luận văn thạc sỹ toán học nghiệm toàn cục của phương trình vi phân phức

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC L L U U Ậ Ậ N N V V Ă Ă N N T T H H Ạ Ạ C C S S Ĩ Ĩ T T O O Á Á N N H H Ọ Ọ C C Thái Nguyên - năm 2010 www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 L L U U Ậ Ậ N N V V Ă Ă N N T T H H Ạ Ạ C C S S Ĩ Ĩ T T O O Á Á N N H H Ọ Ọ C C Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - Năm 2010 www.VNMATH.com S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở Đầu Lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna đ-ợc đánh giá là một trong những thành tựu sâu sắc của toán học trong thế kỷ hai m-ơi. Đ-ợc hình thành từ những năm đầu của thế kỷ, lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ những công trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Vào năm 1925, Nevanlinna đã phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất phát điểm là công thức nổi tiếng Jensen. Lý thuyết có nội dung chủ yếu là định lý cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ 2 và quan hệ số khuyết. Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng: Ch-ơng I: Trình bày cơ sở lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna. Ch-ơng II: Trình bày một số kết quả về nghiệm toàn cục của ph-ơng trình vi phân phức dựa trên bài báo nghiệm toàn cục của một số lớp ph-ơng trình vi phân phức của tác giả Ping Li. Kết quả của luận văn: Cho P(f) là đa thức vi phân đối với f và nó có đạo hàm ( với hàm nhỏ của f coi nh- là hệ số) có bậc không lớn hơn n - 1 , p 1 , p 2 là 2 hàm nhỏ của z e và 12 , là 2 hằng số khác không. Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna để tìm ra nghiệm toàn cục siêu việt của ph-ơng trình vi phân phi tuyến tính trong không gian phức: 12 12 . zz n f z P f p e p e Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn và chỉ bảo tận tình của GS - TSKH Hà Huy Khoái. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến www.VNMATH.com S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Thầy, Thầy không chỉ h-ớng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Thầy còn thông cảm, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học tr-ờng Đại học S- phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học và luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr-ờng cao đẳng Công Nghệ và Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt là các đồng nghiệp trong khoa KHCB, gia đình, bạn bè đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010 Học viên L-u Thị Minh Tâm www.VNMATH.com S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Ch-ơng I Cơ sở lý thuyết Nevanlinna 1.1. Hàm phân hình 1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi là điểm bất th-ờng cô lập của hàm f(z) nếu hàm f(z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính điểm đó. 1.1.2. Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a của hàm f(z) đ-ợc gọi là cực điểm của f(z) nếu lim za fz . 1.1.3. Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức đ-ợc gọi là hàm nguyên. Nh- vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất th-ờng hữu hạn. 1.1.4. Định nghĩa: Hàm f(z) đ-ợc gọi là hàm phân hình trong miền D nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bất th-ờng là cực điểm. Nếu D = thì ta nói f(z) phân hình trên , hay đơn giản, f(z) là hàm phân hình. *Nhận xét: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì trong lân cận của mỗi điểm ,z D f z có thể biểu diễn đ-ợc d-ới dạng th-ơng của hai hàm chỉnh hình. 1.1.5. Định nghĩa: Điểm z 0 gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) nếu trong lân cận của z 0 , hàm 0 1 m f z h z zz , trong đó h(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của z 0 và 0 0hz . 1.1.6. Tính chất: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì f(z) cũng là hàm phân hình trên D. Hàm f(z) và f(z) cũng có các cực điểm tại những điểm nh- www.VNMATH.com S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 nhau. Đồng thời, nếu z 0 là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) thì z 0 là cực điểm cấp m+1 của hàm f(z). *Nhận xét: Hàm f(z) không có quá đếm đ-ợc các cực điểm trên D. 1.1.7. Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình trong , điều kiện cần và đủ để f(z) không có các điểm bất th-ờng khác ngoài cực điểm là f(z) là hàm hữu tỷ. 1.2. Định lý cơ bản thứ nhất 1.2.1. Công thức Poisson-Jensen Định lý: Giả sử 0fz là một hàm phân hình trong hình tròn zR với 0 R . Giả sử 1,2, aM là các không điểm, mỗi không điểm đ-ợc kể một số lần bằng bội của nó, b v (v = 1,2,N) là các cực điểm của f trong hình tròn đó, mỗi cực điểm đ-ợc kể một số lần bằng bội của nó. Khi đó nếu . , 0 , 0; i z r e r R f z f z thì: 2 22 22 0 22 11 1 log log Re 22 log log . i MN v v v Rr f z f d R Rrcos r R z a R z b R a z R b z (1.1) Chứng minh *Tr-ờng hợp 1. Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm trong zR . Khi đó ta cần chứng minh: 2 22 22 0 1 log log Re . 22 i Rr f z f d R Rrcos r (1.1a) + Tr-ớc hết ta chứng minh công thức đúng tại z = 0, nghĩa là cần chứng minh: www.VNMATH.com S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 2 0 1 log 0 log Re . 2 i f f d Do f(z) không có không điểm và cực điểm trong hình tròn nên hàm log f(z) chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có: 2 0 11 log 0 log log Re . 22 i zR dz f f z f d iz Lấy phần thực ta thu đ-ợc kết quả tại z = 0. 2 0 1 log 0 log Re . 2 i f f d + Với z tùy ý, chúng ta xét ánh xạ bảo giác biến R thành 1 và biến z thành 0 . Đó là ánh xạ: 2 . Rz Rz Nh- vậy R t-ơng ứng với 1 . Trên R , ta có: 2 2 log log log log log . Rz R z R z Rz Nên 2 2 2 2 . R z d d d zd z Rz R z z (1*) Do log f(z) là chỉnh hình trong zR , theo định lý Cauchy ta có: 1 log log . 2 R d f z f iz (2*) www.VNMATH.com S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Mặt khác 2 2 11 log log . 22 RR zd d ff R ii Rz z (3*) Do z z R suy ra 2 R R z nghĩa là điểm 2 R z nằm ngoài vòng tròn R , nên hàm 2 1 log f R z là hàm chỉnh hình. Nh- vậy tích phân trong vế phải của (3*) bằng 0. Kết hợp với (1*) và (2*) ta có: 2 2 2 1 log log . 2 R R z d f z f i R z z (1.2) Hơn nữa, trên R , ., ii R e d iRe d và 2 22 Re Re 2 . i ii i R z z R R re re R Rrcos r Kết hợp với (1.2) ta thu đ-ợc: 22 2 22 0 1 log log Re . 22 i R r d f z f R Rrcos r (1.3) Lấy phần thực hai vế của đẳng thức (1.3) ta đ-ợc: 22 2 22 0 1 log log R e . 22 i R r d f z f R Rrcos r Đây là điều cần phải chứng minh. www.VNMATH.com S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 * Tr-ờng hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm bên trong zR , nh-ng có hữu hạn không điểm và cực điểm c j trên biên R . Với 0 nhỏ tùy ý, ta đặt: . jj D z R U c Gọi D là chu tuyến của D và là các cung lõm vào trên D bao gồm những phần trên đ-ờng tròn R cùng với các phần lõm vào của đ-ờng tròn nhỏ bán kính và tâm là các không điểm hoặc cực điểm f(z) trên R . Giả sử i z re trong miền zR , tồn tại đủ nhỏ sao cho zD . Khi đó: 2 2 2 1 log log 2 D R z d f z f i R z z (1.2a) Giả sử z 0 là một không điểm hay cực điểm của f(z) trên R và là cung tròn ứng với z 0 trên D . Khi đó trên 0 , 0 m f z c z z trong đó m > 0 nếu z 0 là không điểm và m < 0 nếu z 0 là cực điểm. Suy ra 1 log logf z O khi 0 . Nh- vậy: 11 log . . , 2 OM trong đó M là một đại l-ợng bị chặn. Ta thấy www.VNMATH.com S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 1 log . . 0OM khi 0 . Cho 0 trong công thức (1.2a), tính tích phân thứ nhất sẽ dần đến tích phân trong vế phải của (1.3), tích phân thứ hai sẽ dần đến 0. Nh- vậy ta cũng thu đ-ợc công thức (1.3) trong tr-ờng hợp này và từ đó suy ra (1.1). *Tr-ờng hợp 3. Bây giờ ta xét tr-ờng hợp tổng quát, tức là f(z) có các không điểm và các cực điểm trong zR đặt: 2 1 2 1 1 N v M v v Rb f R a R b Ra (1.4) Hiển nhiên không có không điểm hoặc cực điểm trong zR . Nh- vậy chúng ta có thể áp dụng công thức (1.1a) cho hàm . Hơn thế nữa, nếu Re i thì : 2 1, R a R a Ra a và 2 1, vv v v R b R b Rb b nên f . Vậy 22 2 22 0 22 2 22 0 1 log log Re 22 1 log Re . 22 i i R r d z R Rrcos r R r d f R Rrcos r (1.5) Mặt khác: www.VNMATH.com [...]