ISSN 1859 3100 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ Tập 14, Số 6 (2017) 146 156 HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE NATURAL SCI[.]
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC ISSN: 1859-3100 HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ Tập 14, Số (2017): 146-156 NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY Vol 14, No (2017): 146-156 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn MỘT LỚP MỞ RỘNG KÉP CỦA MỘT VÀI ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC CHIỀU Nguyễn Thị Mộng Tuyền* Khoa Sư phạm Toán Tin - Trường Đại học Đồng Tháp Ngày Tòa soạn nhận bài: 15-3-2017; ngày phản biện đánh giá: 05-5-2017; ngày chấp nhận đăng: 19-6-2017 TĨM TẮT Trong báo này, chúng tơi đưa lớp mở rộng kép vài đại số Lie toàn phương giải chiều liệt kê [4] Kết thu phần toán phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều phương pháp mở rộng kép Từ khóa: đại số Lie tồn phương giải được, mở rộng kép ABSTRACT A double extension class of some solvable quadratic Lie algebras of dimension In this paper, we study and come up with result that a class double extension of some of solvable quadratic Lie algebras of dimension listed in [4] The result is a part of classification of solvable quadratic Lie algebras of dimension by applying the method of double extension Keywords: solvable quadratic Lie algebra, double extension Mở đầu Trong vài thập niên gần đây, toán phân loại đại số Lie tồn phương (giải hay khơng giải được) vấn đề thời nhiều nhà toán học giới quan tâm Nhắc lại rằng, đại số Lie toàn phương đại số Lie hữu hạn chiều trường đóng đại số F với dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến khơng suy biến Để thấy rõ tính thời vấn đề, trước hết điểm lại số cơng trình tiêu biểu khoảng ba thập niên gần • Năm 1987, Favre Santharoubane [1] phân loại đại số Lie toàn phương lũy linh chiều bé bằng phương pháp mở rộng kép khơng gian véctơ tồn phương • Năm 2003, Baum Kath [2] phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều bé • Năm 2007, Kath [3] phân loại đại số Lie toàn phương lũy linh chiều bé 10 phương pháp đối đồng điều tồn phương • Năm 2014, Duong [4] phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều bé bằng phương pháp mở rộng kép khơng gian véctơ tồn phương * Email: ntmtuyen@dthu.edu.vn TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số (2016): 146156 • Năm 2008, Campoamor Stursberg [6] phân loại đại số Lie tồn phương khơng giải chiều bé • Năm 2014, Benayadi [7] phân loại đại số Lie tồn phương khơng giải chiều bé 13 Như vậy, thời điểm này, chưa có kết phân loại lớp đại số Lie toàn phương giải chiều lớn Đây động lực để chúng tơi hướng đến nghiên cứu tốn phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều cách mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải chiều [4] Mặc