghĩa không gian H, ta có (1   )    1       , (a )    a(   ),   (1  2 )    1    2,   (a )  a(   ),  ,1 ,2  L;  , 1 , 2  M ; a  K Nói cách khác, ánh xạ t: L  M  L  M định nghĩa công thức t ( ,  )     ánh xạ song tuyến tính Tích tenxơ xây dựng nhằm mục đích tuyến tính hóa ánh xạ song tính Điều nói rõ định lý sau 1.1.5 Định lí tính phổ dụng tích tenxơ Với ánh xạ song tuyến tính  : L  M  N , tồn ánh xạ tuyến tính h : L  M  N cho biểu đồ sau giao hoán: t L M LM  h N, tức   h t Chứng minh Ta thác triển ánh xạ  thành ánh xạ  : F ( L  M )  N xác định công thức  ( (i , i ))   ai (i , i ) iI iI Rõ ràng  ánh xạ tuyến tính Hơn nữa,  song tuyến tính H  Ker Thật   1   ,    1 ,     ,      1   ,     1 ,      ,    ,    a ,    a  ,       a ,    a  ,    ,    , 1  2    , 1    , 2      , 1  2     , 1     ,    ,    , a   a  ,       , a   a  ,    , với  ,1 ,2  L,  , 1 , 2  M , a  K Do H  Ker , ánh xạ tuyến tính  cảm sinh ánh xạ tuyến tính h : L  M : F ( L  M ) / H  N h  x    ( x) ,  x  x  H lớp phần tử x F ( L  M ) Với   L,   M , ta có   ,      ,    h  ,    h      h  t  ,    Vì   h t Tiếp theo, ta chứng minh tính h Giả sử h ' : L  M  N ánh xạ tuyến tính thoả mãn hệ thức   h t  h ' t Như h  h ' Im(t) Không gian F ( L  M ) sinh phần tử có dạng ( ,  ) Do đó, L  M  F ( L  M ) / H sinh phần tử có dạng ( ,  )  H      t ( ,  ) Nói cách khác, Im(t) sinh không gian L  M Các ánh xạ tuyến tính h h’ Im(t) nên chúng tồn khơng gian □ LM Gọi   L, M ; N  không gian vectơ ánh xạ song tuyến tính từ L  M vào N Định lý 1.1.5 cho phép xây dựng ánh xạ  (L,M;N)   ( L  M , N ) cách chuyển  thành h Đó đẳng cấu tuyến tính nói hệ sau: 1.1.6 Hệ L(L, M; N )  L ( L  M, N ) 1.1.7 Tích tenxơ hai ánh xạ tuyến tính Giả sử f: L  N g: M  P ánh xạ tuyến tính Dễ thấy ánh xạ f  g : L  M  N  P, (f  g) ( ,  ) = f ( )  g ( ),   L,   M song tuyến tính Do đó, theo Định lý 1.1.5 tồn ánh xạ ký hiệu f  g : L  M  N  P có tính chất ( f  g)(   )  f ( )  g ( ) Ánh xạ f  g gọi tích ten xơ f g 1.1.8 Các tính chất tích ten xơ Trong mệnh đề sau đây, giả sử L, M, N khơng gian vectơ trường K Ta có: 1) Tính kết hợp: Tồn đẳng cấu tuyến tính  ( L  M )  N   L  (M  N ), cho (   )     (   ) , với   L,   M ,   N Chứng minh Chúng ta xét ánh xạ  : ( L  M )  N  L  (M  N ) xác định  ((   ),  )    (   ) Dễ dàng kiểm tra lại ánh xạ song tính biến     Theo Định lý 1.1.5, tồn ánh xạ tuyến tính h: ( L  M )  N  L  (M  N ) cho h((   )   )    (   ) , với   L,   M ,   N Tương tự, tồn k : L  (M  N )   L  M   N ánh xạ tuyến tính cho k                , với   L,   M ,   N Như kh: ( L  M )  N   L  M   N ánh xạ tuyến tính thỏa mãn kh  (   )     (   )   , với   L,   M ,   N Nói cách khác, kh trùng với ánh xạ đồng id tập vectơ có dạng (   )   tập sinh không gian ( L  M )  N Do kh=id, hai ánh xạ tuyến tính Lập luận tương tự, ta có hk = id Hai đẳng thức kh =id hk= id chứng tỏ h đẳng cấu tuyến tính □ Mệnh đề cho