nghiệm ổn định của một lớp trình vi phân bậc phân số luận văn toán giải tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– PHAN VĂN LỢI NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— PHAN VĂN LỢI NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Đình Kế Thanh Hóa, 2013 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích bậc phân số 1.2 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén 4 Tính giải tính ổn định nghiệm 10 2.1 Tính giải trường hợp tổng quát 10 2.2 Tính giải trường hợp hàm phi tuyến không chứa trễ 15 2.3 Tính ổn định tiệm cận 19 2.4 Ví dụ áp dụng 23 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân bậc phân số thu hút quan tân nhiều nhà nghiên cứu năm gần tính ứng dụng cao khoa học cơng nghệ Phương trình vi phân bậc phân số cho phép mơ hình hóa nhiều tốn lưu biến học, điện hóa học, mạng điện tử, nhớt đàn hồi, Chi tiết vấn đề sở phương trình vi phân bậc phân số tìm thấy sách chun khảo Miller & Ross [21], Podlubny [23], Kilbas et al [17] Ngồi kể đến nghiên cứu gần [3, 7, 8, 13, 22, 26, 28, 29] Tuy nhiên, hầu hết kết đạt tập trung vào tính giải nghiệm Một toán quan trọng thú vị lý thuyết phương trình vi tích phân nghiên cứu tính ổn định nghiệm Trong nghiên cứu ổn định nghiệm cho hệ vi phân với đạo hàm bậc ngun (khơng trễ/có trễ) có q trình phát triển lâu dài đạt thành tựu quan trọng (xem, chẳng hạn [9, 10] tài liệu tham khảo liên quan), vấn đề tương tự với phương trình vi phân bậc phân số cịn biết đến, đặc biệt không gian vô hạn chiều Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính giải tính ổn định tiệm cận nghiệm hệ vi phân sau C D0α u(t) = Au(t) + f (t, u(t), ut ), t > 0, u(s) + g(u)(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (1) (2) hàm u lấy giá trị không gian Banach X, ut trạng thái lịch sử hệ tính đến thời điểm t, tức ut (s) = u(t+s), ∀s ∈ [−h, 0], C α D0 , α ∈ (0, 1], đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, A tốn tử tuyến tính đóng phần tử sinh C0 -nửa nhóm X, f g hàm phi tuyến mô tả mục Bài tốn (1)-(2) mơ hình tổng qt nhiều lớp tốn Cơ-si quan trọng phương trình vi phân Bài tốn với điều kiện ban đầu không cục (ta gọi tắt tốn khơng cục bộ) phương trình vi phân bậc nghiên cứu Byszewski [6] Chủ đề sau nghiên cứu rộng rãi dạng tốn khơng cục cho phép mơ tả xác tốn thực tế so với tốn Cơ-si cổ điển Chúng tơi giới thiệu số kết tiêu biểu theo hướng này, cơng trình [12, 14, 16, 18, 19, 20, 22, 28] Có số khó khăn nghiên cứu toán dạng ta phải làm việc với đạo hàm bậc phân số phải xử lý điều kiện ban đầu khơng tuyến tính Để vượt qua khó khăn này, ta sử dụng lý thuyết điểm bất động để tìm nghiệm chứng minh tính ổn định tiệm cận Việc sử dụng phương pháp điểm bất động để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho phương trình vi phân thường/vi phân hàm đề xuất Burton Furumochi [4, 5] sau phát triển cho số lớp phương trình đạo hàm riêng (ví dụ [2, 13]) Ý tưởng phương pháp xây dựng tập ổn định mà tốn tử nghiệm có điểm bất động Với mục tiêu cải tiến điều kiện tồn nghiệm, sử dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén Có thể nói lý thuyết điểm bất động có tính khái qt, bao gồm ngun lý ánh xạ co định lý điểm bất động Krasnoselkii.Từ đó, kết tính