dù hạn chế số chiều 9, vấn đề phức tạp Trong báo này, chúng tơi giới thiệu lớp mở rộng kép hồn toàn ba đại số Lie toàn phương giải chiều Bài báo bố cục sau: Phần nêu vấn đề đặt toán nghiên cứu Phần nhắc lại phân loại đại số Lie toàn phương giải đến chiều [4] Phần giới thiệu kết báo lớp hoàn toàn đại số Lie giải chiều Phân loại đại số Lie toàn phương giải đến 7-chiều Định nghĩa 2.1 [5] Cho đại số Lie hữu hạn chiều G trường F Một dạng song tuyến tính B : G× G →F gọi là: Đối xứng B(X ,Y ) = B(Y , X ), ∀X ,Y ∈G Không suy biến B(X ,Y ) = 0,∀Y ∈G X = Bất biến (hay kết hợp) B([ X ,Y ], Z ) = B(X ,[Y , Z ]),∀X ,Y , Z ∈G Khi đó, (G, B) gọi đại số Lie toàn phương Ta kiểm tra I iđêan G I⊥ (tức là, I ⊥ = { X ∈G B ( X ,Y ) = 0, ∀Y ∈ I } ) iđêan G Hơn nữa, I không suy biến (tức là, B I × I khơng suy biến) I ⊥ khơng suy biến G= I ⊕ I ⊥ Trong trường hợp này, ta kí hiệu G = I I ⊥ Nhớ lại rằng, đại số Lie toàn phương G gọi bất khả ⊕ phân khơng chứa iđêan thực khơng suy biến Ngược lại, gọi G khả phân Rõ ràng, X ∈ Z ( G) , B ( X , X ) ≠ G khả phân Định nghĩa 2.2 [5] Cho (h, [.,.]h , B) đại số Lie toàn phương D đạo hàm phản xứng h (tức là, D thỏa mãn B(D( X ),Y ) = −B(X , D(Y )),∀X ,Y ∈h) Chúng ta định nghĩa không gian véctơ G = h⊕ Fe ⊕ Ff TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM tích: Nguyễn Thị Mộng Tuyền [ X ,Y ] = [ X ,Y ]h + B( D( X ),Y ) f , [e, X ] = D( X ), ∀X , Y ∈h, [ f , G] = Khi G gọi đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính bất biến BG xác định bởi: BG (e, e) = BG( f , f ) = BG(e,h) = BG ( f ,h) = 0, BG( X ,Y ) = B( X ,Y ), B(e, f ) = 1, ∀X ,Y ∈G Chúng ta gọi G mở rộng kép h D mở rộng kép chiều h Kí hiệu (G, BG, D) Mở rộng kép phương pháp hữu ích sử dụng thường xuyên toán phân loại Trong định nghĩa trên, h aben D ≠ G2 = { 0} dimGd2 = (với G2 = [ G,G] , [ G, G] ) G mở rộng kép bước Mệnh đề 2.3 [5] Cho G đại số Lie toàn phương D , D2 đạo hàm phản xứng G Nếu D1 − D2 = ad ( X ), X ∈G mở rộng kép G D1 , D2 đẳng cấu Mệnh đề 2.4 [5] Cho (G, B) đại số Lie toàn phương giải được, dimG = n, (n ≤ 6) Nếu n ≤ G aben Nếu n = G đẳng cấu đẳng cự với F G4 = span{X , P, Q, Z}, B(X , Z ) = B(P,Q) = 1, [ X , P] = P, [ X , Q] = −Q, [P,Q] = Z ⊥ Nếu n = G đẳng cấu đẳng cự với F , G ⊕ F G = span{X , X ,T , Z , Z } 2 cho B(X1, Z1) = B( X , Z2 ) = B(T ,T ) = 1, [ X , X ] = T , [X ,T ] = −Z , [X ,T ] = 2 Z1 ⊥ Nếu n= G đẳng cấu G6 = span{X1 , X , X , Z1 , Z2 , Z3}, đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie ⊥ F , G4 ⊕F , G5⊕F B( X1, Z1) = B( X , Z2 ) = B( X , Z3 ) =1 G đẳng cự với sau: (i) G6,1 : [ X1 , X ] = Z3 , [ X , X ] = Z1 , [ X , X1 ] = Z2 (ii) G6,2 ( λ ) : [ X , X1 ] = X1, [ X , X ] = λ X , [ X , Z1 ] = −Z1, [ X , Z2 ] = − λZ2 ,[ X1, Z1 ] = Z3 , [ X , Z2 ] = λZ3 (iii) G6,3 : [ X 3, X 1] = X 1, [ X 3, X 2] = X + X 2, [ X , Z1 ] = −Z1 − Z2 , [ X , Z ] = − Z2 , [ X1, Z1 ] = Z3 , [ X2 , Z2 ] = Z3 , [X , Z1 ] = Z3 Mệnh đề 2.5 [4] Cho (G, B) đại số Lie toàn phương giải chiều ⊥ Nếu G khả phân G đẳng cấu đẳng cự với G6 ⊕F, G6 đại số Lie toàn phương giải chiều Mệnh đề 2.4 Nếu G bất khả phân tồn sở {X1, X , X3 ,T , Z1, Z2 , Z3} G cho dạng song tuyến tính B xác định B( X , Z ) = B(X , Z ) 1 2 = B(X , Z3) = B(T ,T ) = G đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie sau: (i) Z3 , G7,1 : [ X3 , X2 ] = X1, [X ,T ] = X , [X , Z1 ] = −Z2 , [ X3 , Z2 ] = −T , [ X , Z1 ] = [T , Z2 ] = Z3 (ii) G7 ,2 : [ X3, X1] = X1, [ X3,T ] = X2 , [ X3, Z1] = −Z1, [ X3, Z2 ] = −T , [ X1, Z1] = Z3, [T , Z2 ] = Z3 (iii) G7,3 : [ X3, X1] = X1, [X3, X ] = − X2 , [ X3, Z1] = −Z1, [X3, Z2] = −Z2, [ X1, Z1] = Z3 , [ X , Z2 ] = −Z3 , [ X1, X ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X ,T ] = Z1 Với kết Mệnh đề 2.5, nghỉ đến việc giải tốn phân loại đại số Lie tồn phương giải chiều phương pháp mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải chiều Dưới vài kết ban đầu mà thu được: Một lớp mở rộng kép vài đại số Lie toàn phương giải chiều Mệnh đề 2.5 Định lí 3.1 ⊥ Gọi D đạo hàm phản xứng đại số Lie tồn phương G6,1 ⊕ F Khi ma trận biểu diễn D sở {X1, X , X , Z1, Z2 , Z3 ,Y} xác định sau: − −x2 x1 −y − y − z1 −z2 D= 0 t −t − x3 −y x1 + y2 0 0 0 0 0 x y z 0 t , x , y , z , ∈F, i = 1, 2, i 1 x y z 2 0 x3 y3 −t −t 0 −(x1 + y2 ) t t3 0 ⊥ i i i Nếu ti = 0, i = 1, 2, mở rộng kép G6,1 ⊕ F D là: G9,1 : [ X1 , X ] = Z3 , [ X , X ] = Z1 , [ X , X1 ] = Z2 = Z2 G9 ,2 : [e, X2 ] = X1,[e, Z1] = −Z2 , [ X1, X2 ] = Z3,[ X2, X3 ] = Z1, [X , Z1] = f ,[X3, X1] G9,3 : [e, X ] = X1, [e, X3] = X2, [e, Z1] = −Z2, [e, Z2 ] = −Z3, [X1, X ] = Z3, [X 2, X3] = Z1, [ X , Z1] = f , [ X , X1 ] = Z2 , [ X , Z2 ] = f G9 ,4 : [e, X ] = X2 , [e, X3] = − X3, [e, Z2 ] = −Z2, [e, Z3] = Z3, [ X1, X ] = Z3,[ X 2, X3] = Z1, [ X , Z2 ] = f , [ X , X1 ] = Z2 , [ X , Z3 ] = − f G9,5 : [e, X1 ] = X1,[e, X ] = X1 + X ,[e, X ] = −2 X ,[e, Z1] = −Z1 − Z2 ,[e, Z2 ] = −Z2 , [e, Z3 ] = 2Z3 , [ X1, X ] = Z3 , [ X , X1 ] = Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X , X ] = Z1,[ X , Z1] = f , [ X , Z2 ] = f , [ X3 , Z3 ] = −2 f G9 ,6 : [e, X1 ] = X1 ,[e, X ] = α X ,[e, X ] = (−1− α ) X , [e, Z1 ] = −Z1, [e, Z2 ] = − α Z2 , [e, Z3 ] = (1+ α )Z3 , [X , X ] = Z3 , [X , X1 ] = Z2 , [X1, Z1 ] = f , [X , X ] = Z1,[X , Z2 ] = α f , [ X 3, Z3 ] = (−1− α ) f Chứng minh Giả sử ⊥ h = G6,1 ⊕ F = span{X1 , X , X , Z1 , Z2 , Z3 ,Y }, với [ X1, X ] = Z3 , [ X , X3 ] = Z1, [ X , X1 ] = Z2 dạng song móc Lie tuyến tính B( X1 , Z1 ) = B( X , Z2 ) = B( X , Z3 ) = B( X , X ) = Nếu D đạo hàm phản xứng h sở chọn Ta tính ma trận biểu diễn D : − x1 − y −z1 D= −x2 −y −z2 −b −x3 −y x1 + y2 −c b c1 c2 −t −t −t 1 −c 0 0 0 x y z 1 x2 y2 z2 x3 y3 ) −(x1 + y2 2 0 0 t1 , xi , yi , zi , ti , b1, c1, c2 t2 t3 0 Theo Mệnh đề 2.3 ta chọn b1 = c1 = c2 = Khi ta xét ma trận D sau: D= 0 A − At B −B t 0 với −x1 A= −y −z1 −x2 −y −z ) Đặt −x3 , B=(t t −y t x +y 2 ⊥ ⊥ ∈ F, i = 1, 2, G = h⊕ Fe ⊕ Ff Xét đẳng cấu P : G6,1 ⊕ F →G6,1 ⊕ F cho P = Q ⊗ id với Q đẳng cấu G6,1 id ánh xạ đồng F Nếu chọn B = vết A xét trường hợp sau ma trận A : 0 A = 0 móc Lie G xác định bởi: [ X , ] = Z [ X , ] = Z , X , X 3 0 [ X , X1 ] = Z2 A = 0 0 0 móc Lie G xác định bởi: [e, X ] = X1, [e, Z1] = −Z2 , [ X1, X ] = Z3 , [ X , X ] = Z1, [ X , Z1 ] = f , [ X , X1 ] = Z2 0 móc Lie G xác định bởi: [e, A = 0 X 0 0 ] = X1, [e, X ] = X , [e, Z1 ] = −Z2 , [e, Z2 ] = −Z3 , [ X1, X ] = Z3 , [ X , X ] = Z1, [ X , Z1 ] = f , [ X , X1 ] = Z2 , [ X , Z2 ] = f A = 0 móc Lie G xác định bởi: [e, X ] = X , [e, X ] = 2 0 −1 − X3 , [e, Z2 ] = −Z2 ,[e, Z3 ] = Z3 , [ X1, X ] = Z3 , [ X , X3 ] = Z1 , [ X , Z2 ] = f , [ X3 , X1] = Z2 , [ X , Z3 ] = − f A = 1 0 móc Lie G xác định bởi: [e, X 1] = X 1, [e, X ] = −2 X1 + X , [e, X ] = −2 X , [e, Z1 ] = −Z1 − Z2 , [e, Z2 ] = −Z2 , [e, Z3 ] = 2Z3 , [ X1, X ] = Z3 , [ X , X1 ] = Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X , X ] = Z1, [ X , Z1] = f ,[ X , Z2 ] = f , [ X , Z3 ] A = 0 α 0 −1− α = −2 f móc Lie G xác định bởi: [e, X ] = X , 1 [e, X ] = α X , [e, X ] = (−1− α ) X , [e, Z1 ] = −Z1, [e, Z2 ] = − α Z2 , [e, Z3 ] = (1+ α )Z3 , [ X1, X 2] = Z3 , [ X , X1 ] = Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X , X ] = Z1, [ X , Z2 ] = α f , [ X , Z3 ] = (−1− α ) f ⊥ Nhận xét 3.2 Ta có mở rộng kép G6,1 ⊕ F Định lí 3.1 khả phân, X ∈ Z (G) B(X , X ) ≠ Định lí 3.3 ⊥ Gọi D đạo hàm phản xứng đại số Lie G 5⊕F Khi ma trận biểu diễn D sở {X1, X ,T , Z1, Z2 ,Y1,Y2} xác định bởi: −x1 −x − y1 0 x1 0 0 D= A 0 y − x B 1 − At −Bt 0 C Nếu x3 = y3 = y4 = 0, x4 = với A = (x3 y3 ), B = (x4 y4 ), C ∈ o(2), xi , yi ∈ F, i = 1, 2, 3, 0 0 0 x 0 x ⊥ mở rộng kép G5 ⊕F D là: G9 ,7 : [e, X1] = −Y2 , [e,Y2 ] = Z1, [X1, X2 ] = T , [X1,T ] = −Z2 , [X1,Y2 ] = − f , [X ,T ] = Z1 G9,8 : [e, X1 ] = −Y2 , [e, X ] = X1, [e, Z1] = −Z2 , [e,Y2 ] = Z1, [ X1, X ] = T ,[ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ] = − f , [ X ,T ] = Z1, [ X , Z1] = f G9,9 : [e, X1 ] = X1 − Y2 , [e, X ] = − X ,[e, Z1 ] = −Z1,[e, Z2 ] = Z2 , [e,Y2 ] = Z1, [ X1, X ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X1,Y2 ] = − f , [ X ,T ] = Z1, [ X , Z2 ] = − f G9,10 : [e, X1 ] = −Y2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [ X1, X ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ] = − f , [ X ,T ] = Z1, [Y1,Y2 ] = f G9,11 : [e, X1] = −Y2 , [e, X ] = X1, [e, Z1 ] = −Z2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 −Y1, [ X1, X ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ] = − f , [ X ,T ] = Z1 , [ X , Z1 ] = [Y1,Y2 ] = f G9,12 : [e, X1 ] = X1 − Y2 , [e, X ] = − X , [e, Z1 ] = −Z1, [e, Z2 ] = Z2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [X1, X ] = T, [ X1,T ] = −Z2 , [X1 , Z1 ] = f, [ X , Z2 ] = − f , [Y1,Y2 ] = f Chứng minh Giả sử ⊥ h = G ⊕ F2 , chọn sở [ X1,Y2 ] = − f , [X ,T ] = Z1, {X , X ,T , Z , Z } [ X1, X ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X ,T ] = Z1, B( X1, Z1 ) = B( X , Z2 ) = B(T ,T ) = giao {Y1, Y2} F G cho sở trực Gọi D đạo hàm phản xứng G sở {X1, X ,T , Z1, Z2 ,Y1,Y2} Ta tính ma trận biểu diễn D sau: − x1 −x a D = 01 −c c t −A − y1 x 0 0 0 −a x x a2 1 −Bt −a2 y1 −x1 0 A B C với A = (x x ), B = ( y y ), C ∈ o(2), x , y , a , a , c ∈ F, i = 1, 2, 3, Theo Mệnh đề 2.3, 4 i i ta chọn a1 = a2 = c1 = Khi −x1 −x − y1 x0 D = 0 0 − At −Bt 0 00 00 x 00 x 0 −x1 y1 0 00 A B C Đặt G = h⊕ Fe ⊕ Ff Nếu đẳng cấu ⊥ đẳng cấu 0 C∈ −1, , G5 id F = ⊥ P : G ⊕F →G ⊕F cho P = Q ⊗ id với Q C ∈o(2) nên F Vì đồng dạng với ma trận dạng Jordan F ánh xạ đồng −x1 − y1 −x x 0 1 x4 0 1 xE3 = 1 có vết nên F∈ , , E= Nếu Đặt −1 0 0 0 y y 4 ta xét trường hợp sau:0 01 F = 0 móc Lie G xác định [e, X ] = −Y , 0,C= bởi: 0 0 [e,Y2 ] = Z1, [X , X ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ] = − f , [X ,T ] = Z1 0 02 F = 1 móc Lie G xác định [e, X ] = −Y , bởi: 0,C= 0 0 [e, X2 ] = X1, [e, Z1] = −Z2 , [e,Y2 ] = Z1, [ X1, X ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ] = − f , [ X ,T ] = Z1, [ X , Z1 ] = f 0 0 F = ,C= móc Lie G xác định bởi: [e, X ] = X 1 −1 0 −Y2 , [e, X ] = − X2, [e, Z1 ] = −Z1, [e, Z2 ] = Z2 , [e,Y2 ] = Z1, [ X1, X ] = T , [ X1 ,T ] = −Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [X1 ,Y2 ] = − f , [ X2 ,T ] = Z1, [X , Z2 ] = − f móc Lie G xác định bởi: 04 F = −1 0 [e, X ] = −Y , 0,C= 0 0 1 [e,Y1] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [X1, X ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1 ,Y2 ] = − f , [ X ,T ] = Z1, [Y1,Y2 ] = f 05 F = móc Lie G xác định bởi: [e, X ] = −Y , −1 1 0,C= 0 [e, X ] = X1, [e, Z1 ] = −Z2 , −Z2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [ X1, X ] = T , [ X1,T ] = [ X1,Y2 ] = − f , [X ,T ] = Z1, [ X2 , Z1 ] = [Y1,Y2 ] = f 0 − 1 F = móc Lie G xác định bởi: [e, X ] = X ,C= 1 −1 −Y2 , [e, X ] = − X , [e, Z1] = −Z1, [e, Z2 ] = Z2 , [e,Y1] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [X1, X ] = T , [ X1,T ] = −Z2 ,[ X1, Z1 ] = f ,[ X1,Y2 ] = − f ,[ X ,T ] = Z1,[ X , Z2 ] = − f ,[Y1,Y2 ] = f Nhận xét 3.4 Ta thấy G9,7 , G9,8 , G9,9 khả phân, có Y1 ∈ Z ( G) , B ( Y1,Y1 ) mở rộng kép bước, G9,12 G9,10 , G9,11 ≠ 0, bất khả phân Định lí 3.5 Gọi D đạo hàm phản xứng đại số Lie G7 ,1 Khi ma trận biểu diễn D sở {X1, X , X3 ,T , Z1, Z2 , Z3} xác định bởi: 0 −b4 0 0 0 0 0 −x b4 0 − y1 0 0 0 0 0 0 D= 0 x 02 Nếu x2 = y1 = b4 = 0 y1 0 0 , x , y1 , b4 0 ∈ F mở rộng kép G7, D G9,13 với móc Lie [ X , X3 ] = − X1, [ X , Z1 ] = Z3 , [X ,T ] = X , [X , Z1 ] = −Z2 , [ X , Z2 ] = −T , [T , Z2 ] = Z3 Chứng minh Chọn sở tắc {X , X , X ,T , Z , Z , Z3} G7, cho móc Lie [ X3 , X2 ] = X1, [X ,T ] = X , [X , Z1 ] = −Z2 , [ X3 , Z2 ] = −T , [ X , Z1 ] = Z3 , Z3 [T , Z2 ] = dạng song tuyến tính B( X , Z ) = B( X , Z ) = B( X , Z B(T ,T ) = Gọi D đạo 1 2 3 )= hàm phản xứng G7 ,1 Ta tính ma trận biểu diễn D : −e4 D= − f4 0 0 0 x −e 2 − f5 t −b4 −e4 0 y1 b4 − y1 0 0 0 e − x2 e2 0 −t e4 f4 f5 ∈ F , e2 , e4 , f4 , f5 , t2 , x2 , y1 , b4 0 0 Theo Mệnh đề 2.3 ta chọn f = e = f = e = t = Ta ma trận D : 4 2 0 D= 0 00 00 00 − x2 0 0 x Đặt 0 0 b −b4 00 −0y1 00 0 0 0 y1 x , y , ∈ F 00 b24 , 0 0 0 G = G7,1 ⊕ Fe ⊕ Ff Nếu x2 = y1 = b4 = móc Lie G xác định bởi: [ X , X ] = − X1, [ X , Z1 ] = Z3 , [ X ,T ] = X , [ X , Z1 ] = −Z2 , [ X , Z2 ] = −T , [T , Z2 ] = Z3 Nhận xét 3.6 Ta thấy G9,13 mở rộng kép bước h= span{ e, X1, X ,T , Z1, Z2 , f } Kết luận Bài báo nêu lại định lí phân loại đại số Lie tồn phương giải chiều bé [4], [5] Hơn nữa, báo đưa lớp mở rộng kép ⊥ ⊥ đại số Lie toàn phương giải G6,1 ⊕ F , G5 ⊕F2 G7 ,1 Với kết này, hi vọng thời gian ngắn tới hồn thành tốn phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều phương pháp mở rộng kép Lời cảm ơn: Nghiên cứu hỗ trợ đề tài mã số CS2015.01.37 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] TÀI LIỆU THAM KHẢO G Favre and L J Santharoubane, “Symmetric, invariant, non-degenerate bilinear form on a Lie algebra,” J Algebra 105, pp.451-464, 1987 H Baum and I Kath, “Doubly extended Lie groups – curvature, holonomy and parallel spinors,” Differential Geom Appl 19, no 3, pp.253–280, 2003 I Kath, “Nilpotent metric Lie algebras of small dimension,” J Lie Theory 17, no 1, pp.4161, 2007 M T Duong (2014, Jul), Solvable quadratic Lie algebras of dimension at most 8, Arxiv:1407.6775v1 M T Duong, G Pinczon and R Ushirobira, “A new invariant of quadratic Lie algebras,” Algebra Represent Theory 15, pp.1163-1203, 2012 R Campoamor-Stursberg, “Quasi-classical Lie algebras and their contractions,” Int J Theor Phys 47, no 2, pp.583–598, 2008 S Benayadi and A Elduque (2014, Apr), Classification of quadratic Lie algebras of low dimensio, arXiv: 1404.5174v1 [math.RA] V Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Cambridge University Press, New York, 1985 ... chưa có kết phân loại lớp đại số Lie toàn phương giải chiều lớn Đây động lực để chúng tơi hướng đến nghiên cứu tốn phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều cách mở rộng kép đại số Lie toàn phương. .. vi? ??c giải tốn phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều phương pháp mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải chiều Dưới vài kết ban đầu mà thu được: Một lớp mở rộng kép vài đại số Lie toàn phương. .. loại đại số Lie toàn phương giải đến chiều [4] Phần giới thiệu kết báo lớp hoàn toàn đại số Lie giải chiều Phân loại đại số Lie toàn phương giải đến 7-chiều Định nghĩa 2.1 [5] Cho đại số Lie hữu