Áp dụng phương pháp quỹ đạo của kirillov vào các nhóm lie có chiều nhỏ luận văn thạc sỹ toán học

2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN VĂN QUANG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO CỦA KIRILLOV VỚI NHÓM LIE CÓ CHIỀU NHỎ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC VINH - 2011 3 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH TRN VN QUANG áP DụNG PHƯƠNG PHáP Quỹ ĐạO CủA Kirillov vào các nhóm lie có chiều nhỏ LUN VN THC S TON HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc - Tụpụ Mó s: 60.46.10 Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS. NGUYN VIT HI VINH - 2011 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa…………………………………………………………………… .1 Mục lục……………………………………………………………………… ….2 Mở đầu………………………………………………………… …………… .….3 Chương 1. Phương pháp quỹ đạo của Kirillov. § 1. Nhóm Lie. Biểu diễn phụ hợp của nhóm Lie………….……… .……6 § 2. Dạng Killing……………………………………….….………… .….9 § 3. Các toán tử Ad và ad…………………………………….……… 12 § 4. Biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie………………………… ……18 § 5. Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm Lie. Tương ứng Kirillov ……… 21 § 6. Đa tạp Symplectic thuần nhất chặt 22 Chương 2. Quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie có chiều nhỏ hơn 4. § 1. Định lí phân loại các đại số Lie có chiều ≤ 3………………… ….25 § 2. Qũy đạo đối phụ hợp của nhóm biến đổi affine trên đường thẳng thực Aff( ¡ )…………………………………………………….………………………29 § 3. Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm H 3 (nhóm Heisenberg)… .…31 § 4. Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm SL(2,R)…………………… .…….33 Chương 3. Quỹ đạo đối phụ hợp của một số nhóm Lie có chiều bằng 4. § 1. Phân loại các đại số Lie 4 chiều, H 4 = <X,Y,Z,T >……………… 40 § 2. Tính một số quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie 4 chiều .42 Kếtluận………………………………………………………………… ……45 Tài liệu tham khảo………………………………………………………….… .46 4 MỞ ĐẦU Biểu diễn của nhóm Lie (hay đại số Lie) có thể cho các thông tin về chính nhóm (hay đại số Lie) đó, chẳng hạn nếu nhóm G là hữu hạn, thì kết hợp với G là đại số nhóm. Cấu trúc của đại số nhóm này có thể được mô tả triệt để nhờ biểu diễn bất khả quy của G. Một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết biểu diễn nhóm là tìm tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm Lie cho trước. Việc xây dựng và thể hiện các biểu diễn này rất phức tạp và hiện vẫn đang được các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu nhằm cố ghắng dựng được và mô tả được các biểu diễn một cách tường minh hơn. Đó cũng chính là một hướng nghiên cứu trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết vấn đề đó, phương pháp quỹ đạo của A.A Kirillov ra đời vào những năm 60 đã nhanh chóng trở thành một công cụ hiệu quả đối với lý thuyết biểu diễn. Trong phương pháp đó Kirillov đã xuất phát từ một phân thớ một chiều trên đa tạp symplectic thuần nhất xây dựng từ các K – quỹ đạo Ω trong g * để thu được các biểu diễn của nhóm Lie G. Phương pháp này cho một mối liên hệ gần gũi giữa các biểu diễn unita vô hạn chiều và các quỹ đạo đối phụ hợp trong g * . Một cấu trúc symplictic trên một đa tạp là một dạng vi phân cấp hai đóng, không suy biến. Không gian pha của một hệ cơ học cổ điển là một ví dụ điển hình của đa tạp symplectic. Vì vậy, nó đề xuất ra khả năng sủ dụng công cụ cơ học để giải quyết các vấn đề toán học. Về lịch sử, phương pháp quỹ đạo được đề xuất để miêu tả đối ngẫu unita của nhóm Lie lũy linh. Tuy nhiên, sau đó người ta thấy rằng, tất cả câu hỏi chính của lý thuyết biểu diễn như cấu trúc tôpô của đối ngẫu unita, công thức đặc