Thông tin tài liệu
Khóa luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********* NGUYỄN THỊ DỊU MỘT ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN VĂN TUYÊN Hà nội - 2013 Nguyễn Thị Dịu LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô tổ giải tích, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt q trình làm khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận góp ý thầy bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Dịu LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận hoàn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, với hướng dẫn bảo nhiệt tình thầy giáo Nguyễn Văn Tuncũng thầy tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đây đề tài độc lập không trùng với đề tài tác giả khác Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Rất mong nhận góp ý thầy bạn bè để khóa luận hồn thiện Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Dịu DANH MỤC KÍ HIỆU □ , □ tập số tự nhiên, số thực □ n n nón vec-tơ khơng âm □ core A điểm bọc A lin A bao tuyến tính A X *, X không gian liên hợp X ** int X , X phần bao đóngcủa X f g tổng chập cực tiểu f g * f , f ** hàm liên hợp, liên hợp bậc hai f N D x nón pháp tuyến D x f or cl f , co f bao đóng, bao lồi hàm f convX bao lồi tập X epi f đồ thị hàm f dom f miền hữu hiệu hàm f o K tập đối cực K , f ' x; d C x , C x hàm chỉ, hàm tựa tập C X đạo hàm hàm f x theo hướng d f x vi phân hàm lồi f x MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi 1.2 Nón 12 1.3 Hàm lồi 18 1.4 Dưới vi phân hàm lồi 23 CHƯƠNG ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG 31 2.1 Trên đồ thị hàm liên hợp 31 2.2 Công thức vi phân tổng 34 2.3 Đặc trưng nghiệm tối ưu 39 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Có nhiều cơng thức tính tốn vi phân tổng Trong cơng thức vi phân tổng hai hàm lồi, thường nửa liên tục f , g : X □ n là: f g x f x g x , x dom f dom g, (0.1) điều kiện qui f g thỏa mãn Cơng thức chìa khóa quan trọng để giải tốn tối ưu lồi có ràng buộc Các điều kiện qui đảm bảo cho công thức vi phân tổng Đây điều kiện quan trọng tối ưu lồi lý thuyết đối ngẫu nón lồi tồn cận sai số cho hệ bất đẳng thức lồi Khi hàm f hàm g thay hàm tập lồi C D cơng thức vi phân tổng trở thành cơng thức xác định nón pháp tuyến giao: với x C D, N x N x N x CD C D Trong năm gần điều kiện cho công thức vi phân tổng hay nón pháp tuyến giao nghiên cứu (xem [2, , 4, 5, 10, 18, 19, 20]) Tuy nhiên, nguồn gốc điều kiện qui điều kiện kiểu phần trong-điểm [4, 5] Mục đích khóa luận trình bày điều kiện qui yếu điều kiện kiểu phần trong-điểm cho công thức vi phân tổng sau đưa điều kiện tối ưu nguyên lý đối ngẫu Chúng công thức tổng (0 1) Epi f * Epi * g kí hiệu đồ thị hàm liên hợp Nguyễn Thị Dịu * đóng yếu , với Epi f * * f hàm f Page6 Khóa luận bố cục sau: Chương Trình bày kiến thức sở Giải tích lồi Chương Trình bày điều kiện đối ngẫu cho công thức vi phân hàm lồi ứng dụng Nội dung chương trình bày kết báo [7] CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi 1.1.1 Các khái niệm Khái niệm tập lồi khái niệm trung tâm thuyết tối ưu Tập lồi tập mà lấy hai điểm tồn đoạn thẳng nối điểm chứa tập Định nghĩa 1 Một tập X □ n gọi tập lồi với x X x 2 X chứa tất điểm x1 1 x2 , Bổ đề 1 Giả sử I tập số Nếu tập X i tập lồi tập n □ , i I X iI Xi tập lồi Chứng minh Ta xét hai trường hợp: + Nếu X iI X i + Nếu X tập lồi