định lý grobman - hartman cho hệ nhị phân mũ không đều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Ngoan ĐỊNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO HỆ NHỊ PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Ngoan ĐỊNH LÝ GROBMAN - HARTMAN CHO HỆ NHỊ PHÂN MŨ KHÔNG ĐỀU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2012 Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu ii 1 Nhị phân mũ không đều v 1.1 Nhị phân mũ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều . . . . . . . . . . . . . . . . . vi 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 1.2.2 Các tính chất của hệ nhị phân mũ không đều . . . . . . . ix 1.2.3 Không gian con ổn định và không ổn định . . . . . . . . . x 1.3 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii 1.3.1 Tính liên tục H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii 1.3.2 Định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii 1.3.3 Bổ đề Gronwall-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii 2 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp thời gian rời rạc xiv 2.1 Ánh xạ liên hợp cho ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv 2.1.1 Khái niệm dãy các toán tử nhị phân mũ không đều . . . . xiv 2.1.2 Sự tồn tại ánh xạ liên hợp tô-pô . . . . . . . . . . . . . . xviii 2.2 Tính chính quy H¨older của ánh xạ liên hợp . . . . . . . . . . . . xxiv 2.2.1 Tính chính quy H¨older của ánh xạ liên hợp . . . . . . . . xxiv 2.2.2 Chuẩn Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv 2.2.3 Chứng minh tính chính quy H¨older của ánh xạ liên hợp . xxvii 3 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp thời gian liên tục xxxiii 3.1 Ánh xạ liên hợp cho dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiii iii 3.1.1 Phép quy về trường hợp rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . xxxiv 3.1.2 Chứng minh định lý Grobman-Hartman . . . . . . . . . . xxxvi 3.2 Tính chính quy H¨older của ánh xạ liên hợp cho dòng . . . . . . . xl Kết luận xliii Tài liệu tham khảo xliv iv Chương 1 Nhị phân mũ không đều 1.1 Nhị phân mũ đều Trước hết ta nhắc lại khái niệm nhị phân mũ đều. Để đơn giản ta xét trường hợp hệ hữu hạn chiều. Xét một ánh xạ liên tục t −→ A(t) sao cho A(t) là toán tử tuyến tính bị chặn trên X = R n với mỗi t ≥ 0 và phương trình x  = A(t)x. (1.1) Gọi X(t) là ma trận cơ bản, tức là nghiệm của (1.1) thỏa mãn x(t) = X(t)x(0). Gọi X(t, s) = X(t)X −1 (s) là ma trận tiến hóa của (1.1). Định nghĩa 1.1. Phương trình (1.1) được gọi là có nhị phân mũ đều nếu tồn tại phép chiếu P và các hằng số K, α ≥ 0 sao cho i) ||X(t)P X −1 (s)|| ≤ Ke −α(t−s) với t ≥ s, ii) ||X(t)(I − P )X −1 (s)|| ≤ Ke −α(s−t) với s ≥ t. Định nghĩa trên tương đương với các Mệnh đề sau. Mệnh đề 1.2. Phương trình (1.1) có nhị phân mũ đều khi và chỉ khi R n = S⊕U và tồn tại K, α > 0 sao cho: i) ||X(t)X −1 (s)x|| ≤ Ke −α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ S, ii) ||X(t)X −1 (s)y|| ≤ Ke −α(s−t) ||y|| với s ≥ t, y ∈ U. v Mệnh đề 1.3. Phương trình (1.1) có nhị phân mũ đều khi và chỉ khi tồn tại họ các phép chiếu P (t) thỏa mãn sup t∈R ||P (t)|| < ∞ với P (t)X(t, s) = X(t, s)P (s) ∀t ≥ s và tồn tại các hệ số K, α > 0 sao cho i) ||X(t, s)x|| ≤ Ke −α(t−s) ||x|| với t ≥ s, x ∈ Im P(s), ii) ||X(t, s)x|| ≤ Ke −α(t−s) ||x|| với s ≥ t, x ∈ Im Q(s), trong đó Q(t) = Id − P(t). Hệ nhị phân mũ đều có các tính chất rất tốt, ví dụ như tính vững, đặc trưng Peron của hệ nhị phân mũ hay sự tồn tại đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định. Sau đây, chúng ta phát biểu định lý Grobman-Hartman cho trường hợp ô- tô-nôm. Định lý 1.4. ([13]) Xét phương trình x  = Ax (1.2) và phương trình x  = Ax + f(x), x ∈ R n sinh ra dòng ϕ t , trong đó ||f(x) − f(y)|| ≤ L||x − y||. Giả sử σ(A) ∩ iR = ∅, tức là (1.2) có nhị phân mũ đều. Khi đó, tồn tại đồng phôi H trong lân cận mở của gốc tọa độ sao cho e tA ◦ H = H ◦ ϕ t . Ví dụ 1.5. (xem [13], trang 140) Cho hệ x  = x, y  = −y + x 2 (1.3) Khi đó, chúng ta tìm được đồng phôi H =  x y − x 3 3  1.2 Khái niệm nhị phân mũ không đều Hệ nhị phân mũ không đều là trường hợp mở rộng của hệ nhị phân mũ đều và ta hãy xem sự khác nhau và giống nhau căn bản của chúng. vi 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ Cho X là không gian Banach, hàm toán tử A : J → B(X) là một hàm liên tục trong khoảng mở J ⊂ R, và B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X. Xét bài toán giá trị ban đầu v  = A(t)v v(s) = v s (1.4) trong đó s ∈ J và v s ∈ X. Ta viết nghiệm duy nhất của phương trình (1.4) dưới dạng v(t) = T (t, s)v(s), trong đó T (t, s) là toán tử tiến hóa và ta có T(t, t) = Id và T (t, s) = T (t, r)T (r, s). (1.5) Định nghĩa 1.6. Phương trình (1.4) có nhị phân mũ không đều trên J nếu tồn tại họ phép chiếu P : J → B(X) với P (t)T (t, s) = T (t, s)P(s) ∀t ≥ s, (1.6) và tồn tại các hệ số a < 0 ≤ b, a, b ≥ 0, D 1 , D 2 ≥ 1 (1.7) sao cho ||T (t, s)P (s)|| ≤ D 1 e a(t−s)+a|s| ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D 2 e −b(t−s)+b|t| (1.8) trong đó Q(t) = Id − P (t). Vậy a, b coi là số mũ Lyapunov, còn a và b đặc trưng cho tính không đều của hệ nhị phân mũ. Nhận xét 1.7. Như vậy từ hai định nghĩa về nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều thì ta thấy hệ nhị phân mũ không đều có thêm một lượng mũ a|s| hoặc b|t|. Thực chất nhị phân mũ không đều tổng quát hơn nhị phân mũ đều rất nhiều. Chẳng hạn, một hệ hữu hạn chiều chỉ cần có một số mũ Lyapunov có phần thực âm là hệ có nhị phân mũ không đều. ([8, Định lý 10.6]) Ta cũng có thể định nghĩa thêm về hệ nhị phân mũ không đều mạnh với các hệ số a ≤ a < 0 ≤ b ≤ b và a, b > 0. (1.9) vii Định nghĩa 1.8. Ta nói hệ (1.4) là một nhị phân mũ không đều mạnh trong J nếu tồn tại một họ phép chiếu P (t) thỏa mãn (1.6) và