Một số vấn đề về đại số đa tuyến tính

bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh phạm thị khang mộ t số v ấ n đề v ề đạ i s ố đ a t uy ế n tí nh luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh phạm thị khang mộ t số v ấ n đề v ề đạ i s ố đ a t uy ế n tí nh Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số MÃ số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS TS Ngun Thµnh Quang Vinh - 2009 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương ĐẠI SỐ TENXƠ 1.1 Đại số 1.2 Tích tenxơ 1.3 Tính chất tích tenxơ 1.4 Đại số tenxơ 11 Chương ĐẠI SỐ ĐỐI XỨNG VÀ ĐẠI SỐ NGOÀI 16 2.1 Đại số đối xứng 16 2.2 Đại số 22 2.3 Một số tập minh hoạ 29 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Theo dòng lịch sử, mơn đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải biện luận hệ phương trình tuyến tính Về sau, để hiểu thấu đáo cấu trúc tập nghiệm điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, người ta xây dựng khái niệm trừu tượng không gian vectơ ánh xạ tuyến tính Người ta có nhu cầu khảo sát khơng gian có nhiều thuộc tính hình học hơn, đo độ dài vectơ Trong luận văn này, chúng tơi trình bày cấu trúc đa tuyến tính đại số tuyến tính Vượt xa ngồi khn khổ đại số tuyến tính, cấu trúc tìm nhiếu ứng dụng Cơ học Vật lý, Hình học vi phân, Giải tích đa tạp Lý thuyết biểu diễn nhóm Luận văn chia làm chương, với phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Nền tảng cấu trúc đa tuyến tính khái niệm tích tenxơ khơng gian vectơ Vì vậy, chương luận văn chúng tơi trình bày kiến thức đại số, tích tenxơ đại số tenxơ Nội dung chương tính chất tích tenxơ như: tính phổ dụng, tính giao hốn, tính kết hợp tính có “đơn vị” Nội dung chương trình bày đại số đối xứng, đại số số tập minh họa Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn - PGS TS Nguyễn Thành Quang tận tình bảo giúp đỡ tác giả trình học tập viết luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn PGS TS Ngô Sĩ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán thầy giáo, giáo khoa Tốn, khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh giúp đỡ tác giả hồn thành khố luận suốt thời gian học vừa qua Mặc dù cố gắng thật khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết cịn nhiều hạn chế thân Vì vậy, tác giả mong nhận ý kiến góp ý thầy cô giáo bạn Vinh, tháng 12 năm 2009 Phạm Thị Khang Chương ĐẠI SỐ TENXƠ Trong chương này, luận văn trình bày cấu trúc đa tuyến tính Đại số tuyến tính Vượt xa ngồi khn khổ Đại số tuyến tính, cấu trúc tìm nhiều ứng dụng Cơ học Vật lý, Hình học vi phân, Giải tích đa tạp Lý thuyết biểu diễn nhóm 1.1 ĐẠI SỐ 1.1.1 Định nghĩa Một đại số trường  - không gian vectơ A trang bị phép nhân : A  A  A,( ,  )  thoả mãn điều kiện sau: (a) A với phép cộng vectơ phép nhân lập thành vành (b) Các phép nhân với vô hướng phép nhân A liên hệ với hệ thức (a )   (a )  a( ) với a , ,   A Tập khác rỗng B  A gọi đại số đại số A vừa không gian vectơ vừa vành A Cho đại số A A ' Ánh xạ  : A  A ' gọi đồng cấu đại số vừa đồng cấu khơng gian vectơ vừa đồng cấu vành Chẳng hạn, K- không gian vectơ ma trận vuông M (n  n,  ) với phép nhân ma trận đại số trường  1.1.2 Định nghĩa Giả sử A đại số K Không gian vectơ B  A gọi iđêan đại số A nếu:   B, với   A,   B   B Chẳng hạn, tập ma trận tam giác với phần tử đường chéo iđêan đại số gồm ma trận tam giác đại số M (n  n,  ) Ta nhận thấy rằng, B iđêan đại số A khơng gian thương A / B trở thành đại số, gọi đại số thương, với phép nhân định nghĩa sau: (  B)( ' B)  ( ')  B Nền tảng cấu trúc đa tuyến tính khái niệm tích tenxơ khơng gian vectơ 1.2 TÍCH TENXƠ Giả sử L, M, N không gian vectơ trường  Ánh xạ  : L  M  N gọi song tuyến tính  (1   ,  )   (1 ,  )   ( ,  ) ,   a ,    a  ,   ,   , 1  2     , 1     , 2  ,   , a   a  ,   , với  ,1 ,2  L,  , 1 , 2  M , a  Nói cách khác, ánh xạ song tuyến tính ánh xạ tuyến tính với biến cố định biến Gọi F  L  M  tập hợp tất hàm có giá hữu hạn từ L  M vào trường K, tức hàm khác số hữu hạn điểm L  M Tập hợp lập nên K- khơng gian vectơ phép tốn cộng nhân với vô hướng định nghĩa theo giá trị hàm, tức  f  g  ,    f  ,    g  ,   ,  af  ,    af  ,   , với f , g  L  M , a  K ,  ,    L  M Mỗi phần tử  ,    L  M đặt tương ứng với hàm, kí hiệu  ,    F  L  M  định nghĩa sau:  ,   : L  M  K  ,    ',  ' 1, , ( ',  ')  ( ,  ) Giả sử f  F ( L  M ) hàm khác tập hữu hạn i , i  / i  I  với f i , i   Ta nhận thấy f= a i  i , i  iI Như vậy, ta hiểu F  L  M  tập hợp tổng hình thức có giá hữu hạn phần tử L  M với hệ số K Gọi H không gian vectơ F  L  M  sinh phần tử có dạng sau đây: 1  2 ,    1,    2 ,   , (a ,  )  a  ,   ,  , 1  2    , 1    , 2  ,  , a   a  ,   ,  ,1 ,2  L,  , 1 , 2  M , a  K 1.2.1 Định nghĩa Ta gọi không gian vectơ thương F  L  M  / H tích tenxơ khơng gian L M Nó kí hiệu L K M L  M Ảnh phần tử  ,   phép chiếu tắc F ( L  M )  L  M kí hiệu    Như      ,   :  ,    H Theo định nghĩa không gian H, ta có 1  2     1    2   ,  a     a     ,    1  2     1     , a   ,    a     ,  ,1 ,2  L,  , 1 , 2  M , a  K Nói cách khác, ánh xạ t : L M  L  M định nghĩa công thức t  ,       ánh xạ song tuyến tính Tích tenxơ xây dựng nhằm mục đính tuyến tính hố ánh xạ song tuyến tính Điều nói rõ định lí sau 1.2.2 Định lý ( Tính phổ dụng tích tenxơ ) Với ánh xạ song tuyến tính  : L  M  N tồn ánh xạ tuyến tính h : L  M  N làm giao hoán biểu đồ t L M LM  h N tức   h t Chứng minh Ta thác triển ánh xạ  thành ánh xạ  : F ( L  M )  N xác định công thức  ( (i , i ))   ai (i , i ) iI iI Rõ ràng  ánh xạ tuyến tính Hơn nữa,  song tuyến tính H  Ker Thật   1   ,    1 ,     ,      