Dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng

LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TS Nguyen Năng Tâm, ngưòi ln quan tâm, đ®ng viên t¾n tình hưóng dan tơi q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình hoc t¾p nghiên cúu Tơi xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đ®ng viên tao moi đieu ki¾n đe tơi có the hồn thành bán luắn ny H Nđi, thỏng 10 nm 2010 Nguyen Th% Thanh LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm Hà N®i, tháng 10 năm 2010 Nguyen Th% Thanh Mnc lnc Má đau Chương T¾p loi hàm loi 1.1 Đ%nh nghĩa t¾p loi tính chat 1.2 Đ%nh nghĩa hàm loi tính chat 1.2.1 Hàm loi 1.2.2 Các phép toán ve hàm loi 11 1.2.3 Tính liên tuc cna hàm loi .13 1.3 Ket lu¾n 15 Chương Dưái vi phân hàm loi 16 2.1 Đ%nh nghĩa tính chat bán 16 2.2 M®t so phép tốn dưói vi phân .25 2.3 Ket lu¾n 31 Chương Úng dnng cúa dưái vi phân hàm loi 32 3.1 M®t so tính chat bán 32 3.2 M®t so ví du 35 3.3 Ket lu¾n 41 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham kháo 43 BÁNG KÍ HIfiU Rn khơng gian Euclid n chieu t¾p so thnc R t¾p so thnc (R = R1) R = R ∪ { −∞, +∞} t¾p so thnc suy r®ng n x i2 "x" i=1 = chan Euclide cna x F :X⇒Y domf ánh xa đa tr% tù X vào Y mien huu hi¾u cna f epif đo th% cna f int Ω phan cna Ω ri Ω phan tương đoi cna Ω cone Ω nón loi sinh bói Ω N (x¯, Ω) nón pháp tuyen cna Ω tai x¯ ∇f (x) hay f t(x) đao hàm cna f tai x f t(x; v) đao hàm theo hưóng v cna f tai x ∂f (x) dưói vi phân cna f tai x Mé ĐAU Lý chon đe tài Nhung hàm so không vi xuat hi¾n thưòng xun đưoc biet đen tù lâu Toán hoc khoa hoc úng dung khác Vì lý thuyet vi phân co đien khơng the úng dung đưoc cho vi¾c kháo sát nhung đoi tưong khơng vi, nên lý thuyet vi phân suy r®ng đòi đưoc xây dnng Lý thuyet vi phân suy r®ng đau tiên lý thuyet vi phân suy r®ng cho hàm loi Vói nhung cong hien quan cna T R Rockafellar m®t so nhà tốn hoc khác, ngày Giái tích loi trú thnh mđt bđ phắn quan v ep e cna Giái tích tốn hoc, góp phan giái quyet đưoc nhieu tốn thnc te ([1], [7]) Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu ve sn phát trien cna phép tính vi-tích phân úng dung cna nó, tơi chon nghiên cúu đe tài: “Dưói vi phân cna hàm loi úng dung” Mnc đích nghiên cNu Đe tài nghiên cúu ket đat đưoc ve dưói vi phân cna hàm loi m®t so úng dung vào tốn toi ưu Nhi¾m nghiên cNu Vi¾c nghiên cúu lu¾n văn vói nhi¾m vu h¾ thong, làm rõ khái ni¾m dưói vi phân cna hàm loi m®t so tính chat, tù trình bày úng dung cna m®t so tốn Đoi tưang pham vi nghiên cNu Dưói vi phân cna hàm loi m®t so tính chat Úng dung cna dưói vi phân hàm loi Phương pháp nghiên cNu Tong hop kien thúc thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liên quan đen đe tài, sú dung phương pháp nghiên cúu cna giái tích, giái tích loi, giái tích đa tr%, toi ưu hố NhĐng đóng góp cúa đe tài Trình bày m®t cách có h¾ thong kien thúc bán ve dưói vi phân cna hàm loi m®t so tính chat Nghiên cúu úng dung cna dưói vi phân hàm loi mđt so bi toỏn Chng Tắp loi hàm loi Trong chương se trình bày nhung khái ni¾m bán nhat cna t¾p loi hàm loi vói nhung tính chat đ¾c trưng cna 1.1 Đ%nh nghĩa t¾p loi tính chat Đ%nh nghĩa 1.1.1 ([3], tr 3, đ%nh nghĩa 1.1) T¾p A ⊂ Rn đưoc goi loi neu vói moi x, y ∈ A moi λ ∈ R cho ≤ λ ≤ λx + (1 − λ)y ∈ A Đ%nh lý 1.1.1 ([7], tr 10, đ%nh lý 2.1) Giao cúa m®t ho tùy ý cỏc loi Rn l mđt loi Rn Chúng minh Giá sú Aα ∈ Rn (α ∈ I) t¾p loi vói I t¾p chí so bat kì, ta can chúng minh t¾p A = ∩ Aα loi α∈I loi Lay tùy ý x1, x2 ∈ A Khi x1, x2 ∈ Aα, vói moi α ∈ I Do Aα λx1 +(1−λ)x2 ∈ Aα vói moi λ ∈ [0, 1], λx1 +(1−λ)x2 ∈ A Vì v¾y A t¾p loi H¾ 1.1 ([7], tr 10, h¾ 2.1.1) Cho bi ∈ Rn; βi ∈ R; i ∈ I vói I t¾p chs so tùy ý Khi A = {x ∈ Rn | (x; bi) ≤ i; i I} l mđt loi Rn Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho A B hai t¾p hop tuỳ ý Rn A + B = {a + b | a ∈ A; b ∈ B} ; αA = {αa | a ∈ A} Đ%nh lý 1.1.2 ([3], tr 4, m¾nh đe 1.2) Giá sú Ai ⊂ Rn loi; λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1A1 + λ2A2 + + λmAm loi Đ%nh nghĩa 1.1.3 Vectơ x ∈ Rn đưoc goi to hop loi cúa vectơ m n λi = x1, , xm ∈ R neu ton tai λi ≥ (i = 1, cho 2, , m) i=1 m x= λ ix i i=1 Đ%nh lý 1.1.3 ([7], tr 11, đ%nh lý 2.2) Mđt Rn l loi v chs chúa tat cá to hop loi cúa phan tú cúa A t¾p loi Rn chs A = {x = m m λixi | xi ∈ A; λi = 1; λi ≥ 0; i = 1, m, ∀m ∈ N} i=1 i=1 Chúng minh ⇐ / Chon m = 2, A t¾p loi theo đ%nh nghĩa ⇒ / Giá sú A t¾p loi, ta lay tùy ý x1, x2, , xm ∈ A; λ1, , λm ≥ m i=1 m λi = ; x = i=1 λix i Ta chúng minh x ∈ A bang quy nap theo m Vói m = : x1 ∈ A; λ1 = 1, x = x1 ∈ A Vói m = : x1, x2 ∈ A; λ1+λ2 = mà A loi suy x = λ1x1+λ2x2 ∈ A theo đ%nh nghĩa Giá sú x ∈ A vói m − , ta có m m λixi ∈ A; ∀xi λi = 1; λi ≥ 0; i ∈ N i=1 ∈ A; i= m Xét x = λix i = i=1 m− λ ix i + λ m x m i= Neu λm = x ∈ A theo giá thiet quy nap Neu λm = λ1 = = λm−1 = x = xm ∈ A Neu < λ < ta có − λm = λ1 + + λm−1 > λi − λm ≥ m− Vì i=1 λi 1− (i = 1, , m − 1) m−1 = nên theo giá thiet quy nap y = λm λi xi ∈ A, − λm i=1 tù vói y ∈ A, xm ∈ A, − λm > (1 − λm) + λm = suy x = (1 − λm)y + λmxm ∈ A A loi %nh lý 1.1.4 Mđt A R loi chs A liên thông Chúng minh ⇒ / Giá sú A không liên thông , A hop cna hai t¾p mó ròi Giá sú A = B ∪ C; B ∩ C = ∅; B, C mó, vói B = (x, y); C = (z, t), ó y < z Suy loi y+z A, mâu thuan A ∈/ ⇐ / Giá sú A khơng loi, ton tai α ∈ (0, 1) x, y ∈ A, x < y cho αx + (1 − α)y ∈/ A Lay z ∈ A suy z ƒ= αx + (1 − α)y ⇒ z > αx + (1 − α)y z < αx + (1 − α)y Lai x < αx + (1 − α)y < y nên A = B ∪ C vói B = {s ∈ A : s < αx + (1 − α)y} C = {s ∈ A : s > αx + (1 − α)y} Đieu mâu thuan vói tính chat A liên thơng Ví dn 1.1.1 Các t¾p loi R: ∅, {x} , (a, b), (a, b] , [a, b) , [a, b] , R ⇒ / Lay x ∈ arg f (x) Ta có hắ sau vụ nghiắm: xC (x, y) C ì Rn; x − y = 0; f (y) − f (x) < D = C ì Rn v A(x, y) := x − y Ta có A(D) = C − Rn Lay tùy ý B(0, ε), ε > Ta có B(0, ε) = x − (x + B(0, ε)) suy ∈ intA(D) Ton tai v ∈ Rn cho (v, x − y) + f (y) − f (x) > vói moi (x, y) ∈ C × Rn Lay y = x, ta có (v, x − x) ≥ vói moi x ∈ C Suy v ∈ −NC (x) Lay x = x ta suy (v, x − y) + f (y) − f (x) ≥ ⇔ f (y) ≥ f (x) + (v, x − y) ⇒ v ∈ ∂f (x) Do v ∈ ∂f (x) ∩ (−NC (x)) Suy ∈ ∂f (x) + NC (x) H¾ q 3.1 Dưói giá thiet cúa đ%nh lý 3.1.3, neu x ∈ intC x cnc tieu toàn cnc cúa f C chs ∈ ∂f (x) Đ%nh lý 3.1.4 Cho C mđt loi Rn v f : C R m®t hàm loi Neu f đat cnc đai C tai x ∈ riC f hàm hang C Chúng minh Giá sú x ∈ arg max f (x) ∩ riC Lay x tùy ý thu®c C x∈C Khi ton tai y ∈ riC : x = λx + (1 − λ)y λ ∈ (0, 1) Ta có f (x) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x) ⇒ λf (x) ≥ λf (x) ⇒ f (x) ≥ f (x) f (x) ≥ f (y) mà x cnc đai, suy f (x) = f (x) Đ%nh nghĩa 3.1.1 Điem x đưoc goi điem cnc biên cúa C neu khơng bieu dien đưoc dưói dang to hop loi cúa hai điem bat kì thu®c C Đ%nh lý 3.1.5 ([7], tr 343, đ%nh lý 32.2) Cho C l mđt loi Rn v f : C → R m®t hàm loi Neu C khơng chúa đưòng thang f b% ch¾n moi núa đưòng thang nam C sup {f (x) |x ∈ C } = sup {f (x) |x ∈ V (C)} Vói V (C) t¾p điem cnc biên cúa C Neu f đat cnc đai C đat cnc đai điem cnc biên H¾ 3.2 ([7], tr 343, h¾ 32.2.1) Cho f m®t hàm loi huu han C Rn v C l mđt loi compact Khi neu f đat cnc đai C điem cnc đai cúa f C m®t điem cnc biên cúa C 3.2 M®t so ví dn Ví dn 3.2.13 Tìm nghi¾m cna tốn (P ): maxf (x) = x12 + x22 vói ràng bu®c C := x = (x1, x2) ∈ R2 |x1 + x2 − ≤ 0; x1 ≥ 0; x2 ≥ Lòi giái: Ta có f hàm loi Th¾t v¾y, ma tr¾n Hessian cna f vói moi x∈C Qx = 0 Vói moi z(z1, z2) ∈ R ta có (z, Qxz) = 2z12 + 2z22 ≥ Do f hai lan vi C ma tr¾n Hessian cna núa xác đ%nh dương vói moi x ∈ C suy f hàm loi Ta có t¾p điem cnc biên cna C (0, 0) (1, 0) (0, 1) Ta có f (0, 0) = 0; f (1, 0) = f (0, 1) = Do arg max f (x) = {(1, 0); (0, 1)} theo h¾ q 3.2 x∈C Ví dn 3.2.14 Tìm nghi¾m cna toán (P ): minf (x) = −x12 + 3x2 vói ràng bu®c C := x = (x1, x2) ∈ R2 |x1 + x2 ≤ 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ Lòi giái: Ta có f (x) = − max(−f (x)), nên ta chuyen tốn x∈C x∈C ve tốn tìm max(−f (x)) vói −f (x) = x12 − 3x2 x∈C Ta có −f hàm loi Th¾t v¾y, ma tr¾n Hessian cna −f vói moi x ∈ C Qx = 0 Vói moi z(z1, z2) ∈ R2 ta có (z, Qxz) = 2z12 ≥ Do −f hai lan vi C ma tr¾n Hessian cna núa xác đ%nh dương vói moi x ∈ C suy −f hàm loi T¾p điem cnc biên cna C (0, 0); (2, 0); (0, 2) max(−f (x)) = max {−f (0, 0); −f (2, 0); −f (0, 2)} x∈C = max {0; 4; −6} Suy arg max(−f (x)) = {(2, 0)} theo h¾ 3.2 x∈C V¾y arg f (x) = {(2, 0)} x∈C Ví dn 3.2.15 Tìm nghi¾m cna toán : minf (x) = 2x14 + x1x2 + x2 mien C: = x = (x1, x2) ∈ R x1 > , x2 < 0, x12 + x2 x1 > V¾y (z, Qxz) ≥ vói moi z ∈ R2 Do f hai lan vi C ma tr¾n Hessian cna núa xác