tồn tại các hệ số thỏa mãn (1.9) sao cho ||T (t, s)P (s)|| ≤ D 1 e a(t−s)+a|s| , ||T (s, t)P (t)|| ≤ D 1 e −a(t−s)+a|t| , ||T (t, s)Q(s)|| ≤ D 2 e b(t−s)+b|s| , ||T (s, t)Q(t)|| ≤ D 2 e −b(t−s)+b|t| . (1.10) Nhận xét 1.9. Rõ ràng một nhị phân mũ không đều mạnh là một nhị phân mũ không đều nhưng ngược lại chưa chắc đúng. Ta xét một số ví dụ đơn giản. Ví dụ 1.10. Xét phương trình cho trong R 2 , cho bởi x  = −x, y  = ty. (1.11) Hệ (1.11) là một nhị phân mũ không đều trong R + với a = −1, b = 0, a = b = 0, và D 1 = D 2 = 1. Tuy nhiên bất đẳng thức thứ ba trong (1.10) không thỏa mãn nếu b = +∞. Do đó (1.11) không là một nhị phân mũ không đều mạnh. Tiếp theo ta xét một ví dụ để phân biệt nhị phân mũ không đều và nhị phân mũ đều. Ví dụ 1.11. Cho w > a > 0 là những hệ số thực và hệ phương trình trong R 2 u  = (−w − at sin t)u, v  = (w + at sin t)v. (1.12) Mệnh đề 1.12. Hệ (1.12) là một nhị phân mũ không đều trong R nhưng không là nhị phân mũ đều. Chứng minh. Có thể kiểm tra rằng u(t) = U(t, s)u(s) và v(t) = V (t, s)v(s) trong đó U(t, s) = e −wt+ws+at cos t−as cos s−a sin t+a sin s , V (t, s) = e wt−ws−at cos t+as cos s+a sin t−a sin s . Toán tử tiến hóa của hệ (1.12) là T (t, s)(u, v) = (U(t, s)u, V (t, s)v). viii Giả sử P (t) là phép chiếu P (t)(u, v) = u. Thì P thỏa mãn điều kiện (1.6). Ta chỉ ra tồn tại D sao cho U(t, s) ≤ De (−w+a)(t−s)+2a|s| với t ≥ s, (1.13) và V (s, t) ≤ De −(w+a)(t−s)+2a|t| với t ≥ s. (1.14) Đầu tiên ta viết lại U(t, s) như sau: U(t, s) = e (−w+a)(t−s)+at(cos t−1)−as(cos s−1)+a(sin s−sin t) . (1.15) Với t, s ≥ 0 thì từ (1.15) có U(t, s) ≤ e 2a e (−w+a)(t−s)+2as . Hơn nữa nếu t = 2kπ, s = (2l − 1)π với k, l ∈ N thì U(t, s) = e (−w+a)(t−s)+2as . (1.16) Với t ≥ 0, s ≤ 0 thì từ (1.15) suy ra U(t, s) ≤ e 2a e (−w+a)(t−s) . Cuối cùng nếu s ≤ t ≤ 0 thì từ (1.15) suy ra U(t, s) ≤ e 2a e (−w+a)(t−s)+2a|t| ≤ e 2a e (−w+a)(t−s)+2a|s| . Kết hợp với (1.13) với D = e 2a và việc chứng minh cho V (t, s) trong (1.14) là hoàn toàn tương tự. Hơn nữa nếu t = −2kπ, s = −(2l − 1)π thì V (s, t) = e −(w+a)(t−s)+2a|t| . (1.17) Vậy từ (1.13), (1.14) thì hệ (1.12) là hệ nhị phân mũ không đều. Nhưng ta không thể bỏ e 2a|s| và e 2a|t| bằng cách cho D hoặc w − a đủ lớn nên hệ (1.12) không là nhị phân mũ đều. 1.2.2 Các tính chất của hệ nhị phân mũ không đều 1.2.2.1 Tính vững X là không gian Banach, A : J → B(X) là hàm liên tục trên J ⊂ R. Xét phương trình v  = A(t)v (1.18) v(s) = v s , s ∈ J, v s ∈ X. ix Giả sử phương trình trên có nghiệm t ∈ J và T (t, s) là toán tử tiến hóa. Giả sử phương trình trên là một nhị phân mũ không đều. Ta nói nhị phân là vững nếu với B đủ nhỏ trong hệ v  = (A(t) + B(t))v (1.19) cũng là một nhị phân mũ không đều. Với a, b thỏa mãn a < 0 < b, a, b > 0, D 1 , D 2 > 0 ta đặt e = min{−a, b}, ϑ = max{a, b}, D = max{D 1 , D 2 } c = c  1 − 2δD c ,  D = D 1 − δD/(c + c) . Định lý 1.13. (xem [8], trang 