X iI X i , ta có: x, y iI X i , 0;1 suy x, y X i , i I Khi đó, x 1 y X i , i X i , suy ra, x 1 y iI Xi , i X i Vậy X tập lồi Bổ đề Giả sử X Y hai tập lồi □ n thực Khi đó, Z □ c , d số c X d Y tập lồi Chứng minh Nếu z Z z1 cx1 dy1 với x1 X y Y Tương tự, z2 Z ta có: z cx2 dy2 với x2 X y2 Y Khi đó, với 0,1 ta có: z1 1 z2 c x1 1 x2 d y1 1 y2 Z □ Định nghĩa Một điểm x gọi tổ hợp lồi điểm m x ,, x tồn , …, 1 x 1x x m cho: m x m 1 m Định nghĩa Bao lồi tập X (kí hiệu convX ) giao tất tập lồi chứa X Mối quan hệ hai định nghĩa nội dung bổ đề sau: Bổ đề Tập convX làtập hợp tổ hợp lồi điểm thuộc X m m convX x | x i xi , xi X , 0, i 1, m □ i1 i1 Chứng minh Ta xét tập Y tập hợp tổ hợp lồi phần tử thuộc X Nếu y Y y Y , 1 m y 1x x m x , y 1z z l z , l x1,, xm , z1,, zm X với hệ số hệ số không âm, m l , i Do đó, với 0;1 i i1 i1 y 1 y (1 ) zi , m l xi i i1 i i1 tổ hợp lồi điểm x1,, xm , z1,, zm Do tập Y tập lồi Hơn nữa, Y X suy ra: convX Y Mặt khác, y Y f 0 g 0 □ * đóng yếu □ Theo hệ đây, thấy bao đóng điều kiện đủ cho tương giao mạnh mẽ bao nón tính chất hai tập đóng, lồi C D Gọi cặp C, D thỏa mãn CHIP mạnh x C D , NCD x NC x ND x Bổ đề 2 Giả sử C D hai tập đóng, lồi X với C D Nếu Epi * C Epi đóng yếu với xCD ta có NC D x NC x ND x Chứng minh Giả sử f = C g ta có: D f g CD , theo định lý NC D x C D x C x D x NC x N D x □ Từ định lý C D hai tập lồi đóng X ta có C D coneC D khơng gian đóng thì, Epi * C Epi đóng yếu Hơn X không gian Euclid, C D hai nón lồi, đóng cặp C, D bị chặn tuyến tính EpiC Epi D đóng (xem [6]) Cặp {C, D} gọi bị chặn tuyến tính [4, 5], tập bị chặn S X , tồn S cho khoảng cách tập C , D CD cho bởi: d x,C D S maxd x,C , d x, D với x S , d x,c : inf x c số | c C khoảng cách hàm Theo Bổ đề, C D hai tập đóng lồi X , cho * C D EpiC Epi D đóng yếu tế ta có: C D C NC 0 C , 0 D ND C D N 0 N N 0 C C D C D D Từ thực DC D Đặc trưngnghiệm tối ưu Trong phần có kiến thức toán vi phân đặc trưng cho toán lồi tối ưu điều kiện đối ngẫu bao đóng đồ thị hàm liên hợp Đầu tiên chúng tơi xét tốn lồi tối ưu PA : f x , đó: x A f : X □ hàm lồi, thường, nửa liên tục A X tập lồi, đóng khác rỗng A dom f Bên cạnh định lý đưa cách tổng quát điều kiện quy dướimà đặc trưng vi phân điểm cực tiểu hàm lồi với tập lồi, đóng xác định Mệnh đề Cho toán (PA), giả sử a A dom f Giả sử * * Epi f EpiA * đóng yếu Khi a điểm cực tiểu (PA) 0f a NA a Chứng minh Giả sử g A g hàm lồi, thường, nửa liên tục Bây giờ, điểm a A dom f a điểm cực tiểu (P ) A a điểm cực tiểu của f , nghĩa 0 f A A a Theo A Nguyễn Thị Dịu Page77 định lí điều kiện bao đóng, mà Epi f * Epi cho bởi: Nguyễn Thị Dịu * đóng yếu * Page78 0 f A a f a A a f a NA a □ Bây ta xét toán tối ưu (P): f x , g x S , đó: x A f : X □ hàm lồi, thường, nửa liên tục C X tập lồi, đóng g : X Z hàm lồi S - liên tục, S X nón lồi đóng, A dom f và, A x X | x C, g x S C g Đối ngẫu nón lồiS viết 1 S S Z ' | s 0,s S Dễ dàng thấy ( xem [15]) sử dụng Định lí tách Hah- Banach C tập đóng lồi X g : X Z C g 1 S thì, liên tục lưới lồi- S Epi Cg 1 S cl vS Epi v g Epi o * Định lí sau đưa điều kiện cần đủ cho toán tối ưu (P), kết tương ứng [15], điều kiện quy nón đóng Định lí Tách được sử dụng cho điều kiện tối ưu trường hợp hàm f nhận giá trị thực Định lí Cho toán (P), giả sử cho tập ( * Epi ) tập C Epi f * cl vS Epi v g Epi * vS Epi v o g * đóng yếu Nếu o a A dom f a điểm cực tiểu (PA) tồn S