(Luận văn thạc sĩ) dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng trong tối ưu hóa

Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên VŨ ANH TUẤN DƢỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƢU HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 Đại Học Quốc Gia Hà Nội Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên VŨ ANH TUẤN DƢỚI VI PHÂN CỦA HÀM LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƢU HÓA Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH.LÊ DŨNG MƢU Hà Nội - 2012 Mục lục Lời nói đầu Chƣơng I Những kiến thức tập lồi hàm lồi I Tập lồi I.1.1 Tập lồi .4 I.1.2 Nón lồi I.1.3 Tập Affine bao Affine .9 I.1.4 Điểm tương đối 13 I.2 Hàm lồi 16 I.3 Các phép toán hàm lồi .22 Chƣơng II Dƣới vi phân hàm lồi 23 II.1 Đạo hàm theo phương .23 II.2 Dưới vi phân hàm lồi 26 II.3 Các định lý vi phân .31 II.4 Dưới vi phân hàm lồi địa phương 33 Chƣơng II Ứng dụng dƣới vi phân vào toán tối ƣu III.1 Định nghĩa toán tối ưu 37 37 III.2 Bài toán lồi III.3 Bài toán trơn 39 43 III.4 Bài toán trơn - lồi .47 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 Lời nói đầu Giải tích lồi mơn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi, hàm lồi vấn đề liên quan Bộ môn đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân toán cân bằng… Một ứng dụng quan trọng giải tích lồi tối ưu hóa Lý thuyết tối ưu đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực nghiên cứu: quy hoạch tuyến tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trị chơi, kinh tế tốn,… đó, giả thiết tính lồi hàm khơng thể thiếu nhiều định lý tồn nghiệm Vì vậy, tìm hiểu hàm lồi, tìm hiểu ứng dụng hàm lồi tối ưu hóa thực cần thiết hữu ích Mục tiêu luận văn tìm hiểu, xếp lại cách chi tiết khái niệm tính chất liên quan đến hàm lồi, vi phân hàm lồi toán ứng dụng vi phân tối ưu hóa Với cơng việc đó, luận văn gồm chương: Chƣơng I “Những kiến thức tập lồi hàm lồi” giới thiệu tập lồi, hàm lồi tính chất liên quan Bên cạnh khái niệm: tập affine, nón, điểm tương đối,… Chƣơng II “Dƣới vi phân hàm lồi” đề cập tới khái niệm đạo hàm theo phương, điều kiện khả vi phân hàm lồi tính chất vi phân Chƣơng III “Ứng dụng dƣới vi phân vào tốn tối ƣu” trình bày khái niệm tổng qt toán tối ưu điều kiện tồn nghiệm Trọng tâm chương toán tối ưu mà tác giả kí hiệu từ (P1)-(P8) Do thời gian trình độ cịn hạn chế, luận văn dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong q trình viết luận văn, chắn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý thầy, bạn bè đồng nghiệp Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Lê Dũng Mưu đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Hà nội, ngày 01 tháng 06 năm 2012 Tác giả Vũ Anh Tuấn CHƢƠNG I Những kiến thức tập lồi hàm lồi Trong chương này, tác giả trình bày khái niệm giải tích lồi tính chất quan trọng tập lồi, tập affine, điểm tương đối, hàm lồi… I.1 Tập lồi