Luận văn thạc sỹ toán học Định lý nevanlinna cartan padic và áp dụng

ì ì P Pề ì ị P P ệ ì ì P Pề ì ị P P ệ t số ữớ ữợ ễ ổ ổ tr ự r tổ ữợ sỹ ữợ ụ ữ tứ ữủ ổ ố tr t ổ tr ự t t tr tr tỹ Pũ ữỡ ỡ ữủ t t s ữ ữợ sỹ ữợ s ụ ổ ỷ ỡ t s s t s ụ ữớ tớ t t ữợ ú ù t tổ t tốt ởt ỳ t tọ ỏ t ỡ t ữ t t ỡ t tr ợ ổ ú ù tổ tr sốt q tr t tỹ õ ố s tớ ỹ t õ õ tr ọ ỳ t sõt t ữủ ỳ ỵ õ õ ổ t ỡ t Pũ ữỡ ử ỵ tt ởt số tự ỡ rữớ số s ộ ụ tứ trữ trữ ởt số t t ỵ q số t ỵ rt ỵ rt ỵ rt t t Cp rữớ số ự Nf (a, r) t mf (, r) Tf (r) trữ O(1) ữủ ợ Nf (r), Nk (f, r) W (f ) Hj ự rs f Fj (z) = Pữỡ tr s k ữủ tr t ữớ õ t t ỵ tt q trồ t tr q tứ tớ t tr t sỹ r ỵ tt ữủ ởt tr ỳ t tỹ t s s t rồ t ỵ tt ỵ rt rở ỵ tt trữớ ủ ữớ ữ r ự q trồ ỵ tt ố ợ ữớ ữủ t t t s t õ ỵ tt rt ổ q ữợ ự t q tr t tr số ụ ữ tr ỵ tt số ữủ r ợ t tờ t tr t ợ ữ P rts Pt ts t ỹ tữỡ tỹ r trữớ ỡ s ổ st trữớ số ỵ tt tổ q ỵ t q ỳ t tr t t ỵ tt õ t t t tr ỳ ổ tr ỵ tt rt ữớ ữ ữủ t tr trữớ ủ ự sỹ t ỵ tt tr trữớ ỡ s ổ st ợ t ỏ ợ ữủ t ự ữủ ỵ ỵ tt tr trữớ ủ ởt rr ỹ ởt s t t q ỵ tt ố ợ tr từ t Cp õ ú t ỵ tt rt ợ tr trữớ ủ t ự ỵ rt ữợ ự tổ ự t ỵ rt r tổ s t ự ỵ õ r ởt số ự q trồ ỵ rt ự sỹ s ữớ t ỵ s rt q ỹ ự sổ tớ sỹ ú tổ ụ tr tữỡ tỹ ỵ s ởt tr ỳ t tớ sỹ tt t ữủ t q t ự t t ữủ t ữỡ ữỡ r ởt số tự ỵ tt ữỡ r ỵ rt ự ỵ ự sỹ s ữớ tữỡ tỹ ỵ s ữỡ ỵ tt tr ữỡ tr t t t rữớ ữ tr t ữủ ữ r ụ õ ởt số t t t q tự ỡ ứ õ ự s ỳ ữớ q t ự õ t t s rở t tự ỵ tt ổ q t tr ỡ s tự t tr ữỡ tổ tr ởt số tự ỵ tt ũ ữỡ ởt số tự ỡ rữớ số ợ p ởt số tố ố strs õ tr ổ t tữớ trữớ ỳ t rở t tổ tữớ t õ trữớ số tỹ t õ trữớ số Qp Cp = Qp s õ số R Qp Q rở t Cp trữớ số ự tr ữủ rở tỹ Cp tr Qp Dr = {z Cp : |z| r} , D = {z Cp : |z| = r} sỷ f (z) Dr tr ữủ f (z) = an z n n0 lim |an | |z n | = n tỗ t n N |an | |z n | t tr ợ t õ t t |f |r = max {|an | |z n |} n0 r sốt t q ữợ log logp s ộ ụ tứ s ộ ụ tứ õ an z n , f (z) = (an Cp ) n=0 õ t f (z) tr tờ ộ an z n ợ ộ z Cp n=0 |an z n | n õ ộ tử tử ộ ữủ t ổ tự 1 = lim sup |an | n n sỷ ộ ụ tứ < + f (z) = ợ ộ an z n õ tử n=0 + r R : < r < số ợ t à(r, f ) = max |an |rn n0 số tr t (r, f ) = max {n : |an |rn = à(r, f )} n0 ự f = (f0 , f1 , f2 ) : C