1   ,     1 ,      ,    ,    a ,    a  ,       a ,    a  ,    ,    , 1  2    , 1    , 2      , 1  2     , 1     ,    ,    , a   a  ,       , a   a  ,    , với  ,1 ,2  L,  , 1 , 2  M , a  K Do H  Ker , ánh xạ tuyến tính  cảm sinh ánh xạ tuyến tính h : L  M : F ( L  M )  N h  x    ( x) ,  x  x  H lớp phần tử x F ( L  M ) Với   L,   M , ta có:   ,      ,    h  ,    h      h  t  ,      h t Ta chứng minh tính h Giả sử h ' : L  M  N ánh xạ tuyến tính thoả mãn hệ thức   h t  h ' t Như h  h ' Im(t) Không gian F  L  M  sinh phần tử có dạng  ,   , L  M : F ( L  M ) / H sinh  ,    H      t  ,   Nói cách khác, phần tử có dạng Im(t ) sinh không gian L  M Các ánh xạ tuyến tính h h ' Im(t ) , nên chúng tồn khơng gian L  M  Gọi   L, M ; N  không gian vectơ ánh xạ song tuyến tính từ L M vào N Định lý 1.2.2 cho phép xây dựng ánh xạ  (L,M;N)   ( L  M , N ) cách chuyển  thành h Đó đẳng cấu tuyến tính 21 S ( q ) ( f ) : S ( q ) ( L)  S ( q ) M , (  q   ) định nghĩa sau Xét ánh xạ đa tuyến tính đối xứng S q ( f ) : L( q )  S ( q ) (M ), S ( f )(1 , ,  q )  f (1 ) f ( q ) Do tính phổ dụng Sq(L) tồn ánh ánh xạ tuyến tính Sq(f) : Sq(L)  Sq(M) cho S q ( f )  S q ( f )  ,  : L(q)  Sq(L) ánh xạ đa tuyến tính đối xứng tắc Ta thu biểu thức tường minh cho Sq(f) S q ( f )(1  q )  S q ( f )( (1, ,  q ))  S q ( f )(1, ,  q ) với 1 , ,   L Dễ dàng kiểm tra lại với cặp ánh xạ tuyến tính f : L  M , g : M  N S ( gf )  S ( g )S ( f ) Hơn S(idL) = idS(L) 2.1.8 Nhận xét Nếu Char (K) = người ta có cách khác để định nghĩa luỹ thừa đối xứng Sq (L) sau Toán tử đối xứng hoá S : Tq(L)  Tq(L) ánh xạ tuyến tính định nghĩa hệ thức:      q q !  Sq  1 S( 1    n ) : = Vì Char (K) = q! khả nghịch trường K với q  Dễ dàng chứng minh S2 = S Xét khơng gian ảnh tốn tử thay phiên hố S q ( L) : Im( S )  T ( q )  L  Như x  Tq (L) phần tử S q  L  x = S (x) Ta chứng minh rằng, Char(K) = phép hợp thành  S q  L   T q  L   S q ( L)  T q  L  / Aq 22 đẳng cấu tuyến tính Đẳng cấu chuyển S (1    q ) thành 1  q Do lĩnh vực mà trường K luôn trường số thực trường số phức, người ta thường dùng định nghĩa sau đây: S q ( L) : Im(S )  T q ( L) 1  n : S (1  n ) 2.2 ĐẠI SỐ NGOÀI Cũng giống tiết trước định nghĩa khác khái niệm luỹ thừa đại số ngoài, chọn cách không phụ thuộc vào đặc số trường K Gọi Bq không gian vectơ Tq (L) sinh phần tử có dạng 1    q i   j với số i  j 2.2.1 Định nghĩa Không gian thương q  L  : T q ( L) / Bq gọi luỹ thừa bậc q L 2.2.2 Định nghĩa Giả sử M K- không gian vectơ Ánh xạ đa tuyến tính  : L q  M gọi thay phiên  1 , ,  q   với 1 ,…,  n  L i   j với số i  j Hợp thành ánh xạ đa tuyến tính tắc t = tq : L(q)  Tq(L) t( 1 ,…,  n ) = 1    n phép chiếu tuyến tính    q : T q  L   q  L  , ánh xạ đa tuyến tính   q : L q   q  L   1 , ,  n    1    q  23 Theo định nghĩa luỹ thừa  , ánh xạ thay phiên Hơn cặp ( , q  L ) có tính phổ dụng sau đây: Với ánh xạ đa tuyến tính thay phiên  : L(q)  M , M K - không gian vectơ tồn ánh xạ tuyến tính h: q  L   M làm giao hoán biểu đồ   q ( L) L(q) h  M tức   h  Dễ thấy B  q 0 Bq iđêan đại số T*(L) Do   L  := T*(L)/B = q0 T q  L  / Bq  q0 q  L  đại số K 2.2.3 Định nghĩa   L  gọi đại số ngồi khơng gian vectơ L r Tích   L    q  L      L  ký hiệu    q r  L  , gọi tích ngồi   2.2.4 Mệnh đề  1 , ,  q    q1 , ,  qr    1 , ,  q ,  q 1, ,  q r  với 1 , ,  q ,  q1 , ,  qr Chứng minh Gọi  : q  L   r  L   qr  L  tích đại số   L  24 Ta có biểu đồ giao hốn  L(q)  L(r) L(q+r) tq  tr tq+r  T q ( L)  T r ( L ) T(q+r)(L)  qr  q  r  q  L   r  L   q  r ( L) Từ   q   r  tq  tr    qr tq r  Ta có    q   r  tq  tr  1 , , q  ,  q 1 , , q r      =   q   r tq  tr 1    q , q 1    q r        =   1 , ,  q ,   q 1 , , q r   =  1 , , q    q1 , , q r Mặt khác   qr tqr  1 , , q  ,  q1 , , qr   =  qr tq r (1 , , q , q1 , , qr ) =  qr (1    q   q1    qr ) =  (1 , ,  q ,  q1, ,  qr ) Mệnh đề chứng minh  25 2.2.5 Hệ  (1, ,q ) :  (1  q )  1    q , với 1 , ,  q  L Chứng minh Hệ chứng minh quy nạp theo q Với q = 1, đẳng thức  1  :  1   1 suy trực tiếp từ định nghĩa  Giả sử hệ chứng minh cho q - Theo mệnh đề ta có  (1, ,q )   (1, , q1 )   (q ) = (1    q 1 )   q = 1    q  Như hệ q 2.2.6 Mệnh đề     1    với  q  L  , r  L  qr Chứng minh Trước hết xét trường hợp    1  L   L,    1  L  L Ta cần chứng minh        , Thật vậy, theo định nghĩa   L  ta có         Do                           =      Để chứng minh     1    ta cần chứng tỏ qr     q    1   r    1 với 1 , ,  q , 1, , r  L qr  1   r   1    q  , 26 Theo mệnh đề 2.4.4 phần đầu chứng minh mệnh đề này, lần tráo đổi thứ tự với  j đứng sát tích ngồi đổi dấu Để biến đổi 1    q  1   r thành 1   r  1    q ta cần thực qr  lần tráo đổi Mệnh đề chứng minh Một hệ hiển nhiên mệnh đề  1       sgn  1    q với 1 , ,  q  L,   Sq Trên sở đó, ta có định lý sau 2.2.7 Định lý (i) q  L   với q  n = dimKL (ii) Giả sử (e1, ,.en) sở khơng gian vectơ L Khi đó, với  q  n , hệ vectơ sau lập thành sở không gian vectơ q ( L) : e i1   eiq :1  i1   iq  n  n q Nói riêng, dim K   L     q Chứng minh Do tính đa tuyến tính tích  , khơng gian vectơ q  L  sinh vectơ ei1   eiq với  i1 , , iq  n (i) Nếu q> n phần tử có hai số nhau: is = it với s  t Vì thế, tất phần tử nói Do q  L  = (ii) Nếu q = n, theo lý thuyết định thức, có ánh xạ đa tuyến tính thay phiên det: L(q)  K cho det(e1,…en) = Do đó, tồn ánh xạ tuyến tính det : q  L   K cho det  e1   en   Từ suy hệ gồm vectơ e1   en sở không gian vectơ q (L) Như dim q (L) = 27 Xét trường hợp  q  n Giả sử có ràng buộc tuyến tính  a e i i  i1   eiq  , (i)  (i1 , , iq ),1  i1   iq  n, ai   K Với số cố định ( j )  ( j1 , , jq ) thoả mãn j1