Tập lồi khái niệm không giải tích lồi mà tốn học nói chung Những tập quen thuộc mà biết đến không gian con, siêu phẳng, đoạn thẳng…đều tập lồi Trong phần này, tác giả trình bày định nghĩa, tính chất tập lồi nói chung số tập lồi đặc biệt I.1.1 Tập lồi Cho X khơng gian tuyến tính tơ pơ Haussdoff Định nghĩa I.1[2] Với x1 , x2  X, đoạn  x , x  định nghĩa  x1 , x2  : ={ x  X : x   x1  (1   ) x2 ,   0,1 } Định nghĩa I.2[2] Tập A  X gọi tập lồi x1 , x2  A,   0,1  x   x1  (1   ) x2  A Nhận xét Nếu x1 , x2  A   x1 , x2   A A tập lồi Ví dụ a- Trong  , Tập B  0,1   x   : x  1 tập lồi Thật vậy, lấy x, y  B  0,1  x  ,  y  , với    0,1 ta có:   x  (1   ) y    x   1     y          x  (1   ) y  B  0,1  B  0,1 tập lồi b- Tập A   x, y    : ax  by  c; a, b, c    tập lồi Mệnh đề I.1 Giả sử A  X ,(  I ) tập lồi với I tập số Khi đó, tập A   A  I tập lồi Chứng minh Lấy x1 , x2  A  x1 , x2  A   x1 , x2   A ( Do A lồi) ,   I Từ suy  x1 , x2    A  I   x1 , x2   A Vậy, A tập lồi n Mệnh đề I.2 Cho Ai  X tập lồi; i   , i  1, n Khi đó, tập A   i Ai i 1 tập lồi Chứng minh Lấy x, y  A : n n i 1 i 1 x   i , y   i bi với , bi  Ai  i  1, n  Khi đó,    0,1 , ta có: n  x  1    y   i   1    bi  , i 1 Do Ai lồi nên n  x  1    y   i Ai  A , i 1 Vậy A tập lồi Mệnh đề I.3 Cho X i khơng gian tuyến tính Ai  X i tập lồi (i= 1, n ) Khi đó, tập A= A1  A2   An tập lồi X1  X   X n Chứng minh Lấy x, y  A : x   a1 , a2 , an  , y   b1 , b2 , bn  , (ai , bi  Ai ) Vì Ai lồi nên   1    bi  Ai    0,1 Suy  x  1    y    a1  1    b1 , ,  an  1    bn   A Vậy, A tập lồi X1  X   X n Tóm lại: Lớp tập lồi đóng với phép lấy giao,cộng đại số tích đề Định nghĩa I.3[2] Véc tơ x  X gọi tổ hợp lồi véc tơ: x1 , x2 , xn : n n i 1 i 1 i  0, (i  1, n),  i  1: x   i xi Mệnh đề I.4 Tập A  X tập lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức là: A lồi k k i 1 i 1 k   , 1 , 2 , , k  :  i  1, x1 , x2 , xk  A   i xi  A Chứng minh Nếu A chứa tổ hợp lồi điểm x1 , x2  A   x1  1    x2  A,   0,1 ,  A lồi Giả sử A lồi Ta chứng minh quy nạp *k=2: 1 , 2  : 1  2  1, x1 , x2  A  1 x1  2 x2  A (do A lồi) *Giả sử kết luận với k điểm.Tức là: k k i 1 i 1 k   , 1 , 2 , , k  :  i  1, x1 , x2 , xk  A   i xi  A *Ta chứng minh kết luận với k+1 điểm k 1 k 1 i 1 i 1 Tức là, i   i  1, k  1 :  i  1, x1 , x2 , xk 1  A , x   i xi  A Không tổng quát, ta giả sử k 1 1 , ta có i 1 i 1  k 1 k k  i   k 1    i 1 Theo giả thiết quy nạp, i xi  A i 1  k 1 k y Do A lồi  1  k 1  y  k 1 xk 1  A  x  A Vậy A tập lồi Nhận xét Giả sử X, Y không gian tuyến tính, f : X  Y ánh xạ tuyến tính Tập A  X tập lồi Khi f (A) tập lồi Thật vậy, lấy y1 , y2  f ( A)  x1 , x2  A cho: y1  f ( x1 ), y2  f ( x2 )   0,1 :  y1  1    y2   f  x1   1    f  x2   f   x1  1    x2   f  A (Do  x1  1    x2  A ) Vậy, f  A tập lồi Định nghĩa I.4 [2] Giả sử A  X Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi A kí hiệu CoA Nhận xét a) CoA tập