Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương 1. Giải tích lồi} trình bày một số khái niệm và kết quả trong tài liệu về các tính chất cơ bản của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, các tính chất liên tục, tính Lipschitz, hàm liên hợp, tính khả dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng trong các bài toán tối ưu lồi vô hướng.\ Chương 2. Dưới vi phân hàm véctơ lồi và ứng dụng} là nội dung chính của luận văn, trình bày những mở rộng cho các tính chất, kết quả của hàm lồi vô hướng cho hàm véctơ lồi theo nón như các khái niệm về nón, điểm hữu hiệu, tính liên tục theo nón, tính lồi, dưới vi phân, hàm liên hợp, các đặc trưng và một số ứng dụng của dưới vi phân vào bài toán tối ưu véctơ lồi
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ ANH TUẤN DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VIỆN TOÁN HỌC VŨ ANH TUẤN DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU HÓA Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH lê Dũng Mưu Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Lời mở đầu 1 Cơ sở giải tích lồi 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi 1.3 Hàm liên hợp 1.4 Dưới vi phân 14 1.5 Đặc trưng hàm lồi 19 Ứng dụng tối ưu hóa 22 2.1 Bài toán lồi ràng buộc 26 2.2 Bài toán lồi có ràng buộc đẳng thức 26 2.3 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức 28 2.4 Bài toán trơn - lồi 30 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo i 37 Lời mở đầu Rất nhiều toán thực tế đưa dạng: Tìm x ∈ D cho f (x) ≤ f (x), ∀x ∈ D Trong đó, D tập tập f : D → R hàm số thực Ta kí hiệu toán f (x) = f (x) x∈D (1) gọi toán tối ưu Bài toán đóng vai trò trọng tâm lý thuyết tối ưu có toán liên quan toán bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, toán minimax, toán điểm yên ngựa, Trong trường hợp f hàm số khả vi toán (1) gọi tối ưu khả vi hay tối ưu trơn Trong trường hợp ngược lại, toán (1) gọi tối ưu không trơn Đối với tối ưu trơn ta có điều kiện cần đủ cấp cấp 2, có phương pháp giải phương pháp Newton nhiều phương pháp khác Trong chục năm qua nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu, tìm phương pháp giải toán tối ưu không trơn Năm 1947, nhà toán học người Mỹ, Danzig, tìm phương pháp đơn hình để giải toán quy hoạch tuyến tính: f hàm tuyến tính, D đa diện lồi Năm 1960 đến 1970, nhà toán học Mỹ, Rockafellar, đưa khái niệm vi phân hàm lồi từ hình thành môn Giải tích lồi để giải quy hoạch nói Những năm 1980 nhà toán học Mỹ, Clarke, đưa khái niệm vi phân hàm Lipschitz địa phương xây dựng nên môn Giải tích Lipschitz Nhiều nhà toán học khác J P Penot, Urruty, Mordukhovich, Nguyễn Văn Hiền, Strodiot, đưa khái niệm vi phân để giải toán (1) trường hợp khác Đặc biệt Đinh Thế Lục Jeykumar, năm 1990-2010, đưa khái niệm Jacobian xấp xỉ để giải toán trường hợp tổng quát: f hàm liên tục D tập đóng Tiếp theo người ta cần phát triển toán (1) trường hợp f từ tập D vào không gian véctơ khác Để phát triển toán tối ưu, người ta cần quan hệ thứ tự, tương đương với điều kiện có nón không gian Từ thứ tự người ta phát biểu toán tối ưu khác tối ưu lý tưởng, tối ưu Pareto, tối ưu thực sự, tối ưu yếu Từ hình thành nên môn học mới: Tối ưu véctơ, công cụ để giải toán tối ưu véctơ Hơn thế, người ta nghiên cứu toán trường hợp f ánh xạ đa trị Nội dung môn lý thuyết giải toán phong phú, hấp dẫn có nhiều ứng dụng thực tế Chính vậy, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: "Dưới vi phân hàm véctơ lồi ứng dụng." Ngoài phần mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương Giải tích lồi trình bày số khái niệm kết tài liệu [2] tính chất giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, tính chất liên tục, tính Lipschitz, hàm liên hợp, tính khả vi phân hàm lồi ứng dụng toán tối ưu lồi vô hướng Chương Dưới vi phân hàm véctơ lồi ứng dụng nội dung luận văn, trình bày mở rộng cho tính chất, kết hàm lồi vô hướng cho hàm véctơ lồi theo nón khái niệm nón, điểm hữu hiệu, tính liên tục theo nón, tính lồi, vi phân, hàm liên hợp, đặc trưng số ứng dụng vi phân vào toán tối ưu véctơ lồi Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học tự nhiên thuộc Đại học Quốc gia Hà Nội, hướng dẫn tận tình GS TSKH Lê Dũng Mưu Tôi muốn gửi tới Thầy lời biết ơn sâu sắc Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy, Cô cán bộ, nhân viên Viện Toán Học, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học cao học thực luận văn Hà Nội, ngày 26/08/2015 Tác giả luận văn Vũ Anh Tuấn Chương Cơ sở giải tích lồi Chương dành cho kiến thức giải tích lồi cần dùng cho toán tối ưu không trơn Khi muốn xét tồn nghiệm hay tìm thuật toán để giải toán tối ưu, ta phải trang bị cho tập ràng buộc hàm số cấu trúc đại số tôpô để mô tả tính chất đặc thù loại toán, từ tìm phương pháp giải Ta bắt đầu việc giới thiệu cấu trúc tập hợp Để khỏi phải nhắc lại nhiều lần, ta giới hạn trình bày số kiến thức giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân, Các kết lý thuyết, thuật toán, để giải toán (1) cho trường hợp không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Nhưng người đọc thấy trực quan, luận văn ta trình bày vấn đề không gian hữu hạn chiều 1.1 Tập lồi Ta kí hiệu R = R ∪ {±∞} tập số thực mở rộng, , tích vô hướng Rn Định nghĩa 1.1.1 Đường thẳng nối hai điểm (hai véctơ) a, b Rn tập tất véctơ x ∈ Rn có dạng x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = Đoạn thẳng nối hai điểm a b Rn tập {x ∈ Rn |x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1} Tương tự ta có kí hiệu [a, b) , (a, b], (a, b) Định nghĩa 1.1.2 Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức là, C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C Dưới số ví dụ tập lồi thường gặp Định nghĩa 1.1.3 Cho f ∈ Rn , α số thực cố định H = {x ∈ Rn : f, x = α} gọi siêu phẳng, H + = {x ∈ Rn : f, x ≥ α} gọi nửa không gian trên, H − = {x ∈ Rn : f, x ≤ α} gọi nửa không gian Ta dễ dàng thấy H, H + , H − tập lồi xác định f α Tiếp theo, ta nhắc lại số khái niêm liên quan đến tập lồi Định nghĩa 1.1.4 Cho A ⊂ Rn i) Bao lồi A, kí hiệu coA, giao tất tập lồi chứa A; ii) Bao lồi đóng tập A, kí hiệu, coA, giao tất tập lồi đóng chứa A Định nghĩa 1.1.5 Tập hợp C ⊂ Rn gọi nón có đỉnh gốc, tx ∈ C, với x ∈ C t ≥ Tập C ⊂ Rn gọi nón có đỉnh x0 , tập C − {x0 } nón có đỉnh gốc Định nghĩa 1.1.6 i) Nón C gọi nón nhọn, l(C) := C ∩ (−C) = {0} ii) Nón cực nón C định nghĩa tập C := {ξ ∈ L(Rn , R) : ξ(x) ≥ 0, ∀x ∈ C} Khái niệm nón cho ta quan hệ thứ tự không gian Rn Định nghĩa 1.1.7 Với nón lồi C cho trước, ta định nghĩa quan hệ thứ tự phần C Rn sau: x, y ∈ Rn , x C y, x − y ∈ C Nếu nhầm lẫn, ta viết đơn giản x Cho x, y ∈ Rn , ta kí hiệu x y y, x − y ∈ C \ lC x y, x − y ∈ intC Trong lý thuyết tối ưu ta thấy có kết liên quan tới việc tách tập lồi, chúng làm tảng cho điều kiện cần đủ để tồn nghiệm toán tối ưu có ràng buộc Sau đây, ta đưa số khái niệm liên quan tới tách tập lồi Định nghĩa 1.1.8 Cho tập A, B ⊂ Rn Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục f = tách A B, tồn số α cho f, y ≤ α ≤ f, x , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B (1.1) Nếu bất đẳng thức (1.1) thực sự, tức là, f, y < α < f, x , ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, ta nói f tách chặt A B Siêu phẳng H = {x ∈ Rn : f, x = α} gọi siêu phẳng tách A B Các tập A, B gọi tách Phần chứng minh kết sau tìm thấy [2] Định lí 1.1.9 (Định lí tách thứ nhất) Cho A B tập lồi Rn , A ∩ B = ∅ Khi đó, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f = 0, f ∈ Rn tách A B Hệ 1.1.10 Cho A, B tập lồi Rn Khi đó, A, B tách (intA) ∩ B = ∅ Định lí 1.1.11 Giả sử A tập lồi đóng không gian Rn x0 ∈ / A Khi đó, tồn f ∈ Rn , f = tách chặt A x0 Hệ sau suy trực tiếp Định lí 1.1.11 Hệ 1.1.12 Cho Rn không gian Hausdorff lồi địa phương A ⊂ X Ta có i) coA trùng với giao tất nửa không gian chứa A; ii) Nếu A tập lồi A đóng A đóng theo tôpô yếu Định lí 1.1.13 (Định lí tách thứ hai) Cho A, B hai tập lồi đóng khác rỗng cho A ∩ B = ∅ Giả sử có hai tập compact Khi đó, hai tập tách mạnh siêu phẳng 1.2 Hàm lồi Trong mục ta đưa số tính chất hàm số liên quan tới cấu trúc đại số cấu trúc tôpô Định nghĩa 1.2.1 Cho C ⊆ Rn tập lồi f : C → R ∪ {±∞} Ta kí hiệu domf := {x ∈ C|f (x) < ∞} Tập domf gọi miền hữu hiệu f Tập epif := {(x, µ) ∈ C × R|f (x) ≤ µ} gọi đồ thị hàm f Tập lev (f, α) = {x ∈ C : f (x) ≤ α} gọi tập mức f α ∈ R Định nghĩa 1.2.2 1) Hàm f gọi hàm lồi, epif tập lồi không gian tích C × R; 2) Hàm f gọi hàm thường domf = ∅ f (x) > −∞, với x ∈ C Trong luận văn, để khỏi phải nhắc lại nhiều lần, ta giả thiết hàm lồi thường Mệnh đề 1.2.3 ([2]) Hàm f : C → R xác định tập lồi C ⊆ Rn gọi Hàm lồi ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ); Hàm lồi chặt, ∀x1 , x2 ∈ Rn , ∀λ ∈ (0, 1) ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ); Hàm lồi mạnh, với hệ số β > ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1), ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) − λ (1 − λ) β x1 − x2 ; Hàm lõm (lõm chặt), −f hàm lồi (lồi chặt); Hàm f lồi, lev (f + g, α) tập lồi ∀g ∈ R, (f + g) (x) = f (x) + g (x) Chú ý 1.2.4 1) Nếu f hàm lồi domf tập lồi; 2) Nếu f hàm lồi {x : f (x) < α} , {x : f (x) ≤ α} tập lồi ∀α ∈ [−∞, +∞] 1.2.1 Tính liên tục Tính chất lồi hàm kéo theo nhiều tính chất tôpô quan trọng, định nghĩa hàm lồi ta không đòi hỏi cách trực tiếp đến tính chất tôpô Trước hết, ta nhắc lại hàm f : D ⊂ Rn → R gọi nửa liên tục điểm x ∈ D, với dãy {xk } ⊂ D, xk → x ta có lim inf f(xk ) ≥ f (x) Hàm f gọi nửa liên tục điểm x ∈ D −f nửa liên tục x Hay với dãy {xk } ⊂ D, xk → x ta có lim sup f(xk ) ≤ f (x) Hàm f gọi nửa liên tục x vừa nửa liên tục nửa liên tục x Hàm f gọi nửa liên tục dưới, nửa liên tục điểm thuộc D Tương tự, ta nói với hàm nửa liên tục hàm liên tục Các kết sau tìm thấy chứng minh tài liệu [2] Định nghĩa 1.2.5 i) Bao đóng hàm f hàm, kí hiệu clf, có đồ thị epi cl f = epif ; ii) Bao lồi đóng hàm f hàm, kí hiệu cof, có đồ thị epi(cof ) = coepif ; iii) Hàm f gọi đóng epif tập đóng Rn × R Chú ý 1.2.6 Các khẳng định sau i) Hàm f lồi clf lồi; có nghiệm dựa thông tin tập vi phân ma trận Hessian Trước hết, ta nhắc lại khái niệm loại nghiệm toán tối ưu Xét hàm f : D ⊂ Rn → R, ta có Định nghĩa 2.0.1 a) Ta nói x0 ∈ D điểm (nghiệm) cực tiểu (cực tiểu chặt) f D f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ D (f (x0 ) < f (x), ∀x ∈ D, x = x0 ); b) x0 ∈ D gọi điểm cực tiểu địa phương, tồn lân cận chứa x0 để bất đẳng thức thoả mãn với x ∈ U ∩ D; c) f (x0 ) gọi giá trị tối ưu toán Nhiều ta sử dụng kí hiệu f (x0 ) = f (x) x∈D (P) chung cho loại tối ưu Bài toán tìm cực đại hàm tập cho trước có phát