giải mở rộng kết trước cho phương trình vi phân bậc phân số cơng trình [8, 22, 27, 28] Một khó khăn mặt kỹ thuật xây dựng độ đo không compact (MNC) phù hợp thực ước lượng qua MNC để chứng minh tính nén tốn tử nghiệm Để chứng minh nghiệm ổn định tiệm cận, sử dụng tính ổn định giải thức sinh tốn tuyến tính Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích bậc phân số Ký hiệu L1 (0, T ; X) không gian hàm khả tích [0, T ], theo nghĩa tích phân Bochner Định nghĩa 1.1.1 Tích phân bậc α > hàm số f ∈ L1 (0, T ; X) xác định t α (t − s)α−1 f (s)ds, I0 f (t) = Γ(α) Γ hàm Gamma Định nghĩa 1.1.2 Với f ∈ C N ([0, T ]; X), đạo hàm Caputo bậc α ∈ (N − 1, N ] xác định C D0α f (t) = Γ(N − α) t (t − s)N −α−1 f (N ) (s)ds Chú ý có số khái niệm khác đạo hàm bậc phân số, có hai khái niệm sử dụng nhiều đạo hàm bậc phân số Riemann-Liouville đạo hàm bậc phân số Caputo Do toán ứng dụng thường gắn với điệu kiện ban đầu liên quan đến u(0), u′ (0), nên đạo hàm Caputo cho thích hợp để mơ tả toán Với u ∈ C N ([0, T ]; X), ta có cơng thức sau C D0α I0α u(t) = u(t), I0α C D0α u(t) = u(t) − N −1 k=0 u(k) (0) k t k! Kiến thức chuẩn bị Xét toán tuyến tính C D0α u(t) = Au(t) + f (t), t > 0, u(0) = u0 , (1.1) (1.2) α ∈ (0, 1], f ∈ L1loc (R+ ; X) Sử dụng phép biến đổi Laplace, nghiệm (1.1)-(1.2) biểu diễn dạng t u(t) = Sα (t)u0 + (t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds, (1.3) Sα Pα giải thức xác định L(Sα )(λ) = λα−1 (λα I − A)−1 , L((·)α−1 Pα )(λ) = (λα I − A)−1 , L phép biến đổi Laplace Theo nguyên lý phụ thuộc (xem [3]), Sα Pα , α ∈ (0, 1], tồn A sinh C0 -nửa nhóm {T (t)}t≥0 Biểu diễn Sα Pα thiết lập báo [29]: ∞ Sα (t)x = φα (θ)T (tα θ)xdθ, ∞ Pα (t)x = α θφα (θ)T (tα θ)xdθ, φα hàm mật độ xác suất xác định (0, ∞), tức là, ∞ φα (θ) ≥ φα (θ)dθ = Ngoài ra, φα có biểu diễn 1 −1− α ψ (θ − α ), θ α α ∞ Γ(nα + 1) sin(nπα) (−1)n−1 θ−αn−1 ψα (θ) = π n=1 n! φα (θ) = Bây ta nhắc lại số kết dùng cho phần sau Bổ đề 1.1.1 Giả sử A sinh C0 -nửa nhóm {T (t)}t≥0 X i) Nếu T (t) compact với t > 0, Sα (t) Pα (t) compact với t > 0; ii) Nếu T (t) liên tục theo chuẩn với t > 0, Sα (t) Pα (t) liên tục theo chuẩn với t > Kiến thức chuẩn bị Khẳng định thức chứng minh báo [29], khẳng định thứ hai có báo [26] Cho Φ(t, s) họ tốn tử tuyến tính bị chặn X với t, s ∈ [0, T ], s ≤ t Kết sau chứng minh báo [24, Bổ đề 1] Bổ đề 1.1.2 Giả sử Φ thỏa mãn điều kiện: (Φ1) Tồn hàm ρ ∈ Lq (J), q ≥ cho Φ(t, s) ≤ ρ(t − s) với t, s ∈ [0, T ], s ≤ t; (Φ2) Φ(t, s) − Φ(r, s) ≤ ǫ với ≤ s ≤ r − ǫ, r < t = r + h ≤ T ǫ = ǫ(h) → h → Toán tử S : Lq (0, T ; X) → C([0, T ]; X) xác định ′ t Φ(t, s)g(s)ds (Sg)(t) := biến tập bị chặn thành tập liên tục đồng bậc, q ′ số mũ liên hợp q (q ′ = +∞ q = 1) Denote Qα : L1 ([0, T ]; X) → C([0, T ]; X), t Qα (f )(t) = (t − s)α−1 Pα (t − s)f (s)ds (1.4) Sử dụng hai bổ đề vừa nêu, ta có kết sau Mệnh đề 1.1.3 Giả sử A sinh C0 -nửa nhóm {T (t)}t≥0 X Khi với tập bị chặn Ω ⊂ L1 (0, T ; X), Qα (Ω) tập liên tục đồng bậc C([0, T ]; X) nửa nhóm {T (t)}t≥0 liên tục theo chuẩn với t > Chứng minh Do T (t) liên tục theo chuẩn với t > 0, nên Pα (t) có tính chất Bổ đề 1.1.1 Khi ta có Φ(t, s) = (t−s)α−1 Pα (t−s) thỏa mãn điều kiện (Φ1) − (Φ2) nêu Bổ đề 1.1.2 Do ta có kết luận mệnh đề