dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng trong tối ưu hóa

Lời nói đầu Giải tích lồi là bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi, hàm lồi và những vấn đề liên quan.. Bộ môn này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực kh

Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

VŨ ANH TUẤN

DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

VŨ ANH TUẤN

DƯỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU HÓA

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học

GS.TSKH.LÊ DŨNG MƯU

Hà Nội - 2012

Mục lục

Lời nói đầu 2

Chương I Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi 4

I 1 Tập lồi 4

I.1.1 Tập lồi 4

I.1.2 Nón lồi 8

I.1.3 Tập Affine và bao Affine .9

I.1.4 Điểm trong tương đối 13

I.2 Hàm lồi 16

I.3 Các phép toán về hàm lồi 22

Chương II Dưới vi phân của hàm lồi 23

II.1 Đạo hàm theo phương .23

II.2 Dưới vi phân của hàm lồi 26

II.3 Các định lý cơ bản về dưới vi phân .31

II.4 Dưới vi phân của hàm lồi địa phương 33

Chương II Ứng dụng dưới vi phân vào bài toán tối ưu 37

III.1 Định nghĩa bài toán tối ưu .37

III.2 Bài toán lồi 39

III.3 Bài toán trơn .43

III.4 Bài toán trơn - lồi .47

Kết luận 52

Tài liệu tham khảo 53

Lời nói đầu

Giải tích lồi là bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, nghiên cứu về tập lồi, hàm lồi

và những vấn đề liên quan Bộ môn này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặc biệt là trong tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng…

Một trong những ứng dụng quan trọng của giải tích lồi là trong tối ưu hóa Lý thuyết tối ưu đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu: quy hoạch tuyến tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, kinh tế toán,… trong đó, giả thiết

về tính lồi của hàm không thể thiếu trong nhiều định lý về sự tồn tại nghiệm Vì vậy, tìm hiểu về hàm lồi, tìm hiểu về ứng dụng của hàm lồi trong tối ưu hóa là thực

sự cần thiết và hữu ích

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu, sắp xếp lại một cách chi tiết các khái niệm cùng những tính chất liên quan đến hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi và các bài toán ứng dụng dưới vi phân trong tối ưu hóa Với những công việc đó, bản luận văn gồm 3 chương:

Chương I “Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi” giới thiệu về tập

lồi, hàm lồi và những tính chất liên quan Bên cạnh đó là những khái niệm: tập affine, nón, điểm trong tương đối,…

Chương II “Dưới vi phân của hàm lồi” đề cập tới khái niệm đạo hàm theo

phương, điều kiện khả dưới vi phân của hàm lồi cùng các tính chất cơ bản của dưới vi phân

Chương III “Ứng dụng dưới vi phân vào bài toán tối ưu” trình bày khái niệm

tổng quát về bài toán tối ưu và điều kiện tồn tại nghiệm Trọng tâm của chương là 8 bài toán tối ưu mà tác giả kí hiệu từ (P1)-(P8)

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, bản luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn, chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Lê Dũng Mưu đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả

Hà nội, ngày 01 tháng 06 năm 2012

Tác giả

Vũ Anh Tuấn

CHƯƠNG I

Những kiến thức cơ bản về tập lồi và hàm lồi

Trong chương này, tác giả trình bày những khái niệm cơ bản của giải tích lồi cùng những tính chất quan trọng như tập lồi, tập affine, điểm trong tương đối, hàm lồi…

I.1 Tập lồi

Tập lồi là một khái niệm cơ bản không chỉ trong giải tích lồi mà ở trong toán học nói chung Những tập quen thuộc mà chúng ta biết đến như không gian con, siêu phẳng, đoạn thẳng…đều là tập lồi Trong phần này, tác giả trình bày định nghĩa, tính chất của tập lồi nói chung và một số tập lồi đặc biệt

I.1.1 Tập lồi

Cho X là không gian tuyến tính tô pô Haussdoff

Định nghĩa I.1[2] Với x x1, 2 X, đoạn x x1, 2 được định nghĩa

Thật vậy, lấy x y, B0,1 x  1 ,   y  1, với 0,1 ta có:

