Dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng trong tối ưu hóa

Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên VŨ ANH TUẤN DƢỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƢU HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên VŨ ANH TUẤN DƢỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƢU HÓA Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH.LÊ DŨNG MƢU Hà Nội - 2012 Mục lục Lời nói đầu Chƣơng I Những kiến thức tập lồi hàm lồi I Tập lồi I.1.1 Tập lồi .4 I.1.2 Nón lồi I.1.3 Tập Affine bao Affine .9 I.1.4 Điểm tương đối 13 I.2 Hàm lồi 16 I.3 Các phép toán hàm lồi .22 Chƣơng II Dƣới vi phân hàm lồi 23 II.1 Đạo hàm theo phương .23 II.2 Dưới vi phân hàm lồi 26 II.3 Các định lý vi phân .31 II.4 Dưới vi phân hàm lồi địa phương 33 Chƣơng II Ứng dụng dƣới vi phân vào toán tối ƣu III.1 Định nghĩa toán tối ưu 37 37 III.2 Bài toán lồi III.3 Bài toán trơn 39 43 III.4 Bài toán trơn - lồi .47 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Lời nói đầu Giải tích lồi mơn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi, hàm lồi vấn đề liên quan Bộ môn đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân toán cân bằng… Một ứng dụng quan trọng giải tích lồi tối ưu hóa Lý thuyết tối ưu đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực nghiên cứu: quy hoạch tuyến tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trị chơi, kinh tế tốn,… đó, giả thiết tính lồi hàm khơng thể thiếu nhiều định lý tồn nghiệm Vì vậy, tìm hiểu hàm lồi, tìm hiểu ứng dụng hàm lồi tối ưu hóa thực cần thiết hữu ích Mục tiêu luận văn tìm hiểu, xếp lại cách chi tiết khái niệm tính chất liên quan đến hàm lồi, vi phân hàm lồi toán ứng dụng vi phân tối ưu hóa Với cơng việc đó, luận văn gồm chương: Chƣơng I “Những kiến thức tập lồi hàm lồi” giới thiệu tập lồi, hàm lồi tính chất liên quan Bên cạnh khái niệm: tập affine, nón, điểm tương đối,… Chƣơng II “Dƣới vi phân hàm lồi” đề cập tới khái niệm đạo hàm theo phương, điều kiện khả vi phân hàm lồi tính chất vi phân Chƣơng III “Ứng dụng dƣới vi phân vào tốn tối ƣu” trình bày khái niệm tổng qt toán tối ưu điều kiện tồn nghiệm Trọng tâm chương toán tối ưu mà tác giả kí hiệu từ (P1)-(P8) Do thời gian trình độ cịn hạn chế, luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong q trình viết luận văn, chắn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý thầy, bạn bè đồng nghiệp Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Lê Dũng Mưu đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Hà nội, ngày 01 tháng 06 năm 2012 Tác giả Vũ Anh Tuấn CHƢƠNG I Những kiến thức tập lồi hàm lồi Trong chương này, tác giả trình bày khái niệm giải tích lồi tính chất quan trọng tập lồi, tập affine, điểm tương đối, hàm lồi… I.1 Tập lồi Tập lồi khái niệm không giải tích lồi mà tốn học nói chung Những tập quen thuộc mà biết đến không gian con, siêu phẳng, đoạn thẳng…đều tập lồi Trong phần này, tác giả trình bày định nghĩa, tính chất tập lồi nói chung số tập lồi đặc biệt I.1.1 Tập lồi Cho X khơng gian tuyến tính tơ pơ Haussdoff Định nghĩa I.1[2] Với x1 , x2  X, đoạn  x , x  định nghĩa  x1 , x2  : ={ x  X : x   x1  (1   ) x2 ,   0,1 } Định nghĩa I.2[2] Tập A  X gọi tập lồi x1 , x2  A,   0,1  x   x1  (1   ) x2  A Nhận xét Nếu x1 , x2  A   x1 , x2   A A tập lồi Ví dụ a- Trong  , Tập B  0,1   x   : x  1 tập lồi Thật vậy, lấy x, y  B  0,1  x  ,  y  , với    0,1 ta có:   x  (1   ) y    x   1     y          x  (1   ) y  B  0,1  B  0,1 tập lồi