biểu cách tương tự Nhưng để ý f (x) = −max (−f (x)) , x∈D x∈D ta suy toán tìm cực đại quy toán tìm cực tiểu Do đó, lý thuyết tối ưu, nói chung, ta cần xây dựng lý thuyết giải cho hai toán: cực tiểu cực đại Trong phần này, ta quan tâm tới toán tìm cực tiểu Chú thích Nếu x0 ∈ D cực tiểu f D x0 gọi điểm cực tiểu toàn cục f D Khi toán (P ) gọi toán tối ưu toàn cục Trái lại, toán (P ) gọi toán tối ưu địa phương Những mệnh đề định lí sau cho ta điều kiện tổng quát tồn nghiệm tối ưu toán dạng (Xem chứng minh [2]) Mệnh đề 2.0.2 Điều kiện cần đủ để tồn nghiệm cực tiểu hàm f tập hợp f (D)+ = {t ∈ R|f (x) ≤ t, x ∈ D}, 23 đóng có cận hữu hạn Định lí 2.0.3 Cho D tập compact khác rỗng Khi đó, f nửa liên tục D f đạt cực tiểu D Cho hàm f : D → R Bài toán f (x), (P) x∈D gọi toán tối ưu không ràng buộc Cho hàm h1 , h2 , , hk : D → R, g1 , g2 , , gk : D → R Bài toán f (x0 ) = f (x), x∈D0 (CP) với D0 = {x ∈ D | gi (x) ≤ 0, hj (x) = 0, ∀i = 1, m, j = 1, k}, gọi toán tối ưu có ràng buộc Tập D0 gọi tập chấp nhận Định nghĩa 2.0.4 Điểm x0 ∈ D gọi nghiệm tối ưu toán (CP ) cực tiểu hàm f tập chấp nhận D0 Khi đó, f (x0 ) gọi giá trị tối ưu toán Định lí 2.0.5 Cho D tập compact không gian Rn , f, g1 , , gm hàm nửa liên tục h1 , , hk hàm liên tục D Khi đó, toán (CP ) có nghiệm D = ∅ Định lí 2.0.6 Một hàm f (x) nửa liên tục tập compact C ⊆ Rn đạt cực tiểu tập Chứng minh Ta nhắc lại rằng, hàm số f : C ⊆ Rn → R nửa liên tục x ∈ C f (x) ≤ lim f (y) y→x Ta đặt α = inf {f (x) : x ∈ C} Ta suy tồn dãy {xk } ⊆ C cho lim f (xk ) = α x→+∞ Do C compact nên dãy {xk } có dãy hội tụ Không tính tổng quát, ta giả sử xkn → x ∈ C Theo định nghĩa nửa liên tục dưới, α ≥ f (x) Vì f (x) ∈ R nên 24 α > −∞ Mặt khác, x ∈ C nên α ≤ f (x) Vậy, ta có α = f (x) Chú ý rằng, C đóng mà không compact dù f nửa liên tục C không đạt cực tiểu C Khi đó, f phải thoả mãn điều kiện sau Định lí 2.0.7 Một hàm f nửa liên tục tập đóng C = ∅, thoả mãn điều kiện C, nghĩa f (x) → +∞ x ∈ C, x → +∞ f phải có cực tiểu C Chứng minh Lấy a ∈ C, f (a) < +∞ Tập D = {x ∈ C|f (x) ≤ f (a)} ⊂ C tập đóng Ta tập D tập compact Thật vậy, ta D tập bị chặn Giả sử ngược lại, D tập bị chặn có dãy {xk } ⊂ C, với f {xk } ≤ f (a) x → +∞ Do điều kiện bức, nên f {xk } → +∞ (mâu thuẫn) Vậy D bị chặn Từ ta có D compact Nên f đạt cực tiểu D Cực tiểu cực tiểu C Định lí 2.0.8 Cho f : Rn → R ∪ {+∞} hàm lồi Khi đó, điểm cực tiểu địa phương f tập lồi cực tiểu toàn cục Hơn tập điểm cực tiểu tập lồi Nếu f lồi chặt, điểm cực tiểu (nếu có) Chứng minh Cho tập lồi C ⊂ Rn Gọi x∗ điểm cực tiểu địa phương f C Khi đó, tồn lân cận U x∗ cho f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ U ∩ C Suy xλ = (1 − λ)x∗ + λx ∈ U ∩ C, (∀x ∈ C, λ ∈ (0, 1)) Ta có f (x∗ ) ≤ f (xλ ) ≤ (1 − λ)f (x∗ ) + λf (x) ≤ f (x) Vậy, x∗ cực tiểu toàn cục Nếu x∗ , y ∗ cực tiểu toàn cục f (x∗ ) ≤ f (y ∗ ), f (y ∗ ) ≤ f (x∗ ) Do đó, f (x∗ ) = f (y ∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ C 25 Lấy z ∗ = λx∗ + (1 − λ)y ∗ Do C tập lồi nên f (z ∗ ) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (x) = f (x), ∀x ∈ C Vậy, z ∗ điểm cực tiểu toàn cục Như vậy, tập điểm cực tiểu f C tập lồi Dễ thấy, f lồi chặt điểm cực tiểu (nếu có) Tiếp theo ta xét số toán cực trị để thấy rõ điều kiện để có cực tiểu hàm lồi f 2.1 Bài toán lồi ràng buộc Cho f hàm lồi Rn Bài toán tối ưu không ràng buộc toán M inf (x), (P1) Định lí 2.1.1 x∗ nghiệm toán (P1) ∈ ∂f (x∗ ) Chứng minh x∗ nghiệm (P1) ∀x ∈ X, ta có f (x∗ ) ≤ f (x) ⇔ f (x) − f (x∗ ) ≥ ⇔ = 0, x − x∗ ≤ f (x) − f (x∗ ) ⇔ ∈ ∂f (x∗ ) Vậy ta có điều cần chứng minh 2.2 Bài toán lồi có ràng buộc đẳng thức Cho f hàm lồi Rn , C đa tạp tuyến tính song song với không gian M Rn Xét toán M in{f (x) : x ∈ C}, (P2) Định lí 2.2.1 Nếu f liên tục điểm C, x∗ ∈ C nghiệm toán (P2) ∂f (x∗ ) ∩ M ⊥ = ∅ 26 Chứng minh Ta có M ⊥ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = 0, ∀x ∈ M } ⇒) Xét L (x) = f (x) + δ (x/C) L(x) lồi trên Rn Với x ∈ C L(x) = f (x) Nếu x∗ nghiệm (P2) x∗ ∈ C, f (x∗ ) ≤ f (x) Suy L(x∗ ) ≤ L(x), ∀x ∈ Rn Vậy x∗ nghiệm toán M in{L(x)} Theo Định lí 2.1.1 ∈ ∂L(x∗ ) Do f liên tục, áp dụng Định lí Moreau - Rockerfellar ta ∈ ∂L(x∗ ) = ∂f (x∗ ) + ∂δ(x∗ /C) Mà ∂δ(x∗ /C) = N (x∗ /C) = M ⊥ Vì vậy, ∈ ∂f (x∗ ) ∩ M ⊥ ⇐) Giả sử x∗ ∈ C thoả mãn: ∂f (x∗ ) ∩ M ⊥ = ∅ Khi đó, ∃x ∈ ∂f (x∗ ) ∩ M ⊥ Vì x ∈ ∂f (x∗ ) nên x; x − x∗ ≤ f (x) − f (x∗ ) Với x ∈ M ⊥ , mà với x ∈ C x − x∗ ∈ M, nên x; x − x∗ = Ta suy f (x) − f (x∗ ) ≥ ⇔ f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ C Hay x∗ nghiệm (P2) Định lí 2.2.2 Cho Rn không gian Banach, x∗i ∈ Rn , ∈ R (i = 1, , m) C = {x ∈ Rn : x∗i , x = , i = 1, , m}, giả sử f hàm lồi Rn liên tục điểm M Khi đó, x đạt cực tiểu hàm f C tồn λi ∈ R, (i = 1, , m) cho λ1 x∗1 , λ2 x∗2 , , λm x∗m ∈ ∂f (x) Bổ đề 2.2.3 Cho Rn không gian Banach, x∗i ∈ Rn , (i = 1, , m) Đặt M = {x ∈ X : x∗i , x = 0, i = 1, , m} 27 Khi đó, M ⊥ = lin{x∗1 , , x∗m } Chứng minh Định lí 2.2.2 Đa tạp tuyến tính C song song với không gian M = {x ∈ X : x∗i , x = 0, i = 1, , m} Từ định lí trên, ta suy x đạt cực tiểu hàm f C tồn x∗ ∈ ∂f (x) ∩ M ⊥ Theo Bổ đề 2.2.3, ta có x∗ ∈ M ⊥ = lim{x∗1 , , x∗m } Do vậy, tồn số λ1 , , λm cho λ1 x∗1 + + λm x∗m ∈ ∂f (x) Vậy ta có điều phải chứng minh 2.3 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức Cho f0 , , fm hàm hữu hạn Rn , tập A ⊂ Rn Xét toán f0 (x), fi (x) ≤ 0, (i = 1, , m), (P3) x ∈ A Hàm số sau gọi hàm Lagrange toán (P3): m L(x, λ0 , , λm ) = λi fi (x) i=0 Định lí 2.3.1 (Karush - Kuhn - Tucker) Giả sử hàm f0 , , fm tập A lồi, x điểm chấp nhận toán (P3) Khi đó, x nghiệm toán (P3), tồn nhân tử Lagrange λi ≥ (i = 1, , m) không đồng thời không 28 cho L(x; λ0 , , λm ) = L(x, λ0 , , λm ) x∈A (Điều kiện Karush - Kuhn - Tucker) Hơn nữa, điều kiện Slater sau thoả mãn: ∃ x0 ∈ A : fi (x0 ) < 0, (i = 1, , m) λ0 > xem λ0 = Định lí 2.3.2 Giả sử hàm f0 , , fm tập A lồi, f0 , , fm liên tục điểm A x điểm chấp nhận toán (P3) Khi đó: a) Nếu x nghiệm toán (P3) tồn nhân tử Lagrange không đồng thời 0: λi ≥ 0(i = 1, , m), cho ∈ λ0 ∂f0 (x) + + λm ∂fm (x) + N (x/A), (2.1) λi fi (x) = 0, (i = 1, , m) (2.2) Hơn nữa, Nếu điều kiện Slatter λ0 = xem λ0 = b) Nếu giả thiết a) thoả mãn với λ0 = x nghiệm toán (P3) Chứng minh a) Xét hàm Lagrange (P3) m L1 (x, λ0 , , λm ) = λi f (xi ) + δ(x/A) i=1 Do x nghiệm (P3), ta thu điều kiện cần ∈ λ0 ∂f0 (x) + + λm ∂fm (x) + N (x/A), λi fi (x) = 0, (i = 1, , m) (Định lí Karush - Kuhn - Tucker) Vì thế, hàm L1 (.; λ0 , , λm ) đạt cực tiểu x Từ suy ∈ ∂L1 (x; λ0 , , λm ) 29 Vì ∈ ∂δ(x/A) = N (x/A), theo Định lí Moreau - Rockafellar, ta có ∈ λ0 ∂f0 (x) + + λm ∂fm (x) + N (x/A) b) Giả sử (2.1) (2.2) thoả mãn với λ0 = Khi đó, tồn x∗i ∈ ∂fi (x), (i = 1, , m) x∗m+1 ∈ N (x/A) cho m+1 x∗0 λi x∗i = + i=1 Từ suy m+1 0= x∗0 + m λi x∗i , x − x ≤ f0 (x) − f0 (x) + i=1 λi (fi (x) − fi (x)) i=1 Hay m m λi fi (x) ≥ f0 (x) + f0 (x) + i=1 λi fi (x) i=1 Từ Định lí Karush - Kuhn - Tucker, x nghiệm (P3) Vậy, ta có điều phải chứng minh 2.4 Bài toán trơn - lồi Giả sử Rn , Rm không gian Banach, W tập bất kì, hàm f0 , f1 , , fm xác định Rn × W ánh