Kiến thức chuẩn bị 1.2 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén Giả sử E không gian Banach Ký hiệu B(E) tập tập khác rỗng, bị chặn E Ta sử dụng định nghĩa sau độ đo không compact Định nghĩa 1.2.1 Hàm β : B(E) → R+ gọi độ đo không compact (MNC) E β(co Ω) = β(Ω) với Ω ∈ B(E), co Ω ký hiệu bao lồi đóng Ω MNC β gọi i) đơn điệu Ω0 , Ω1 ∈ B(E), Ω0 ⊂ Ω1 suy β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 ); ii) không kỳ dị β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với a ∈ E, Ω ∈ B(E); iii) bất biến với nhiễu compact β(K ∪ Ω) = β(Ω) với tập compact tương đối K ⊂ E Ω ∈ B(E); iv) nửa cộng tính β(Ω0 + Ω1 ) ≤ β(Ω0 ) + β(Ω1 ) với Ω0 , Ω1 ∈ B(E); v) quy đẳng thức β(Ω) = tương đương với tính compact tương đối củaΩ Một ví dụ quan trọng MNC độ đo không compact Hausdorff χ(·), xác định sau χ(Ω) = inf{ε : Ω có ε-lưới hữu hạn} Độ đo khơng compact Hausdorff cịn có tính chất sau: • nửa nhất: χ(tΩ) ≤ |t|χ(Ω) với Ω ∈ B(E) t ∈ R; • Nếu E tách được, χ(Ω) = lim sup d(x, Em ), {Em } dãy m→∞ x∈Ω không gian hữu hạn chiều E cho Em ⊂ Em+1 , m = 1, 2, ∞ m=1 Em = E Kiến thức chuẩn bị Dựa độ đo khơng compact Hausdorff χ E, ta có độ đo không compact theo dãy χ0 xác định sau: χ0 (Ω) = sup{χ(D) : D ∈ ∆(Ω)}, (1.5) ∆(Ω) tập tập không đếm Ω (xem [1]) Ta có χ(Ω) ≤ χ0 (Ω) ≤ χ(Ω), (1.6) với tập bị chặn Ω ⊂ E Ta có tính chất sau đây: Mệnh đề 1.2.1 Giả sử χ độ đo không compact Hausdorff E Ω ⊂ E tập bị chặn Khi với ǫ > 0, tồn dãy {xn } ⊂ Ω cho χ(Ω) ≤ 2χ({xn }) + ǫ Ta cần kết sau (xem [15]) Mệnh đề 1.2.2 Nếu {wn } ⊂ L1 (0, T ; E) thỏa mãn ||wn (t)||E ≤ ν(t), for a.e t ∈ [0, T ], với ν ∈ L1 (0, T ), ta có t t χ({ wn (s)ds}) ≤ χ({wn (s)})ds với t ∈ [0, T ] Giả sử J đoạn (compact) R χC độ đo không compact Hausdorff C(J; E) Ta có kết sau (see [1]): với tập bị chặn D ⊂ C(J; E), • χ(D(t)) ≤ χC (D), với t ∈ J, D(t) := {x(t) : x ∈ D} • Nếu tập D liên tục đồng bậc χC (D) = sup χ(D(t)) t∈J Cho T ∈ L(E), tức T tốn tử tuyến tính bị chặn từ E vào Ta có định nghĩa χ-chuẩn toán tử T (xem [1]) sau: T χ := inf{M : χ(T Ω) ≤ M χ(Ω), Ω ⊂ E tập bị chặn} (1.7) Tính giải tính ổn định nghiệm ta sử dụng Mệnh đề 1.2.2 Theo (2.3), ta có t χC (F2 (D)) ≤ 8χC (D) sup t∈[0,T ] (t − s)α−1 k(t, s)ds, ǫ > chọn nhỏ tùy ý Kết hợp bất đẳng thức cuối với (2.2), ta đến t χC (F(D)) ≤ η sup ||Sα (t)|| + sup t∈[0,T ] t∈[0,T ] (t − s)α−1 k(t, s)ds χC (D) Bổ đề chứng minh Định lý 2.1.2 Giả sử giả thiết Bổ đề 2.1.1 thỏa mãn Khi tốn (1)-(2) có nghiệm tích phân C T t η sup ||Sα (t)|| + sup t∈[0,T ] lim inf r→∞ t∈[0,T ] (t − s)α−1 k(t, s)ds < 1, (2.4) Ψg (r) sup ||Sα (t)|| r t∈[0,T ] t + Ψf (2r) sup t∈[0,T ] (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds < (2.5) Chứng minh Do có bất đẳng thức (2.4), ta nhận tính chất χC nén F Để áp dụng Định lý 1.2.3, ta phải chứng tỏ F(BR ) ⊂ BR với R > đó, BR hình cầu đóng C T có tâm bán kính R Giả sử ngược lại, ta tìm dãy {un } ⊂ C T cho ||un ||C T ≤ n ||F(un )||C T > n Từ cách xác định F, ta có ước lượng ||F(un )(t)||X ≤ ||ϕ||Ch + Ψg (||un ||BC ) ≤ ||ϕ||Ch + Ψg (n) với t ∈ [−h, 0], với t > 0, ta có ||F(un )(t)||X ≤ (||ϕ||Ch + Ψ(||un ||C T )) sup ||Sα (t)|| t∈[0,T ] t + (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)Ψf (||un (s)||X + ||(un )s ||Ch )ds ≤ (||ϕ||Ch + Ψ(n)) sup ||Sα (t)|| t∈[0,T ] t + Ψf (2n) (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds 14 Tính giải tính ổn định nghiệm Từ suy 1 ||ϕ||Ch + Ψ(n) sup ||Sα (t)|| ≤ ||F(un )||C T ≤ n n t∈[0,T ] + Ψf (2n) sup n t∈[0,T ] t (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds , ta có supt∈[0,T ] ||Sα (t)|| ≥ Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức cuối ta nhận bất đẳng thức mâu thuẫn với giả thiết định lý Nhận xét 2.1.2 Xét trường hợp Ψf (r) = Cf (1 + rβ ), Ψg (r) = Cg (1 + rγ ) với β, γ ∈ [0, 1] Nếu β, γ < (trường hợp tuyến tính), điều kiện (2.5) rõ ràng thỏa mãn Nếu β = γ = 1, (2.5) chuyển thành t Cg sup ||Sα (t)|| + 2Cf sup t∈[0,T ] 2.2 t∈[0,T ] (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds < Tính giải trường hợp hàm phi tuyến không chứa trễ Ta chứng tỏ rằng, khơng có yếu tố trễ (tức h = 0) g hoàn toàn liên tục, điều kiện (2.4) khơng cịn cần thiết ta xây dựng độ đo khơng compact thích hợp thay cho χC Thật vậy, ký hiệu ωC mô-đun liên tục đồng bậc C T , nghĩa là, ωC (D) = lim sup max δ→0 y∈D |t1 −t2 | 0, u(0) + g(u) = ϕ, 15 (2.8) (2.9) Tính giải tính ổn định nghiệm với ϕ ∈ X cho trước Các giả thiết (F) and (G) chuyển thành: (Fa) Hàm f : R+ × X → X thỏa mãn: (1) f (·, v) đo với v ∈ X, f (t, ·) liên tục với hầu khắp t ∈ [0, T ] ||f (t, v)||X ≤ m(t)Ψf (||v||X ), với v ∈ X, m ∈ Lploc (R+ ), p > hàm liên tục không giảm; α, Ψf (2) tồn hàm k : R2+ → R+ cho k(t, ·) ∈ Lp (0, t), t > 0, với tập bị chặn V ⊂ X, ta có χ(Pα (t − s)f (s, V )) ≤ k(t, s)χ(V ), với hầu khắp t, s ∈ [0, T ], s ≤ t (Ga) Hàm g : C T → X thỏa mãn điều kiện: (1) g liên tục ||g(u)||X ≤ Ψg (||u||C T ), với u ∈ C T Ở Ψg hàm liên tục không giảm; (2) tồn số không âm η cho χ(g(D)) ≤ ηχC (D), với tập bị chặn D ⊂ C T Chọn L công thức (2.7) cho t sup t∈[0,T ] e−L(t−s) (t − s)α−1 k(t, s)ds < 1, ta chứng minh tốn tử nghiệm có tính nén ứng với độ đo không compact χ∗ Mệnh đề 2.2.1 Giả sử (A), (Fa) (Ga) thỏa mãn Nếu hàm g hoàn tồn liên tục, F có tính chất χ∗ -nén 16 Tính giải tính ổn định nghiệm Chứng minh Giả sử D tập bị chặn C T Khi ta có F(D)(t) = Sα (t)[ϕ − g(D)] + Qα (D)(t), Qα định (1.4) Do g(D) compact tương đối X, ta có (2.10) ωC (Sα (·)[ϕ − g(D)]) = Mặt khác, Qα (D) tập liên tục đồng bậc C T Mệnh đề 1.1.3 Do ωC (Qα (D)) = (2.11) Từ ta có χ(F(D)(t)) ≤ χ(Sα (t)g(D)) + χ(Qα (D)(t)) = χ(Qα (D)(t)), t ≥ (2.12) Với ǫ > 0, chọn dãy {un } ⊂ D cho χ(Qα (D)(t)) ≤ 2χ(Qα ({un })(t)) + ǫ t ≤ 2χ { t ≤4 0 (t − s)α−1 k(t, s)χ({un (s)})ds + ǫ t ≤ (t − s)α−1 Pα (t − s)f (s, un (s))} + ǫ eLs (t − s)α−1 k(t, s)ds sup e−Lt χ(D(t)) + ǫ t∈[0,T ] Do ǫ > nhỏ tùy ý, ta nhận e −Lt t χ(Qα (D)(t)) ≤ e−L(t−s) (t−s)α−1 k(t, s)ds sup e−Lt χ(D(t)) t∈[0,T ] (2.13) Kết hợp đánh giá (2.10)-(2.13), ta đến bất đẳng thức ∗ χ (F(D)) ≤ t sup t∈[0,T ] e−L(t−s) (t − s)α−1 k(t, s)ds χ∗ (D) Mệnh đề chứng minh 17 Tính giải tính ổn định nghiệm Trong trường hợp hệ khơng có trễ, ta loại bỏ điều kiện (2.5) hàm cục g bị chặn hàm phi tuyến f có độ tăng khơng q tuyến tính, tức là, Ψg (r) = Cg Ψf (r) = Cf (1 + r) Đặt Mψ = {u ∈ C T : ||u(t)||p ≤ ψ(t), t ∈ [0, T ]}, ψ nghiệm phương trình tích phân p t p ψ(t) = (||ϕ|| + Cg ) sup ||Sα (t)|| + CP t∈[0,T ] p−1 pα − CP = 2p Cfp sup ||Pα (t)||p t∈[0,T ] p−1 |m(s)|p (1 + ψ(s))ds, t ∈ [0, T ], T pα−1 Rõ ràng Mψ tập lồi, đóng bị chặn C T Ta chứng tỏ Mψ bất biến với toán tử nghiệm toán (2.8)-(2.9) Mệnh đề 2.2.2 Giả sử g bị chặn f có độ tăng tuyến tính, tức là, Ψg (r) = Cg , Ψf (r) = Cf (1 + r) với r ∈ R+ Với F toán tử nghiệm tốn (2.8)-(2.9), ta có F(Mψ ) ⊂ Mψ Chứng minh Toán tử nghiệm toán (2.8)-(2.9) xác định t F(u)(t) = Sα (t)[ϕ − g(u)] + (t − s)α−1 Pα (t − s)f (s, u(s))ds Do ||F(u)(t)|| ≤ (||ϕ|| + Cg ) sup ||Sα (t)|| t∈[0,T ] t + Cf (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)(1 + ||u(s)||)ds ≤ (||ϕ|| + Cg ) sup ||Sα (t)|| t∈[0,T ] t + Cf sup ||Pα (t)|| t∈[0,T ] (t − s)α−1 m(s)(1 + ||u(s)||)ds ≤ (||ϕ|| + Cg ) sup ||Sα (t)|| t∈[0,T ] p−1 + 2Cf sup ||Pα (t)|| pα − t∈[0,T ] p−1 p T t pα−1 p 18 p p p |m(s)| (1 + ||u(s)|| )ds , Tính giải tính ổn định nghiệm nh s dng bt ng thc Hăolder inequality Vy ||F(u)(t)||p ≤ (||ϕ|| + Cg )p sup ||Sα (t)||p t∈[0,T ] +2 p Cfp sup ||Pα (t)|| t∈[0,T ] p p−1 pα − p−1 T t pα−1 |m(s)|p (1 + ||u(s)||p )ds Bất đẳng thức chứng tỏ ||F(u)(t)||p ≤ ψ(t), ||u(t)||p ≤ ψ(t) for all t ∈ [0, T ] Ta có kết sau hệ Mệnh đề 2.2.1, 2.2.2 Định lý 1.2.3 Định lý 2.2.3 Giả sử giả thiết (A), (Fa) (Ga) thỏa mãn Nếu hàm g hoàn tồn liên tục bị chặn đều, hàm f có độ tăng tuyến tính, tập nghiệm tốn (2.8)-(2.9) khác rỗng compact 2.3 Tính ổn định tiệm cận Để thiết lập kết ổn định cho toán (1)-(2), ta xét toán không gian hàm liên tục bị chặn nửa khoảng vô hạn [−h, +∞): BC = {u ∈ C([−h, +∞); X) : sup ||u(t)|| < +∞}, t≥−h với chuẩn ||u||BC = sup ||u(t)|| t≥−h Ký hiệu πT , T > 0, hàm cắt BC, tức là, với D ⊂ BC, πT (D) hạn chế D đoạn [−h, T ] Khi độ đo không compact χBC trê BC xác định χBC (D) = sup χC (πT (D)) T >0 thỏa mãn tất tính chất nêu Định nghĩa 1.2.1 Sử dung Bổ đề 2.1.1, ta có tính chất nén toán tử nghiệm F BC Bổ đề 2.3.1 Giả sử (A), (F) (G) thỏa mãn với T > Khi tốn tử nghiệm F xác định BC χBC -nén t η sup ||Sα (t)|| + sup t≥0 t≥0 (t − s)α−1 k(t, s)ds < 19 (2.14) Tính giải tính ổn định nghiệm Để chứng minh tính ổn định nghiệm cho toán (1)-(2), ta cần giả thiết tính ổn định giải thức tốn tuyến tính Cụ thể (R) Các giải thức {Sα (t), Pα (t)}t≥0 ổn định tiệm cận, tức là, lim ||Sα (t)|| = 0, lim ||Pα (t)|| = t→∞ t→∞ Ta trường hợp, điều kiện (R) thỏa mãn Mệnh đề 2.3.2 Nếu nửa nhóm {T (t)}t≥0 sinh A ổn định mũ, tức là, tồn số dương a, M cho ||T (t)|| ≤ M e−at , (R) Chứng minh Gọi Eα,β hàm Mittag-Leffler, cho ∞ Eα,β (z) = n=0 zn , α, β > 0, z ∈ C Γ(αn + β) Sử dụng tính chất (xem [26]) ∞ ∞ φα (θ)e−zθ dθ = Eα,1 (−z), αθφα (θ)e−zθ dθ = Eα,α (−z), ta có ||Sα (t)|| ≤ ∞ ≤M ||Pα (t)|| ≤ φα (θ)||T (θtα )||dθ ∞ ∞ αθφα (θ)||T (θtα )||dθ ≤M α φα (θ)e−at θ dθ = M Eα,1 (−atα ), ∞ α αθφα (θ)e−at θ dθ = M Eα,α (−atα ) 20 Tính giải tính ổn định nghiệm Mặt khác, ta có khai triển tiệm cận Eα,β z → ∞ (xem [11]): Eα,β (z) = (1−β)/α exp z 1/α αz if | arg z| ≤ 21 πα, if | arg(−z)| ≤ (1 − 21 α)π, + εα,β (z) εα,β εα,β (z) = − N −1 n=1 z −n + O(|z|−N ), as z → ∞ Γ(β − αn) Như vậy, trường hợp ||Sα (t)|| ≤ M Eα,1 (−atα ) = M εα,1 (−atα ), ||Pα (t)|| ≤ M Eα,α (−atα ) = M εα,α (−atα ) Hai bất đẳng thức cuối chứng tỏ ||Sα (t)|| ||Pα (t)|| tiến đến t → +∞ Mệnh đề chứng minh Định lý sau cho ta