b- Tập A   x, y    : ax  by  c; a, b, c    tập lồi Mệnh đề I.1 Giả sử A  X ,(  I ) tập lồi với I tập số Khi đó, tập A   A  I tập lồi Chứng minh Lấy x1 , x2  A  x1 , x2  A   x1 , x2   A ( Do A lồi) ,   I Từ suy  x1 , x2    A  I   x1 , x2   A Vậy, A tập lồi n Mệnh đề I.2 Cho Ai  X tập lồi; i   , i  1, n Khi đó, tập A   i Ai i 1 tập lồi Chứng minh Lấy x, y  A : n n i 1 i 1 x   i , y   i bi với , bi  Ai  i  1, n  Khi đó,    0,1 , ta có: n  x  1    y   i   1    bi  , i 1 Do Ai lồi nên n  x  1    y   i Ai  A , i 1 Vậy A tập lồi Mệnh đề I.3 Cho X i khơng gian tuyến tính Ai  X i tập lồi (i= 1, n ) Khi đó, tập A= A1  A2   An tập lồi X1  X   X n Chứng minh Lấy x, y  A : x   a1 , a2 , an  , y   b1 , b2 , bn  , (ai , bi  Ai ) Vì Ai lồi nên   1    bi  Ai    0,1 Suy  x  1    y �  ), đó, f t  t  t  Nhận xét Tập tất véc tơ tiếp xúc với tập M x0 nón, gọi nón tiếp tuyến M x0 , kí hiệu TM  x0  Vì  TM  x0  nên TM  x0    Định lý Ljusternik.[2] Giả sử X, Y không gian Banach; U lân cận điểm x0  X ; Ánh xạ F : U  Y khả vi liên tục theo nghĩa Frechet x0 Im F  x0   Y , Đặt M  x U : F  x   F  x0  Khi đó, khơng gian tiếp xúc với tập M x0 trùng 45 với KerF ,  x0  Nghiã là: TM  x0   KerF  x0  , Đồng thời, tồn lân cận U '  U x0 , số k  ánh xạ   x   từ U ' vào X cho  U , , F   x     F  x0  , x    F    F  x0  III.3.2 Bài tốn trơn khơng có ràng buộc Cho X khơng gian tơpơ tuyến tính Hàm f xác định X Xét toán (P4): f ( x)  Định lý III.9 Giả sử f hàm khả vi Gâteaux x với đạo hàm Gâteaux fG' ( x) , x nghiệm tốn (P4) Khi đó: fG' ( x) = Chứng minh Do f khả vi Gâteaux x , ta khai triển:     f x  tv  f x  t  fG' x , v  0  t   v  X  Vì vậy, tồn giới hạn Lim     Do đó, hàm  t   f  x  tv  f xt  f x t 0 t có đạo hàm điểm  ’(0):  '(0)  Lim     f xt  f x t 0 t  f G' x , v Do x cực tiểu địa phương (P4), nên t=0 cực tiểu địa phương hàm  (t)  Vì vậy,  '(0)  Từ suy  fG' x , v   v  X  Vì vậy, fG'  x   46 Hệ Giả sử X không gian banach, hàm f khả vi Fréchet x với đạo hàm Féchet F '  x  ; x nghiệm (P4) Khi đó,  f ' x  III.3.3 Bài toán trơn với ràng buộc đẳng thức Giả sử X, Y không gian Banach, hàm f xác định X, ánh xạ F : X  Y Xét toán:  minf ( x ) (P5):   F ( x )  Hàm Lagrange toán (P5) thiết lập sau: L  x; 0 , y*   0 f  x   y* , F  x     R, y * Y *  Định lý III.10 (Quy tắc nhân tử Lagrange) Giả sử f F khả vi Fréchet x với đạo hàm Fréchet f '  x  F '  x  ,  x cực tiểu địa phương toán (P5); tập F ' x X đóng Khi đó, tồn nhân tử Lagrange 0 y * không đồng thời cho:     L'x x; 0 , y*  0 f ' x  F '* x y*  Hơn nữa, F khả vi liên tục theo nghĩa Fréchet x F '  x  X  Y , 0  xem 0  Chứng minh Theo giả thiết, F '  x  X khơng gian đóng Y Có thể xảy hai trường hợp: F '  x  X  Y F '  x  X  Y  a Trường hợp F '  x  X  Y : Theo định lý Ljusternik, không gian tiếp xúc với tập   M  x  X : F  x   0 x trùng với KerF ' x Do đó, v  KerF ' x ,  v  KerF ' x , tồn số   , ánh xạ r :   ,    X cho: x  t , v   x  tv  r  t   M t   ,   , 47 ... liên quan đến hàm lồi, vi phân hàm lồi toán ứng dụng vi phân tối ưu hóa Với cơng vi? ??c đó, luận văn gồm chương: Chƣơng I “Những kiến thức tập lồi hàm lồi? ?? giới thiệu tập lồi, hàm lồi tính chất... vi phân hàm lồi? ?? đề cập tới khái niệm đạo hàm theo phương, điều kiện khả vi phân hàm lồi tính chất vi phân Chƣơng III ? ?Ứng dụng dƣới vi phân vào tốn tối ƣu” trình bày khái niệm tổng qt toán tối. .. II.2 Dưới vi phân hàm lồi 26 II.3 Các định lý vi phân .31 II.4 Dưới vi phân hàm lồi địa phương 33 Chƣơng II Ứng dụng dƣới vi phân vào