xạ F : Rn × W → Rm Xét toán minf0 (x, u), F (x, u) = 0, fi (x, u) ≤ 0, (i = 1, , m) (P4) Tập chấp nhận toán (P4) Q = {(x, u) ∈ Rn × W : F (x, u) = 0; fi (x, u) ≤ 0, i = 1, , m} Định nghĩa 2.4.1 ([2]) Cặp (x, u) ∈ Q gọi cực tiểu địa phương toán 30 (P4) tồn lân cận U x cho f0 (x, u) ≤ f (x, u), ∀(x, u) ∈ Rn × W Hàm Lagrange toán (P4) thiết lập sau: m ∗ λi fi (x, u) + y ∗ , F (x, u) L(x, u, λ0 , , λm , y ) = i=0 Trong đó, λi ∈ R, (i = 1, , m), y ∗ ∈ Rm Định lí 2.4.2 (Nguyên lý cực trị) Giả sử (x, u) cực tiểu địa phương toán (P4) Khi đó, Tồn lân cận U x Rn cho a Với u ∈ W , ánh xạ F (., u) hàm fi (., u), (i = 1, , m) khả vi liên tục theo nghĩa Fréchet x b Với u ∈ U, ánh xạ F (., u) hàm fi (., u), (i = 1, , m) thoả mãn điều kiện lồi sau: ∀u1 , u2 ∈ U α ∈ [0, 1] cho F (x, u) = αF (x1 , u) + (1 − α)F (x2 , u), fi (x, u)α ≤ αfi (x1 , u) + (1 − α)fi (x2 , u), (i = 1, , m) c Ánh xạ Fx (x, u) : Rn → Rm có đối chiều hữu hạn: codimFx (x, u) < +∞ Khi đó, tồn nhân tử Lagrange λ0 ≥ 0, , λm ≥ y ∗ ∈ Rn không đồng thời cho m ∗ λi f ix (x, u) + Fx∗ (x, u)y ∗ = 0, Fx (x, u, λ0 , , λm , y ) = i=0 L(x, u, λ0 , , λm , y ∗ ) = Min L(x, u, λ0 , , λm , y ∗ ), u∈W λi fi (x, u) = 0, (i = 1, , m) Hơn nữa, tập: F x (¯ x, u¯)Rn + F (¯ x, W ) = {F x (¯ x, u¯) + F (¯ x, u) : (x, u) ∈ Rn × W } 31 ∧ ∧ chứa lân cận Rm tồn x, u cho ∧ ∧ F x (¯ x, u¯) x +F (¯ x, x) = 0, ∧ ∧ fix (¯ x, u¯), x + fi x¯, u < với i mà fi (¯ x, u¯) = 0, λ0 = xem λ0 = Bây giờ, ta xét toán minf (x0 ), fi (x, u) ≤ 0, (i = 1, , m), (P5) hj (x, u) = 0, (j = 1, , n), G(x, u) = Trong đó, hàm f0 , f1 , , fm xác định Rn × Rm ; h1 , , hm hàm thực xác định Rn × Rm ; G : Rn × Rm → Rk với Rk không gian Banach Hàm Lagrange toán (P5) có dạng m L(x, u, λ0 , , λm , µ1 , , µn , y ∗ ) = n µj hj (x, u) + y ∗ , G(x, u) λi fi (x, u) + i=0 j=0 Trong đó, λi ∈ R, µj ∈ R, (i = 1, , m; j = 1, , n); y ∗ ∈ Rk Hệ 2.4.3 Giả sử (x, u) cực tiểu địa phương toán (P5) Tồn lân cận U x Rn cho a Với u ∈ Rm , ánh xạ G(., u) hàm fi (x, ), hj (x, ), (i = 1, , m; j = 1, , n) khả vi liên tục theo nghĩa Fréchet x b Với u ∈ Rm , ánh xạ G(., u) hàm fi (., u), hj (., u), (i = 1, , m; j = 1, , n) thoả mãn điều kiện lồi sau: ∀u1 , u2 ∈ Rm α ∈ [0, 1] cho G (x, u) = αG (x, u) + (1 − α) G (x, u) , fi (x, u) ≤ αfi (x, u) + (1 − α) fi (x, u) , (i = 1, , m) , hj (x, u) ≤ αhj (x, u) + (1 − α) hj (x, u) , (j = 1, , n) 32 c Gx (x, u) : Rn → Rk ánh xạ lên ImGx (x, u) = Rk Khi đó, tồn nhân tử Lagrange λi > 0, (i = 1, , m), µj ∈ R, (j = 1, , n), y ∗ ∈ Rk không đồng thời cho m n L x (¯ x, u¯, λ0 , , λm , µ1 , , µn , y ∗ ) = x, u¯) + λi fix (¯ i=1 x, u¯) µj hjx (¯ j=1 +Gx∗ (x, u)y ∗ = 0, L x (¯ x, u¯, λ0 , , λm , µ1 , , µn , y ∗ ), L x (¯ x, u¯, λ0 , , λm , µ1 , , µn , y ∗ ) = M in m u∈R λi fi (¯ x, u¯) = , (i = 1, , m) Cuối cùng, ta xét toán minf0 (x), F (x) = 0, (P6) fi (x) ≤ 0, (i = 1, , m) , x ∈ A Trong đó, F : Rn → Rm ; f0 , , fm hàm xác định Rn , tập A ⊂ Rn Định lí 2.4.4 Giả sử x nghiệm toán (P6) với A = Rm Giả thiết rằng: a) Ánh xạ F hàm f0 , , fm khả vi liên tục theo định nghĩa Fréchet x b) CodimImF (x) < +∞ Khi đó, tồn nhân tử Lagrange λ0 ≥ 0, , λm ≥ 0, y ∗ ∈ Rm không đồng thời cho m ∗ λi fix (¯ x) + F ∗ (¯ x) y ∗ = L x (¯ x, λ0 , , λm , y ) = i=0 λi fi (¯ x) = , (i = 1, , m) ∧ Hơn nữa, F (¯ x) ánh xạ lên ImF (¯ x) = Rm tồn x ∈ Rn cho ∧ ∧ F (¯ x) x = 0, fi (¯ x) x < với số i mà fi (¯ x) = 0, λ0 = xem λ0 = 33 Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lí (2.4.2) Định lí 2.4.5 Giả thiết x¯ nghiệm toán (P6), a) f0 , , fm hàm lồi Rn ; b) F