Tập hút toàn cục đối với phương trình NavierStokes hai chiều được nghiên cứu đầu tiên trên miền bị chặn bởi Ladyzhenskaya 1,và Foias và Temam 2. Số chiều hữu hạn của tập hút toàn cục đã được chỉ ra theo nghĩa Hausdorff. Đối với miền không bị chặn, nó được nghiên cứu bởi Abergel 3 và Babin 4, nhưng yếu tố cưỡng bức được yêu cầu nằm trong một không gian trọng thích hợp. Tuy nhiên, việc ước lượng số chiều của tập hút toàn cục trong trường hợp này không phụ thuộc vào chuẩn của yếu tố cưỡng bức trong không gian trọng. Đó là lý do để ta hy vọng tồn tại tập hút toàn cục trong trường hợp tổng quát hơn và cũng là mục đích của bản luận văn rằng chỉ ra Tập hút toàn cục tồn tại đối với các yếu tố cưỡng bức tổng quát hơn của phương trình Navier Stokes hai chiều, hơn nữa, nó nằm trong không gian đối ngẫu V. Tính hữu hạn chiều của tập hút và ước lượng của nó trong trường hợp này cũng đã được nghiên cứu. Một yêu cầu khác trong kết quả của Abergel 3,5 và Babin 4 là tính trơn của biên đối với miền xác định. Điều này sẽ không được yêu cầu và miền xác định trong trường hợp của ta có thể là tập mở tùy ý miền rằng bất đẳng thức Poincare được thỏa mãn.Ngoài ra, khi xem xét sự tồn tại của tập hút toàn cục, chúng ta cần chỉ ra tính compact tiệm cận cái mà thông thường chúng ta nhận được bởi tính chính quy của phương trình ban đầu và phép nhúng compact trong không gian Sobolev. Hướng tiếp cận này chỉ phù hợp cho miền bị chặn vì phép nhúng không còn compact nữa đối với miền không bị chặn. Một giải pháp đã được áp dụng để xử lý vấn đề là ta xem xét các không gian trọng, nhưng nhược điểm của nó yếu tố cưỡng bức , ngay cả điều kiện ban đầu, phải được hạn chế đối với các không gian trọng. Mục đích của chúng ta trong bài này là tránh nhược điểm này bằng cách xem xét phương trình năng lượng phù hợp để nhận được tính compact tiệm cận đối với nửa nhóm sinh bởi bài toán giá trị biên ban đầu. Luận văn này gồm ba phần chính. Phần 3 Phương trình Navier Stokes trên miền không bị chặn tập trung vào việc xây dựng bài toán, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán và nửa nhóm liên tục. Phần 4 Tập hút toàn cục xoay quanh việc chỉ ra sự tồn tại của tập hút toàn cục của nửa nhóm liên tục. Phần 5 Số chiều của tập hút toàn cục nhằm đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục được chỉ ra ở phần trước. Cuối cùng, tôi xin liệt kê tất cả các tài liệu tôi đã sử dụng cho luận văn này.