V
⊗ . Nói riêng e e1 2 = ⊗ ≠ ⊗ =e1 e2 e2 e1 e e2 1 (theo
Bổ đề đã nêu trong bài 1). □
Bài tập 3. Cho V ≠0. Chứng tỏ rằng ánh xạ song tuyến tính:
( ) ( )
: V V V
β ⊗ × ⊗ → ⊗
( )u v, a u v⊗ , cùng với ⊗V không là tích ten xơ
Giải. Ta cố định hai số nguyên dương p q≠ và đặt F = ⊗pV G, = ⊗qV là hai không gian con của ⊗V . Khi đó F GI =0. Chú ý rằng
(F G) (G F) p qV
Nếu β là tích tenxơ thì ảnh của β(F G× ) ⊆ ⊗F G vàβ(G F× ) ⊆ ⊗G F. Ta có
(F⊗G) (I G⊗F) =0 (theo Định lí “Cho U U1, 2 ⊆U V V; ,1 2 ⊆V . Khi đó
(U1⊗V1) (I U2⊗V2) (= U1⊗U2) (I V1⊗V2)”). Suy ra ⊗p q+ V =0 và V = 0. Vô lí. □
Bài tập 4. Ta kí hiệu Vp = × ×V14 2 43...p V và : p p( )
V S V
ϕ → với ϕ(v1,...,vp) =v v1... p.
Chứng minh rằng cặp (S Vp( ),ϕ) có tính chất phổ dụng sau đây: với mọi ánh xạ p-tuyến tính đối xứng ψ :Vp →U (nghĩa là ψ(v1,...,vp)=ψ (vσ( )1 ,...,vσ( )p ) nếu
p
S
σ ∈ ), tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính : p( )
h S V →U sao cho ψ =hoϕ.Giải. Ta kí hiệu : p p( ) ( )V / Giải. Ta kí hiệu : p p( ) ( )V / p V S V A π ⊗ → = ⊗ là phép chiếu tự nhiên và :Vp V
⊗ → ⊗ là ánh xạ p- tuyến tính tự nhiên. Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính /: p
h ⊗ V →U sao cho ψ =h/o⊗. Do ψ đối xứng, Ker h( )/ ⊇Ap. Do đó tồn tại
ánh xạ h S V: p( ) →U sao cho h/ =hoπ . Từ đó ψ =hoϕ. □
Bài tập 5. Giả sử charK = 0. Cho ϕ:V× × →... V U là ánh xạ p- tuyến tính đối
xứng sao cho ϕ(v,...,v)=0 với mọi v V∈ . Chứng minh rằng ϕ =0.
Giải. Ta chứng minh bằng qui nạp theo p. Khi p = 1 bài toán hiển nhiên đúng. Giả sử p≥2. Cho u v V, ∈ . Với mỗi i = p,…,0, ta kí hiệu
( ), ( ,..., , ,..., ){ {i i i p i u v u u v v ψ ϕ − = .
Cho α∈k tùy ý. Từ điều kiện ϕ(u+αv,...,u+αv) =0 và tính đối xứng của ϕ, ta
suy ra 1 ( ) ( ) 1 1 ( )
1 , ... i i , ... p p 1 , 0
p p p p i p