tích vững của các hệ vi phân tuyến tính nhị phân mũ không đều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Thị Vân TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH NHỊ PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Thị Vân TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH NHỊ PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2012 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời mở đầu 4 1 Nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều 5 1.1 Khái niệm nhị phân mũ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Quan hệ giữa nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều . . . 7 1.4 Tính vững của nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Tính vững của nhị phân mũ đều 9 2.1 Một số bổ đề kỹ thuật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Tính vững của nhị phân mũ đều trên nửa trục dương . . . . . . . 11 2.3 Tính vững của nhị phân mũ đều trên toàn trục . . . . . . . . . . 16 3 Tính vững của nhị phân mũ không đều 17 3.1 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên nửa trục dương . . . 17 3.1.1 Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.2 Cấu trúc của nghiệm bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.3 Phép chiếu và tính bất biến của toán tử tiến hóa . . . . . 22 3.1.4 Đặc trưng của nghiệm bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.5 Các ước lượng bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.6 Ước lượng chuẩn cho toán tử tiến hóa . . . . . . . . . . . 27 3.1.7 Chứng minh các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên toàn trục . . . . . . 32 2 3.2.1 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên nửa trục âm 32 3.2.2 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên toàn trục . . 35 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 3 LỜI MỞ ĐẦU Một trong những tính chất quan trọng của nhị phân mũ là tính vững. Tính vững nghĩa là không bị thay đổi bởi nhiễu của ma trận hệ số. Nội dung chính của luận văn nghiên cứu về tính vững của nhị phân mũ không đều. Nhị phân mũ không đều là trường hợp suy rộng rất mạnh của nhị phân mũ đều. Gần đây, từ năm 2005 Luis Barreira và Claudia Valls đã nghiên cứu một cách hệ thống khái niệm nhị phân mũ không đều (xem [5] và [10]). Luận văn được chia làm ba chương: Chương 1. Nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều. Chương này sẽ nêu ra định nghĩa của nhị phân mũ đều, nhị phân mũ không đều, mối quan hệ giữa chúng và định nghĩa về tính vững của nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều. Chương 2. Tính vững của nhị phân mũ đều. Chương này trình bày tính vững của nhị phân mũ đều trên nửa trục dương và tính vững của nhị phân mũ đều trên toàn trục số R. Chương 3. Tính vững của nhị phân mũ không đều. Đây là nội dung chính của luận văn. Trong chương này trình bày tính vững của nhị phân mũ không đều trên từng nửa khoảng vô hạn và tính vững trên toàn trục số R thông qua việc chứng minh chi tiết các định lý về tính vững của nhị phân mũ không đều. Hà Nội, ngày 30 tháng 04 năm 2012. 