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————– NGUYỄN TRUNG THÀNH TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN TRUNG THÀNH TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS CUNG THẾ ANH THANH HÓA, 2015 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số ngày tháng năm Hiệu trưởng Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội: Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2015 (ký ghi rõ họ tên) Sở hữu file LaTeX tài liệu, liên hệ email: saoluuemails@gmail.com i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án công trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Nguyễn Trung Thành ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn Thầy PGS.TS Cung Thế Anh Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới dạy Thầy Tôi xin cảm ơn tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ mặt thủ tục để hoàn thiện luận văn Thanh Hóa, tháng năm 2015 Nguyễn Trung Thành iii LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii CÁC KÝ HIỆU iv MỞ ĐẦU Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian L2 (Ω) 1.2 Không gian Sobolev 1.3 Hệ động lực tập hút toàn cục Chương : TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN 10 2.1 Phương trình Navier - Stokes miền không bị chặn 10 2.2 Tập hút toàn cục 15 2.3 Số chiều tập hút toàn cục 19 Tài liệu tham khảo 24 iv CÁC KÝ HIỆU Trong toàn luận văn trừ trường hợp đặc biệt nói rõ mục, lại sử dụng ký hiệu sau: ∇u ∆u ∂u ∂u , , ) ∂ x1 ∂ xn n ∂ 2u = ∑ i=1 ∂ xi =( H −1 (Ω) không gian đối ngẫu H01 (Ω) L p (Ω) không gian đối ngẫu L p (Ω) V không gian đối ngẫu V R tập hợp số thực R+ := [0, ∞) tập hợp số thực không âm MỞ ĐẦU Tập hút toàn cục phương trình Navier-Stokes hai chiều nghiên cứu miền bị chặn Ladyzhenskaya [1],và Foias Temam [2] Số chiều hữu hạn tập hút toàn cục theo nghĩa Hausdorff Đối với miền không bị chặn, nghiên cứu Abergel [3] Babin [4], yếu tố cưỡng yêu cầu nằm không gian trọng thích hợp Tuy nhiên, việc ước lượng số chiều tập hút toàn cục trường hợp không phụ thuộc vào chuẩn yếu tố cưỡng không gian trọng Đó lý để ta hy vọng tồn tập hút toàn cục trường hợp tổng quát mục đích luận văn ” Tập hút toàn cục tồn yếu tố cưỡng tổng quát phương trình Navier Stokes hai chiều, nữa, nằm không gian đối ngẫu V ” Tính hữu hạn chiều tập hút ước lượng trường hợp nghiên cứu Một yêu cầu khác kết Abergel [3,5] Babin [4] tính trơn biên miền xác định Điều không yêu cầu miền xác định trường hợp ta tập mở tùy ý miền bất đẳng thức Poincare thỏa mãn.Ngoài ra, xem xét tồn tập hút toàn cục, cần tính compact tiệm cận mà thông thường nhận tính quy phương trình ban đầu phép nhúng compact không gian Sobolev Hướng tiếp cận phù hợp cho miền bị chặn phép nhúng không compact miền không bị chặn Một giải pháp áp dụng để xử lý vấn đề ta xem xét không gian trọng, nhược điểm yếu tố cưỡng , điều kiện ban đầu, phải hạn chế không gian trọng Mục đích tránh nhược điểm cách xem xét phương trình lượng phù hợp để nhận tính compact tiệm cận nửa nhóm sinh toán giá trị biên ban đầu Luận văn gồm ba phần Phần ” Phương trình Navier - Stokes