trưng, … đều có thể được thể hiện một cách tự nhiên dưới dạng các quỹ đạo. Hơn nữa, bằng một số thay đổi nhỏ, người ta có thể áp dụng phương pháp này cho các nhóm Lie tổng quát hơn. 5 Phương pháp quỹ đạo của Kirillov cho phép tìm được tất cả các biểu diễn của nhóm Lie. Phương pháp đó mới áp dụng được với nhóm lũy linh và một số nhóm đặc biệt. Lí thuyết này chưa áp dụng được cho nhóm lũy linh tùy ý. Trong [1], tác giả đã đề cập đến các nhóm Lie 4 chiều có quỹ đạo đối phụ hợp là đa tạp 0, 2, 4 chiều (được gọi là các nhóm Lie MD4), tác giả đã thu được toàn bộ các biểu diễn của các nhóm trên, đồng thời áp dụng lượng tử hóa biến dạng tác giả đã tìm được một loạt các kết quả về lượng tử hóa một nhóm Lie. Trong luận văn này, chúng tôi muốn hệ thống lại cách tìm các quỹ đạo đối phụ hợp dựa vào phân loại nhóm Lie 1, 2, 3 chiều và một số nhóm Lie 4 chiều. Các kết quả sẽ miêu tả cụ thể các quỹ đạo đối phụ hợp - những đối tượng hình học mà trên đó có trang bị cấu trúc đa tạp symplictic tự nhiên. Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, ba chương chứa nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất sứ của vấn đề, và đặt bài toán nghiên cứu. Chương I: Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về nhóm Lie, biểu diễn phụ hợp của nhóm Lie; Dạng Killing; Các toán tử Ad và ad; Biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie; Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm Lie, tương ứng Kirillov. Đó là những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét. Cụ thể là: Chương 1. Phương pháp quỹ đạo của Kirillov 1.1 Nhóm Lie. Biểu diễn phụ hợp của nhóm Lie 1.2 Dạng Killing 1.3 Các toán tử Ad và ad 1.4 Biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie 1.5 Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm Lie. Tương ứng Kirillov. 6 1.6 Đa tạp Symplectic thuần nhất chặt. Chương II và chương III: Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết kết quả nghiên cứu về quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie có chiều ≤ 4. Bao gồm việc mô tả quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Aff 0 ( ¡ ), nhóm Heisenberg (H 3 ), nhóm SL(2, ¡ ). Phân loại các đại số Lie có số chiều ≤ 4, tính một số quỹ đạo đối phụ hợp. Cụ thể là: Chương 2. Quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie có chiều nhỏ hơn 4 2.1 Định lí phân loại các đại số Lie có chiều ≤ 3 2.2 Qũy đạo đối phụ hợp của nhóm biến đổi affine trên đường thẳng thực Aff( ¡ ). 2.3 Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm H 3 (nhóm Heisenberg) 2.4 Quỹ đạo đối phụ hợp của nhóm SL(2,R). Chương 3. Quỹ đạo đối phụ hợp của một số nhóm Lie có chiều bằng 4. 3.1 Phân loại các đại số Lie 4 chiều, ђ 4 = <X,Y,Z,T > 3.2 Tính một số quỹ đạo đối phụ hợp của các nhóm Lie bốn chiều. Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp và sự quan tâm giúp đỡ từ các thầy cô, gia đình, bạn bè. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh và Đại học Hải Phòng đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Và đặc biệt, xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với Thầy giáo, Phó giáo sư, Tiến sĩ Nguyễn Việt Hải người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trên con đường nghiên cứu khoa học. Hải Phòng, tháng 12 năm 2011. Tác giả 7 CHƯƠNG I. PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO CỦA KIRILLOV §1. Nhóm Lie. Biểu diễn phụ hợp của nhóm Lie Cho G là một nhóm Lie, tức là một đa tạp trơn cùng với hai phép toán là các ánh xạ trơn thỏa mãn các tiên đề của nhóm, cụ thể các ánh xạ: G G G× → , G G→ ( ) , .a b a ba 1 a a − a Ví dụ quan trọng nhất của nhóm Lie hữu hạn chiều là lớp nhóm Lie ma trận, tức là nhóm con của ( ) ,GL n ¡ . Xét g = Lie G là không gian tiếp xúc T e G tại điểm đơn vị e. Nhóm G tác động lên chính nó bởi tự đẳng cấu trong ( ) :i g G G→ 1 x gxg − a Ta thấy điểm e bất động của tác động này ( 1 e geg e − =a ), do đó ta nhận được tác động đạo hàm của G lên g tương ứng: ( ) :A g ∗ g → g mà thông thường kí hiệu là Ad(g). 1.1.1. Định nghĩa: Biểu diễn phụ hợp của G là ánh xạ :Ad G Aut → g ( ) , A A Ad A Ad=a trong đó :Ad g → g ( ) 1 ,X Ad A AXA − =a X∀ ∈ g Đối với trường hợp nhóm Lie ma trận thì biểu diễn phụ hợp đơn giản chỉ là phép lấy liên hợp ma trận. Ta dễ thấy Ad là đồng cấu nhóm Lie (qua kiểm tra trực tiếp), ở đây Autg là tập các tự đồng cấu tuyến tính của không gian véc tơ g. 8 1.1.2. Định nghĩa: Biểu diễn phụ hợp của đại số Lie g là ánh xạ :ad g End → g ( ) : , X X ad A ad=a trong đó : X ad g → g ( ) [ ] : , , X Y ad Y X Y=a ở đây End g là các tự đồng cấu của đại số Lie g. 1.1.3. Định nghĩa: Cho g và g ’ là các đại số Lie, ánh xạ tuyến tính :Φ g → g ’ gọi là đồng cấu (đại số Lie) nếu: [ ] ( ) ( ) ( ) , ,X Y X YΦ = Φ Φ    . Nếu Φ là song ánh ta có đẳng cấu. Nếu g = g ’ thì Φ là tự đẳng cấu đại số Lie. 1.1.4. Định lí: (Định lí đơn đạo) Cho G 1 , G 2 là các nhóm Lie và g 1 , g 2 là các đại số Lie tương ứng với nó. Ta có mỗi đồng cấu đại số Lie cho tương ứng một đồng cấu (địa phương) nhóm Lie sao cho biểu đồ sau là giao hoán G 1 ϕ G 2 exp exp g 1 ° ϕ g 2 trong đó ( ) ° ( ) X X e e ϕ ϕ = , hay ( ) ° ( ) ( ) exp expX X ϕ ϕ = . Nghiên cứu nhóm Lie người ta thường nghiên cứu đại số Lie, vì đại số Lie là không gian véc tơ nên mọi tính toán đều thông qua cơ sở. Đây chính là một vấn đề 9 quan trọng, vì cơ sở là phương tiện ta cần dùng để biểu diễn các véc tơ của không gian tuyến tính các toán tử tác dụng trong không gian đó. 1.1.5. Mệnh đề: Biểu diễn phụ hợp của nhóm G là một đồng cấu của G lên GL(n, ¡ ). 1.1.6. Mệnh đề: Nếu H là một nhóm con giải tích của nhóm giải tích G. Điều kiện cần và đủ để H trở thành ước chuẩn là đại số Lie của H là Iđêan của đại số Lie G. 1.1.7. Định nghĩa: Cho g là đại số Lie tâm của g là tập tất cả các phần tử X ∈ g sao cho [ ] , 0,X Y Y= ∀ ∈ g. Tâm của g là một Iđêan. Kết quả sau đây do Kirillov phát triển trong [5]: 1.1.8. Mệnh đề: Cho V 1 là tâm của nhóm giải tích G và V là thành phần liên thông trên V 1 chứa phần tử đơn vị. Khi đó V là nhóm con giải tích đóng của G. Đại số Lie của nó là tâm của đại số Lie của G. Bây giờ cho g là một đại số Lie bất kì trên trường ¡ và cho chúng xác định bởi biểu diễn phụ hợp P của g. Khi đó, P(g) là một đại số con của ( ) ,GL n £ . Đại số Lie của nó là P(g). 10 §2. Dạng Killing 1.2.1. Định nghĩa: Ta có đồng cấu X adX→ cho bởi công thức ( ) [ ] ,adX Y X Y= . Dưới dạng tọa độ, ta có ( ) ( ) [ ] , i i i l lk adX Y X Y C x= = , ( ) adX Y ∈ g * là không gian véc tơ nên phần tử của nó biểu diễn được qua cơ sở. Bây giờ ta định nghĩa một “tích vô hướng” , trong đại số Lie bằng cách đặt ( ) ( ) , , , X Y tr adX adY tr X= là Vết của ma trận X. Ta nhận được từ định nghĩa các tính chất: 1. , ,X Y Y X= ; 2. , , , ;X Y Z X Z X Z α β α β + = + 3. ( ) ( ) , , 0.adX Y Z Y adX Z+ = Nghĩa là [ ] [ ] , , , , 0.X Y Z Y X Z+ = Tất cả các tính chất này dễ dàng chứng minh được nhờ áp dụng tính chất Vết của ma trận. Tích vô hướng ,x y cho một dạng song tuyến tính trong g gọi là dạng Killing. Dạng Killing đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu đại số Lie. Gọi đại số Lie g * là không gian đối ngẫu của g tập hợp các vi phân của đại số Lie g có Iđêan là tập g * A tất cả các adX. Khi đó: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . . ,D adX Y D adX Y adX D Y= − suy ra: 11