ánh xạ affine, tức là, F (x) = ∧x + y0 Trong đó, ∧ ma trận n × m, y0 ∈ Rm ; c) A tập lồi Khi đó, tồn nhân tử Lagrange λ0 ≥ 0, , λm ≥ 0, y ∗ ∈ Rm cho m x) + y ∗ , F (¯ x) λi fi (¯ ∗ L(¯ x, λ0 , , λm , y ) = i=1 = M in L(x, λ0 , , λm , y ∗ ), x∈A λi fi (¯ x) = 0, (i = 1, , m) Hơn nữa, điều kiện Slater sau thoả mãn: F (A) chứa lân cận ∧ Rm , tồn x ∈ A cho ∧ ∧ F (x) = 0, fi (x) < 0, (i = 1, , m), λ0 = xem λ0 = Ngược lại, giả sử x¯ điểm chấp nhận toán (P6), điều kiện a., b điều kiện Slater thoả mãn Khi đó, x¯ nghiệm toán (P6) Chứng minh a) Điều kiện cần Áp dụng nguyên lý cực trị cho toán lồi (P6) ta có điều cần chứng minh b) Điều kiện đủ Lấy x chấp nhận (P6), tức F (x) = 0, fi (x) ≤ 0, (i = 1, , m), x ∈ A Khi đó, ta có ∀x ∈ A, m λi fi (¯ x) + y ∗ , F (¯ x) f0 (¯ x) = f0 (¯ x) + i=1 m λi fi (¯ x) + y ∗ , F (¯ x) ≤ f0 (x) + i=1 ≤ f0 (x) 34 Vậy, x¯ nghiệm toán (P6) 35 Kết luận Bài toán tối ưu có vai trò quan trọng thực tiễn, đặc biệt ứng dụng vào lĩnh vực liên quan tới ngân hàng, giao thông, công nghệ thông tin, Đạo hàm, vi phân hàm lồi, cho phép ta xây dựng thuật toán để tìm nghiệm toán Vì thế, việc nghiên cứu vi phân hàm lồi vô hướng, hàm lôi véctơ ứng dụng chúng cần thiết Mục đích luận văn tổng kết kết quan trọng Giải tích lồi Giải tích lồi véctơ để thấy khả ứng dụng chúng lý thuyết tối ưu Cụ thể luận văn đề cập đến vấn đề sau: Nhắc lại số kiến thức giải tích lồi Giới thiệu vi phân đặc trưng hàm lồi trường hợp vô hướng Nghiên cứu vi phân hàm véctơ lồi số tính chất tính liên tục, hàm liên hợp hàm véctơ lồi đặc trưng hàm véctơ lồi Trên sở lý thuyết vi phân đưa số ứng dụng vi phân vào toán tối ưu véctơ lồi 36 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2012), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] D T Luc, N.X.Tan and P.N.Tinh (1998), “Convex vector functions and their subdifferential”, Acta Mathematica VietNamMica, 23(1), 107-127 [4] D T Luc (1998) “Generalized convexity and some applications to vector optimization”, Viet J Math, 26, 95-110 [5] D T Luc (1989), “Theory of vector optimization”, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems,(319), Springer, Berlin, 1-175 [6] N Papageorgiou (1987), “Nonsmooth analysis on partially ordered vector spaces : Part 1- convex case”, Pacific Journ of Math, 107(2), 403 - 458 [7] R T Rockafellar (1970), “Convex Analysis”, Princeton Univ Press, Princeton, New Jersey [8] T Tanino (1992), “Conjugate duality in vector optimization”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 167, 84-67 [9] P N Tinh and D S Kim (2013), “On generalized Fenchel- Moreau theorem and second-order characterization for convex vector functions”, Fixed Point Theory and Applications, 328, 1-12 [10] P N Tinh and N X Tan (2000), “On conjugate maps and directional derivatives os convex vecter functions”, Acta Math Viet.,25, 315-345 37 [...]... 1.3.2, f ∗ là hàm lồi đóng nên theo Định lí 1.3.8 thì (f ∗ )∗∗ = f ∗ Vậy ta có f ∗ = (cof )∗ 1.4 Dưới vi phân Tính khả vi phân của hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong các bài toán tối ưu, trong ¯ |f (x)| < +∞ các phương pháp tối ưu Cho D ⊂ Rn , f : D → R, Ta biết rằng trong trường hợp f khả vi tại x0 ∈ domf, thì tại lân cận của x0 , f được xấp xỉ một cách khá tốt bởi đạo hàm của nó Hàm lồi, nói chung... cần tối ưu Vậy muốn tìm nghiệm tối ưu của bài toán này, ta chỉ cần tìm trên tập con của miền ràng buộc mà trên đó đạo hàm của hàm số triệt tiêu Tại những điểm này mà ta sử dụng những điều kiện liên quan tới đạo hàm bậc nhất để suy ra