miền không bị chặn” tập trung vào việc xây dựng toán, tồn nghiệm toán nửa nhóm liên tục Phần ” Tập hút toàn cục” xoay quanh việc tồn tập hút toàn cục nửa nhóm liên tục Phần ” Số chiều tập hút toàn cục” nhằm đánh giá số chiều fractal tập hút toàn cục phần trước Cuối cùng, xin liệt kê tất tài liệu sử dụng cho luận văn Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian L2 (Ω) Trong phần xem xét lại số kiến thức không gian L2 (Ω) Định nghĩa 1.1.1 ([7]) i) Cho p ∈ R ≤ p < ∞ Tập L p (Ω) = { f : Ω → R, f đo Ω | f | p dx < ∞} gọi không gian hàm lũy thừa p khả tích với chuẩn | f (x)| p dx || f ||L p = || f || p = 1/p Ω ii) Tập L2 (Ω) = { f : Ω → R, f đo Ω | f |2 dx < ∞ } gọi không gian hàm bình phương khả tích với chuẩn || f ||L2 = || f ||2 = | f (x)|2 dx 1/2 Ω Định nghĩa 1.1.2 ([7])(Hàm lồi) Một hàm f : Rn → R gọi hàm lồi f (τx + (1 − τ)y) ≤ τ f (x) + (1 − τ) f (y), với ∀x, y ∈ R với ≤ τ ≤ Bổ đề 1.1.3 ([7]) (Gronwall) (Dạng vi phân) Giả sử η(t) hàm liên tục tuyệt đối không âm [0; T ] thỏa mãn: η(t) ≤ φ (t)η(t) + ψ(t), hầu khắp t, φ (t) ψ(t) hàm khả tổng không âm [0; T ] Khi η(t) ≤ e t φ (s)ds t [η(0) + ψ(s)ds], với ≤ t ≤ T Bổ đề 1.1.4 ([7]) (Bất đẳng thức Young) Cho < p, q < ∞ 1 + = 1, p q a p bq ab ≤ + , (a, b > 0) p q 1 + = 1, p q f ∈ L p (Ω) g ∈ Lq (Ω) ta có || f g||L1 ≤ || f ||L p ||g||Lq Bổ đề 1.1.5 ([7])(Bất đẳng thức Holder) Giả thiết ≤ p, q ≤ ∞ 11 Ta định nghĩa L2 (Ω) = (L2 (Ω))2 , H10 (Ω) = (H01 (Ω))2 trang bị tích vô hướng tương ứng (u, v) = u, v ∈ L2 (Ω) uvdx, Ω ((u, v)) = ∑ ∇u j ∇v j dx j=1 Ω u = (u1 , u2 ); v = (v1 , v2 ) ∈ H10 (Ω) Khi đó, ta có chuẩn sinh tích vô hướng tương ứng |.| = (., )1/2 , = ((., ))1/2 Đặt V = {v ∈ (D(Ω))2 ; ∇.v = Ω} V = V ⊂ H10 (Ω) H = V ⊂ L2 (Ω) với H V trang bị tích vô hướng chuẩn tương ứng L2 (Ω) H10 (Ω) Từ (2.2) ta nhận |u|2 ≤ u 2, λ1 ∀u ∈ V (2.3) Bây ta xem xét toán yếu (2.1): Tìm u ∈ L∞ (0, T ; H) ∩ L2 (0, T ;V ), ∀T > 0, (2.4) ∀v ∈ V, ∀t > 0, (2.5) thỏa mãn ∂ (u, v) + ν((u, v)) + b(u, u, v) =< f , v >, dt (2.6) u(0) = u0 , b : V ×V ×V → R xác định b(u, v, w) = ui ∑ i, j=1 Ω ∂vj w j dx, xi (2.7) 12 < , > tích đối ngẫu V V Để đơn giản, giả sử f ∈ V Bài toán yếu (2.5) tương đương với toán (2.8) u ∈ V ,t > u + νAu + B(u) = f , u = du/dt, A : V → V toán tử Stokes xác định < Au, v >= ((u, v)), (2.9) ∀u, v ∈ V, B(u) = B(u, u) toán tử song tuyến tính B : V ×V → V xác định công thức < B(u, v), w >= b(u, v, w), ∀u, v, w ∈ V Toán tử Stokes đẳng cấu từ V vào V thỏa mãn bất đẳng thức B(u) V ≤ 21/2 |u| u , (2.10) ∀u ∈ V Chúng ta có kết phát biểu định lý sau Định lý 2.1.1 ([6]) Cho f ∈ V u0 ∈ H Khi tồn u ∈ L∞ (0, T ; H)∩ L2 (0, T ;V ), ∀T > 0, thỏa mãn (2.5) (2.6) thỏa mãn Hơn nữa, u ∈ L2 (0, T ;V ), ∀T > u ∈ C(R+ ; H) Giả sử u = u(t), t ≥ 0, nghiệm (2.5) xác định theo định lý (2.1.1) Do u ∈ L2 (0, T ;V ) u ∈ L2 (0, T ;V ), ta có 1d |u| =< u , u >, dt Kết hợp với (2.8), rút 1d |u| =< f − νAu − B(u), u >=< f , u > −ν u dt Nhờ tính chất trực giao b(u, v, v) = 0, (2.11) − b(u, u, u) (2.12) ∀u, v ∈ V, Chúng ta nhận 1d (2.13) |u| + ν u =< f , u >, ∀t > dt theo nghĩa hàm phân phối R+ Sử dụng (2.3) bất đẳng thức Gronwall |u(t)|2 ≤ |u0 |2 e−νλ1t + f ν λ1 V , ∀t ≥ (2.14) 13 t t u(s) ds ≤ 1 |u0 |2 + f tν ν V ∀t > , (2.15) Nhờ đó, xây dựng nửa nhóm liên tục {S(t)}t≥0 H xác định t ≥ 0, S(t)u0 = u(t), u nghiệm (2.5) với u(0) = u0 ∈ H Hơn nữa, thấy S(t) : H → H, với t ≥ 0, liên tục Lipschitz tập bị chặn H, tập B = {v ∈ H; |v| ≤ ρ0 = f λ1 ν V } (2.16) tập hấp thụ H nửa nhóm liên tục {S(t)}t≥0 Chúng ta xem xét bổ đề sau mà thực cần thiết xem xét tồn tập hút toàn cục Bổ đề 2.1.2 ([6]) Cho {u0n }n dãy H hội tụ yếu H tới phần tử u0 ∈ H Khi đó, S(t)u0n S(t)u0 H, L2 (0, T ;V ), ∀t ≥ (2.17) S(.)u0n S(.)u0 ∀T ≥ (2.18) Chứng minh Giả sử un (t) = S(t)u0n u(t) = S(t)u0 , ∀t ≥ Từ (2.14) (2.15), ta thấy {un }n ∈ L∞ (R+ ; H) ∩ L2 (0, T ;V ), ∀T ≥ (2.19) bị chặn Vì un = f − νAun + B(un ) A toán tử tuyến tính bị chặn từ V vào V , B thỏa mãn (2.10) Điều cho ta suy luận {un }n ∈ L2 (0, T ;V ), ∀T ≥ (2.20) 14 bị chặn Xét v ∈ V , ≤ t ≤ t + a ≤ T t+a (un (t + a) − un (t), v) = < un (s), v > ds t ≤ v a1/2 un (2.21) ≤ cT v a1/2 L2 (0,T ;V ) cT số dương, không phụ thuộc vào n Vì vậy, với v = un (t + a) − un (t) ∈ V , nhận |un (t + a) − un (t)|2 ≤ cT a1/2 un (t + a) − un (t) Do T −a T −a |un (t + a) − un (t)| dt ≤ cT a 1/2 un (t + a) − un (t) dt (2.22) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (2.19) , có đánh giá T −a |un (t + a) − un (t)|2 dt ≤ cT a1/2 cT số dương không phụ thuộc vào n Vậy T −a un (t + a) − un (t) lim sup a→0 n L2 (Ωr ) dt =0 (2.23) với r > 0, Ωr = Ω ∩ {x ∈ R2 ; |x| < r} Hơn nữa, từ (2.19), {un |Ωr }n ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ωr )) ∩ L2 (0, T ; H1 (Ωr )), ∀r ≥ (2.24) Bây giờ, ta xét hàm τ ∈ C1 (R+ ) với τ(s) = 1, s ∈ [0, 1] τ(s) = 0, s ∈ [2, +∞] Với r > 0, ta xây dựng vn,r = τ(|x|2 /r2 )un (x), x ∈ Ω2r Từ (2.23), ta có T −a vn,r (t + a) − vn,r (t) lim sup a→0 n L2 (Ω2r ) dt = 0, ∀r ≥ 0, ∀T ≥ 0 (2.25) Mặt khác, từ (2.24), ta rút {vn,r }n ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω2r )) ∩ L2 (0, T ; H10 (Ω2r )), ∀r ≥ 0, ∀T ≥ (2.26) 15 Do đó, {vn,r }n ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω2r )), ∀r ≥ 0, ∀T ≥ (2.27) compact tương đối, kéo theo từ (2.27) {un |Ωr }n ∈ L2 (0, T ; L2 (Ωr )), ∀r ≥ 0, ∀T ≥ (2.28) compact tương đối Từ (2.19) (2.28) Chúng ta trích dãy un → u (2.29) (R+ ;V ), hội tụ *- hội tụ yếu L∞ (R+ , H), hội tụ yếu Lloc (R+ ; L2 (Ω )), ∀r > mạnh Lloc r u ∈ L∞ (R+ , H) ∩ Lloc (R+ ;V ) (2.30) Sự hội tụ (2.29) cho phép chuyển qua giới hạn phương trình un để tìm nghiệm u (2.5) với u(0) = u0 Nhờ tính nghiệm dẫn đến u = u Sử dụng phương pháp phản chứng, dễ dàng chứng minh dãy {un }n hội tụ u theo nghĩa (2.29) Điều chứng tỏ (2.18) thỏa mãn Nhờ hội tụ mạnh (2.29), un (t) hội tụ mạnh L2 (Ωr ) tới u(t) với hầu hết t ≥ ∀r > Khi đó, với v ∈ V (un (t), v) → (u(t), v) hầu khắp nơi t ∈ R+ Hơn nữa, từ (2.19) (2.21), dãy {(un (t), v)}n bị chặn liên tục [0, T ], ∀T > Vì vậy, (un (t), v) → (u(t), v), ∀t ∈ R+ , ∀v ∈ V (2.31) Cuối cùng, (2.17) kết (2.19), (2.31) V trù mật H 2.2 Tập hút toàn cục Sự tồn tập hút toàn cục nhận từ lý thuyết tổng quát ta chứng minh tính compact tiệm cận nửa nhóm {S(t)}t≥0 Một nửa 16 nhóm gọi compact tiệm cận không gian metric tập {S(tn )un } tiền compact {un } bị chặn tn tiến vô cực Để chứng minh {S(t)}t≥0 compact tiệm cận H, cần sử dụng phương trình lượng (2.13) Ta định nghĩa ánh xạ [., ] : V ×V → R xác định sau: = ν((u, v)) − ν λ1 (u, v) (2.32) Rõ ràng, [., ] song tuyến tính đối xứng Hơn nữa, từ (2.3), λ1 [u]2 = [u, u] = ν||u||2 − ν |u|2 ν ν ≥ ν||u||2 − ||u||2 = ||u||2 2 Do đó, ν ||u||2 ≤ [u]2 ≤ ν||u||2 , ∀u ∈ V (2.33) Vậy [., ] xác định tích vô hướng V với chuẩn [.] = [., ]1/2 tương đương với chuẩn Vert Bây giờ, ta thêm bớt đại lượng νλ1 |u|2 vào phương trình lượng (2.13) để nhận d |u| + νλ1 |u|2 + 2[u]2 = < f , u > dt (2.34) với nghiệm u = u(t) = S(t)u0 , u0 ∈ H Khi đó, t 2 −νλ1t |u(t)| = |u0 | e e−νλ1 (t−s) (< f , u(s) > −[u(s)]2 )ds +2 Ta biểu diễn lại phương trình dạng t 2 −νλ1t |S(t)u0 | = |u0 | e e−νλ1 (t−s) (< f , S(s)u0 > −[S(s)u0 ]2 )ds +2 (2.35) với u0 ∈ H, t ≥ Giả sử B ⊂ H tập bị chặn, cho {un }n ⊂ B, {tn }n , tn ≥ ,tn → ∞ Vì tập B xác định (2.16) hấp thụ, nên tồn T (B) > thỏa mãn S(t)B ⊂ B, ∀t ≥ T (B) 17 Vì với tn đủ lớn S(tn )un ∈ B (2.36) Dẫn đến {S(tn )un }n tiền compact yếu H S(tn )un (2.37) w hội tụ yếu H, với dãy n w ∈ B Tương tự, với T > 0, có S(tn − T )un ∈ B (2.38) với tn ≥ T + T (B) Vậy, {S(tn − T )un }n tiền compact yếu H S(tn − T )un wT , ∀T > (2.39) hội tụ yếu H, wT ∈ B Sử dụng tính liên tục yếu S(t) Bổ đề (2.1.2) , ta có w = lim S(tn )un = lim S(T )S(tn − T )un n n = S(T ) lim S(tn − T )un = S(T )wT n theo nghĩa hội tụ topo yếu H Vậy, w = S(T )wT , ∀T ∈ N (2.40) Từ (2.37), ta dễ dàng có |w| ≤ lim inf |S(tn )un |, n (2.41) Chúng ta chứng minh lim sup |S(tn )un | ≤ |w| n Với T ∈ N tn > T , từ (2.35), ta có |S(t)un |2 = |S(T )S(tn − T )un |2 = |S(tn − T )un |2 e−νλ1 T T e−νλ1 (T −s) (< f , S(s)S(tn − T )un > −[S(s)S(tn − T )un ]2 )ds +2 (2.42) 18 Từ (2.38) ta đánh giá lim sup(e−νλ1 T |S(tn − T )un |2 ) ≤ ρ02 e−νλ1 T n (2.43) Nhờ tính liên tục yếu (2.18) (2.39), ta có S(.)S(tn − T )un (2.44) S(.)wT , hội tụ yếu L2 (0, T ;V ) Mặt khác, s −→ e−νλ1 (T −s) f ∈ L2 (0, T ;V ) Ta có T T e−νλ1 (T −s) < f , S(s)S(tn − T )un > ds = lim n e−νλ1 (T −s) < f , S(s)wT > ds (2.45) Hơn nữa, [.] chuẩn V tương đương với chuẩn < e−νλ1 T ≤ e−νλ1 (T −s) ≤ 1, ∀s ∈ [0, T ] Ta thấy T e−νλ1 (T −s) [.]2 ds)1/2 ( chuẩn L2 (0, T ;V ) tương đương với chuẩn thông thường Do đó, từ (2.44) ta rút T T e −νλ1 (T −s) e−νλ1 (T −s) [S(s)S(tn − T )un ]2 ds [S(s)wT ] ds ≤ lim inf n 0 (2.46) Nên T e−νλ1 (T −s) [S(s)S(tn − T )un ]2 ds lim sup −2 n T e−νλ1 (T −s) [S(s)S(tn − T )un ]2 ds = − lim inf n T e−νλ1 (T −s) [S(s)wT ]2 ds ≤ −2 (2.47) 19 Chúng ta lấy giới hạn lim sup n → ∞ (2.42) sử dụng kết (2.43), (2.45) (2.47), ta nhận lim sup |S(tn )un |2 ≤ ρ02 e−νλ1 T n T +2 e −νλ1 (T −s) (2.48) {< f , S(s)wT > −[S(s)wT ] }ds Mặt khác, từ (2.35), ta sử dụng w = S(T )wT , ta thu |w|2 = |S(T )wT |2 T = |wT |2 e−νλ1 T + e−νλ1 (T −s) {< f , S(s)wT > −[S(s)wT ]2 }ds (2.49) Từ (2.48) (2.49) lim sup |S(tn )un |2 ≤ |w|2 + (ρ02 − |wT |2 )e−νλ1 T n ≤ |w| (2.50) + ρ02 e−νλ1 T với T ∈ N Cho T tiến vô cực, ta thu lim sup |S(tn )un |2 ≤ |w|2 n (2.51) Do H không gian Hilbert, kết hợp với (2.51) ,(2.37) kéo theo S(tn )un → w (2.52) hội tụ mạnh H Điều chứng tỏ {S(tn )un }n dãy tiền compact H, dẫn đến {S(t)}t>0 compact tiệm cận H Kết hợp với {S(t)}t>0 có tập hấp thụ B H, nên tồn tập hút toàn cục kết lý thuyết tập hút toàn cục tổng quát, mà phát biểu lại sau Định lý 2.2.1 ([7]) Cho E không gian metric đầy đủ {S(t)}t>0 nửa nhóm toán tử liên tục E Nếu {S(t)}t>0 có tập hấp thụ bị chặn B E compact tiệm cận E, {S(t)}t>0 có tập hút toàn cục A = ω(B) Hơn nữa, t → S(t)u0 liên tục từ R+ vào E B liên thông E, A liên thông E Vậy ta tóm tắt kết nghiên cứu định lý sau: 20 Định lý 2.2.2 ([6]) Cho Ω tập mở thỏa mãn (2.2) Giả sử ν > f ∈ V Khi đó, hệ động lực sinh phương trình tiến hóa (2.5) có tập hút toàn cục H, i.e, tập compact, bất biến A H mà hút tất tập bị chặn H Hơn nữa, A liên thông lớn H 2.3 Số chiều tập hút toàn cục Để nghiên cứu số chiều tập hút toàn cục A phần 4, sử sụng lý thuyết phát triển Constantin , trường hợp compact, Ghidaglia Temam , trường hợp không compact Ta sử dụng cách trình bày [6] Cho u0 ∈ H đặt u(t) = S(t)u0 , t ≥ Từ (2.8) ta thấy dòng chảy tuyến tính quanh u cho phương trình U + νAU + B(u,U) + B(U, u) = 0, U(0) = ξ V (2.53) Đối với toán không tuyến tính, chứng minh kết sau: ” Cho ξ ∈ H, tồn U ∈ L∞ (0, T ; H) ∩ L2 (0, T ;V ), ∀T > 0, thỏa mãn (2.53) Hơn nữa, U ∈ L2 (0, T ;V ) U ∈ C([0, T ]; H), ∀T > 0” Chúng ta xây dựng ánh xạ tuyến tính L(t, u0 ) : H → H xác định công thức L(t, u0 )ξ = U(t) Khi đó, L(t, u0 ) bị chặn {S(t)}t>0 khả vi A, i.e, |S(t)v0 − S(t)u0 − L(t, u0 ).