dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng trong tối ưu hóa

1 Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên VŨ ANH TUẤN DƢỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƢU HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 2 Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên VŨ ANH TUẤN DƢỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƢU HÓA Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH.LÊ DŨNG MƢU Hà Nội - 2012 3 Mục lục Lời nói đầu 2 Chƣơng I Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi 4 I. 1. Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 I.1.1. Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 I.1.2. Nón lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.1.3. Tập Affine và bao Affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 I.1.4. Điểm trong tương đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 I.3. Các phép toán về hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Chƣơng II Dƣới vi phân của hàm lồi 23 II.1. Đạo hàm theo phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 II.2. Dưới vi phân của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II.3. Các định lý cơ bản về dưới vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 II.4. Dưới vi phân của hàm lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chƣơng II Ứng dụng dƣới vi phân vào bài toán tối ƣu 37 III.1. Định nghĩa bài toán tối ưu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 III.2. Bài toán lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 III.3. Bài toán trơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 III.4. Bài toán trơn - lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 4 Lời nói đầu Giải tích lồi là bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi, hàm lồi và những vấn đề liên quan. Bộ môn này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặc biệt là trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng… Một trong những ứng dụng quan trọng của giải tích lồi là trong tối ưu hóa. Lý thuyết tối ưu đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu: quy hoạch tuyến tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, kinh tế toán,… trong đó, giả thiết về tính lồi của hàm không thể thiếu trong nhiều định lý về sự tồn tại nghiệm. Vì vậy, tìm hiểu về hàm lồi, tìm hiểu về ứng dụng của hàm lồi trong tối ưu hóa là thực sự cần thiết và hữu ích. Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu, sắp xếp lại một cách chi tiết các khái niệm cùng những tính chất liên quan đến hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi và các bài toán ứng dụng dưới vi phân trong tối ưu hóa. Với những công việc đó, bản luận văn gồm 3 chương: Chƣơng I “Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi” giới thiệu về tập lồi, hàm lồi và những tính chất liên quan. Bên cạnh đó là những khái niệm: tập affine, nón, điểm trong tương đối,… Chƣơng II “Dƣới vi phân của hàm lồi” đề cập tới khái niệm đạo hàm theo phương, điều kiện khả dưới vi phân của hàm lồi cùng các tính chất cơ bản của dưới vi phân. Chƣơng III “Ứng dụng dƣới vi phân vào bài toán tối ƣu” trình bày khái niệm tổng quát về bài toán tối ưu và điều kiện tồn tại nghiệm. Trọng tâm của chương là 8 bài toán tối ưu mà tác giả kí hiệu từ (P1)-(P8). 5 Do thời gian và trình độ còn hạn chế, bản luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn, chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH. Lê Dũng Mưu đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Hà nội, ngày 01 tháng 06 năm 2012 Tác giả Vũ Anh Tuấn 6 CHƢƠNG I Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi Trong chương này, tác giả trình bày những khái niệm cơ bản của giải tích lồi cùng những tính chất quan trọng như tập lồi, tập affine, điểm trong tương đối, hàm lồi… I.1. Tập lồi Tập lồi là một khái niệm cơ bản không chỉ trong giải tích lồi mà ở trong toán học nói chung. Những tập quen thuộc mà chúng ta biết đến như không gian con, siêu phẳng, đoạn thẳng…đều là tập lồi. Trong phần này, tác giả trình bày định nghĩa, tính chất của tập lồi nói chung và một số tập lồi đặc biệt. I.1.1. Tập lồi Cho X là không gian tuyến tính tô pô Haussdoff. Định nghĩa I.1[2]. Với 12 ,xx  X, đoạn   12 ,xx được định nghĩa   12 ,xx : ={   12 : (1 ) , 0,1x X x x x         }. Định nghĩa I.2[2]. Tập AX gọi là tập lồi nếu   1 2 1 2 , , 0,1 (1 )x x A x x x A             . Nhận xét. Nếu   1 2 1 2 ,,x x A x x A    thì A là tập lồi. Ví dụ 1 a- Trong 2  , Tập     2 0,1 : 1B x x     là tập lồi. 7 Thật vậy, lấy   , 0,1 1x y B x   , 1y  , với   0,1   ta có:   (1 ) 1x y x y               11        (1 ) 0,1x y B        0,1B là tập lồi. b- Tập     2 , : ; , ,A x y ax by c a b c     là tập lồi. Mệnh đề I.1. Giả sử ,( )A X I    là các tập lồi với I là tập chỉ số. Khi đó, tập I AA     cũng là một tập lồi. Chứng minh Lấy 1 2 1 2 ,,x x A x x A       12 ,x x A   ( Do A  lồi) , I   Từ đó suy ra   12 , I x x A        12 ,x x A . Vậy, A là tập lồi. Mệnh đề I.2. Cho i AX là các tập lồi; i   , 1,in . Khi đó, tập 1 n ii i AA     cũng là một tập lồi. Chứng minh Lấy Ayx , : 11 , nn i i i i ii x a y b     với   , 1, i i i a b A i n . Khi đó,   0,1   , ta có:     1 11 n i i i i x y a b               , Do i A lồi nên   1 1 n ii i x y A A          , Vậy A là một tập lồi. 8 Mệnh đề I.3. Cho i X là các không gian tuyến tính. i A  i X là các tập lồi (i= 1, n ). Khi đó, tập A= 12 n A A A   là một tập lồi trong 12 n X X X   . Chứng minh Lấy     1 2 1 2 , : , , , , , nn x y A x a a a y b b b   , ( , ) i i i a b A . Vì i A lồi nên   1 i i i a b A       0,1   . Suy ra         11 1 1 , , 1 nn x y a b a b              A Vậy, A là tập lồi trong 12 n X X X   Tóm lại: Lớp các tập lồi là đóng với phép lấy giao,cộng đại số và tích đề các. Định nghĩa I.3[2]. Véc tơ xX gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ: 12 , , n x x x nếu : 11 0,( 1, ), 1: nn i i i i ii i n x x           Mệnh đề I.4. Tập AX là tập lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó. Tức là: A lồi khi và chỉ khi 1 2 1 2 1 , , , , 0: 1, , , k k i k i k x x x A               1 k ii i xA     . Chứng minh Nếu A chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm của nó thì 12 ,x x A     12 1 , 0,1x x A          , A lồi. Giả sử A lồi. Ta chứng minh bằng quy nạp *k=2: 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 , 0: 1, ,x x A x x A                (do A lồi) *Giả sử kết luận đúng với k điểm.Tức là: 1 2 1 2 1 , , , , 0: 1, , , k k i k i k x x x A               1 k ii i xA     *Ta chứng minh kết luận đúng với k+1 điểm. 9 Tức là,   1 1 2 1 1 0 1, 1 : 1, , , k i i k i i k x x x A             , thì 1 1 k ii i x x A      . Không mất tổng quát, ta giả sử 1 1 k    , ta có 1 1 10 k ik i        1 1 1 1 k i i k        . Theo giả thiết quy nạp, 1 1 1 k i i i k y x A        . Do A lồi   1 1 1 1 k k k y x A         xA . Vậy A là tập lồi. Nhận xét . Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính, :f X Y là ánh xạ tuyến tính. Tập XA  là tập lồi. Khi đó f (A) cũng là tập lồi. Thật vậy, lấy 1 2 1 2 , ( ) ,y y f A x x A    sao cho: 1 1 2 2 ( ), ( )y f x y f x           1 2 1 2 0,1 : 1 1y y f x f x                   12 1f x x f A      . (Do   12 1xx   A ) Vậy,   fA là tập lồi. Định nghĩa I.4 [2]. Giả sử XA  . Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của A và kí hiệu là CoA. Nhận xét a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A. b) A là một tập lồi khi và chỉ khi A = CoA. Định nghĩa I.5 [2]. Giả sử XA  . Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là: ACo Nhận xét a) ACo là một tập lồi đóng và là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A. b) A là tập lồi đóng ACoA  . Định lý I.4 [2]. Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao lồi của A. Tức là CoAACo  10 Chứng minh Trước hết, ta chứng minh bao đóng của một tập lồi là tập lồi. Tức là, nếu A là tập lồi thì A cũng là tập lồi. Lấy     2121 1:1;0;, xxxAxx   Giả sử U là một lân cận lồi của 0. Do Ax i  nên     1,2 i x U A i      . Do đó     ' 1,2 ii x x U A i     . Đặt   ' 2 ' 1 ' 1 xxx   . Khi đó        ' 1 2 1 2 11x x U x U x x U              . Hay là Uxx  ' Vì A lồi nên Ax  ' . Do đó     AUx Vậy, xA , hay A là tập lồi. Chứng minh định lý Vì CoA là lồi nên CoA lồi. Như vậy CoA là một tập đóng chứa A. CoAACo  Mặt khác, do CoA là giao của tất cả các tập lồi (không cần đóng) chứa A nên: ACoCoAACoCoA  Vậy, CoAACo  . I.1.2. Nón lồi Giả sử X là không gian tuyến tính tô pô Haussdoff. Định nghĩa I.6 [2]. Tập XK  gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu: KxKx   0, . K gọi là nón có đỉnh tại x 0 nếu K – x 0 là nón có đỉnh tại 0. Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi. Ví dụ a)   :0A x x   là một nón, không lồi. b)     12 : , , , ; 0, 1, n ni B x x x x i n    là một nón lồi. [...]... x) là hàm lồi II.2 Dƣới vi phân của hàm lồi Cho f là hàm lồi trên X Định nghĩa II.2 a Phiếm hàm x*  X * được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x  X nếu x  X , f ( x)  f ( x )   x* , x  x  b Tập tất cả dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại x Kí hiệu là f ( x ) Như vậy, f ( x )  x*  X * : f ( x)  f ( x )   x* , x  x  c Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại... II Dƣới vi phân của hàm lồi Nội dung chương II đề cập tới khái niệm dưới vi phân của hàm lồi cùng những tính chất cơ bản của nó Nhưng trước đó, tác giả trình bày khái niệm đạo hàm theo phương Bên cạnh đó là một số ví dụ minh họa Phần cuối chương là khái niện dưới vi phân của hàm lồi địa phương Những kiến thức trong chương được tham khảo chủ yếu trong [1] và [2] I.1 Đạo hàm theo phƣơng Cho f là hàm xác... I  là các hàm lồi trên X Khi đó, các hàm: Sup f  x  và  I inf f  x  là hàm lồi  I Để hiểu rõ hơn về các phép toán trên, độc giả có thể xem [2], từ trang 47 đến trang 50 Tóm lại: Nội dung chương I đề cập tới tập lồi, hàm lồi và và các tính chất liên quan: Dấu hiệu nhận biết, các phép toán,… Bên cạnh đó là một số tập lồi quan trọng: Tập affine, nón,… Vấn đề dưới vi phân của hàm lồi sẽ được... đó, ta gọi x * là đạo hàm Gâtteaux của hàm f tại x : x *  f G' x Định lý II.5 Giả sử f là hàm lồi trên X Khi đó: a Nếu f khả vi Gâtteaux tại x với đạo hàm Gâtteaux tại x là x * và f khả dưới vi  phân tại x thì f x  x *   b Nếu f là hàm chính thường, liên tục tại x và f x  x * , thì f khả vi Gâtteaux  tại x và f G' x  x * Chứng minh a) Từ định nghĩa về hàm khả vi Gâtteaux, ta có : ... niệm hàm lồi (sử dụng tính chất lồi, lõm của hàm số để vẽ đồ thị và chứng minh bất đẳng thức) Trong phần này, tác giả trình bày khái niệm tổng quát về hàm lồi và những tính chất quan trọng của nó Định nghĩa I.16 [2 ] Cho X là không gian lồi địa phương; D  X f : D   {} 18 Trên đồ thị của hàm f, kí hiệu: epif, được định nghĩa: Epif:=  x, r   D   : f ( x)  r Định nghĩa I.17 [3] Miền hữu dụng. .. duy nhất dưới dạng m x    j j j 1 Trong đó  j  a j  a 0 Đặt  j  b j  b 0 , T  j    j , j  0,1, , m Ta lấy  m   T x     j T  j j 1 Dễ dàng kiểm tra được T là ánh xạ affine và TA = B I.1.4 Điểm trong tƣơng đối Trong tối ưu hóa và một số lĩnh vực khác của toán học ứng dụng, người ta thường phải làm vi c với các tập lồi trong không gian  n có thứ nguyên không đầy đủ Trong trường... phép toán về hàm lồi Định lý I.3 Giả sử f1 , , f m là các hàm lồi chính thường trên X Khi đó, tổng f1   f m là một hàm lồi Định lý I.4 Giả sử F là tập lồi trong X   và f x   inf  : x,    F  Khi đó, f là hàm lồi trên X Định lý I.5 Giả sử f1 , , f m là các hàm lồi chính thường trên X Khi đó, hàm m   f x   inf  f1 x1    f m xm  : xi  X ,  xi  x  i 1   là hàm lồi trên X... tập lồi Theo định nghĩa, f là hàm lồi. ( đpcm) Định nghĩa I.19[2] Cho C   n là tập lồi, khác rỗng và hàm f : C   Hàm f được gọi là chính thường nếu domf   và f x   , x  C Hàm f được gọi là đóng nếu epi f là một tập đóng trong  n1 Định nghĩa I.20[2] Cho hàm f , g : C   trong đó C   n Ta nói g là bao đóng của f nếu epig  epif Bao đóng của f ký hiệu là f Nhận xét 1 Từ định nghĩa của. .. nói lên mối quan hệ giữa dưới vi phân và đạo hàm theo phương 28 Hệ quả f ( x )   d f ( x ;0) (  d là dưới vi phân của f ( x ; d ) theo d ) Chứng minh Theo định nghĩa của đạo hàm theo phương, ta có: f ( x ;0)  0 Theo định lí II.2, ta có: x* f ( x )  f ( x ; d )   x* , d   f ( x ; d )  f ( x ;0)   x* , d   x*  d f ( x ;0) Định lí II.3 Cho f là hàm lồi chính thường x  domf... chính quy tại x , nếu f lồi địa phương và khả vi đồng đều tại x Nhận xét Nếu f là hàm lồi địa phương chính quy tại x thì f , ( x;.) lồi liên tục 35 Định lý II.9 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X Khi đó, f lồi địa phương chính quy tại x khi và chỉ khi f liên tục tại x Chứng minh a Giả sử f lồi địa phương chính quy tại x Khi đó, d  X ,   0 , tồn tại lân cận U của d và số 0  0 sao cho z . nón, điểm trong tương đối,… Chƣơng II “Dƣới vi phân của hàm lồi đề cập tới khái niệm đạo hàm theo phương, điều kiện khả dưới vi phân của hàm lồi cùng các tính chất cơ bản của dưới vi phân. . tế toán,… trong đó, giả thiết về tính lồi của hàm không thể thiếu trong nhiều định lý về sự tồn tại nghiệm. Vì vậy, tìm hiểu về hàm lồi, tìm hiểu về ứng dụng của hàm lồi trong tối ưu hóa là thực. ứng dụng dưới vi phân trong tối ưu hóa. Với những công vi c đó, bản luận văn gồm 3 chương: Chƣơng I “Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi giới thiệu về tập lồi, hàm lồi và những tính