lồi tập lồi nhỏ chứa A b) A tập lồi A = CoA Định nghĩa I.5 [2] Giả sử A  X Giao tất tập lồi đóng chứa A gọi bao lồi đóng tập A kí hiệu là: CoA Nhận xét a) CoA tập lồi đóng tập lồi đóng nhỏ chứa A b) A tập lồi đóng  A  CoA Định lý I.4 [2] Bao lồi đóng tập A trùng với bao đóng bao lồi A Tức CoA  CoA Chứng minh Trước hết, ta chứng minh bao đóng tập lồi tập lồi Tức là, A tập lồi A tập lồi Lấy x1 , x2  A;   0;1 : x  x1  1   x2 Giả sử U lân cận lồi Do xi  A nên  xi  U   A    i  1, 2 Do xi'   xi  U   A  i  1,  Đặt x '  x1'  1   x2' Khi x'    x1  U   1    x2  U    x1  1    x2  U Hay x'  x  U Vì A lồi nên x '  A Do x  U   A   Vậy, x  A , hay A tập lồi Chứng minh định lý Vì CoA lồi nên CoA lồi Như CoA tập đóng chứa A CoA  CoA Mặt khác, CoA giao tất tập lồi (khơng cần đóng) chứa A nên: CoA  CoA  CoA  CoA Vậy, CoA  CoA I.1.2 Nón lồi Giả sử X khơng gian tuyến tính tơ pơ Haussdoff Định nghĩa I.6 [2] Tập K  X gọi nón có đỉnh nếu: x  K ,    x  K K gọi nón có đỉnh x0 K – x0 nón có đỉnh Nón K có đỉnh gọi nón lồi K tập lồi Ví dụ a) A : x   x  0 nón, khơng lồi   b) B :  x1 , x2 , ., xn    n ; xi  0, i  1, n nón lồi 10 Chứng minh Cho tập lồi C  Rn Gọi x* điểm cực tiểu địa phương f C Khi tồn lân cận U x* cho: f ( x* )  f ( x) x U  C Suy x  (1   ) x*   x  C U ( x  C ,   (0;1) ) Ta có: f ( x* )  f ( x )  (1   ) f ( x* )   f ( x)  f ( x) Vậy, x* cực tiểu toàn cục Nếu x* ; y * cực tiểu toàn cục f ( x* )  f ( y* ) ; f ( y* )  f ( x* ) Do f ( x* )  f ( y* )  f ( x) x  C Lấy z*   x*  (1   ) y* Do C tập lồi nên f ( z* ))  (1   ) f ( x)   f ( x)  f ( x) x  C Vậy, z * điểm cực tiểu toàn cục Như vậy, tập điểm cực tiểu f C tập lồi Dễ thấy, f lồi chặt điểm cực tiểu (nếu tồn tại) Bây ta xét kỹ đến điều kiện để có cực tiểu hàm lồi f Cụ thể toán cực trị sau III.2 Bài tốn lồi III.2.1 Bài tốn lồi khơng có buộc Cho không gian lồi địa phương X f hàm lồi X Bài tốn tối ưu khơng buộc toán: (P1): Min  f ( x) Định lý III.4 Để x* nghiệm toán (P1), điều kiện cần đủ là: f  x*  Chứng minh x* nghiệm (P1) x  X , ta có f ( x* )  f ( x)  f ( x)  f ( x* )    0, x  x*   f ( x)  f ( x* )  f ( x* ) 41 III.2.2 Bài tốn lồi có buộc đẳng thức Cho f hàm lồi X, C đa tạp tuyến tính song song với khơng gian M X Xét toán: (P2): Min  f ( x) : x  C Định lý III.5 a Nếu f liên tục điểm C, x* nghiệm (P2) Khi đó, f ( x* )  M    b Nếu x*  C : f ( x* )  M    Khi x* nghiệm (P2) Chứng minh M   x*  X * :  x* , x  0, x  M  a Xét L( x)  f ( x)   ( x / C ) L( x) hàm lồi X Với x  C L( x)  f ( x) Nếu x nghiệm (P2) x*  C , f ( x* )  f ( x) Suy L( x* )  L( x) x  X Vậy, x nghiệm toán Min L ( x) Theo định lí III.4, L( x* ) Do f liên tục, áp dụng định lý Moreau-Rockerfellar ta được:  L( x* )  f ( x* )  ( x* / C ) Mà  ( x* / C )  N ( x* / C )  M  , Vì vậy:  f ( x* )  M  b Giả sử x*  C thỏa mãn: f ( x* )  M    Khi đó, x  f ( x* )  M  Vì x f ( x* ) nên  x ; x  x*   f ( x)  f ( x* ) Với x  M  , Mà