đ%nh dương vói moi x ∈ C suy f hàm loi Tù C loi nên toán cho toỏn toi u loi cú rng buđc Vỡ vắy theo Đ%nh lý 3.1.3 ta có x(x1, x2) ∈ arg f (x) chí x∈C ∈ ∂f (x) + NC (x) Do C mó nên x ∈ intC NC (x) = Suy ∈ ∂f (x) + NC (x) ⇔ ∈ ∂f (x) = ∇f (x) ⇔ = (8x13 + x2, x1 + 2x2)  =0 = ⇔ x1 + 2x2 = V¾y arg f (x) = x∈C x ∈ C  8x13 + x2 ⇔ x11   x =− f (x) 1, − =− x∈C 12 Ví dn 3.2.16 Cho n điem a1, a2, , an Rn Tìm x ∈ Rn cho f (x) = "x −" + "x − a2" + + "x − a"n nhó nhat a1 2 Lòi giái: Giá sú a1 = (a11, a12, , a1n) a2 = (a21, a22, , a2n) an = (an1, an2, , ann) x = (x1, x2, , xn) Khi "x" = √ x12 + x22 + + xn2 Ta có f hàm vi loi, suy x = (x1, x2, , xn) ∈ arg f (x) x∈Rn chí ∈ ∂f (x) = ∇f (x) ⇔ = 2(x − a1) + 2(x − a2) + + 2(x − an) ⇔ = 2(x1 − a11, x2 − a12, , xn − a1n) + 2(x1 − a21, x2 − a22, , xn − a2n) + + 2(x1 − an1, x2 − an2, , xn − ann) Suy x1 = x2 = a11 + a21 + + an1 n a12 + a22 + + an2 n xn = a1n + a2n + + ann n V¾y arg f (x) = {(x1, x2, , xn)} x∈Rn Ví dn 3.2.17 Xét toán: Cho A, B, C điem R2 vói toa đ® tương úng a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2) Giá sú rang điem khơng thang hàng Bài tốn đ¾t tìm điem M R2 vói toa đ® x¯ = (x¯1 , x¯2 ) thóa mãn tong khống cách tù M đen điem A, B, C nhó nhat Đieu có nghĩa x¯ nghi¾m cna toán f (x) := "x − a" + "x − b" + "x − c" : x∈ R2 (3.2) Ta có the chúng minh đưoc rang tốn (3.2) có nghi¾m nghi¾m nhat Đ¾t f1(x) = "x − a" ; Ta có: f = f1 + f2 + f3 f2(x) = "x − b" , f3(x) = "x − c" Tù Đ%nh lý 2.1.1 ta có x¯ nghi¾m cna (3.2) neu chí neu ∈ ∂f (x¯) Khi domfi = R2 (i = 1, 2, 3), sú dung Đ%nh lý MoreauRockafellar ta có đưoc ∈ ∂f1(x¯) + ∂f2 (x¯) + ∂f3 (x¯) Trưóc het ta xét trưòng hop ó x¯ (3.3) trùng vói m®t ba vectơ a, b, c Lay x¯ = a, nghĩa M ≡ A Trong trưòng hop ta có a − b , ∂f3 (x¯) a − c ∂f1(x¯) = B R2 , = ∂f2 (x¯) "a − b" = "a − c" Do (3.3) tương đương vói vi¾c nói rang ton tai u∗ ∈ BR2 thóa mãn = u∗ − v ∗ − ω ∗ , ó v∗ := b a ; ω∗ := "b − a" − c−a Tù (3.4) ta có "c − a" ≥ "u∗" = (3.4) , + ω∗, + ω∗) )= ∗ (u∗ u (v∗ = "v∗" + "ω∗" v∗ +2 (v Khi "v∗" = "ω∗" = 1, suy (v∗, ω∗ ) ≤ ∗ , ∗ ) ω Kí hi¾u α góc giua hai vectơ v∗ ω∗ (mà tương đương cho góc A cna tam giác ABC), ta thu đưoc tù bat thúc sau Do v¾y (v∗, ω∗) = (v∗, cosα = "v∗" ω∗ "ω∗" )≤− 2π ≤ α ≤ π (3.5) (Lưu ý rang trưòng hop α = π loai ba điem A, B, C khơng thang hàng) Ta thay rang (3.5) kéo theo u˜∗ := v ∗ + ω ∗ thu®c vào B R2 Nên (3.5) tương đương vói (3.3) Đieu có nghĩa (3.5) neu chí neu x¯ = a l mđt nghiắm cna (3.2) Tiep theo ta xột trưòng hop x¯ ƒ= a, x¯ ƒ= b x¯ ƒ= c, nghĩa M khơng trùng vói ba điem A, B C Trong trưòng hop ta có x¯ − , ∂f2 (x¯) x¯ − b , ∂f3 (x¯) x¯ − c = = ∂f1 (x¯) a = "x¯ − a" "x¯ − b" "x¯ − c" Khi (3.3) tương đương vói thúc = u∗ + v ∗ + ω ∗ , ó u∗ := a x¯ c − x¯ b − x¯ ω∗ := "b − ; v∗ := "a − x¯" − (3.6) "c − x¯" x¯" Tù (3.6) ta có = "u∗ " = , )= − ∗ (u∗ u (−v∗ 2 = "v∗ " + "ω∗" − ω∗) , ω∗ −v∗ +2 (v ∗ , ω ∗ ) Khi "v∗" = "ω∗" = 1, đieu kéo theo rang (v∗, ω∗) = − Do góc α giua v∗ ω∗ bang 2π Tương tn, ta thu đưoc tù (3.6) góc β 2π (Ve m¾t hình (tương úng góc γ) giua u∗ ω∗ (giua u∗ v∗) bang hoc, ta thay rang điem M nhìn canh BC, AC AB cna tam giác ABC dưói góc 1200) De dàng thay rang neu 2π α=β=γ= (3.6) đưoc thóa mãn; (3.3) x¯ l mđt nghiắm cna (3.2) Bi toỏn oc giỏi xong Tù tốn theo ngơn ngu cna hình hoc Euclide ta có đưoc ket lu¾n sau: i) Neu m®t ba góc cna tam giác ABC, giá sú góc A lón ho¾c bang 1200, M ≡ A nghi¾m nhat cna tốn ii)Neu tat cá góc cna tam giác ABC nhó 1200, nghi¾m cna tốn điem M nhìn canh BC, AC AB dưói góc 1200 (Điem M đưoc goi điem Fermat hay điem Torricelli Có the chúng minh đưoc rang điem Fermat thu®c vào mien cna tam giác ABC) 3.3 Ket lu¾n Trong chương ta tìm hieu úng dung cna dưói vi phân cna hàm loi đe giái tốn toi ưu m®t so ví du đe minh hoa úng dung nhung toán cu the KET LUắN Luắn ó trỡnh by mđt cỏch hắ thong cỏc khỏi niắm v mđt so tớnh chat cna dưói vi phân cna hàm loi úng dung Cu the: Chương trình bày khái ni¾m tính chat bán cna t¾p loi hàm loi Chương trình bày khái ni¾m dưói vi phân hàm loi vói m®t vài quy tac tính tốn dưói vi phân Chương sú dung dưói vi phân cna hàm loi đe minh hoa úng dung m®t so tốn cu the Vói có han chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu xót, mong q thay ban đong hoc góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Lê Dũng Mưu (2003), Nh¾p mơn giái tích loi úng dnng, Viắn toỏn hoc, H Nđi [2] Lờ Dng Mu v Nguyen Văn Hien (2009), Giái tích loi úng dnng, NXB Khoa hoc ky thuắt v Cụng nghắ, H Nđi [3] Đo Văn Lưu, Phan Huy Khái (2000), Giái tích loi, NXB Khoa hoc v ky thuắt H Nđi [B] Tài li¾u tieng Anh [4] D P Bertsekas (2003), Convex Analysis and Optimization, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts [5] I Ekeland and R Témam (1999), Convex Analysis and Variational Problems, Society for industrial and Applied Mathematic Philadelphia [6] R R Phelps (1993), Convex Function, Monotone Operators and Differentiability, Second Edition, Springer, Berlin [7] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey [8] H Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers ... thuyet vi phân co đien không the úng dung đưoc cho vi c kháo sát nhung đoi tưong khơng vi, nên lý thuyet vi phân suy r®ng đòi đưoc xây dnng Lý thuyet vi phân suy r®ng đau tiên lý thuyet vi phân. .. theo ta se mú rđng khỏi niắm vi phõn cho dưói vi phân cna hàm loi Chương Dưái vi phân hàm loi Trong chương se trình bày nhung kien thúc bán cna dưói vi phân cna hàm loi can dùng trình nghiên... tính vi- tích phân úng dung cna nó, tơi chon nghiên cúu đe tài: “Dưói vi phân cna hàm loi úng dung” Mnc đích nghiên cNu Đe tài nghiên cúu ket đat đưoc ve dưói vi phân cna hàm loi m®t so úng dung vào