28)Toán tử A, B : J → B(X) là hàm liên tục thỏa mãn 1) Phương trình (1.18) là nhị phân mũ không đều trên mỗi khoảng mở J, 2) ||B(t)|| ≤ δe −2ϑ|t| với ϑ < e, với mọi t ∈ J. Nếu δ đủ nhỏ thì hệ (1.19) cũng là nhị phân mũ không đều trên J với hệ số c, ϑ và D thay bởi c, 2ϑ và 4D  D. 1.2.3 Không gian con ổn định và không ổn định Giả sử hệ phương trình tuyến tính v  = A(t)v là nhị phân mũ không đều trên khoảng mở J ⊂ R. Xét hai không gian con tuyến tính E(t) = P (t)X, F(t) = Q(t)X, (1.20) với mỗi t ∈ J. Chúng ta tương ứng gọi E(t) và F(t) lần lượt là không gian con ổn định và không ổn định tại thời điểm t. Rõ ràng là X = E(t) ⊕ F (t) với mỗi t ∈ J và dim E(t), dim F (t) là không phụ thuộc vào thời điểm t. Nghiệm của (1.18) có thể được viết dưới dạng v(t) = (U(t, s)ξ, V (t, s)η) ∈ E(t) × F (t), ∀t, s ∈ J, t ≤ s (1.21) trong đó v(s) = (ξ, η) và U(t, s) := T (t, s)P (s) = T (t, s)P(s) 2 = P (t)T (t, s)P (s) V (t, s) := T (t, s)Q(s) = T (t, s)Q(s) 2 = Q(t)T (t, s)Q(s). x [...]... trình bày khái niệm nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều cho phương trình vi phân Trong chương 2 ta xét sự tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp rời rạc 2.1 Ánh xạ liên hợp cho ánh xạ Chúng ta sẽ chứng minh kết quả cho bài toán liên tục thông qua bài toán rời rạc Vì vậy, ta xét hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp rời rạc hay là nhị phân mũ không đều cho dãy các toán... tôi đã trình bày khái niệm nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều, so sánh hai khái niệm này Tôi cũng đưa ra các tính chất của nhị phân mũ không đều mà không chứng minh, bởi mục tiêu chính của luận văn là chỉ ra sự tương đương tô–pô giữa hệ phương trình vi phân tuyến tính và hệ phương trình vi phân không thuần nhất xiii Chương 2 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp thời... Nhận thấy (Am )m∈Z là nhị phân mũ không đều mạnh thì sẽ là nhị phân mũ không đều Bây giờ ta giả sử rằng có một nhị phân mũ không đều mạnh, và gọi α0 = min{a/a; b/b} Khi đó ta có kết quả cơ bản liên quan tới tính chính quy của ánh xạ liên hợp trong Hệ quả 2.5 Định lý 2.7 Giả sử điều kiện F1, F2, F3 thỏa mãn với β = 4ϑ Nếu dãy các toán tử tuyến tính (Am )m∈Z là nhị phân mũ không đều mạnh với b > 0 và... 2.8 xxxii Chương 3 Tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp thời gian liên tục Ta sẽ chứng minh kết quả chính của luận văn - Định lý Hartman -Grobman cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp liên tục Ta sẽ chứng minh sự tồn tại ánh xạ liên hợp cho dòng Hơn nữa, ta còn chỉ ra tính chính quy H¨lder o của ánh xạ liên hợp đó 3.1 Ánh xạ liên hợp cho dòng Xét điều kiện: E1 (tồn... đẹp ta xây dựng trên hệ có nhị phân mũ không đều mạnh Định lý 3.1 (Định lý Grobman- Hartman cho dòng) (xem [8], [11]) Giả sử điều kiện E1 , E2 thỏa mãn, hệ v = A(t)v là nhị phân mũ không đều mạnh trong R với b > 0 và β = 6 max{a, b} Nếu δ đủ nhỏ thì tồn tại đồng phôi ht : X → X với t ∈ R thỏa mãn T (t, s) ◦ hs = ht ◦ R(t, s), t, s ∈ R (3.2) Việc chứng minh Định lý 3.1 được coi như hệ quả của kết quả của... chứng minh xong Hệ quả 2.2 Hơn thế khi m ≥ n ta có ||B(m, n)|| := −1 ||C(m, n) ||B(m, n)x||m ≤ e(a+ ||x||n x∈E\{0} sup )(m−n) ||C(m, n)−1 y||n ≤ e(−b+ || := sup ||y||m y∈F \{0} xvii )(m−n) 2.1.2 Sự tồn tại ánh xạ liên hợp tô-pô Định lý Grobman- Hartman chỉ ra tương đương tô-pô hệ tuyến tính Am và hệ nhiễu Am + fm Vì vậy để xây dựng sự tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều cho trường hợp rời... rời rạc hay là nhị phân mũ không đều cho dãy các toán tử của phương trình sai phân xm+1 = Am xm + fm (xm ) 2.1.1 Khái niệm dãy các toán tử nhị phân mũ không đều Giả sử X là không gian Banach, B(X) là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trong X Trước hết ta xét nhị phân mũ không đều rời rạc hay trường hợp nhị phân mũ không đều cho dãy các toán tử Xét một số điều kiện sau: xiv F1: Tồn tại toán tử tuyến... xạ liên hợp tô-pô um và vm trong Hệ quả 2.5 là liên tục H¨lder o 2.2.1 Tính chính quy H¨lder của ánh xạ liên hợp o Ta sẽ định nghĩa nhị phân mũ không đều mạnh cho dãy toán tử Định nghĩa 2.6 Ta nói dãy toán tử tuyến tính (Am )m∈Z là nhị phân mũ không đều mạnh nếu tồn tại các phép chiếu Pn ∈ B(X) với n ∈ Z thỏa mãn (2.3) và tồn tại các hệ số a ≤ a < 0 ≤ b ≤ b, a, b ≥ 0 và D ≥ 1, xxiv sao cho với mọi m,... S(u) = u Và ta kết thúc chứng minh Định lý 2.3 Ta thấy rằng Định lý 2.3 không chỉ ra ánh xạ duy nhất um là khả nghịch ˆ Nên để chỉ ra sự tồn tại của ánh xạ liên hợp tô-pô ta phải xét đến (2.11) Từ đó ta đi vào Định lý 2.4 và ở Định lý này ta sẽ sử dụng điều kiện F3 Để chứng minh Định lý 2.4 ta sử dụng phương pháp như trong chứng minh Định lý 2.3 Đó là, ta sử dụng định lý điểm bất động để chỉ ra sự tồn... nhất v ∈ X sao cho T (v) = v Ta đã thu được ánh xạ liên hợp phải xxiii Từ Định lý 2.3 và Định lý 2.4 ta thu được ánh xạ liên hợp tô-pô Hệ quả 2.5 Giả sử điều kiện F1, F2, F3 thỏa mãn với β = ϑ Nếu dãy {Am }m∈Z là nhị phân mũ không đều với b > 0 và max{a, b} ≤ ϑ và δ trong (2.1), (2.2) là đủ nhỏ thì ánh xạ um = Id + um và vm = Id + vm , với um như ˆ ˆ trong Định lý 2.3 và vm như trong Định lý 2.4 là đồng . nhị phân mũ. Nhận xét 1.7. Như vậy từ hai định nghĩa về nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều thì ta thấy hệ nhị phân mũ không đều có thêm một lượng mũ a|s| hoặc b|t|. Thực chất nhị phân mũ. niệm nhị phân mũ đều và nhị phân mũ không đều cho phương trình vi phân. Trong chương 2 ta xét sự tương đương tô-pô cho hệ nhị phân mũ không đều trong trường hợp rời rạc. 2.1 Ánh xạ liên hợp cho. nhị phân mũ không đều Hệ nhị phân mũ không đều là trường hợp mở rộng của hệ nhị phân mũ đều và ta hãy xem sự khác nhau và giống nhau căn bản của chúng. vi 1.2.1 Định nghĩa và ví dụ Cho X là không