cho: 0f a o g a NC a o g a Nhận xét Nếu Epi f * vS Epi v og Epi Epi f * cl vS Epi v o g Epi * C * đóng yếu* * cũngđóng yếu Hơn nữa, inf S điều kiện tổng quát Slater ' smà tồn x0 C, g x0 int S , thỏa mãn Epi v g Epi vS o đóng yếu* * C Mặtkhác điều kiện cần đủ đảm bảo tập vS Epi v g Epi * o * đóng yếu (xem [15] Chú ý rằng, f hàm liên tục x A dom f (hoặc tổng quát cone dom – A không gian f đóngcủa X thì: Epi f * vS Epi v o g Epi * * đóng yếu , C tập vS Epi v go Epi * , * đóng yếu Từ ta có: Epi Cg 1 S vS Epi v o g EpiC * Chứng minh: Giả sử a làmột điểm cực tiểu (P) Do đó, theo Mệnh đề cho ta điểm a điểm cực tiểu (P) 0f a N A a Đây điều kiện tương đương, tồn u f a cho u x u a , với x A C g 1 S Bằng định nghĩa đồ thị hàm tựa Epi C g 1 S , ta có: x C g 1 S ,u x u a u, u a Epi u, u a cl u, u a Cg Epi v g Epi vS vS S * o Epi v g Epi * o Vì vậy, điểm a làmột điểm cực tiểu (P) tồn u f a cho u, u a vS Epi v g Epi * , S o cho với x C, f x o g x f a o g a o g a Điều cho biết rằng: 0f a o g a NC a o g a ; Được suy ratừ định nghĩa hàm lồi vi phân hàm liên quan □ Một ví dụ thảo luận [15] cho so sánh ràng buộc quy Ví dụ Xét tốn lồi đơn giản không gian chiều min|x| , g x , xC C 1,1 , f x x 0 nÕu x < g x x nÕu x Dễ dàng thấy điều kiện tổng quát Elater- loại điểm không xác định g C S □ Mặt khác, C v v Epi Epi Do ta có: C Epi(g)* 0 0 0,□ * * Epi(g) Epi 0 C □ Epi , nón lồi, đóng Hơn nữa, Epi f * vS Epi v g Epi o * 1,1 □ □ Epi 1, | 0, 0, đóng Dễ dàng thấy 0f 0 o g 0 NC 0 o g 0 Cho ta điều phải chứng minh □ KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận Để hồn thành khóa luận tác giả phải đọc, tìm hiểu kĩ lưỡng kiến thức sở kiến thức liên quan khác Qua việc thực đề tài em mở rộng tầm hiểu biết giải tích lồi làm quen với nghiên cứu khoa học Đối với vấn đề lựa chọn cho khóa luận em hi vọng vấn đề giúp cho việc nghiên cứu đối tượng khác giải tích lồi lí thuyết tối ưu Mặc dù có nhiều cố gắng song khn khổ thời gian có hạn, vấn đề với thân nên số vấn đề đặt khóa luận chưa giải triệt để Vì vậy, em mong ý kiến thầy đóng góp bạn đọc để em tiếp tục nghiên cứu sau Trước kết thúc khóa luận, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy trường, đặc biệt thầy Nguyễn Văn Tuyên hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Dịu TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng – Cơ sở giải tích lồi, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, năm 2012 [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] H Attouch and H Brézis, Duality for the sum of convex functions in general Banach spaces, in Aspects of Mathematics and its applications, J A Barroso (ed ), North Holland, Amsterdam, (1986), 125-133 [3] H Attouch and M Théra, A general Duality Principle for the sum oftwo operators, in Journal of Convex Analysis 3(1) (1996), 1-24 [4] H H Bauschke, J M Borwein and W Li, Strong conical hull intersection property, bounded linear regularity, Jameson's property (G), and error bounds in convex optimization, Math Progr, 86 (1999), 135160 [5] H H Bauschke, J M Borwein and P Tseng, Bounded linear regularity, strong CHIP, and CHIP are distinct properties, J Convex Analysis, 7(2)(2000), 395-412 [6] R S Burachik and V Jeyakumar, A simple closure condition for the normal cone intersection formula, Applied Mathematics Preprint, University of New South Wales, Sydney, Australia Toappearin Proc Amer Math Soc [7] R S Burachik and V Jeyakumar, A dual condition for the convex subdifferential sum formula with applications, (2004) [8] F Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM series Classicsin Applied Mathematics, Holland, (1990) [9] F ClarkeandI Ekeland, Hamiltonian trajectories having prescribed minimal period, Comm Pure Appl Math , 33(2) (1980), 103-116 [10] F Deutsch, The role of conical hull intersection property in convex optimization and approximation, in Approximation Theory IX, C K Chui and L L Schumaker, eds (1998), Vanderbilt University Press, Nashville, TN [11] F Deutsch, W Li andJ Swetits, Fenchel duality and the strong conical hull intersection property, J Optim Theory Appl, 102 (1999), 681-695 [12] I Ekeland and R Temam, Convex analysis and variational problems, North Holland, Amsterdam, (1976) [13] J-B Hiriart-Urruty and R R Phelps, Subdierential calculus using subdierentials, J Funct Anal 118 (1993), 154-166 [14] V Jeyakumar, Duality and innite dimensional optimization, Nonlinear Anal, 15 (1990), 1111-1122 [15] V Jeyakumar, G M Lee and N Dinh, New sequential Lagrange multiplier conditions characterizing optimality without constraint qualications for convex programs, SIAM J Optim, 14(2) (2003), 534547 [16] V Jeyakumar, G M Lee and N Dinh, A new closed cone constraint qualication for convex optimization, Applied Mathematics Research Report AMR 04/6, university of New South Wales (submitted for publication) [17] V Jeyakumar, A M Rubinov, B M Glover and Y Ishizuka, Inequality systems and Global Optimization, J Math Anal Appl, 202 (1996), 900-919 [18] V Jeyakumar and H Wolkowicz, Generalizations of Slater’s constraint qualication for innite convex programs, Math Progr, 57 (1) (1992), 85-102 [19] C Li and X Jin, Nonlinearly constrained best approximation in Hilbert spaces: the strong CHIP, and the basic constraint qualication, SIAMJ Optim, 13(1) (2002), 228-239 [20] K F Ng and W Song, Fenchel duality in innite-dimensional setting and its applications, Nonlinear Analysis 25 (2003), 845-858 [21] T Stromberg, The operation ofinmal convolution, Diss Math, 352 (1996), 1-61 [22] L Thibault, Sequential convex subdierential calculus andsequential Lagrange multipliers, SIAM J Control Optim, 35 (4) (1997), 1434-1444 [23] L Thibault, Ageneralized sequential formula for subdierentials of sums of convex functions denedon Banach spaces, Recent developments in optimization (Dijon, 1994), 340-345, Lecture Notes in Econom And Math Systems, 429, Springer, Berlin, 1995 [24] JanvanTiel, Convex Analysis: An Introductory Text, John Wiley and Sons, Belfast, 1984 ... CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi 1.2 Nón 12 1.3 Hàm lồi 18 1.4 Dưới vi phân hàm lồi 23 CHƯƠNG ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG... trình bày điều kiện qui yếu điều kiện kiểu phần trong-điểm cho công thức vi phân tổng sau đưa điều kiện tối ưu nguyên lý đối ngẫu Chúng công thức tổng (0 1) Epi f * Epi * g kí hiệu đồ thị hàm liên... thức chìa khóa quan trọng để giải tốn tối ưu lồi có ràng buộc Các điều kiện qui đảm bảo cho cơng thức vi phân tổng Đây điều kiện quan trọng tối ưu lồi lý thuyết đối ngẫu nón lồi tồn cận sai số
Ngày đăng: 31/12/2017, 10:12
Xem thêm: Một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi phân của tổng các hàm số lồi và các ứng dụng