P2 (Cp ) ởt ữớ tr ữớ rt X sỷ t õ õ t õ f0d + f1d = f2d f0d + f1d f2d = d r t s r f0, f1, f2 t t ợ tứ ổ ởt õ tở f0 , f1 , f2 s ởt tỷ số t t t t tồ t s r ữớ f t ú tổ tr tữỡ tỹ ỵ s rữợ t t t ró ỳ t ủ số t tự õ ỳ t t rt ố s q t trứ t ữ t ố ợ số t õ số tố t ố ợ tự t õ tự t q ố ợ số ụ ữ ố ợ tự õ t ữợ ợ t ỡ ỳ tr trữớ ủ ữợ ợ t t ữủ tt t ộ số õ t t t tứ số tố ộ tự õ t t t t tự t q ộ số õ tr tt ố õ ụ ữ ộ tự ổ õ ú t õ t s é ú tổ ởt sỹ tữỡ tỹ õ t ỡ ỵ sỹ tữỡ tỹ ỳ t r tứ số tố t t q tt k trữớ õ số t ộ tự f (x) k[x] õ t t ữủ ữợ f (x) = p1 p2 pnn tr õ pi (x) = x , k ữ õ t t r tr sỹ t t q t r tứ số tố tự tữỡ ự ợ ữợ tố số õ số t tự õ trỏ tữỡ tỹ ữ số ữợ tố t số ứ t õ t s ỵ a ởt số No(a) t ữợ tố t a No (a) = p p|a s t sỹ tữỡ tỹ tr ũ ợ t t tự ủ ỵ ởt ữớ ự ỵ rt s ự ởt ỵ rt s tự ỵ sỷ a(t), b(t), c(t) tự ợ ỵ s số ự tố ũ tứ tọ tự a(t) + b(t) = c(t) õ no(f ) số t ởt tự f t t õ max {deg a, deg b, deg c} no (abc) ỵ s t ởt ự ỡ ỵ rt tr tự ỵ ỵ rt tr tự ổ tỗ t tự a, b, c số số ự tố ũ tọ ữỡ tr an + bn = cn ợ n ự sỷ tự a, b, c tọ ữỡ tr õ tr ó r số t tự q deg a + deg b + deg c an bn cn ổ ữủt ỵ s t õ n deg a deg a + deg b + deg c t t tự tr ợ b, c rỗ tứ t tự t ữủ n(deg a + deg b + deg c) 3(deg a + deg b + deg c) õ t n ỵ s sỹ tữỡ tỹ ỳ số tự ủ ỵ tt str a, b, c số tố ũ tọ tự a + b = c õ ợ > tỗ t số C s sỷ max(|a|, |b|, |c|) < CN 1+ , tr õ N= p abc p|abc t tữỡ tỹ ữ tr tứ tt õ t s r ỵ rt t ợ ợ ữỡ tr rt ổ õ p ữợ tố õ ởt tr số a, b, c p | a õ p ợ t tr sỹ t a r tứ số tố p õ số ụ tữỡ ố ọ |a| ổ ữủt q abc t tt tr ụ t t s t sỷ ữỡ tr rt ổ õ ợ ợ õ ữợ tố an , bn , cn s t ợ q ợ õ ỵ s q ỹ ự sổ tớ sỹ rữợ t ú tổ ữ r ởt t q tốt ỡ t q ỵ tr ỵ f1, , fn+1 n + s f1 , f2 , , fn ổ õ ổ t t n fi = fn+1 i=1 õ n+1 max {Tfi (r)} 1in+1 ự t Nn1,fi (r) i=1 n(n 1) log r + O(1) f1 , , fn ổ õ ổ t f1 + + fn = fn+1 f2 , , fn+1 ụ ổ õ ổ t t õ f = (f1 , f2 , , fn ) g = (f2 , f3 , , fn+1 ) tữỡ ự ữớ ổ s t t f, g tứ Cp Pn1 (Cp ) = Pn1 t Xi = (z1 , , zn ) Pn1 : zi = ợ i = 1, , n Xn+1 = (z1 , , zn ) Pn1 : z1 + + zn = X1 , X2 , , Xn+1 s tr tờ qt tr Pn1 (Cp ) ỵ rt f n + s X1 , X2 , , Xn , Xn+1 t õ õ n+1 ((n + 1) (n 1) 1)Tf (r) Nn1,f (Xi , r) i=1 n(n 1) log r + O(1), Tf (r) Nn1,f1 (r) + Nn1,f2 (r) + + Nn1,fn (r) + Nn1,f1 + +fn (r) n(n 1) log r + O(1) õ Tf (r) Nn1,f1 (r) + Nn1,f2 (r) + + Nn1,fn (r) + Nn1,fn+1 (r) n(n 1) log r + O(1) f1 + f2 + + fn = fn+1 n+1 Tf (r) Nn1,fi (r) i=1 n(n 1) log r + O(1) ữỡ tỹ ỵ rt X1 , X2 , , Xn , Xn+1 g n + s t õ n+1 ((n + 1) (n 1) 1)Tg (r) Nn1,g (Xi , r) i=1 n(n 1) log r + O(1), Tg (r) Nn1,f2 (r) + + Nn1,fn+1 (r) + Nn1,f2 + +fn fn+1 (r) n(n 1) log r + O(1), Tg (r) Nn1,f2 (r) + + Nn1,fn+1 (r) + Nn1,f1 (r) n(n 1) log r + O(1) f2 + + fn fn+1 = f1 õ n+1 Tg (r) Nn1,fi (r) i=1 n(n 1) log r + O(1) t Tf (r) = max {Tf1 (r), Tf2 (r), , Tfn (r)} , Tg (r) = max Tf2 (r), , Tfn+1 (r) õ n+1 max {Tfi (r)} 1in+1 Nn1,fi (r) i=1 n(n 1) log r + O(1) ỵ ữủ ự sỷ X1, X2, , Xq s tr tờ qt tr Pn(Cp) k1, k2, , kq số ữỡ f : Cp Pn (Cp ) ữớ ổ s t t õ q qn1 i=1 ự n ki + q Tf (r) i=1 ki ki Nn,f (Xi , r) ki + n(n + 1) log r + O(1) X {X1 , X2 , , Xq } k {k1 , k2 , , kq } F = t õ ợ õ ữỡ tr sỷ X k >k Nn,f (X, r) = Nn,f (X, r) + Nn,f (X, r) k k k >k Nn,f (X, r) + Nn,f (X, r) + nN1,f (X, r) k+1 k+1 n n k k k Nn,f (X, r) + N1,f (X, r) + Nf>k (X, r) k+1 k+1 k+1 k n n k Nn,f (X, r) + Nfk (X, r) + Nf>k (X, r) k+1 k+1 k+1 n k k (X, r) + Nn,f Nf (X, r) = k+1 k+1 ổ tự Pss t õ Nf (X, r) = NF f (r) = TF f (r) + O(1) = Tf (r) + O(1) õ Nn,f (X, r) k n k Nn,f (X, r) + Tf (r) + O(1) k+1 k+1 ỵ rt X1 , , Xq ữớ f q s t õ q (q n 1)Tf (r) Nn,f (Xi , r) i=1 q i=1 n(n 1) log r + O(1) ki ki Nn,f (Xi , r) + ki + n(n 1) log r + O(1) q i=1 n Tf (r) ki + q qn1 i=1 n ki + q Tf (r) i=1 ki ki Nn,f (Xi , r) ki + n(n 1) log r + O(1) ữủ ự ỵ fi i = 1, 2, , n + n + s f1, , fn ổ õ ổ t t f1 + f2 + + fn = fn+1 õ ợ ộ số k ữỡ t õ n2 1 k+1 k max {Tfi (r)} 1in+1 k+1 ự n+1 k Nn1,f (r) i i=1 n(n 1) log r+O(1) f1 , , fn ổ õ ổ t t f1 + f2 + + fn = fn+1 f2 , , fn+1 ụ t t ổ õ ổ õ f = (f1 , f2 , , fn ), g = (f2 , , fn , fn+1 ) tữỡ ự ữớ ổ s f, g tứ Cp Pn1 (Cp ) = Pn1 Xi = (z1 , , zn ) Pn1 : zi = ợ i = 1, , n t t t Xn+1 = (z1 , , zn ) Pn1 : z1 + + zn = X1 , X2 , , Xn+1 s tr tờ qt tr Pn1 (Cp ) ợ ộ k ữỡ ữớ f n + s X1 , X2 , , Xn+1 t õ õ n + (n 1) n+1 i=1 (n + 1)(n 1) Tf (r) k+1 k n(n 1) k Nn1,f (Xi , r) log r + O(1) k+1 õ n2 k Tf (r) k+1 k+1 n+1 k Nn1,f (r) i i=1 n(n 1) log r + O(1) ữỡ tỹ ữớ X1 , X2 , , Xn+1 i=1 n + s t õ n + (n 1) n+1 g (n + 1)(n 1) Tg (r) k+1 k n(n 1) k (Xi , r) Nn1,g log r + O(1) k+1 n2 k Tg (r) k+1 k+1 n+1 k Nn1,f (r) i i=1 n(n 1) log r + O(1) t Tf (r) = max {Tf1 (r), Tf2 (r), , Tfn (r)} , Tg (r) = max Tf2 (r), Tf3 (r) , Tfn+1 (r) ứ õ t s r n2 1 k+1 k max Tfi (r) 1in+1 k+1 n+1 k Nn1,f (r) i i=1 n(n 1) log r + O(1) ỵ ữủ ự t k + t n2 k+1 k Nn1,f (r) Nn1,fi (r) i õ ỵ tr t n+1 max {Tfi (r)} 1in+1 Nn1,fi (r) i=1 n(n 1) log r + O(1) õ t q t fi tự t õ Tfi (r) = degfi r+ log r lim N fi (r) = n(fi ) r+ log r lim õ ỵ õ t ữ tữỡ tỹ ỵ s f ổ ỗ t tr Cp õ ỹ a m t f õ ỹ a m + ự a sỷ f (z) = (a) = (z) (z) (z a)m tr õ (z a)m m(z a)m1 f = (z a)2m (z a) m = (z a)m+1 a ỹ m+1 f ữủ ự ứ tr ũ q ữủ q s q f ổ ỗ t ổ tr Cp õ ỹ a m t f (k) õ ỹ a m + k ỵ f1, f2, , fn+1 s f1 , , fn ổ õ ổ ỹ t t f1 + f2 + + fn = fn+1 |fi |r Ai Ai số ữỡ õ n+1 max {Tfi (r)} 1in+1 Nn1,fi (r) + (n 1) max i=1 n+1 1jn+1 i=1 i=j N1, f1 (r) i n(n 1) log r + O(1), r + õ O(1) ữủ ự tr t ỵ õ O(1) Ai Ai = ợ i = 1, 2, , n + tt f1 , , fn t t f1 + + fn fn+1 = fj ổ ỗ t ổ Wj (f1 , , fj1 , fj+1 , , fn+1 ) j = 1, 2, , n + số ữỡ ổ tờ qt sỷ rữợ t t ự n+1 Tf1 (r) n+1 Nn1, f1 (r) Nn1,fi (r) + i=1 i i=2 t g= n(n 1) log r + O(1) W1 (f2 , , fn+1 ) f1 fn+1 õ ããã fn+1 f2 ããã f2 W1 (f2 , , fn+1 ) f n+1 = = det f2 fn+1 (n1) (n1) f f2 ã ã ã n+1 f2 fn+1 r (k ) (k ) n fn+1 f2 + + log + O(1) log ||r log f2 fn+1 ợ (k1 , k2 , , kn ) t {0, 1, , n 1} t õ (k ) fi i log fi ki log r log ||r (1 + + + n 1) log r T (r) õ g= f1 f1 f1 = g t n(n 1) log r f1 = a1 b1 ợ a1 , b1 ổ õ ổ r a1 = f b = b1 g õ Tf1 (r) = max {log |a1 |r , log |b1 |r } + O(1) = max T g b1 (r), Tb1 (r) + O(1) |f1 |r b1 g = r |b1 |r |b1 |r g r Tf1 (r) = log b1 + O(1) = log + log |b1 |r + O(1) g r g r = log ||r log |g|r + log |b1 |r + O(1) = log ||r (log |W1 |r log |f1 f2 fn+1 |r ) + Hb1 (r) + O(1) n+1 = log ||r NW1 (r) + N W1 (r) + log |fi |r + Hb1 (r) + O(1) i=1 