(v0 − u0 )| =0 ε→0 u ,v ∈A;0 j=1 m = ∑ < −νAφ j − B(u, φ j ) − B(φ j , u), φ j > j=1 m = ∑ (−ν φj − b(u, φ j , φ j ) − b(φ j , u, φ j )) j=1 Sử dụng (2.12) m TrF (S(τ)u0 ) ◦ Qm (τ) = ∑ (−ν j=1 φj − b(φ j , u, φ j )) (2.59) 22 Mặt khác, m m | ∑ b(φ j , u, φ j )| = | ∑ j=1 j=1 =| [ ∑ Ω k,l=1 ∑ Ω ∂ ul φ jl dx| ∂ xk φ jk k,l=1 ∂ ul m ( ∑ φ jk φ jl )]dx| ∂ xk j=1 ≤ Ω ∂ ul 1/2 m (∑( ) ) ( ∑ ( ∑ φ jk φ jl )2 )1/2 dx k,l=1 ∂ xk k,l=1 j=1 ≤( Ω ∂ ul ∑ ( ∂ xk )2dx)1/2( k,l=1 ∑ ( ∑ φ jk φ jl )2dx)1/2 m φ jl2 )dx)1/2 φ jk )( ( l=1 j=1 k=1 j=1 Ω (2.60) k,l=1 j=1 Ω ≤ u ( m m ∑∑ ∑∑ m = u ( ( ∑ |φ j |2 )2 dx)1/2 Ω j=1 = u |ρ|L2 (Ω) Ở đây, m ∑ |φ j (x)|2 ρ(x) = j=1 Vì φ j trực chuẩn H, nên trực chuẩn L2 (Ω), thuộc V ⊂ H10 (Ω) Ta sử dụng bất đẳng thức Lieb-Thirring ρ(x)2 dx |ρ|L2 (Ω) = Ω m ≤κ ∂φj ∑ ∑ | ∂ xk |2dx j=1 Ω (2.61) k=1 m =κ ∑ φj j=1 κ số dương Thay (2.61) vào (2.60) Ta tìm m m | ∑ b(φ j , u, φ j )| ≤ u (κ j=1 ≤ κ u 2ν + ν ∑ j=1 m ∑ j=1 φj φ j )1/2 23 Do đó, (2.59) gives m ν TrF (S(τ)u0 ) ◦ Qm (τ) ≤ − ∑ φj + j=1 κ u 2ν Sử dụng (2.3) TrF (S(τ)u0 ) ◦ Qm (τ) ≤ − νλ1 m κ ∑ |φ j |2 + 2ν u j=1 |φ j | = κ νλ1 m+ u 2 2ν Ta định nghĩa tiêu hao lượng dòng chảy TrF (S(τ)u0 ) ◦ Qm (τ) ≤ − ε = νλ1 lim sup sup t→∞ u0 ∈A t (2.62) t S(τ)u0 dτ (2.63) Nhờ (2.15) ta biết ε hữu hạn Từ (2.40), ta tìm qm ≤ νλ1 κ m + ε, 2ν λ1 ∀m ∈ N (2.64) Vì vậy, m ∈ N xác định m −1 ≤ κ ε [...]... dương KẾT LUẬN + Luận văn đã chỉ ra được sự tồn tại duy nhất nghệm yếu với phương trình Navier - Stokes trên miền không bị chặn + Sự tồn tại tập hút toàn cục với phương trình Navier - Stokes trên miền không bị chặn + Đánh giá được số chiều fractal của tập hút toàn cục bằng hằng số Reynolds và Grashof 25 Tài liệu tham khảo [1] O Ladyzhenskaya, On the dynamical system generated by the NavierStokes equations.,... tồn tại một tập compact K sao cho lim dist(S(t)B, K) = 0 t→∞ với mọi tập B bị chặn trong X 10 Chương 2 : TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER- STOKES TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN 2.1 Phương trình Navier - Stokes trên miền không bị chặn Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán được xây dựng trong bài báo của Rosa ([6]) Chúng ta xem xét dòng chảy của một chất lỏng nhớt, không bị nén với mật độ hằng... cứu trên bằng định lý sau: 20 Định lý 2.2.2 ([6]) Cho Ω là một tập mở thỏa mãn (2.2) Giả sử rằng ν > 0 và f ∈ V Khi đó, hệ động lực sinh bởi phương trình tiến hóa (2.5) có một tập hút toàn cục trong H, i.e, một tập compact, bất biến A trong H cái mà hút tất cả các tập bị chặn trong H Hơn nữa, A là liên thông và là lớn nhất trong H 2.3 Số chiều của tập hút toàn cục Để nghiên cứu số chiều của tập hút toàn. .. B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (Tính cực đại) ii) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì A ⊂ B (Tính cực