tính chất ổn định tiệm cận nghiệm Định lý 2.3.3 Giả sử (A), (F), (G), (R) điều kiện (2.14) thỏa mãn Khi tồn nghiệm tích phân u toán (1)-(2) thỏa mãn lim u(t) = 0, Ψf (0) = t→+∞ lim inf Ψg (r) sup ||Sα (t)||+Ψf (2r) sup r→∞ r t≥0 t≥0 t (t−s)α−1 ||Pα (t−s)||m(s)ds < (2.15) Chứng minh Với ϕ ∈ Ch , sử dụng lý luận chứng minh Định lý 2.1.2, ta thấy điều kiện (2.15) đảm bảo tồn R > cho F(BR ) ⊂ BR Ta ký hiệu MR = {u ∈ BR : u(t) → t → +∞} Ta có F χBC -nén điều kiện (2.14), nên cần chứng minh F(MR ) ⊂ MR Giả sử u ∈ MR , ta chứng minh F(u)(t) → t → +∞ Với ǫ > cho trước, tồn t1 > cho ||u(t)||X < ǫ, với t ≥ t1 , ||u(t + τ )||X < ǫ, với t ≥ t1 + h, τ ∈ [−h, 0] 21 (2.16) (2.17) Tính giải tính ổn định nghiệm Sử dụng điều kiện (R), ta tìm t2 , t3 > cho ||Sα (t)|| < ǫ, for all t ≥ t2 , t1 +h (2.18) (t1 + h − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds < ǫ, với t ≥ t3 (2.19) Từ đó, với t > t1 + h, ||F(u)(t)|| ≤ ||Sα (t)||(||ϕ(0)||X + ||g(u)(0)||X ) t + (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)Ψf (||u(s)||X + sup ||u(s + τ )||X )ds t1 +h ≤ ||Sα (t)||(R + Ψg (R)) + Ψf (2R) t + Ψf (2ǫ) t1 +h ≤ ||Sα (t)||(R + Ψg (R)) + Ψf (2R) + Ψf (2ǫ) t1 +h (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds, t1 +h t τ ∈[−h,0] (t1 + h − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds Bây với t > max{t1 + h, t2 , t3 }, ta có ||F(u)(t)|| ≤ [R + Ψg (R) + Ψf (2R)]ǫ + C0 Ψf (2ǫ), t C0 = sup t≥0 (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds hữu hạn (2.5) Vì Ψf liên tục Ψf (0) = 0, nên Ψf (2ǫ) → ǫ → Vậy F(MR ) ⊂ MR Định lý 1.2.3 đảm bảo tồn nghiệm tích phân u(·, ϕ) hệ (1)-(2) MR Định lý chứng minh Hệ 2.3.4 Giả sử giả thiết Định lý 2.3.3 Ψg (0) = Ψf (0) = Nếu nghiệm toán (1)-(2) với giá trị ban đầu ϕ, nghiệm ổn định tiệm cận Chứng minh Do Ψg (0) = Ψf (0) = 0, u = nghiệm (1)(2) ứng với giá trị ban đầu ϕ = Kết luận suy từ Định lý 2.3.3 22 Tính giải tính ổn định nghiệm Nhận xét 2.3.1 Tính nghiệm tốn (1)-(2) kiểm tra ta thay (F) (G) giả thiết mạnh sau đây: (F∗ ) hàm phi tuyến f thỏa mãn f (t, 0, 0) = ||f (t, u, ξ) − f (t, v, η)||X ≤ m(t)(||u − v||X + ||ξ − η||Ch ), m ∈ Lploc (R+ ), p > α1 (G∗ ) Hàm g thỏa mãn g(0) = với điều kiện Lipschitz: ||g(u) − g(v)||Ch ≤ η||u − v||BC , với u, v ∈ BC Trong trường hợp α = 1, ta biết Sα (t) = Pα (t) = T (t), ta có L(S1 )(λ) = L(P1 )(λ) = (λI − A)−1 = L(T )(λ) Ngoài hàm cục bị loại bỏ với trễ hàm phi tuyến, tức g = 0, h = f = f (t, u), điều kiện (2.5) chuyển thành t ||T (t − s)||m(s)ds < (2.20) lim inf Ψf (r) sup r→∞ r t≥0 Trong trường hợp đặc biệt hơn, Ψf (r) = r, m số ||T (t)|| ≤ e−at , điều kiện (2.20) thỏa mãn với m < a Điều kiện kết báo Travis Webb [25] Ngược lại với trường hợp α = 1, < α < 1, toán phức tạp theo nghĩa giải thức Sα (t) Pα (t) khơng có tính chất ổn định mũ giống T (t) t → +∞ 2.4 Ví dụ áp dụng Xét tốn phương trình đạo hàm riêng bậc phân số sau đây: ∂tα u(x, t) = ∂x2 u(x, t) + µ(t) ln(1 + u2 (x, t)) t π + dy t−h ξ(t, y)K(x, y, u(y, s))ds, α ∈ (0, 1], (2.21) 23 Tính giải tính ổn định nghiệm với x ∈ (0, π), t > 0, thỏa mãn điều kiện biên: (2.22) u(0, t) = u(π, t) = 0, điều kiện ban đầu không cục bộ: p u(x, s) + j=1 βj u(x, tj + s) = ϕ(x, s), s ∈ [−h, 0], x ∈ [0, π], (2.23) βj ∈ R, tj > 0, j = 1, , p, cho trước Trong mơ hình này, ∂tα đạo hàm Caputo bậc α theo biến thời gian t, ∂x đạo hàm suy rộng theo biến x Với A = ∂x2 có miền xác đinh D(A) = H (0, π) ∩ H01 (0, π) X = L2 (0, π) với chuẩn π ||v|| = |v(x)|2 dx , ta biết A sinh nửa nhóm compact (và liên tục theo chuẩn) {T (t)}t≥0 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M e−t , t ≥ Rõ ràng giải thức {Sα (t), Pα (t)}t≥0 compact ổn định tiệm cận Bổ đề 1.1.1 Mệnh đề 2.3.2 Vậy giả thiết (A) (R) kiểm tra Liên quan đến hàm phi tuyến phương trình (2.21), ta giả thiết µ ∈ Lploc (R+ ), p > α1 , hàm không âm, ξ liên tục |ξ(t, y)| ≤ ν(t) với y ∈ [0, π], t ≥ 0, ν ∈ Lploc (R+ ); K xác định [0, π] × [0, π] × R cho K liên tục K(x, y, 0) = 0, |K(x, y, z1 ) − K(x, y, z2 )| ≤ w(x)|z1 − z2 |, ∀x, y ∈ [0, π], z1 , z2 ∈ R, với w ∈ L2 (0, π) Khi √ ||f2 (t, φ)|| ≤ ν(t)||w|| π −h √ ||φ(·, s)||ds ≤ ν(t)||w||h π φ 24 Ch Tính giải tính ổn định nghiệm Với f1 (t, z) = µ(t) ln(1 + z ), ta có f1 (t, 0) = 0, |f1 (t, z1 ) − f (t, z2 )| ≤ µ(t)|z1 − z2 |, ∀t ≥ 0, z1 , z2 ∈ R Do hàm phi tuyến f (t, v, φ) = f1 (t, v) + f2 (t, φ) √ thỏa mãn (F∗ ) với m(t) = µ(t) + ν(t)||w||h π, Ψf (r) = r Đối với hàm không cục bộ, ta thấy g(u)(s) = N j=1 βj u(tj + s) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với số Lipschitz η = N j=1 βj Do vậy, (G∗ ) thỏa mãn Do Ψg (r) = Ψf (r) = r, ta thấy điều kiện (2.5) tương đương với t η sup ||Sα (t)|| + sup t≥0 t≥0 (t − s)α−1 ||Pα (t − s)||m(s)ds < (2.24) Chú ý rằng, Pα (t) compact với t > nên ta có k(t, s) = 0, (2.24) suy (2.14) Do (2.24) thỏa mãn nghiệm (2.21)-(2.23) ổn định tiệm cận 25 Tài liệu tham khảo [1] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina, B.N Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin, 1992 [2] C.T Anh, L.V Hieu, Existence and uniform asymptotic stability for an abstract differential equation with infinite delay, Electron J Diff Eqns Vol 2012 (2012), No 51, 1-14 [3] E.G Bajlekova, Fractional Evolution Equations in Banach Spaces, PhD Thesis, 2001 [4] T.A Burton, Stability by Fixed Point Theory for Functional Differential Equations, Dover Publications, New York, 2006 [5] T.A Burton, T Furumochi, Fixed points and problems in stability theory for ordinary and functional differential equations, Dyn Sys Appl 10 (2001), 89-116 [6] L Byszewski, Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J Math Anal Appl 162 (1991), 494-505 [7] Y.-K Chang, M.M Arjunan, G.M N’guérékata, V Kavitha, On global solutions to fractional functional differential equations with infinite delay in Fréchet spaces, Comput Math Appl 62 (2011), 1228-1237 [8] X.W Dong, J.Z Wang, Y Zhou, On nonlocal problems for fractional differential equations in Banach spaces, Opuscula Mathematica 31 (2011), 341-357 [9] R.D Driver, Ordinary and Delay Differential Equations, SpringerVerlag, New York Inc., 1977 26 Tính giải tính ổn định nghiệm [10] J.K Hale, S.M Verduyn Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Springer, 1993 [11] H.J Haubold, A.M Mathai, R.K Saxena, Mittag-Leffler functions and their applications, J Appl Math Vol 2011, Art ID 298628, 51 pages [12] E.M Hernández, Existence of solutions to a second order partial differential equation with nonlocal conditions, J Differential Equations 51 (2003), 1-10 [13] L Hu, Y Ren, R Sakthivel, Existence and uniqueness of mild solutions for semilinear integro-differential equations of fractional order with nonlocal conditions, Semigroup Forum 79 (2009), 507514 [14] G.