hàm đạt giá trị tối ưu thì những điều kiện đó được gọi là điều kiện đủ tối ưu cấp một Tiếp theo, nếu hàm số có đạo hàm bậc hai và tại những điểm của tập con này, đạo hàm. .. chặt (hoặc âm chặt) thì điểm ấy chính là nghiệm tối ưu của bài toán Điều kiện này được gọi là điều kiện đủ tối ưu cấp hai Mục đích của phần này là tìm các điều kiện cần và đủ để bài toán tối ưu không trơn 22 có nghiệm dựa trên các thông tin về các tập dưới vi phân và ma trận Hessian Trước hết, ta nhắc lại khái niệm về các loại nghiệm của bài toán tối ưu Xét hàm f : D ⊂ Rn → R, ta có Định nghĩa 2.0.1 a)... được gọi là nghiệm tối ưu của bài toán (CP ) nếu nó là cực tiểu của hàm f trên tập chấp nhận được D0 Khi đó, f (x0 ) được gọi là giá trị tối ưu của bài toán Định lí 2.0.5 Cho D là tập compact trong không gian Rn , f, g1 , , gm là các hàm nửa liên tục dưới và h1 , , hk là các hàm liên tục trong D Khi đó, bài toán (CP ) có nghiệm nếu D = ∅ Định lí 2.0.6 Một hàm f (x) nửa liên tục dưới trên một tập compact... trên của ánh xạ dưới vi phân Mệnh đề 1.5.9 Cho f là một hàm lồi trên Rn Khi đó, ánh xạ dưới vi phân x → ∂f (x) nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ (domf ) Chứng minh Ta có f lồi nên nó hữu hạn trên tập int(domf ) Áp dụng Mệnh đề (1.5.8), với U là một lân cận đủ nhỏ của x ∈ (domf ) và fi ≡ f, ∀i, ta suy ra ánh xạ dưới vi phân nửa liên tục trên tại điểm x Tiếp theo ta có một số kết quả sau, phần chứng... Rn → R là hàm lồi, với mỗi x ∈ C ta định nghĩa được dưới vi phân ∂f (x) và gọi tập này là Hessian suy rộng của f tại x Nhiều người khác cũng đưa ra khái niệm Hessian tổng quát cho hàm Lipschitz địa phương như Clarke, Hiriart-Urruty, Strodiot và Hiền Qua đó, cũng đã đưa ra khái niệm Hessian suy rộng cho những hàm Lipschitz địa phương 21 Chương 2 Ứng dụng trọng tối ưu hóa 2.0.1 Đặt bài toán Trong thực... : D → R là hàm lồi liên tục tại x0 thuộc tập lồi mở D Khi đó, f Lipschitz địa phương trên D 1.3 Hàm liên hợp Hàm liên hợp có một vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu, đặc biệt là trong lý thuyết đối ngẫu Trong phần này, trước hết chúng ta sẽ giới thiệu định nghĩa và đưa ra ví dụ minh họa cho hàm liên hợp Tiếp đến sẽ khảo sát một số tính chất và quy tắc cơ bản cho vi c tính toán với hàm liên hợp... tối ưu toàn cục Trái lại, bài toán (P ) được gọi là bài toán tối ưu địa phương Những mệnh đề và định lí sau đây cho ta những điều kiện tổng quát nhất về sự tồn tại nghiệm tối ưu của các bài toán dạng trên (Xem chứng minh trong [2]) Mệnh đề 2.0.2 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm cực tiểu của hàm f là tập hợp f (D)+ = {t ∈ R|f (x) ≤ t, x ∈ D}, 23 đóng và có một cận dưới hữu hạn Định lí 2.0.3 Cho... cho tương ứng hàm cho trước với một hàm lồi như sau: Định nghĩa 1.3.1 Phép biến đổi Young - Fenchel của hàm f hay hàm liên hợp với f được xác định trên Rn f ∗ (x∗ ) = sup { x∗ , x − f (x)} (1.2) x∈X Mệnh đề 1.3.2 f ∗ là hàm lồi đóng Chứng minh Với x cố định, hàm g (x∗ ) := x∗ , x − f (x) là hàm tuyến tính trên Rn Do đó, g (x∗ ) lồi đóng Trên đồ thị của f ∗ (x∗ ) là giao của trên đồ thị các hàm g (x∗... hai đối tượng ấy Ví dụ, trong giải tích cổ điển, Định lí Weierstrass khẳng định rằng một hàm liên tục trên một tập compact hay mở rộng là một hàm nửa liên tục dưới trên (dưới) một tập compact khác rỗng bao giờ cũng đạt trên tập compact giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) Đối với bài toán tối ưu trơn, nếu một điểm nào đó thuộc phần trong của miền nghiệm tối ưu thì đạo hàm của hàm số tại điểm ấy phải