4 Chương 1 Nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều 1.1 Khái niệm nhị phân mũ đều Trong không gian R n , xét một ánh xạ liên tục t → A(t) sao cho A(t) là toán tử tuyến tính bị chặn trên R n với mỗi t ≥ 0 và phương trình x  = A(t)x. (1.1) Gọi X(t) là ma trận cơ bản của (1.1), tức là nghiệm của (1.1) thỏa mãn x(t) = X(t)x(0). Gọi X(t, s) = X(t)X −1 (s) là ma trận tiến hóa của (1.1). Khi đó: Định nghĩa 1.1. Phương trình (1.1) được gọi là có nhị phân mũ đều nếu tồn tại phép chiếu P và các hằng số K, α ≥ 0 sao cho: i) ||X(t, s)P (s)|| ≤ Ke −α(t−s) với t ≥ s, ii) ||X(s, t)Q(t)|| ≤ Ke −α(t−s) với s ≥ t. Trong đó, Q = Id − P là phép chiếu bù của phép chiếu P . Định nghĩa trên tương đương với các Mệnh đề sau. 5 Mệnh đề 1.2. Phương trình (1.1) có nhị phân mũ đều khi và chỉ khi R n = S⊕U và tồn tại K, α > 0 sao cho: i) ||X(t)X −1 (s)x|| ≤ Ke −α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ S, ii) ||X(t)X −1 (s)y|| ≤ Ke −α(s−t) ||y|| với s ≥ t, y ∈ U. Mệnh đề 1.3. Phương trình (1.1) có nhị phân mũ đều khi và chỉ khi tồn tại họ các phép chiếu P (t) thỏa mãn sup t∈R ||P (t)|| < ∞ với P (t)X(t, s) = X(t, s)P (s) ∀t ≥ s và tồn tại các hệ số K, α > 0 sao cho i) ||X(t, s)x|| ≤ Ke −α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ Im P (s), ii) ||X(t, s)x|| ≤ Ke −α(t−s) ||x|| với s ≥ t, x ∈ Im Q(s), trong đó Q(t) = Id −P(t). 1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều Cho X là không gian Banach, hàm toán tử A : J → B(X) là một hàm liên tục trong khoảng mở J ⊂ R, và B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Ta xét bài toán giá trị ban đầu: v  = A(t)v v(s) = v s (1.2) trong đó s ∈ J và v s ∈ X. Chúng ta viết nghiệm duy nhất của phương trình (1.2) dưới dạng v(t) = T (t, s)v(s) trong đó T (t, s) là toán tử tiến hóa kết hợp, rõ ràng chúng ta có T(t, t) = Id và T (t, s) = T (t, r)T (r, s). (1.3) Trong trường hợp này thì T(t, s) khả nghịch và T −1 (t, s) = T (s, t). Định nghĩa 1.4. Chúng ta nói phương trình (1.2) có nhị phân mũ không đều trên J nếu tồn tại phép chiếu P : J → B(X) với: P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s) ∀t > s, (1.4) 6 và tồn tại các hệ số: a < 0 ≤ b, a, b ≥ 0, D 1 , D 2 ≥ 1 (1.5) sao cho ||T (t, s)P (s)|| ≤ D 1 e a(t−s)+a|s| ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D 2 e −b(t−s)+b|t| (1.6) trong đó Q(t) = Id −P(t). 1.3 Quan hệ giữa nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều Nhận xét 1.5. So sánh hai định nghĩa về nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều thì ta thấy hệ nhị phân mũ không đều có thêm một lượng mũ a|s| hoặc b|t|. Mọi hệ nhị phân mũ đều đều là hệ nhị phân mũ không đều. Điều ngược lại không đúng. Để minh họa cho điều này, ta xét ví dụ sau đây. Ví dụ 1.6. Cho w > a > 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R 2 u  = (−w − at sin t)u, v  = (w + at sin t)v. (1.7) Mệnh đề 1.7. Hệ (1.7) là một nhị phân mũ không đều trong R nhưng không là nhị phân mũ đều. Chứng minh. Có thể dễ dàng kiểm tra rằng u(t) = U(t, s)u(s) và v(t) = V (t, s)v(s) trong đó U(t, s) = e −wt+ws+at cos t−as cos s−a sin t+a sin s , V (t, s) = e wt−ws−at cos t+as cos s+a sin t−a sin s . Toán tử kết hợp của hệ (1.7) là T (t, s)(u, v) = (U(t, s)u, V (t, s)v). Giả sử P (t) là phép chiếu P (t)(u, v) = u, rõ ràng P thỏa mãn điều kiện (1.4). Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại D sao cho U(t, s) ≤ De (−w+a)(t−s)+2a|s| với t ≥ s, (1.8) 7 và V (s, t) ≤ De −(w+a)(t−s)+2a|t| với t ≥ s. (1.9) Trước tiên chúng ta viết lại U(t, s) như sau: U(t, s) = e (−w+a)(t−s)+at(cos t−1)−as(cos s−1)+a(sin s−sin t) . (1.10) Với t, s ≥ 0 thì từ (1.10) có U(t, s) ≤ e 2a e (−w+a)(t−s)+2as . Hơn nữa nếu t = 2kπ, s = (2l − 1)π với k, l ∈ N thì U(t, s) = e (−w+a)(t−s)+2as . (1.11) Với t ≥ 0, s ≤ 0 thì từ (1.10) suy ra U(t, s) ≤ e 2a e (−w+a)(t−s) . Cuối cùng nếu s ≤ t ≤ 0 thì từ (1.10) suy ra U(t, s) ≤ e 2a e (−w+a)(t−s)+2a|t| ≤ e 2a e (−w+a)(t−s)+2a|s| . Kết hợp lại ta suy ra được (1.8) với D = e 2a và việc chứng minh cho V (t, s) trong (1.9) là hoàn toàn tương tự. Hơn nữa nếu t = −2kπ, s = −(2l − 1)π thì V (s, t) = e −(w+a)(t−s)+2a|t| . (1.12) Từ việc thỏa mãn (1.8), (1.9) thì hệ (1.7) là hệ nhị phân mũ không đều. Lại theo (1.11) và (1.12) thì không thể bỏ được e 2a|s| và e 2a|t| bằng cách cho D hoặc w − a đủ lớn, điều này suy ra hệ (1.7) không là nhị phân mũ đều. Như vậy ta hoàn toàn kết thúc chứng minh mệnh đề. 1.4 Tính vững của nhị phân mũ Hệ x  = A(t)x có nhị phân mũ đều (không đều). Ta nói rằng nhị phân là vững nếu δ = sup t ||B(t)|| đủ nhỏ thì hệ x  = [A(t) + B(t)]x (1.13) cũng có nhị phân mũ đều (không đều). 8 Chương 2 Tính vững của nhị phân mũ đều Tính vững được chứng minh lần đầu tiên bởi Massera và Sch¨affer (1958) dưới giả thiết rằng ma trận hệ số là bị chặn. Sau đó, Sch¨affer đã bỏ giả thiết này. Tất cả các chứng minh đó đều dùng công cụ giải tích hàm. Cuối cùng, dựa vào định lý đồ thị đóng. Coppel (1967) đã đưa ra một cách chứng minh đầy đủ. Ông chỉ ra rằng trường hợp tổng quát có thể được đưa về trường hợp riêng đơn giản hơn rất nhiều mà trong đó ma trận hệ số A(t) giao hoán với phép chiếu P của nhị phân mũ với mỗi t. Đó là một kết quả rất hữu ích, tuy nhiên chứng minh là không trực tiếp. Một chứng minh cơ bản và trực tiếp được đưa ra bởi Dalecki ˘ i và Kre ˘ in (1970), nhưng dưới giả thiết A(t) là bị chặn. Ở đây, chúng ta sẽ chỉ ra rằng giả thiết đó có thể được loại bỏ một cách dễ dàng. 2.1 Một số bổ đề kỹ thuật Bổ đề 2.1. Cho φ(t) là một hàm giá trị thực liên tục, bị chặn sao cho: φ(t) ≤ Ke −αt + θα ∞  0 e −α|t−u| φ(u)du ∀t ≥ 0. Trong đó K, α và θ là các hằng số dương. Nếu θ < 1 2 thì φ(t) ≤ ρKe −βt ∀t ≥ 0 với β = α(1 −2θ) 1/2 , ρ = θ −1 {1 −(1 − 2θ) 1/2 }. 9 [...]... (2.3) có nhị phân mũ trên mỗi nửa đường thẳng R+ , R− với cùng phép chiếu Q và bởi vậy có nhị phân mũ trên R với phép chiếu Q ( và số mũ α − 2Kδ) 16 Chương 3 Tính vững của nhị phân mũ không đều Trong mục này, chúng ta nghiên cứu tính vững của nhị phân mũ không đều trên các nửa khoảng vô hạn Trường hợp nhị phân mũ không đều trên R xem trong mục 3.2 3.1 3.1.1 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên... minh xong 31 3.2 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên toàn trục Để phát biểu tính vững của nhị phân mũ không đều trên R, đầu tiên chúng ta cần xem xét các trường hợp riêng biệt của nhị phân mũ trên các khoảng J = [ , +∞) với ≤ 0, và J = (−∞, ζ] với ζ ≥ 0 Các khoảng có dạng thứ nhất ta đã xét trong Định lý 3.1 Bây giờ chúng ta nghiên cứu các khoảng có dạng thứ hai đơn giản bằng cách đảo ngược thời... Y (t) là ma trận cơ bản của (2.3) sao cho Y (0) = I và phép chiếu Q có cùng không gian nhân với phép chiếu P Hơn nữa |Y (t)QY −1 (t) − X(t)P X −1 (t)| ≤ 4α−1 K 3 δ ∀t ≥ 0 15 2.3 Tính vững của nhị phân mũ đều trên toàn trục Tính vững của nhị phân mũ trên R được suy ra từ Mệnh đề 2.3 Giả sử có (2.2) trên R và α δ = sup |B(t)| < 4K 2 t∈R thì phương trình nhiễu (2.3) có nhị phân mũ trên mỗi nửa đường thẳng... = θ−1 {1 − (1 − 2θ)1/2 } với 0 ≤ t ≤ s; K, α, θ là các hằng số dương Nếu θ < với 0 ≤ t ≤ s, β = α(1 − 2θ)1/2 2.2 Tính vững của nhị phân mũ đều trên nửa trục dương Bây giờ xét A(t) là một hàm ma trận liên tục với t ≥ 0, X(t) là ma trận cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính x = A(t)x (2.1) thỏa mãn X(0) = I Giả sử phương trình (2.1) có nhị phân mũ vậy thì tồn tại một phép chiếu P và hằng số α, K... chứng minh của định lý này Chúng ta tiếp tục sử dụng các hằng số c và D trong (3.2) 3.2.1 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên nửa trục âm Định lý 3.13 Các phát biểu trong Định lý 3.1 đúng với khoảng J = (−∞, ζ] với ζ ≥ 0 Chứng minh Cách chứng minh tương tự như chứng minh của Định lý 3.1, và vì vậy chúng ta sẽ chỉ chỉ ra những điểm khác biệt chính Đặt H = {(t, s) ∈ J × J : t ≤ s}, và xét không gian... trục dương Các định lý Với các ký hiệu: a < 0 ≤ b, D1 , D2 ≥ 1, a, b ≥ 0 ta đặt: c = min{−a, b}, ϑ = max{a, b}, D = max{D1 , D2 } (3.1) 2δD D và D = c 1 − δD/(c + c) (3.2) c=c 1− Sau đây là những kết quả chính của tính vững Chúng ta xét tính vững trong khoảng J = [ , +∞) với ≤ 0 Định lý 3.1 (Xem [10]) Cho A, B : J → B(X) là các hàm liên tục sao cho: 17 1) phương trình (1.2) có nhị phân mũ không đều trong... 3.1.3 Phép chiếu và tính bất biến của toán tử tiến hóa Ta vẫn ký hiệu T (t, s) là toán tử tiến hóa kết hợp của phương trình (1.13) Với mỗi t ∈ J ta định nghĩa toán tử tuyến tính P (t) = T (t, 0)U (0, 0)T (0, t) và Q(t) = Id − P (t) (3.16) Chúng ta muốn chỉ ra rằng toán tử tiến hóa xác định một nhị phân mũ không đều với phép chiếu P (t) Ta bắt đầu bằng vi c chỉ ra rằng toán tử tuyến tính P (t) là một... trình (1.13) có nhị phân mũ không đều trong J với các hằng số c, ϑ và D tương ứng được thay thế bởi c, 2ϑ và 4DD Chú ý rằng, đặt θ = 2δD , hằng số trong (3.2) thỏa mãn c 1 1 c = c 1 − θ − θ2 − 2 8 và 1 1 D = D 1 + θ + θ2 + 4 8 = c − δD − δ 2 D2 − 2c δD δ 2 D3 =D+ + + 2c 2c2 Định lý 3.2 (Xem [10]) Cho A, B : J → B(X) là các hàm liên tục sao cho phương trình (1.2) có nhị phân mũ không đều trong khoảng... bằng Y −1 (s)ξ thì thu được nhị phân mũ: |Y (t)QY −1 (s)| ≤ Le−β(t−s) với t ≥ s ≥ 0, |Y (t)(I − Q)Y −1 (s)| ≤ Le−β(s−t) với s ≥ t ≥ 0, trong đó L = (1 − 2η)−1 ρK 2 1 1 Do đó cần k ≥ 1 Điều kiện η < là thỏa mãn nếu θ < 2 4K Mệnh đề 2.3 Giả sử phương trình vi phân (2.1) có nhị phân mũ (2.2) trên R+ Nếu α sup |B(t)| < 4K 2 t∈R+ thì phương trình nhiễu (2.3) cũng có nhị phân mũ: 5 2 −(α−2Kδ)(t−s) K e với... được các ước lượng chuẩn ||P (t)|| ≤ 4Deϑ|t| và ||Q(t)|| ≤ 4Deϑ|t| với t ∈ H bất kỳ Kết hợp với Bổ đề 3.18 chúng ta có ||T (t, s)P (s)|| ≤ De−c(t−s)+ϑ|s| ||P (s)|| ≤ 4DDe−c(t−s)+2ϑ|s| với t ≥ s ∈ H, và ||T (t, s)Q(s)|| ≤ De−c(s−t)+ϑ|s| ||Q(s)|| ≤ 4DDe−c(s−t)+2ϑ|s| với t ≤ s ∈ H Định lý được chứng minh xong 3.2.2 Tính vững của nhị phân mũ không đều trên toàn trục Bây giờ chúng ta xét trường hợp nhị phân . Nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều. Chương này sẽ nêu ra định nghĩa của nhị phân mũ đều, nhị phân mũ không đều, mối quan hệ giữa chúng và định nghĩa về tính vững của nhị phân mũ đều và nhị phân. Quan hệ giữa nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều Nhận xét 1.5. So sánh hai định nghĩa về nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều thì ta thấy hệ nhị phân mũ không đều có thêm một lượng mũ. phân mũ đều và nhị phân mũ không đều. Chương 2. Tính vững của nhị phân mũ đều. Chương này trình bày tính vững của nhị phân mũ đều trên nửa trục dương và tính vững của nhị phân mũ đều trên toàn trục