-F Jesús, Existence results and asymptotic behavior for nonlocal abstract Cauchy problems, J Math Anal Appl 338 (2008), 639-652 [15] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca, Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001 [16] T.D Ke, V Obukhovskii, N.-C Wong, J.-C Yao, On semilinear integro-differential equations with nonlocal conditions in Banach spaces, Abstract and Applied Analysis, Volume 2012 (2012), Article ID 137576, 26 pages [17] A.A Kilbas, H.M Srivastava, J.J Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam, 2006 [18] Y Lin, J.H Liu, Semilinear integrodifferential equations with nonlocal Cauchy problem, Nonlinear Anal 26 (1996), 1023-1033 [19] J.H Liu, A remark on the mild solutions of non-local evolution equations, Semigroup Forum 66 (2003), 63-67 27 Tính giải tính ổn định nghiệm [20] H Liu, J.-C Chang, Existence for a class of partial differential equations with nonlocal conditions, Nonlinear Anal 70 (2009), 3076-3083 [21] K S Miller, B Ross, An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, A Wiley-Interscience Publication John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993 [22] G.M N’Guérékata, A Cauchy problem for some fractional abstract differential equation with nonlocal conditions, Nonlinear Anal 70 (2009), 1873-1876 [23] I Podlubny, Fractional Differential Equations An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Mathematics in Science and Engineering 198 Sandiego, CA: Academic Press, 1999 [24] T.I Seidman, Invariance of the reachable set under nonlinear perturbations, SIAM J Control Optim 25 (5) (1987), 1173-1191 [25] C.C Travid, G.F Webb, Existence and stability for partial functional differential equations, Trans Amer Math Soc 200 (1974), 395-418 [26] R.-N Wang, D.-H Chena, T.-J Xiao, Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J Differential Equations 252 (2012), 202-235 [27] Z Zhang, B Liu, Existence of mild solutions for fractional evolution equations, J Frac Calc Appl (2012), 1-10 [28] Y Zhou, F Jiao, Nonlocal Cauchy problem for fractional evolution equations, Nonlinear Anal.: RWA 11 (2010), 4465-4475 [29] Y Zhou, F Jiao, Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations, Comp Math Appl 59 (2010), 1063-1077 [30] T Zhu, C Song, G Li, Existence of mild solutions for abstract semilinear evolution equations in Banach spaces, Nonlinear Anal 75 (2012), 177-181 28 ... HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— PHAN VĂN LỢI NGHIỆM ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:... trung vào tính giải nghiệm Một toán quan trọng thú vị lý thuyết phương trình vi tích phân nghiên cứu tính ổn định nghiệm Trong nghiên cứu ổn định nghiệm cho hệ vi phân với đạo hàm bậc nguyên (không... cơng nghệ Phương trình vi phân bậc phân số cho phép mơ hình hóa nhiều tốn lưu biến học, điện hóa học, mạng điện tử, nhớt đàn hồi, Chi tiết vấn đề sở phương trình vi phân bậc phân số tìm thấy sách