với x  C x  x*  M nên  x ; x  x*   Ta suy 42 f ( x)  f ( x* )   f ( x* )  f ( x) x  C Hay là, x * nghiệm (P2) Định lí III.6 Cho X khơng gian Banach; xi*  X * ;i   (i = 1,…,m) C  {x  X : xi* , x  i , i  1, , m) , Giả sử f hàm lồi X liên tục điểm M Khi đó, x đạt cực tiểu hàm f C tồn i   ,(i  1, , m) cho: 1 x1*   m xm* f ( x) Chứng minh Bổ đề Cho X không gian Banach; xi*  X * ; (i = 1,…,m) Đặt: M  {x  X : x* , x  0, i  1, , m} Khi đó, M   lin{x1* , , xm* } Chứng minh định lý Đa tạp tuyến tính C song song với không gian M: M  {x  X : x* , x  0, i  1, , m} Từ định lý trên, ta suy ra: x đạt cực tiểu hàm f C tồn x* f ( x)  M  Theo bổ đề trên: x*  M   lin{x1* , , xm* } Do vậy, tồn số 1 , , m cho 1 x1*   m xm* f ( x) (Đpcm) III.2.3 Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức Cho X không gian lồi địa phương Hausdorff; f0 , , f m hàm hữu hạn X; Tập A  X Xét toán: min f ( x)  (P3):  fi ( x)  0, i  1, , m  x  A  Hàm số sau gọi hàm Lagrange toán (P3): m L( x; 0 , , m )   i fi ( x) i 0 43 Định lý III.7(Karush-Kuhn-Tucker) Giả sử hàm f0 , , f m tập A lồi x điểm chấp nhận toán P(3) Khi đó: Nếu x nghiệm tốn P(3), tồn nhân tử Lagrange i  (i  1, , m) không đồng thời không cho: L( x; 0 , , m )  L( x; 0 , , m ) xA (Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker) Hơn nữa, điều kiện Slater sau thỏa mãn: x0  A : fi ( x0 )  (i  1, , m) Thì 0  xem 0  Định lý III.8 Giả sử hàm f0 , , f m tập A lồi f0 , , f m liên tục điểm A x điểm chấp nhận toán (P3) Khi đó: a Nếu x nghiệm tốn (P3) tồn nhân tử Lagrange khơng đồng thời 0: i  (i  1, , m) , cho:  0f0 ( x)   mf m ( x)  N ( x / A) i fi ( x)  , (i  1, , m) Hơn nữa, Nếu điều kiện Slatter 0  xem 0  b Nếu giả thiết (a) thỏa mãn với 0  x nghiệm toán (P3) Chứng minh a Xét hàm Lagrange (P3) dạng: m L1 ( x; 0 , , m )   i f ( xi )   ( x / A) i 0 Do x nghiệm (P3), ta thu điều kiện cần:  0f0 ( x)   mf m ( x)  N ( x / A) i fi ( x)  , (i  1, , m) (Định lí Karush- Kuhn-Tucker) Vì thế, hàm L1 (.; 0 , , m ) đạt cực tiểu x Từ suy ra: L1 ( x; 0 , , m ) 44 Vì  ( x / A)  N ( x / A) , Theo định lý Moreau-Rockafellar, ta có:  0f0 ( x)   mf m ( x)  N ( x / A) b Giả sử (1) (2) thỏa mãn với 0  Khi đó, tồn xi* fi ( x) , (i  1, , m) xm* 1  N ( x / A) cho: m 1 x0*   i xi*  i 1 Từ suy ra:  m 1 m     x0*   i xi* , x  x  f x   f x   i f i x   f i x i 1 i 1 Hay m m i 1 i 1 f ( x)   i fi ( x)  f ( x)   i fi ( x) Từ định lý Karush- Kuhn-Tucker, x nghiệm (P3) (Đpcm) III.3 Bài toán trơn III.3.1 Định lý Ljusternik Giả sử X không gian banach, Tập M  X Định nghĩa III.2.[2] Véc tơ v  X gọi tiếp xúc với tập M điểm x0  M ,   ánh xạ f : 0;    X cho: x0  tv  f  t   M ( t  0;   ), đó, f t  t  t  Nhận xét Tập tất véc tơ tiếp xúc với tập M x0 nón, gọi nón tiếp tuyến M x0 , kí hiệu TM  x0  Vì  TM  x0  nên TM  x0    Định lý Ljusternik.[2] Giả sử X, Y không gian Banach; U lân cận điểm x0  X ; Ánh xạ F : U  Y khả vi liên tục theo nghĩa Frechet x0 Im F  x0   Y , Đặt M  x U : F  x   F  x0  Khi đó, khơng gian tiếp xúc với tập M x0 trùng 45 với KerF ,  x0  Nghiã là: TM  x0   KerF  x0  , Đồng thời, tồn lân cận U '  U x0 , số k  ánh xạ   x   từ U ' vào X cho  U , , F   x     F  x0  , x    F    F  x0  III.3.2 Bài tốn trơn khơng có ràng buộc Cho X khơng gian tơpơ tuyến tính Hàm f xác định X Xét toán (P4): f ( x)  Định lý III.9 Giả sử f hàm khả vi Gâteaux x với đạo hàm Gâteaux fG' ( x) , x nghiệm tốn (P4) Khi đó: fG' ( x) = Chứng minh Do f khả vi Gâteaux x , ta khai triển:     f x  tv  f x  t  fG' x , v  0  t   v  X  Vì vậy, tồn giới hạn Lim     Do đó, hàm  t   f  x  tv  f xt  f x t 0 t có đạo hàm điểm  ’(0):  '(0)  Lim     f xt  f x t 0 t  f G' x , v Do x cực tiểu địa phương (P4), nên t=0 cực tiểu địa phương hàm  (t)  Vì vậy,  '(0)  Từ suy  fG' x , v   v  X  Vì vậy, fG'  x   46 Hệ Giả sử X không gian banach, hàm f khả vi Fréchet x với đạo hàm Féchet F '  x  ; x nghiệm (P4) Khi đó,  f ' x  III.3.3 Bài toán trơn với ràng buộc đẳng thức Giả sử X, Y không gian Banach, hàm f xác định X, ánh xạ F : X  Y Xét toán:  minf ( x ) (P5):   F ( x )  Hàm Lagrange toán (P5) thiết lập sau: L  x; 0 , y*   0 f  x   y* , F  x     R, y * Y *  Định lý III.10 (Quy tắc nhân tử Lagrange) Giả sử f F khả vi Fréchet x với đạo hàm Fréchet f '  x  F '  x  ,  x cực tiểu địa phương toán (P5); tập F ' x X đóng Khi đó, tồn nhân tử Lagrange 0 y * không đồng thời cho:     L'x x; 0 , y*  0 f ' x  F '* x y*  Hơn nữa, F khả vi liên tục theo nghĩa Fréchet x F '  x  X  Y , 0  xem 0  Chứng minh Theo giả thiết, F '  x  X khơng gian đóng Y Có thể xảy hai trường hợp: F '  x  X  Y F '  x  X  Y  a Trường hợp F '  x  X  Y : Theo định lý Ljusternik, không gian tiếp xúc với tập   M  x  X : F  x   0 x trùng với KerF ' x Do đó, v  KerF ' x ,  v  KerF ' x , tồn số   , ánh xạ r :   ,    X cho: x  t , v   x  tv  r  t   M t   ,   , 47 r t  t  , t  Do đó, t    ,   ta có: F  x t, v   Đặt   t   f  x  t , v   Khi đó,   t  đạt cực tiểu địa phương t = Do đó,      '    f ' x , v  v  KerF ' x Suy     f ' x  KerF ' x  Từ giải tích hàm, F '  x  toán tử tuyến tính liên tục từ khơng gian Banach X lên không gian Banach Y, nên  KerF  x  '    Im F '* x Suy ra, tồn y*  Y * cho:   f ' x   F '* x y* Từ suy ra, với 0  , ta có:     L'x x; 0 , y*  0 f ' x  F '* x y*  b Trường hợp F '  x  X  Y: Khi đó, y0  Y / F '  x  X Do Y / F '  x  X mở, tồn  lân cận mở V y0 cho V  F '  x  X   Khi đó, y*  Y * , y*  , cho:  y* , y   y V  ,     y* , z  z  F ' x X Suy   y* , F ' x x  F '* x y* , x   x  X  Hay  F '* x y*  Cho 0  , ta được: 48    L'x x;0, y*  F '* x y*  III.4 Bài toán trơn - lồi Giả sử X, Y không gian banach, W tập bất kì, hàm f0 , f1 , , f m xác định X W ánh xạ F : X W  Y Xét toán: min f  x, u   (P6):  F  x, u     fi  x, u   0, (i  1, , m) Tập chấp nhận toán (P6) là: Q   x, u   X W : F  x, u   0; fi  x, u   0, i  1, , m Định nghĩa III.11[2] Cặp  x, u   Q gọi cực tiểu địa phương toán (P6), tồn lân cận U x cho:   f x, u  f  x, u  ,   x, u   X W Hàm Lagrange toán (P6), thiết lập sau: L  x, u, 0 , , m , y*    i fi  x, u   y* , F  x, u  , m i 0 đó, i    i  1, , m  , y*  Y * Định lý III.12 (nguyên lý cực trị ) Giả sử  x, u  cực tiểu địa phương toán (P6); Tồn lân cận U x X cho: a Với u  W , ánh xạ F ., u  hàm fi ., u   i  0, , m  khả vi liên tục theo nghĩa Frechet x b Với u U , ánh xạ F ., u  hàm fi ., u   i  0, , m thỏa mãn điều kiện lồi sau: u1 , u2 U   0,1 , u  W cho: F  x, u    F  x, u1   1    F  x, u2  , fi  x, u    fi  x, u1   1    fi  x, u2  (i=1,…,m) 49 c Ánh xạ Fx'  x, u  : X  Y có đối chiều hữu hạn: co dim Fx'  x, u    Khi đó, tồn nhân tử Lagrangge 0  0, , m  y*  Y * không đồng thời cho:     m   L'x x, u, 0 , , m , y*   i fix' x, u  Fx * x, u y*  , i 0   '   L x, u, 0 , , m , y*  Min L x, u, 0 , , m , y* , uW   i fi x, u  (i=1,…,m) Hơn nữa, tập:           Fx' x, u X  F x, W  Fx' x, u  F x, u :  x, u   X  W ,   chứa lân cận Y, tồn x, u cho:      Fx' x, u x  F  x, u   ,         fix' x, u , x   fi  x, u     với i mà fi  x, u   , 0  xem 0  Bây giờ, ta xét toán sau: min f  x  ,   fi  x, u   0,  i  1, , m  , (P7):  h j  x, u   0,  j  1, , n  , G x, u  0,    đó, hàm f0 , f1 , , f m xác định X W ; h1 , , hn hàm thực xác định X  W ; G : X  W  Y1 với Y1 không gian Banach Hàm Lagrange tốn (P7) có dạng: L  x, u, 0 , , m , 1 , , n , y    i fi  x, u    i h j  x, u    y* , G  x, u   , m n i 0 j 0 * i   ,  j   (i=1,…,m; j=1,…,n); y*  Y1* Hệ Giả sử  x, u  cực tiểu địa phương toán (P7); Tồn lân cận U 50 x X cho: a Với u  W , ánh xạ G(.,u) hàm fi  x,. , h j  x,. , (i=1,…,m; j=1, ,n) khả vi liên tục theo nghĩa Frechet x b Với x  U , ánh xạ F(x,.) hàm fi ., u  , h j ., u  , (i=1,…,m; j=1, ,n) thỏa mãn điều kiện lồi sau: u1 , u2  W   0,1 , u  W cho: G  x, u    G  x, u1   1    F  x, u2  , fi  x, u    fi  x, u1   1    fi  x, u2  (i=1,…,m), h j  x, u    h j  x, u1   1    hj  x, u2  (j=1,…,n) c Gx'  x, u  : X  Y1 ánh xạ lên Im Gx'  x, u   Y1 Khi đó, tồn nhân tử Lagrange i  (i=1,…,m),  j   (j=1,…,n), y*  Y1* không đồng thời cho:   m   n     L'x x, u, 0 , , m , 1 , , n , y*   i fix' x, u    j h'jx x, u Gx* x, u y*  , i 0   j 1  '  L'x x, u, 0 , , m , 1 , , n , y*  Min L'x x, u, 0 , , m , 1, , n , y* , uW   i fi x, u  (i=1,…,m) Cuối cùng, ta xét toán: min f  x  ,   F  x   0, (P8):   fi  x   0,  i  1, , m  ,  x  A,  F : X  Y ; f0 , , f m hàm xác định X; tập A  X ; X Y không gian Banach Định lý III.13 Giả sử x nghiệm toán (P8) với A = X giả thiết rằng: a Ánh xạ F hàm f0 , , f m khả vi liên tục theo định nghĩa Fréchet x ; b CodimIm F '  x    Khi đó, tồn nhân tử Lagrange 0  0, , m  0, y*  Y * không đồng thời cho: 51    m  L'x x; 0 , , m , y*   i fix' x  F '* x y*  0, i 0  i fi x   i  1, , m      Hơn nữa, F '  x  ánh xạ lên Im F '  x   Y tồn x  X cho: F ' x x  0, fi ' x x  với số i mà fi  x   , 0  xem 0  Chứng minh Áp dụng nguyên lý cực trị cho toán trơn (P8) ta nhận kết Định lý III.14 Giả thiết x nghiệm toán (P8), và: a f0 , , f n hàm lồi X; b F ánh xạ affine, tức là: F  x    x  y0 ,  tốn tử tuyến tính từ X vào Y, y0  Y ; c A tập lồi Khi đó, tồn nhân tử Lagrange 0  0, , m  0, y*  Y * cho:    m  L x; 0 , , m , y*   i fi ' x  y* , F x i 0  L  x; 0 , , m , y*  , xA  i fi x   i  1, , m Hơn nữa, điều kiện Slater sau thỏa mãn: F(A) chứa lân cận Y, tồn x  A cho:   F x  0, fi x   i  1, , m  , 0  xem 0  Ngược lại, giả sử x điểm chấp nhận toán (P8), điều kiện a) c) điều kiện Slater thỏa mãn Khi đó, x nghiệm toán (P8) Chứng minh 52 a) Điều kiện cần: Áp dụng nguyên lý cực trị cho toán lồi (P8) ta nhận điều phải chứng minh b) Điều kiện đủ: Lấy x chấp nhận (P8), tức F  x   , fi  x    i  1, , m , x  A Khi đó, từ (5.38) – (5.40), ta có:    m x  A ,  f x  f x   i fi x  y* , F x i 1 m   f  x    i fi x  y* , F  x  i 1  f0  x  Vậy, x nghiệm toán (P8) Nhận xét Định lý III.14 cho trường hợp X khơng gian tuyến tính 53 Kết luận Trong tốn phổ thơng, học sinh biết ứng dụng đạo hàm để tìm cực tiểu hàm lồi Chứng tỏ, ứng dụng vi phân tốn tối ưu hóa tốn quan trọng có ứng dụng rộng rãi Trong luận văn, tác giả đề cập tới vấn đề sau: Định nghĩa, tính chất tập lồi hàm lồi Các phép toán tập lồi hàm lồi trình bày số tập lồi quan trọng: Tập affine, nón,… Khái niệm vi phân hàm lồi, hàm lồi địa phương Điều kiện khả vi phân điểm Điều kiện để hàm khả vi Gaatteaux định lý vi phân Định nghĩa tổng quát toán tối ưu, điều kiện để toán tồn nghiệm tối ưu Tám toán tối ưu điều kiện có nghiệm chúng Do thời gian trình độ cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp chân thành thầy, bạn quan tâm để hoàn thiện luận văn tốt 54 Tài liệu tham khảo [1] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền Nhập mơn Giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, (sẽ ra) [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội [3] Hoàng Tụy Lý thuyết tối ưu, Viện Toán Học Hà Nội, 2006 [4] Lê Dũng Mưu Nhập môn phương pháp tối ưu, Nhà xuất Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội, 1998 [5] Đỗ Văn Lưu Lý thuyết điều kiện tối ưu, Nhà xuất Khoa Học Kỹ Thuật Hà Nội, 1999 [6] Rockafellar R.T Convex Analysis, Princeton University Press, 1970 55 ... liên quan đến hàm lồi, vi phân hàm lồi toán ứng dụng vi phân tối ưu hóa Với cơng vi? ??c đó, luận văn gồm chương: Chƣơng I “Những kiến thức tập lồi hàm lồi? ?? giới thiệu tập lồi, hàm lồi tính chất... vi phân hàm lồi? ?? đề cập tới khái niệm đạo hàm theo phương, điều kiện khả vi phân hàm lồi tính chất vi phân Chƣơng III ? ?Ứng dụng dƣới vi phân vào tốn tối ƣu” trình bày khái niệm tổng qt toán tối. .. II.2 Dưới vi phân hàm lồi 26 II.3 Các định lý vi phân .31 II.4 Dưới vi phân hàm lồi địa phương 33 Chƣơng II Ứng dụng dƣới vi phân vào