Mệnh đề I.2 Cho A i  X là các tập lồi; i , i1,n Khi đó, tập

1

n

i i i

Mệnh đề I.3 Cho X i là các không gian tuyến tính A i  X i là các tập lồi (i=1, n ) Khi đó, tập A= A1A2  A n là một tập lồi trong X1X2  X n

1   1 1  1, , n 1  n

Vậy, A là tập lồi trong X1X2  X n

Tóm lại: Lớp các tập lồi là đóng với phép lấy giao,cộng đại số và tích đề các

Định nghĩa I.3[2] Véc tơ xX gọi là tổ hợp lồi của các véc tơ: x x1, 2, x n nếu :

Giả sử A lồi Ta chứng minh bằng quy nạp

Tức là,   1

1 2 1 1

x  x A



  Không mất tổng quát, ta giả sử k1 1, ta có

1 1

k i

Định nghĩa I.4 [2] Giả sử A X Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của A và kí hiệu là CoA

Nhận xét

a) CoA là một tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A

b) A là một tập lồi khi và chỉ khi A = CoA

Định nghĩa I.5 [2] Giả sử A X Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A và kí hiệu là: Co A

Co 

U x

Co CoA  

Vậy, Co ACoA

I.1.2 Nón lồi

Giả sử X là không gian tuyến tính tô pô Haussdoff

Định nghĩa I.6 [2] Tập K X gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu:

K x K

Dưới đây ta sẽ xét hai nón lồi điển hình thường được sử dụng trong giải tích lồi

Đó là nón lùi xa và nón pháp tuyến

Định nghĩa I.7[1] Cho C là một tập lồi trong X Véctơ y 0 được gọi là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ một điểm bất kì của C theo hướng y đều nằm trọn trong C, tức là, y là một hướng lùi xa khi và chỉ khi

C y x C

x     

 ,  0  Tập ReC gồm tất cả các hướng lùi xa của C cùng với điểm gốc được gọi là nón lùi

xa của C

Mệnh đề I.5 [1] Giả sử C là một tập lồi, đóng Khi đó, y là một hướng lùi xa của C

khi và chỉ khi

0, 



y C 

với một điểm x nào đó thuộc C

Định nghĩa I.8 [1] Cho C X là một tập lồi và xC Tập

gọi là nón pháp tuyến trong của C tại x

Hiển nhiên, nón N C x chứa đỉnh 0

I.13 Tập affine và bao affine

Trong đại số tuyến tính, chúng ta đã làm quen với các khái niệm: không gian con, siêu phẳng,…Đó là các trường hợp riêng của tập affine được định nghĩa như sau:

Định nghĩa I.9[1] Một tập C được gọi là tập affine nếu nó chứa mọi đường thẳng

đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là:

x y C  R x  y C

       

Nhận xét

1) Tập affine là một trường hợp riêng của tập lồi

2) Mọi siêu phẳng trong n

 đều là tập affine

Mệnh đề sau đây cho ta thấy tập affine chính là ảnh tịnh tiến của một không gian con

Mệnh đề I.6 M  là tập affine khi và chỉ khi nó có dạng M = L + a trong đó L là một không gian con và aM Không gian con L ở đây được xác định duy nhất Chứng minh

Điều kiện cần:Giả sử M là một tập affine và aM Khi đó dễ thấy L = M – a là một không gian con Vậy M = L+a

Điều kiện đủ: Nếu M = L +a với L là một không gian con và aM thì

Không gian con L ở trên là duy nhất Thật vậy, nếu M = L + a và ' '

a L

Không gian con L trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song với

M Từ mệnh đề trên ta rút ra định nghĩa sau :

Định nghĩa I.10[1] Thứ nguyên (hay chiều) của một tập affine M là thứ nguyên

(hay chiều) của không gian con song song với M và được ký hiệu là dimM

Mệnh đề sau đây cho ta thấy rằng, mọi tập affine đều là tập nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính

Mệnh đề I.7 [1] Mọi tập affine n

M  có số chiều r khi và chỉ khi

M  x Axb ,

trong đó bm,AMat m n  , và rank A = n – r

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử M là tập affine có số chiều r và M = L +a với aM Vậy