... r , f N r , f ' , và N0 r , là hàm đếm f ' f ' tại các không điểm của f mà không phải là không điểm của f a j , với j = 1, ,q 1.3.4 Quan hệ số khuyết Chúng ta ký hiệu lại: n t , a n t , a, f là số các nghiệm của ph-ơng trình f z a trong z t , nghiệm bội đ-ợc tính cả bội và ký hiệu n t , a là số nghiệm phân biệt của f z a trong z t T-ơng tự ta định nghĩa: r N r , a N r , a,... trung bình của log f z trên z R trong đó f là lớn Giá trị N R, f có quan hệ với cực điểm Hàm T R, f đ-ợc gọi là hàm đặc tr-ng Nevanlinna của hàm phân hình f z , có vai trò quan trọng chủ yếu trong lý thuyết của hàm phân hình 1.2.2.2 Một số tính chất của hàm đặc tr-ng Chúng ta tiếp tục nghiên cứu một số tính chất đơn giản của hàm m R, f , N R, f , T R, f Chú ý a1, p là các số phức thì... chúng ta cho R biến thiên thì định lý cơ bản thứ nhất có thể đ-ợc vi t d-ới dạng nh- sau: m R, a N R, a T R O 1 Với mỗi a là hữu hạn hay vô hạn Số hạng m(R,a) dần tới trung bình nhỏ nhất có thể đ-ợc của f a trên vòng tròn z R , số hạng N(R,a) dần đến số nghiệm của ph-ơng trình f z a trong z R Với mỗi giá trị của a, tổng của hai số hạng này có thể xem là không phụ thuộc vào a S húa bi... hàm m càng lớn Có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm đo độ lớn của tập nghiệm phương trình f z a v độ lớn tập hợp tại đó f(z) nhận giá trị gần bằng a Trong khi đó, vế phải của đẳng thức trong định lý cơ bản có thể xem là không phụ thuộc a ( sai khác một đại l-ợng giới nội) Vì thế, định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng, hàm phân hình f(z) nhận mỗi giá trị a ( và giá trị... điểm bội k thì đ-ợc tính k lần Giả sử b1 , , bN là các cực phân biệt của f(z) với cấp lần l-ợt là: k1 , , k N Xét tại điểm bv ta thấy f z khai triển của f(z) sẽ có dạng: c kv z bv v k Khi đó f(z) sẽ có khai triển là: f ' z c ' kv 1 z bv kv 1 Tức là bv sẽ là cực điểm cấp kv + 1 của hàm f(z) Nh- vậy b1 , , bN sẽ là các cực điểm của f(z) với cầp lần l-ợt là: k1 1, , k N 1 Tất nhiên f(z)... cho thấy rằng, hàm phân hình f(z) nhận mỗi giá trị a ( và giá trị gần a ) một số lần như nhau Đây l một tương tự của định lý cơ bn của đại số Hàm đặc tr-ng Nevanlinna, về ý nghĩa nào đó, có thể xem nh- đặc tr-ng cho cấp tăng của một hm phân hình Nhận xét: Nếu hàm f cố định, ta có thể vi t 1 1 m R, a , N R, a , n R, a , T R lần l-ợt 1 thay cho m R, , N R, , n R, , T R, f nếu... a 2 T r Nh- vậy: a a a L-ợng a đ-ợc gọi là số khuyết của giá trị a, a gọi là bậc của bội Bây giờ chúng ta chứng minh một kết quả cơ sở của lý thuyết Nevanlinna , định lý sau đây gọi là định lý quan hệ số khuyết 1.3.4.1 Định lý Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trong z R0 Khi đó tập hợp các giá trị của a mà a 0 cùng lắm là đếm đ-ợc, đồng thời ta có: S húa bi Trung... vi t lại là: q q 1 o 1T r , f N r , a N r , N r , f1 ' n v 1 n v n n Chúng ta thấy rằng một nghiệm của ph-ơng trình f z av có bậc p thì nó cũng là không điểm bậc p 1 của f(z) và nh- thế nó đóng góp một lần vào n t , av n t , 1 Do đó bất đẳng thức trên đ-ợc vi t nh- sau: f ' S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... là kết quả của định lý thứ nhất Định lý cơ bản thứ hai sẽ cho ta thấy rằng trong tr-ờng hợp tổng quát số hạng N(R,a) chiếm -u thế trong tổng m + N và thêm nữa trong N(R,a) chúng ta không thể làm giảm tổng đó nhiều nếu các nghiệm bội đ-ợc tính một lần Từ kết quả này cũng suy ra định lý Picard, nói rằng hàm phân hình nhận mọi giá trị, trừ ra cùng lắm là hai giá trị Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna... www.VNMATH.com Hàm m(R,f) đ-ợc gọi là hàm xấp xỉ Gọi r1,r2, N là các môdun của các cực điểm b1,b2, N của f(z) trong ,r b z R Khi đó R N N R R R log log log dn t , f , b v1 r t v 1 v v 0 (1.8) trong đó n(t,f) là số cực điểm của hàm f(z) trong z t , cực điểm bậc q đ-ợc đếm q lần Thật vậy, tr-ớc hết bằng ph-ơng pháp tích phân từng phần ta có: R R R R R R R dt log t dn t , f log t n t , f . cục của ph-ơng trình vi phân phức dựa trên bài báo nghiệm toàn cục của một số lớp ph-ơng trình vi phân phức của tác giả Ping Li. Kết quả của luận văn: . dụng lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna để tìm ra nghiệm toàn cục siêu vi t của ph-ơng trình vi phân phi tuyến tính trong không gian phức: