Tính vững của các hệ vi phân tuyến tính nhị phân mũ không đều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Thị Vân TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH NHỊ PHÂN MŨ KHƠNG ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Thị Vân TÍNH VỮNG CỦA CÁC HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH NHỊ PHÂN MŨ KHƠNG ĐỀU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2012 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Nhị 1.1 1.2 1.3 1.4 5 Tính vững nhị phân mũ 2.1 Một số bổ đề kỹ thuật 2.2 Tính vững nhị phân mũ nửa trục dương 2.3 Tính vững nhị phân mũ toàn trục 9 11 16 Tính vững nhị phân mũ khơng 3.1 Tính vững nhị phân mũ không nửa trục dương 3.1.1 Các định lý 3.1.2 Cấu trúc nghiệm bị chặn 3.1.3 Phép chiếu tính bất biến tốn tử tiến hóa 3.1.4 Đặc trưng nghiệm bị chặn 3.1.5 Các ước lượng bổ sung 3.1.6 Ước lượng chuẩn cho toán tử tiến hóa 3.1.7 Chứng minh định lý 3.2 Tính vững nhị phân mũ khơng toàn trục 17 17 17 19 22 23 25 27 29 32 phân mũ nhị phân mũ không Khái niệm nhị phân mũ Khái niệm nhị phân mũ không Quan hệ nhị phân mũ nhị phân mũ Tính vững nhị phân mũ không 3.2.1 3.2.2 Tính vững nhị phân mũ khơng nửa trục âm Tính vững nhị phân mũ khơng tồn trục 32 35 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 LỜI MỞ ĐẦU Một tính chất quan trọng nhị phân mũ tính vững Tính vững nghĩa không bị thay đổi nhiễu ma trận hệ số Nội dung luận văn nghiên cứu tính vững nhị phân mũ khơng Nhị phân mũ không trường hợp suy rộng mạnh nhị phân mũ Gần đây, từ năm 2005 Luis Barreira Claudia Valls nghiên cứu cách hệ thống khái niệm nhị phân mũ không (xem [5] [10]) Luận văn chia làm ba chương: Chương Nhị phân mũ nhị phân mũ không Chương nêu định nghĩa nhị phân mũ đều, nhị phân mũ không đều, mối quan hệ chúng định nghĩa tính vững nhị phân mũ nhị phân mũ khơng Chương Tính vững nhị phân mũ Chương trình bày tính vững nhị phân mũ nửa trục dương tính vững nhị phân mũ toàn trục số R Chương Tính vững nhị phân mũ khơng Đây nội dung luận văn Trong chương trình bày tính vững nhị phân mũ khơng nửa khoảng vơ hạn tính vững tồn trục số R thơng qua việc chứng minh chi tiết định lý tính vững nhị phân mũ không Hà Nội, ngày 30 tháng 04 năm 2012 Chương Nhị phân mũ nhị phân mũ không 1.1 Khái niệm nhị phân mũ Trong không gian Rn , xét ánh xạ liên tục t → A(t) cho A(t) tốn tử tuyến tính bị chặn Rn với t ≥ phương trình x = A(t)x (1.1) Gọi X(t) ma trận (1.1), tức nghiệm (1.1) thỏa mãn x(t) = X(t)x(0) Gọi X(t, s) = X(t)X −1 (s) ma trận tiến hóa (1.1) Khi đó: Định nghĩa 1.1 Phương trình (1.1) gọi có nhị phân mũ tồn phép chiếu P số K, α ≥ cho: i) ||X(t, s)P (s)|| ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s, ii) ||X(s, t)Q(t)|| ≤ Ke−α(t−s) với s ≥ t Trong đó, Q = Id − P phép chiếu bù phép chiếu P Định nghĩa tương đương với Mệnh đề sau Mệnh đề 1.2 Phương trình (1.1) có nhị phân mũ Rn = S ⊕U tồn K, α > cho: i) ||X(t)X −1 (s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ S, ii) ||X(t)X −1 (s)y|| ≤ Ke−α(s−t) ||y|| với s ≥ t, y ∈ U Mệnh đề 1.3 Phương trình (1.1) có nhị phân mũ tồn họ phép chiếu P (t) thỏa mãn sup ||P (t)|| < ∞ với P (t)X(t, s) = X(t, s)P (s) t∈R ∀t ≥ s tồn hệ số K, α > cho i) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ Im P (s), ii) ||X(t, s)x|| ≤ Ke−α(t−s) ||x|| với s ≥ t, x ∈ Im Q(s), Q(t) = Id − P(t) 1.2 Khái niệm nhị phân mũ không Cho X không gian Banach, hàm toán tử A : J → B(X) hàm liên tục khoảng mở J ⊂ R, B(X) tập tốn tử tuyến tính bị chặn X Ta xét toán giá trị ban đầu: v = A(t)v (1.2) v(s) = vs s ∈ J vs ∈ X Chúng ta viết nghiệm phương trình (1.2) dạng v(t) = T (t, s)v(s) T (t, s) tốn tử tiến hóa kết hợp, rõ ràng có T (t, t) = Id T (t, s) = T (t, r)T (r, s) (1.3) Trong trường hợp T (t, s) khả nghịch T −1 (t, s) = T (s, t) Định nghĩa 1.4 Chúng ta nói phương trình (1.2) có nhị phân mũ không J tồn phép chiếu P : J → B(X) với: P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s) ∀t > s, (1.4) tồn hệ số: a < ≤ b, a, b ≥ 0, D1 , D2 ≥ (1.5) cho ||T (t, s)P (s)|| ≤ D1 ea(t−s)+a|s| ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D2 e−b(t−s)+b|t| (1.6) Q(t) = Id − P (t) 1.3 Quan hệ nhị phân mũ nhị phân mũ không Nhận xét 1.5 So sánh hai định nghĩa nhị phân mũ nhị phân mũ khơng ta thấy hệ nhị phân mũ khơng có thêm lượng mũ a|s| b|t| Mọi hệ nhị phân mũ đều hệ nhị phân mũ không Điều ngược lại không Để minh họa cho điều này, ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.6 Cho w > a > hệ số thực hệ phương trình R2 u = (−w − at sin t)u, v = (w + at sin t)v (1.7) Mệnh đề 1.7 Hệ (1.7) nhị phân mũ không R không nhị phân mũ Chứng minh Có thể dễ dàng kiểm tra u(t) = U (t, s)u(s) v(t) = V (t, s)v(s) U (t, s) = e−wt+ws+at cos t−as cos s−a sin t+a sin s , V (t, s) = ewt−ws−at cos t+as cos s+a sin t−a sin s Toán tử kết hợp hệ (1.7) T (t, s)(u, v) = (U (t, s)u, V (t, s)v) Giả sử P (t) phép chiếu P (t)(u, v) = u, rõ ràng P thỏa mãn điều kiện (1.4) Ta tồn D cho U (t, s) ≤ De(−w+a)(t−s)+2a|s| với t ≥ s, (1.8) V (s, t) ≤ De−(w+a)(t−s)+2a|t| với t ≥ s (1.9) Trước tiên viết lại U (t, s) sau: U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+at(cos t−1)−as(cos s−1)+a(sin s−sin t) (1.10) Với t, s ≥ từ (1.10) có U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2as Hơn t = 2kπ, s = (2l − 1)π với k, l ∈ N U (t, s) = e(−w+a)(t−s)+2as (1.11) Với t ≥ 0, s ≤ từ (1.10) suy U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s) Cuối s ≤ t ≤ từ (1.10) suy U (t, s) ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2a|t| ≤ e2a e(−w+a)(t−s)+2a|s| Kết hợp lại ta suy (1.8) với D = e2a việc chứng minh cho V (t, s) (1.9) hoàn toàn tương tự Hơn t = −2kπ, s = −(2l − 1)π V (s, t) = e−(w+a)(t−s)+2a|t| (1.12) Từ việc thỏa mãn (1.8), (1.9) hệ (1.7) hệ nhị phân mũ không Lại theo (1.11) (1.12) khơng thể bỏ e2a|s| e2a|t| cách cho D w − a đủ lớn, điều suy hệ (1.7) không nhị phân mũ Như ta hoàn toàn kết thúc chứng minh mệnh đề 1.4 Tính vững nhị phân mũ Hệ x = A(t)x có nhị phân mũ (khơng đều) Ta nói nhị phân vững δ = sup ||B(t)|| đủ nhỏ hệ t x = [A(t) + B(t)]x có nhị phân mũ (khơng đều) (1.13) Chương Tính vững nhị phân mũ Tính vững chứng minh lần đầu tiờn bi Massera v Schă affer (1958) di gi thit ma trận hệ số bị chặn Sau đó, Schă affer ó b gi thit ny Tt c cỏc chứng minh dùng cơng cụ giải tích hàm Cuối cùng, dựa vào định lý đồ thị đóng Coppel (1967) đưa cách chứng minh đầy đủ Ông trường hợp tổng quát đưa trường hợp riêng đơn giản nhiều mà ma trận hệ số A(t) giao hoán với phép chiếu P nhị phân mũ với t Đó kết hữu ích, nhiên chứng minh không trực tiếp Một chứng minh trực tiếp đưa Dalecki˘i Kre˘in (1970), giả thiết A(t) bị chặn Ở đây, giả thiết loại bỏ cách dễ dàng 2.1 Một số bổ đề kỹ thuật Bổ đề 2.1 Cho φ(t) hàm giá trị thực liên tục, bị chặn cho: ∞ φ(t) ≤ Ke−αt + θα e−α|t−u| φ(u)du ∀t ≥ 0 Trong K, α θ số dương Nếu θ < φ(t) ≤ ρKe−βt ∀t ≥ với β = α(1 − 2θ)1/2 , ρ = θ−1 {1 − (1 − 2θ)1/2 } Theo Bổ đề 3.10 Bổ đề 3.5 với τ ≥ t J có: ||P (τ )T (τ, t)|| ≤ De−c(τ −t)+ϑ|t| ||P (t)|| (3.36) Theo (3.35), sử dụng bất đẳng thức thứ hai (1.4) ta thu được: ∞ e−c(τ −t)+ϑ|τ | e−2ϑ|τ | e−c(τ −t)+ϑ|t| dτ ||Q(t)P (t)|| ≤ δDD||P (t)|| t ∞ (3.37) e−(c+c−ϑ)(τ −t) dτ = ≤ δDD||P (t)|| DDδ ||P (t)|| c+c−ϑ t c > ϑ Tương tự từ (3.33) với t = s suy t P (t)Q(t) = T (t, τ )P (τ )B(τ )Q(τ )T (τ, t)dτ (3.38) Theo Bổ đề 3.11 (3.32) với τ ≤ t J ta có: ||Q(τ )T (τ, t)|| ≤ De−c(t−τ )+ϑ|t| ||Q(t)|| (3.39) Theo (3.38), sử dụng bất đẳng thức thứ (1.4) ta được: t e−c(t−τ )+ϑ|τ | e−2ϑ|τ | e−c(t−τ )+ϑ|t| dτ ||P (t)Q(t)|| ≤ δDD||Q(t)|| ∞ (3.40) e−(c+c−ϑ)(t−τ ) dτ = ≤ δDD||Q(t)|| DDδ ||Q(t)|| c+c−ϑ t Suy ra: P (t) − P (t) = P (t) − P (t)P (t) − P (t) + P (t)P (t) = (Id − P (t))P (t) − P (t)(Id − P (t)) (3.41) = Q(t)P (t) − P (t)Q(t) Từ (3.37) (3.40) suy ra: ||P (t) − P (t)|| ≤ δDD ||P (t)|| + ||Q(t)|| c+c−ϑ 30 (3.42) Mặt khác, theo (1.4) với t = s ta có: ||P (t)|| ≤ Deϑ|t| ||Q(t)|| ≤ Deϑ|t| Theo (3.42) có: ||P (t)|| ≤ ||P (t) − P (t)|| + ||P (t)|| ≤ δDD ||P (t)|| + ||Q(t)|| + Deϑ|t| c+c−ϑ ||Q(t) − Q(t)|| = ||P (t) − P (t)|| có ||Q(t)|| ≤ ||P (t) − P (t)|| + ||Q(t)|| ≤ δDD ||P (t)|| + ||Q(t)|| + Deϑ|t| c+c−ϑ Vậy ||P (t)|| + ||Q(t)|| ≤ 2δDD ||P (t)|| + ||Q(t)|| + 2Deϑ|t| , c+c−ϑ 1− 2δDD c+c−ϑ ||P (t)|| + ||Q(t)|| ≤ 2Deϑ|t| Cho δ đủ nhỏ cho 2δDD ≤ c+c−ϑ thu được: ||P (t)|| + ||Q(t)|| ≤ 4Deϑ|t| suy bất đẳng thức cần chứng minh Bổ đề chứng minh xong Kết hợp (3.36) (3.34) với τ ≥ t J có: ||P (τ )T (τ, t)|| ≤ De−c(τ −t)+ϑ|t| ||P (t)|| ≤ 4DDe−c(τ −t)+2ϑ|t| Tương tự kết hợp (3.39) (3.34) với τ ≤ t J có: ||Q(τ )T (τ, t)|| ≤ De−c(t−τ )+ϑ|t| ||Q(t)|| ≤ 4DDe−c(t−τ )+2ϑ|t| Định lý chứng minh xong 31 3.2 Tính vững nhị phân mũ khơng tồn trục Để phát biểu tính vững nhị phân mũ khơng R, cần xem xét trường hợp riêng biệt nhị phân mũ khoảng J = [ , +∞) với ≤ 0, J = (−∞, ζ] với ζ ≥ Các khoảng có dạng thứ ta xét Định lý 3.1 Bây nghiên cứu khoảng có dạng thứ hai đơn giản cách đảo ngược thời gian chứng minh định lý Chúng ta tiếp tục sử dụng số c D (3.2) 3.2.1 Tính vững nhị phân mũ khơng nửa trục âm Định lý 3.13 Các phát biểu Định lý 3.1 với khoảng J = (−∞, ζ] với ζ ≥ Chứng minh Cách chứng minh tương tự chứng minh Định lý 3.1, chỉ điểm khác biệt Đặt H = {(t, s) ∈ J × J : t ≤ s}, xét khơng gian Banach D = {V : H → B(X) : V liên tục ||V || < ∞} (3.43) với chuẩn ||V || = sup{||V (t, s)||e−ϑ|s| : (t, s) ∈ H} Lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 3.3 Bổ đề 3.4 thành lập kết Bổ đề 3.14 Phương trình Z = [A(t) + B(t)]Z có nghiệm V ∈ D cho với (t, s) ∈ H, s V (t, s) = T (t, s)Q(s) − T (t, τ )Q(τ )B(τ )V (τ, s)dτ t (3.44) t + T (t, τ )P (τ )B(τ )V (τ, s)dτ −∞ 32 Hơn nữa, V (s, τ )V (τ, t) = V (s, t) với t ≥ τ ≥ s ∈ H Ký hiệu T (t, s) tốn tử tiến hóa kết hợp phương trình (1.13) Với t ∈ J xét toán tử tuyến tính Q(t) = T (t, 0)V (0, 0)T (0, t) P (t) = Id − Q(t) Bổ đề 3.15 Toán tử P (t) phép chiếu, P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s), t ≥ s Cách chứng minh bổ đề tương tự chứng minh Bổ đề 3.5 Để thu ước lượng chuẩn cho T (t, s)P (s) t ≥ s T (t, s)Q(t) t ≤ s, bắt đầu với kết Bổ đề 3.16 Cho trước s ∈ H, y : (−∞, s] → X nghiệm bị chặn phương trình (1.13) với y(s) = ξ, t y(t) = T (t, s)Q(s)ξ − T (t, τ )Q(τ )B(τ )y(τ )dτ s t + T (t, τ )P (τ )B(τ )y(τ )dτ −∞ Chứng minh Theo công thức biến thiên số, với t ≤ s ∈ H, s P (s)ξ = T (s, t)P (t)y(t) + T (s, τ )P (τ )B(τ )y(τ )dτ (3.45) T (s, τ )Q(τ )B(τ )y(τ )dτ (3.46) t s Q(s)ξ = T (s, t)Q(t)y(t) + t Do y(t) bị chặn, có ||T (s, t)P (t)y(t)|| ≤ CDe−c(s−t)+ϑ|t| , C = sup{||y(t)|| : t ≤ s ∈ H} 33 Hơn nữa, s s e−c(s−τ ) dτ = ||T (s, τ )P (τ )|| · ||B(τ )|| · ||y(τ )||dτ ≤ DδC −∞ DδC c −∞ Lấy giới hạn (3.45) t → −∞, a > ϑ thu s P (s)ξ = T (s, τ )P (τ )B(τ )y(τ )dτ −∞ Bởi (3.46) kết luận s s T (t, τ )P (τ )B(τ )y(τ )dτ − P (t)y(t) = −∞ T (t, τ )P (τ )B(τ )y(τ )dτ t t = T (t, τ )Q(τ )B(τ )y(τ )dτ −∞ Điều phải chứng minh suy từ đồng thức (3.46) Tiến hành chứng minh Bổ đề 3.7 ta thu kết Bổ đề 3.17 Hàm (−∞, s] ∩ J t ≤ s ∈ H có, t −→ Q(t)T (t, s) bị chặn, với s Q(t)T (t, s) = T (t, s)Q(s)Q(s) − T (t, τ )Q(τ )B(τ )T (τ, s)Q(s)dτ t t T (t, τ )P (τ )B(τ )T (τ, s)Q(s)dτ + −∞ Bổ đề 3.18 Chúng ta có ||T (t, s)|Im P (s)|| ≤ De−c(t−s)+ϑ|s| , t ≥ s ∈ H, ||T (t, s)|Im Q(s)|| ≤ De−c(s−t)+ϑ|s| , t ≤ s ∈ H 34 Chứng minh Chứng minh khẳng định thứ hai tương tự chứng minh Bổ đề 3.10 Cụ thể là, từ Bổ đề 3.17 với ξ ∈ X hàm số y : (−∞, s] → [0, +∞) cho y(t) = Q(t)T (t, s)ξ nghiệm bị chặn (1.13) Do vậy, bất đẳng thức suy từ Bổ đề 3.9 với = −∞ Chứng minh khẳng định thứ tương tự chứng minh Bổ đề 3.11 Cụ thể là, sử dụng lập luận tương tự với t ≥ s, t P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s)P (s) + T (t, τ )Q(τ )B(τ )P (τ )T (τ, s)dτ t + T (t, τ )P (τ )B(τ )P (τ )T (τ, s)dτ s Khẳng định suy dễ dàng từ Bổ đề 3.8 Cuối cùng, với δ đủ nhỏ, tiến hành tương tự chứng minh Bổ đề 3.12 thu ước lượng chuẩn ||P (t)|| ≤ 4Deϑ|t| ||Q(t)|| ≤ 4Deϑ|t| với t ∈ H Kết hợp với Bổ đề 3.18 có ||T (t, s)P (s)|| ≤ De−c(t−s)+ϑ|s| ||P (s)|| ≤ 4DDe−c(t−s)+2ϑ|s| với t ≥ s ∈ H, ||T (t, s)Q(s)|| ≤ De−c(s−t)+ϑ|s| ||Q(s)|| ≤ 4DDe−c(s−t)+2ϑ|s| với t ≤ s ∈ H Định lý chứng minh xong 3.2.2 Tính vững nhị phân mũ khơng tồn trục Bây xét trường hợp nhị phân mũ R Định lý 3.19 (Xem [10]) Khẳng định Định lý 3.1 với J = R 35 Chứng minh Xét tập G = {(t, s) ∈ R × R : t ≥ s} H = {(t, s) ∈ R × R : t ≤ s} Chúng ta xét không gian C D (3.7) (3.43) liên kết với G H tương ứng Chú ý cách lặp lại lập luận chứng minh Định lý 3.2 3.13 sử dụng tập này, thấy toán tử P+ (t) := T (t, 0)U (0, 0)T (0, t), Q− (t) := T (t, 0)V (0, 0)T (0, t) phép chiếu với t ∈ R, cho với t, s ∈ R, P+ (t)T (t, s) = T (t, s)P+ (s), Q− (t)T (t, s) = T (t, s)Q− (s), ||T (t, s)| Im P+ (s)|| ≤ De−c(t−s)+ϑ|s| , t ≥ s (3.47) ||T (t, s)| Im Q− (s)|| ≤ De−c(s−t)+ϑ|s| , t ≤ s (3.48) Thực vậy, ý Bổ đề 3.8 3.9 với hàm có dạng x : [s, +∞) −→ [0, +∞) y : (−∞, s] −→ [0, +∞) tương ứng, với s ∈ R Điều cho phép thiết lập (3.47) (3.48) tương ứng Sử dụng đồng thức P (0)P+ (0) = P (0), P+ (0)P (0) = P+ (0) (3.49) Q(0)Q− (0) = Q(0), Q− (0)Q(0) = Q− (0), (3.50) thiết lập kết Bổ đề 3.20 Nếu δ đủ nhỏ, tốn tử S = P+ (0) + Q− (0) khả nghịch Chứng minh Đặt P− (0) = Id − Q− (0), từ (3.50) suy P (0)P− (0) = P− (0) Sử dụng (3.49) có P+ (0) + Q− (0) − Id = P+ (0) − P (0) + P (0) − P− (0) = P+ (0) − P (0)P+ (0) + P (0) − P (0)P− (0) = Q(0)P+ (0) + P (0)Q− (0) 36 Theo Bổ đề 3.14, P (0)Q− (0) = P (0)V (0, 0) =− T (0, τ )P (τ )B(τ )V (τ, 0)dτ, −∞ theo Bổ đề 3.3, Q(0)P+ (0) = Q(0)U (0, 0) ∞ =− T (0, τ )Q(τ )B(τ )U (τ, 0)dτ Để đánh giá hai tích phân này, cần thu ước lượng chuẩn U (t, 0) t ≥ V (t, 0) t ≤ Sử dụng (3.9) (1.4) thu t ||U (t, 0)|| ≤ ||T (t, 0)P (0)|| + ||T (t, τ )P (τ )|| · ||B(τ )|| · ||U (τ, 0)||dτ ∞ ||T (t, τ )Q(τ )|| · ||B(τ )|| · ||U (t, 0)||dτ + t t ≤ De−ct + Dδ e−c(t−τ ) ||U (τ, 0)||dτ ∞ e−c(τ −t) ||U (τ, 0)||dτ + Dδ t Đặt x(t) = ||U (t, 0)|| γ = 1, từ Bổ đề 3.8 suy ||U (t, 0)|| ≤ De−ct , 37 t ≥ (3.51) Để đánh giá V (t, 0) với t ≤ 0, sử dụng (3.44) (1.4), ||V (t, 0)|| ≤ ||T (t, 0)Q(0)|| + ||T (t, τ )Q(τ )|| · ||B(τ )|| · ||V (τ, 0)||dτ t t ||T (t, τ )P (τ )|| · ||B(τ )|| · ||V (τ, 0)||dτ + −∞ e−c(τ −t) ||V (τ, 0)||dτ ct ≤ De + Dδ t t e−c(t−τ ) ||V (τ, 0)||dτ + Dδ −∞ Đặt x(t) = ||V (t, 0)|| γ = 1, từ Bổ đề 3.9 (với hàm khoảng (−∞, s]) suy ||V (t, 0)|| ≤ Dect , t ≤ (3.52) Từ (3.51) (3.52) suy ∞ ||P+ (0) + Q− (0) − Id|| ≤ ||T (0, τ )Q(τ )|| · ||B(τ )|| · ||U (τ, 0)||dτ 0 ||T (0, τ )P (τ )|| · ||B(τ )|| · ||V (τ, 0)||dτ + −∞ ∞ e−(c+c)τ dτ + δDD ≤ δDD −∞ ≤ e(c+c)τ dτ 2δDD c+c Vì vậy, lấy δ đủ nhỏ, làm ||P+ (0) + Q− (0) − Id|| nhỏ ta mong muốn, S = P+ (0) + Q− (0) khả nghịch Bổ đề chứng minh xong 38 Với t ∈ R đặt P (t) = T (t, 0)SP (0)S −1 T (0, t) Chúng ta có P (t)2 = T (t, 0)P (0)2 T (0, t) = T (t, 0)SP (0)2 S −1 T (0, t) = P (t), P (t) phép chiếu với t Hơn nữa, T (t, s)P (s) = T (t, 0)SP (0)S −1 T (0, s) = P (t)T (t, s) (3.53) Vì vậy, để (1.13) nhị phân mũ không R với phép chiếu P (t), việc cịn lại tìm ước lượng chuẩn cho T (t, s)P (s) t ≥ s, T (t, s)Q(s) t ≤ s Đó hệ (3.47)-(3.48) Đầu tiên nhận xét (3.49)-(3.50), SP (0) = P+ (0)P (0) + Q− (0)P (0) = P+ (0), SQ(0) = P+ (0)Q(0) + Q− (0)Q(0) = Q− (0) Bởi vậy, đặt S(t) = T (t, 0)S T (0, t) = P+ (t) + Q− (t), thu P (t)S(t) = T (t, 0)SP (0)S −1 S T (0, t) = T (0, t)SP (0)T (0, t) = P+ (t), Q(t)S(t) = P− (t), Q(t) = Id − P (t) Do vậy, Im P (t) ⊃ Im P+ (t) Im Q(t) ⊃ Im Q− (t) Do S(t) khả nghịch suy Im P (t) = Im P+ (t) Im Q(t) = Im Q− (t) Từ (3.47) với t ≥ s thu được, ||T (t, s)P (s)|| ≤ ||T (t, s)|Im P (s)|| · ||P (s)|| = ||T (t, s)|Im P+ (s)|| · ||P (s)|| ≤ De−c(t−s)+ϑ|s| ||P (s)|| 39 (3.54) Tương tự, với t ≤ s từ (3.48) suy ||T (t, s)Q(s)|| ≤ ||T (t, s)|Im Q− (s)|| · ||P (s)|| ≤ De−c(s−t)+ϑ|s| ||Q(s)|| (3.55) Bổ đề 3.21 Với điều kiện δ đủ nhỏ, với t ∈ R bất kỳ, có ||P (t)|| ≤ 4Deϑ|t| ||Q(t)|| ≤ 4Deϑ|t| Chứng minh Từ (3.54) suy với ξ ∈ X hàm số y(t) = T (t, s)P (s)ξ, t ≥ s bị chặn Do y(s) = P (s)ξ, từ Bổ đề 3.6 với t ≥ s suy rằng, t P (t)T (t, s) = T (t, s)P (s)P (s) + T (t, τ )P (τ )B(τ )P (τ )T (τ, s)dτ s ∞ − T (t, τ )Q(τ )B(τ )P (τ )T (τ, s)dτ t Đặt t = s, P (t) Q(t) phép chiếu bù nên có ∞ Q(t)P (t) = − T (t, τ )Q(τ )B(τ )P (τ )T (τ, t)dτ t Bởi (3.54) (3.53) với τ ≥ t, có ||P (τ )T (τ, t)|| ≤ De−c(τ −t)+ϑ|t| ||P (t)|| Tiến hành (3.37) thu ||Q(t)P (t)|| ≤ DDδ ||P (t)|| c+c−ϑ Tương tự, (3.55), với ξ ∈ X hàm y(t) = T (t, s)Q(s)ξ, t ≤ s bị chặn Do y(s) = Q(s)ξ, từ Bổ đề 3.16 với t ≤ s suy ra, t Q(t)T (t, s) = T (t, s)Q(s)Q(s) − T (t, τ )Q(τ )B(τ )τ T (τ, s)dτ s t + T (t, τ )P (τ )B(τ )τ T (τ, s)dτ −∞ 40 Đặt t = s thu t P (t)Q(t) = T (t, τ )P (τ )B(τ )Q(τ )T (τ, t)dτ (3.56) −∞ Bởi (3.55) (3.53) với τ ≤ t có, ||Q(τ )T (τ, t)|| ≤ De−c(t−τ )+ϑ|t| ||Q(t)|| Bởi vậy, từ (3.56), ||P (t)Q(t)|| ≤ DDδ ||Q(t)|| c+c−ϑ Bằng cách thay P (t) P (t) (3.41) thu P (t) − P (t) = Q(t)P (t) − P (t)Q(t) Khẳng định Bổ đề thu cách lặp lại lập luận chứng minh Bổ đề 3.12, thay P (t) P (t) Q(t) Q(t) Bổ đề chứng minh xong Sử dụng (3.54), (3.55) Bổ đề 3.21 ta có điều phải chứng minh 41 KẾT LUẬN Kết thúc luận văn trình bày chi tiết tính vững hệ vi phân tuyến tính nhị phân mũ khơng Các hệ vi phân tuyến tính nhị phân mũ khơng có tính vững Dùng cơng cụ giải tích hàm để chứng minh dựa vào việc xây dựng phép chiếu khơng gian con, khơng gian bất đẳng thức nhị phân mũ thỏa mãn Các kết chứng minh cho trường hợp nhị phân mũ không nửa trục dương, nhị phân mũ không nửa trục âm nhị phân mũ khơng tồn trục Chúng tơi xem xét khả mở rộng tính vững hệ nhị phân mũ thang thời gian Tuy nhiên thời gian nghiên cứu có hạn nên luận văn tơi khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong bạn đọc góp ý để luận văn tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1 ] Nguyễn Văn Minh (2002), Phương trình vi phân thường, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2 ] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu (2009), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo Dục [3 ] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4 ] K W Chang and W A Coppel [1] (1969), Singular perturbations of intial value problems over a finite interval, Arch Rat Mech Anal 32, 268 - 280 [5 ] Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Stability of Nonautonomous Differential Equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork [6 ] Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Existence of stable manifolds for nonuniformly hyperbolic C dynamics, Discrete Contin Dyn Syst 16, pp 307-327 [7 ] Luis Barreira and Claudia Valls (2005), Smoothness of invariant manifolds for nonautonomous equations, Conn Math Phys 259, pp 639-677 [8 ] Luis Barreira and Claudia Valls (2005), Stability of Nonautonomous Differential Equations in Hilbert space, J Differential Equations 217, pp 204-248 [9 ] Luis Barreira and Claudia Valls (2007), Nonuniform exponential dichotomies and Lyapunov regularity, J Dynam Differential Equations 19, pp 215-241 [10 ] Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Robustness of nonuniform exponential dichotomies in Banach space, preprint [11 ] L Popescu (2006), Exponential dichotomy roughness on Banach space, J Math Anal Appl 314, pp 436-454 43 [12 ] W A Coppel (1978), Dichotomies in Stable Theory, Lect Notes in Math 629, Springer [13 ] W A Coppel [1] (1965), Stability and asymptotic behaviour of differential equations, D C Heath, Boston [2] (1967), Dichotomies and reducibility, J Differential Equations 3, 500 - 521 [3] (1968), Dichotomies and reducibility (II), J Differential Equations 4, 386 - 398 44 ... hệ nhị phân mũ nhị phân mũ không Nhận xét 1.5 So sánh hai định nghĩa nhị phân mũ nhị phân mũ khơng ta thấy hệ nhị phân mũ khơng có thêm lượng mũ a|s| b|t| Mọi hệ nhị phân mũ đều hệ nhị phân mũ. .. 27 29 32 phân mũ nhị phân mũ không Khái niệm nhị phân mũ Khái niệm nhị phân mũ không Quan hệ nhị phân mũ nhị phân mũ Tính vững nhị phân mũ không ... quan hệ chúng định nghĩa tính vững nhị phân mũ nhị phân mũ khơng Chương Tính vững nhị phân mũ Chương trình bày tính vững nhị phân mũ nửa trục dương tính vững nhị phân mũ toàn trục số R Chương Tính