L = M – a là không gian con có số chiều là r của n

R Do đó L có dạng:

L x  Ax ,

trong đó AMat m n  , và rank A = n – r từ M = L +a, suy ra

x1, 2, , nếu

j k

Định nghĩa I.12[1] Bao affine của C là giao của tất cả các tập affine chứa C Ký

hiệu là aff C

Mệnh đề sau đây cho chúng ta biết cấu trúc của aff C

Mệnh đề I.8 [1] AffC là tập hợp các tổ hợp affine của các điểm thuộc C

j

x M

1

; , , 1

Vì CaffC và affC là tập affine nên M affC

Ta chứng tỏ M là một tập affine Thật vậy, giả sử x,yM Theo định nghĩa của

M ta có:

i k

Trong đó x i,C, i 1 , ,k;y jC, j  1 , ,h và 1

1 1

j i k

i

y x

1

Do

1 1

i i

Như vậy, z là một tổ hợp affine của các điểm thuộc C nên zM Từ đó suy ra M là một tập affine Vậy M = aff C

Định nghĩa I.13[1] Thứ nguyên (hay chiều) của một tập C bất kỳ là thứ nguyên

(hay chiều) của bao affine của nó Tức là dim C = dim (aff C)

x x

x0, 1, , trong n được gọi là độc lập affine nếu bao affine căng bởi chúng có thứ nguyên k

Mệnh đề dưới đây cho ta một tính chất đặc trưng của các điểm độc lập affine

Mệnh đề I.9 [1] Các điều sau đây tương đương:

a Các điểm k

x x

S  0, 1, , , L là không gian con song song với aff S Không mất tính tổng quát, ta giả sử i = 0 đặt 0

x x

y j  j  suy ra y j L, j 1 , 2 , ,k. Cho

j k



là một tổ hợp affine bất kỳ của các điểm k

x x

affS  0 1, 2, , trong đó  k

y y y span 1, 2, , là không gian con sinh bởi các véctơ  k

y y

y1 , 2 , , Theo mệnh đề 1.1.10, ta có  k

y y y span

L 1 , 2 , ,

Vậy dim L = k khi và chỉ khi k

y y

y1, 2, , độc lập tuyến tính trong n



Mệnh đề I.10[1] Cho hai tập affine A và B trong n

 Giả sử dim A = dim B, khi đó tồn tại một ánh xạ affine 1 – 1 T: AB sao cho TA = B

Chứng minh

Theo giả thiết, A và B là các tập affine đồng thời dim A = dim B = m nên chúng

là bao affine của m + 1 điểm độc lập affine Giả sử

 m

a a a aff

A 0, 1, ,

b b b aff

B 0, 1, ,

Do m

a a

a0, 1, , là các điểm độc lập affine nên theo mệnh đề I.9, các véctơ

0 0

j j

x 



1

j

j T x

T  



1

Dễ dàng kiểm tra được T là ánh xạ affine và TA = B

I.1.4 Điểm trong tương đối

Trong tối ưu hóa và một số lĩnh vực khác của toán học ứng dụng, người ta thường phải làm việc với các tập lồi trong không gian n

 có thứ nguyên không đầy

đủ Trong trường hợp này, những tập lồi đó không có điểm trong Tuy nhiên nhờ cấu trúc lồi chúng có điểm trong tương đối Khái niệm này đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích lồi

Định nghĩa I.15[1] Một điểm aC được gọi là điểm trong tương đối của C nếu nó

là điểm trong của C theo tôpô cảm sinh bởi affC

Tập các điểm tương đối của C ký hiệu là riC Theo định nghĩa trên ta có:

riC aaffC B aB affCC

Ta ký hiệu C là bao đóng của C Khi đó tập hợp C \ riC được gọi là biên tương

đối của C Tập C được gọi là mở tương đối nếu CriC Theo định nghĩa, dễ thấy rằng mọi tập affine đều mở tương đối

Nhận xét

1 Nếu intC thì riC intC

2 Nếu C1 C2 thì chưa chắc riC1 riC2

Mệnh đề dưới đây cho chúng ta thấy điều kiện cần và đủ để một điểm là điểm trong tương đối của một tập lồi