tiểu) iii) A là duy nhất 9 Định nghĩa 1.3.4 ([7]) Hệ động lực (X, S(t)) gọi là tiêu hao điểm (tương ứng, tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X hút các điểm (tương ứng, hút các tập bị chặn) của X Nếu hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao bị chặn thì... một tập B0 ⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , ∀t ≥ T Tập B0 như vậy gọi là tập hấp thụ đối với hệ động lực (X, S(t)) Một hệ động lực tiêu hao bị chặn thường được gọi tắt là hệ động lực tiêu hao Định nghĩa 1.3.5 ([7]) Nửa nhóm S là compact tiệm cận nếu, với mọi tập con bị chặn B của X thỏa mãn γτ+ (B) bị chặn với τ ∈ G+ nào đó, mọi tập dạng {S(tn )zn }, với. .. đóng và bị chặn; ii) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0; iii) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là lim dist(S(t)B, A) = 0 t→∞ trong đó dist(E, F) = sup inf dist(a, b) là nửa khoảng cách Hausdorff a∈E b∈F giữa hai tập con E và F của X Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa Mệnh đề 1.3.3 ([7]) Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A Khi... tục trên X Khi đó X gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái) Nếu khái niệm số chiều có thể định nghĩa cho không gian pha X thì giá trị dimX gọi là số chiều của hệ động lực Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lý thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều Định nghĩa 1.3.2 ([7]) Một tập con khác rỗng A của X gọi là tập hút toàn cục đối với hệ động lực (X, S(t)) nếu: i) A là một tập. .. tồn tại tập hút toàn cục là kết quả của lý thuyết tập hút toàn cục tổng quát, cái mà chúng ta phát biểu lại sau đây Định lý 2.2.1 ([7]) Cho E là một không gian metric đầy đủ và {S(t)}t>0 là một nửa nhóm của các toán tử liên tục trên E Nếu {S(t)}t>0 có một tập hấp thụ bị chặn B trong E và là compact tiệm cận trong E, thì {S(t)}t>0 có một tập hút toàn cục A = ω(B) Hơn nữa, nếu t → S(t)u0 là liên tục từ... (t), v)}n bị chặn và liên tục đều trên [0, T ], ∀T > 0 Vì vậy, (un (t), v) → (u(t), v), ∀t ∈ R+ , ∀v ∈ V (2.31) Cuối cùng, (2.17) là kết quả của (2.19), (2.31) và V trù mật trong H 2.2 Tập hút toàn cục Sự tồn tại của tập hút toàn cục sẽ nhận được từ lý thuyết tổng quát nếu ta chứng minh được tính compact tiệm cận của nửa nhóm {S(t)}t≥0 Một nửa 16 nhóm được gọi là compact tiệm cận trong không gian... u(t), trong đó u là nghiệm của (2.5) với u(0) = u0 ∈ H Hơn nữa, chúng ta thấy rằng S(t) : H → H, với t ≥ 0, là liên tục Lipschitz trên các tập con bị chặn của H, và tập B = {v ∈ H; |v| ≤ ρ0 = 2 f λ1 1 ν V } (2.16) là tập hấp thụ trong H của nửa nhóm liên tục {S(t)}t≥0 Chúng ta sẽ xem xét bổ đề sau đây cái mà sẽ thực sự cần thiết khi xem xét sự tồn tại tập hút toàn cục Bổ đề 2.1.2 ([6]) Cho {u0n }n là