phép định nghĩa tích ten xơ L1  L2  L3   Ln n không gian vectơ L1, L2, L3 , …, Ln  2) Tính giao hốn Tồn đẳng cấu tuyến tính L  M  M  L , cho       với   L,  M 3) Tính “có đơn vị”: Tồn đẳng cấu tuyến tính   K K L  L K K  L , cho a   a 4) Tính phân phối: a với a  K ,   L 10  L  M   N  ( L  N )  (M  N ) L  (M  N )  ( L  M )  ( L  N ) 1.1.9 Hệ Giả sử (1 , ,  m ) (1 , , n ) sở tương ứng khơng gian vectơ L M Khi đó, hệ vectơ (i , i  i  m,1  j  n) sở không gian vectơ L  M Nói riêng dim( L  M )= dimL dimM Chứng minh Theo định nghĩa sở, ta có đẳng cấu tuyến tính L  im1 Ki M  nj1 K  j Áp dụng tính chất phép tính tenxơ, ta có L  M   im1 Ki    nj 1 K  j   im1 nj 1  Ki    K  j   im1 nj 1 K (i   j ) Đẳng thức chứng tỏ hệ vectơ (i i  i  m,1  j  n) sở không gian véc tơ L  M □ Các ví dụ sau giới thiệu số đẳng cấu tắc liên quan đến tenxơ Ví dụ Nếu L1, …, Ln khơng gian vectơ hữu hạn chiều L*1   L*n  ( L1   Ln )* Bằng phép quy nạp, ta cần kiểm chứng ví dụ cho n=2 Giả sử f1 : L1  K , f : L2  K ánh xạ tuyến tính Xét hợp thành ánh xạ f1  f2 : L1  L2  K  K với đẳng cấu tuyến tuyến tính  : K  K  K, a b ab , ta có  ( f1  f )  ( L1  L2 ) Tương ứng L*1  L*2   L1  L2  , * 31 Chứng minh Hệ chứng minh quy nạp theo q Với q = 1, đẳng thức ξ(α1) := π(α1) = α1 suy trực tiếp từ định nghĩa ξ Giả sử hệ chứng minh cho q - Theo Mệnh đề ta có  (1, ,q )   (1, , q1 )   (q ) = (1    q 1 )   q = 1    q Như thế, hệ cúng với q 2.2.6 Mệnh đề □     1    với  q  L  , r  L  qr Chứng minh Trước hết xét trường hợp    1  L   L,   1  L   L Ta chứng minh        , Thật vậy, theo định nghĩa   L  ta có         Do                           =      Để chứng minh     1    ta cần chứng tỏ qr     q    1   r    1 qr  1   r   1    q  , với 1 , ,  q , 1, , r  L Theo Mệnh đề 2.2.4 phần đầu chứng minh mệnh đề này, lần tráo đổi thứ tự  i với  j đứng sát tích ngồi đổi dấu Để biến đổi 1    q  1   r thành 1   r  1    q ta cần thực qr lần tráo đổi Mệnh đề chứng minh □ 32 Một hệ hiển nhiên mệnh đề  1     q   sgn  1    q , với 1 , ,  q  L,   Sq Trên sở đó, ta có định lý sau 2.2.7 Định lý (i)  ( L)  với q > n = dimK L q (ii) Giả sử (e1,…,en) sở không gian vectơ L Khi đó, với ≤ q ≤ n, hệ vectơ sau lập thành sở không gian vectơ q (L) : e    eiq :1  i1   iq  n i1 n q Nói riêng, dimK  ( L)    q Chứng minh Do tính đa tuyến tính tích  , khơng gian véctơ  q  L  sinh véctơ ei1   eiq , với  i1 , , iq  n (i) Nếu q> n phân tử có hai số nhau: is = it với s  t Vì thế, tất phần tử nói Do  q  L  = (ii) Nếu q = n, theo lý thuyết định thức, có ánh xạ đa tuyến tính, thay phiên det: L(q)  K cho det(e1,…en) = Do đó, tồn ánh xạ tuyến tính det :  q  L   K cho det  e1   en   Từ suy hệ gồm vectơ e1   en sở không gian vectơ  q  L  Như dim  q  L  = Bây xét trường hợp  q  n Giả sử có ràng buộc tuyến tính 33  a e i  i i1   eiq  , (i)  (i1 , , iq ),1  i1   iq  n, ai   K Với số cố định (j) = (j1,…jq) thoã mãn j1