Mệnh đề I.11[1] Cho n

C là một tập lồi Khi đó ariC khi và chỉ khi

0 ,  



x affC  sao cho:

x a C

a   Chứng minh

Không mất tính tổng quát, bằng cách lấy bao affine của C ta có thể giả sử dimC = n Khi đó riC intC

Điều kiện cần: Với mọi a intC đều tồn tại hình cầu B , a r sao cho B a,r C

x  1, 2, , Lấy u i e ii n

, , 2 , 1

I i

i e x e x

x x

x



Do đó, x là tổ hợp lồi của 0 C,u iC với iI, u iC với iI Vì C là tập lồi nên xC Vậy BC

Mệnh đề I.12 [1] Cho n

C  là một tập lồi Giả sử xriC Khi đó với mọi yC , tất cả các điểm trên đoạn thẳng nối x và y, có thể trừ y, đều thuộc riC Nói cách khác với mọi 0,1 thì 1 riCCriC

1CCC

ta suy ra

1xyBC, Hay

1 riCCriC

Từ mệnh đề trên ta rút ra hệ quả sau:

Hệ quả Nếu C lồi thì riC lồi

Chứng minh

Thật vậy, vì riCCnên từ mệnh đề trên ta suy ra

1riCriCriC, 0,1

Hay riC là tập lồi

Mệnh đề I.13 [1] Mọi tập lồi khác rỗng n

C  đều có điểm trong tương đối Chứng minh

Lấy M = affC Giả sử dimM = m, do đó M chứa (m + 1) điểm độc lập affine

j

x m

Ta sẽ chứng tỏ ariC Thật vậy, vì M là tập affine nên xMđều biểu diễn được dưới dạng

j m

x t

 nên atxaC Theo mệnh đề I.11, ta có ariC

I.2 HÀM LỒI

Trong chương trình toán học phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm hàm

lồi (sử dụng tính chất lồi, lõm của hàm số để vẽ đồ thị và chứng minh bất đẳng thức) Trong phần này, tác giả trình bày khái niệm tổng quát về hàm lồi và những tính chất quan trọng của nó

Định nghĩa I.16 [2 ] Cho X là không gian lồi địa phương; DX

f D  

Trên đồ thị của hàm f, kí hiệu: epif, được định nghĩa:

Định nghĩa I.18[2] Hàm f được gọi là lồi trên D nếu Epif là tập lồi trên X 

Nhận xét Nếu f là hàm lồi trên D thì domf là tập lồi trên D

Chứng minh

Domf là hình chiếu của Epif trên X

Domf =xD f x:    xD:r/ x r, Epif Suy ra, Domf là ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính

Vậy, Domf là tập lồi

*Điều kiện cần: Giả sử f lồi trên D,  (0,1)

Nếu x domf hoặc y d omfthì

( )

f x   hoặc f y( )   Suy ra

nếuxC

nếuxC

( ) (1 ) ( )

f x f y

Định lí đúng

Nếu x y, domf , nghĩa là f(x) < +  và f(y) < + 

Theo nhận xét trên: Vì f là hàm lồi nên domf lồi Do đó ta có:

Vậy, Epif là tập lồi Theo định nghĩa, f là hàm lồi.( đpcm)

Định nghĩa I.19[2] Cho n

C là tập lồi, khác rỗng và hàm f C:   Hàm f được gọi là chính thường nếu domf  và f x ,xC

Hàm f được gọi là đóng nếu epi f là một tập đóng trong n 1

biết epif

2 Nếu f là hàm lồi trên một tập lồi n

C thì ta có thể khai triển f lên toàn

,

x f x

f e

Ta thấy f e x  f x, xC và f e lồi trên n

 Hơn nữa, f e là chính thường khi và

chỉ khi f chính thường, f e đóng khi và chỉ khi f đóng

3 Nếu f là một hàm lồi trên n

R thì dom f là một tập lồi vì dom f chính là hình chiếu của epif trên tập n

 0,1,

1 1



 f h

lồi trên C

Sau đây, ta sẽ đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc trong chương trình phổ thông Đây là một bất đẳng thức tương đối tổng quát trong các bất đẳng thức về hàm lồi Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhia… là những trường hợp riêng của bất đẳng thức này