n+1 Nfi (r) = log ||r NW1 (r) + N W1 (r) + n+1 i=1 N f1 (r) i=1 i + Nb1 (r) + O(1) n+1 n+1 Nfi (r) NW1 (r) + N W1 (r) = i=1 N f1 (r) i=2 i + log ||r + O(1) W1 (f2 , , fn+1 ) = W (f2 , , fn , f2 fn + fn+1 ) = W (f2 , , fn , f1 ) f1 , , fn ổ õ ổ n+1 n+1 Nfi (r) NW1 (r) i=1 q Nn1,fi (r) i=1 f1 , , fn ổ õ ỹ t õ n+1 N W1 (r) log ||r n+1 N f1 (r) (n 1) i i=2 N1, f1 (r), i i=2 n(n 1) log r n+1 Tf1 (r) n+1 Nn1,fi (r) + (n 1) N1, f1 (r) i=1 i i=2 n(n 1) log r + O(1) ự tữỡ tỹ t õ n+1 Tfi (r) n+1 i=1 ợ N1, f1 (r) Nn1,fi (r)+(n1) i i=1 i=j n(n 1) log r+O(1) () j = 1, 2, , n + ứ s r n+1 max {Tfi (r)} 1in+1 Nn1,fi (r) + (n 1) max 1jn+1 i=1 n+1 i=1 i=j N1, f1 (r) i n(n 1) log r + O(1) ỵ ữủ ự t fi i = 1, 2, , n + ổ ỗ t ổ t õ N1, f1 (r) = 0, ợ i max n+1 1jn+1 i=1 i=j N1, f1 (r) = i n+1 max {Tfi (r)} 1in+1 Nn1,fi (r) i=1 n(n 1) log r + O(1) õ t q õ õ t ỵ rở ỵ s t t ữủ ởt số t q s r ữỡ ú tổ tr ỡ ỵ ũ q ỵ tt ố tr r ữỡ ú tổ tr ỵ rt ự ỵ ự sỹ s ữớ tữỡ tỹ ỵ s t t r Pữỡụ t tr rữớ ữ P rr ts r r s r P r tr r t s r r r strt r rsrs s r tts rt r trt t [...]... Cp ứ ỵ õ t õ ỵ s ỵ [1] sỷ f ởt tr Cp õ f (a) = 0 ợ ồ a Cp f () = 1 ữỡ ỵ rt ử t ự r ữỡ tổ s t ự ỵ rt ự ỵ rt ử q trồ ừ ỵ ự sỹ s ừ ữớ t ỵ s q ỹ ự sổ ở tớ sỹ ú tổ ụ tr tữỡ tỹ ừ ỵ s ỵ rt ữớ f : Cp Pn(Cp) ởt ợ tữỡ ữỡ ở (f1, f2, , fn+1) s f1, f2, , fn+1 ổ õ ổ tr Cp n+1 (f1 , f2 , , fn+1 ), (g1 , g2 ,... n vFi f (a) vW (a) = n ứ ỵ t õ ữ ợ q (q n 1)Tf (r) Nn,f (Hi , r) i=1 n(n + 1) log r + O(1) 2 ử ừ ỵ rt ổ ử ỳ t t s ừ ữớ t r r ữỡ tr ờ r t ỵ s q ỹ ự sổ ở tớ sỹ tr ử ú tổ tr t t s ừ ữớ tữỡ tỹ ừ ỵ s ỵ ờ r sỷ f1, , fn (n 3) ổ õ ổ tr Cp s ờ r f1 + f2 + + fn = 0 õ f1, , fn1 ử tở t t ợ ộ j = 1, , n ộ ổ ừ fj õ ở t t dj ... ự ỵ õ r ởt số ự q trồ ỵ rt ự sỹ s ữớ t ỵ s rt q ỹ ự sổ tớ sỹ ú tổ ụ tr tữỡ tỹ ỵ s ởt tr ỳ t tớ sỹ tt t ữủ t q t ự t t ữủ t... ú tổ ởt sỹ tữỡ tỹ õ t ỡ ỵ sỹ tữỡ tỹ ỳ t r tứ số tố t t q tt k trữớ õ số t ộ tự f (x) k[x] õ t t ữủ ữợ f (x) = p1 p2 pnn tr õ pi (x) = x , k ữ õ t t r tr sỹ t t q ... t ự r ữỡ tổ s t ự ỵ rt ự ỵ rt q trồ ỵ ự sỹ s ữớ t ỵ s q ỹ ự sổ tớ sỹ ú tổ ụ tr tữỡ tỹ ỵ s ỵ rt ữớ f : Cp Pn(Cp) ởt ợ