 , ta có:

nếuxC

nếuxC

 j m

j j m





Chứng minh

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với m = 1: Hiển nhiên

Với m = 2: Bất đẳng thức (1.5) được suy ra từ hàm lồi

Giả sử bất đẳng thức đúng với m – 1, ta chứng minh nó đúng với m Thật vậy, giả

sử m 1, đặt 



 11

m

j j



 Khi đó   0 và

m m j m

j

j m

m j m

j j j

1 1

y

f     Theo giả thiết quy nạp, ta có

m

j j m

j

j j

x f x

j

j j

x f x







Sau đây ta sẽ đưa ra điều kiện cần và đủ để một hàm là lồi

Mệnh đề I.15 [1] Một hàm f C:  là lồi trên C khi và chỉ khi

 ,  ,  0,1,

Điều kiện cần: Giả sử f là hàm lồi trên C Khi đó x,yC,  f x,  f y

ta suy ra  x, và y, đều thuộc epif Do f là hàm lồi nên epif là tập lồi Từ đó

Vậy epif là tập lồi hay f là hàm lồi trên C

Định nghĩa I.21[2] Hàm f xác định trên X gọi là thuần nhất dương nếu

) ( ) ( x f x

f   , xX 0,

Định lý I.2 Hàm thuần nhất dương f : X ; là hàm lồi khi và chỉ khi:

x y f   x f y

f    x,yX Chứng minh

a) Giả sử hàm thuần nhất dương f là lồi Lấy x,yX Khi đó,

2

12

1

2   f x  f y 

2

12

b) Ngược lại, giả sử fx y f   x  f y x,yX

Lấy x i,r iepifi 1 , 2, vì fx1x2 f   x1  f x2 r1r2 cho nên

Hệ quả 1 Giả sử f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương Khi đó,  x i X,

I.3 Các phép toán về hàm lồi

Định lý I.3 Giả sử f , ,1 f m là các hàm lồi chính thường trên X Khi đó, tổng

Định lý I.5 Giả sử f , ,1 f m là các hàm lồi chính thường trên X Khi đó, hàm

f x

f

m

i i i

m m

1 1

Tóm lại: Nội dung chương I đề cập tới tập lồi, hàm lồi và và các tính chất liên

quan: Dấu hiệu nhận biết, các phép toán,… Bên cạnh đó là một số tập lồi quan trọng: Tập affine, nón,… Vấn đề dưới vi phân của hàm lồi sẽ được trình bày ở chương sau

CHƯƠNG II

Dưới vi phân của hàm lồi Nội dung chương II đề cập tới khái niệm dưới vi phân của hàm lồi cùng những

tính chất cơ bản của nó Nhưng trước đó, tác giả trình bày khái niệm đạo hàm theo

phương Bên cạnh đó là một số ví dụ minh họa Phần cuối chương là khái niện dưới

vi phân của hàm lồi địa phương Những kiến thức trong chương được tham khảo

chủ yếu trong [1] và [2]

I.1 Đạo hàm theo phương

Cho f là hàm xác định trên không gian lồi địa phương Haussdoff X, f x( ) 

Định nghĩa II.1 Đạo hàm của hàm f theo phương d, tại x , kí hiệu: f x d( , ) được

Chứng minh

Lấy t1 t2 t3, với t1,t2dom Vì hàm  lồi và:

3 1 3

1 2 1 1 3

2 3

t t

t t t t t

t t t

(.)

1 3

1 2 1 1 3

2 3

t t

t t t t t

t t

)()

1 3

1 2 1

t t

t t t

)()

1 3

2 3 2

t t

t t t

2 3

1 3

1 3

1 2

1

2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(

t t

t t

t t

t t

t t

t t

1 2

1 1

t t

t t

t t

tức là ,(t)là hàm không giảm và ,(t)   khi t int(dom)

Định lý II.1 Cho f là hàm lồi, chính thường trên X Khi đó, f có đạo hàm theo phương tại mọi điểm x thuộc domf Đồng thời:

( ) ( )

    Vậy,  ( ) là hàm không giảm trên (0,  ) Từ đó ta có: