Một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi phân của tổng các hàm số lồi và các ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *********     NGUYỄN THỊ DỊU    MỘT ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ CÁC ỨNG DỤNG Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Giải tích                                        Người hướng dẫn khoa học                                                                             Th.S NGUYỄN VĂN TUYÊN            Hà nội - 2013  Nguyễn Thị Dịu Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN   Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn  sâu sắc đến các thầy cô trong tổ giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư  phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa  luận.  Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên  đã  tạo  điều  kiện  tốt  nhất  và  chỉ  bảo  tận  tình  để  em  có  thể  hoàn  thành  khóa luận tốt nghiệp này.    Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong  khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận  được góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên.       Hà Nội, tháng năm 2013   Sinh viên     Nguyễn Thị Dịu                       Nguyễn Thị Dịu Khóa luận tốt nghiệp       LỜI CAM ĐOAN   Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực  tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt  tình của thầy giáo Nguyễn Văn Tuyêncũng như các thầy cô trong tổ Giải  tích, khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Đây là đề tài độc lập  không trùng với đề tài của tác giả khác.  Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo  một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.    Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô cùng bạn bè để khóa  luận được hoàn thiện hơn.     Hà Nội, tháng năm 2013   Sinh viên                         Nguyễn Thị Dịu Nguyễn Thị Dịu Khóa luận tốt nghiệp       DANH MỤC KÍ HIỆU ,   n    các tập số tự nhiên, số thực.      nón các vec-tơ không âm trong  n    core A   các điểm bọc của  A    lin A    bao tuyến tính của A    X * , X **  các không gian liên hợp của  X    int X ,  X  phần trong và bao đóngcủa  X    f  g   tổng chập cực tiểu của  f  và  g     f * , f **  hàm liên hợp, liên hợp bậc hai của  f   N D  x    nón pháp tuyến của  D  tại  x    f  or cl f  , co f  bao đóng, bao lồi của hàm  f   convX  bao lồi của tập  X   epi f   trên đồ thị của hàm  f   dom f  miền hữu hiệu của hàm  f   K o  tập đối cực của  K ,  C  x  ,  C  x   hàm chỉ, hàm tựa của tập  C  X   f '  x; d   đạo hàm của hàm  f tại  x  theo hướng  d    f  x  dưới vi phân của hàm lồi  f tại  x      Nguyễn Thị Dịu Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC  Nội dung Trang MỞ ĐẦU 1  CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ   3  1.1. Tập lồi .  3  1.2. Nón .  12  1.3. Hàm lồi .  18  1.4. Dưới vi phân của hàm lồi .  23  CHƯƠNG ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG   THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ   CÁC ỨNG DỤNG   31  2.1. Trên đồ thị của các hàm liên hợp 31  2.2. Công thức dưới vi phân của tổng 34  2.3. Đặc trưng nghiệm tối ưu 39  KẾT LUẬN   44  TÀI LIỆU THAM KHẢO   45  Nguyễn Thị Dịu Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU   Có nhiều công thức tính toán dưới vi phân của một tổng. Trong đó  công thức dưới vi phân của tổng hai hàm lồi, chính thường và nửa liên  tục dưới  f , g : X  n    là:    f  g  x   f  x   g  x  , x  dom f  dom g ,   (0.1)  khi điều kiện chính qui tại  f  và  g  thỏa mãn. Công thức này là một chìa  khóa quan trọng  để giải  các bài toán  tối ưu lồi  có  ràng buộc. Các  điều  kiện chính qui đảm bảo cho công thức dưới vi phân của tổng. Đây là một  điều kiện quan trọng trong tối ưu lồi cũng như trong lý thuyết đối ngẫu  của các nón lồi và sự tồn tại cận sai số cho hệ bất đẳng thức lồi. Khi cả  hàm  f và  hàm  g được  thay  bằng  hàm  chỉ  của  các  tập  lồi  C   và  D   thì  công thức dưới vi phân của tổng trở thành công thức xác định nón pháp  tuyến của giao: với mỗi  x C  D, N C  D  x   NC  x   N D  x      Trong  những  năm  gần  đây  các  điều  kiện  cho  công  thức  dưới  vi  phân của tổng hay nón pháp tuyến của giao đã được nghiên cứu (xem [2,  , 4, 5, 10, 18, 19, 20]). Tuy nhiên, nguồn gốc của các điều kiện chính qui  này  chính  là  các  điều  kiện  kiểu  phần  trong-điểm  [4,  5].  Mục  đích  của  khóa luận  này trình bày các điều kiện chính qui  yếu hơn các điều kiện  kiểu phần trong-điểm cho công thức dưới vi phân của tổng và sau đó đưa  ra các  điều kiện  tối ưu và  các  nguyên  lý  đối ngẫu.  Chúng  tôi  sẽ chỉ ra  công thức tổng (0. 1) đúng khi  Epi f *  Epi g *  là đóng yếu*, với  Epi f *   là kí hiệu trên đồ thị của hàm liên hợp  f * của hàm f        Nguyễn Thị Dịu Page1 Khóa luận tốt nghiệp   Khóa luận được bố cục như sau:    Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ sở về Giải tích lồi.   Chương 2. Trình bày một điều kiện đối ngẫu cho công thức dưới vi  phân của các hàm lồi và ứng dụng. Nội dung chính của chương này trình  bày các kết quả trong bài báo [7].                                 Nguyễn Thị Dịu Page2 Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi 1.1.1 Các khái niệm   Khái niệm tập lồi là khái niệm trung tâm của thuyết tối ưu. Tập lồi  là tập mà khi lấy hai điểm bất kì của nó thì toàn bộ đoạn thẳng nối các  điểm đó chứa trong tập.   Định nghĩa 1 Một tập  X  n  được gọi là tập lồi nếu với mọi    x1  X và  x  X  nó chứa tất cả các điểm x1  1    x ,      Bổ đề 1 Giả sử I tập số Nếu tập X i  n , i  I tập lồi tập X  iI X i tập lồi Chứng minh Ta xét hai trường hợp:    + Nếu  X   iI X i    thì X  là tập lồi.     +  Nếu  X   iI X i   , ta  có:  x , y   iI X i ,     0;1 thì suy    ra  x, y  X i , i  I  Khi đó,   x  1    y  X i ,  i  X i , suy ra,    x  1    y  iI X i , i  X i  . Vậy  X  là tập lồi.   Bổ đề Giả sử X Y hai tập lồi   n c , d số thực Khi đó, Z  c X  d Y tập lồi Chứng minh Nếu z1  Z   z1  cx1  dy1   với  x1  X   và  y1  Y   Tương  tự,  z  Z   ta  cũng  có: z  cx  dy với  x2  X   và  y  Y   Khi  đó, với mọi     0,1 ta có:  z1  1    z  c  x1  1    x   d  y1  1    y   Z        Nguyễn Thị Dịu Page3 Khóa luận tốt nghiệp Định nghĩa Một điểm  x  được gọi là một tổ hợp lồi của các điểm  x1,, xm nếu tồn tại  1  , …,   m  sao cho:  x  1 x1   x    m x m  và  1      m    Định nghĩa Bao lồi của tập  X  (kí hiệu là convX ) là giao của tất cả  các tập lồi chứa X      Mối quan hệ giữa hai định nghĩa là nội dung của bổ đề sau:  Bổ đề Tập convX làtập hợp tổ hợp lồi điểm thuộc X m m   convX   x | x   i xi , xi  X ,   0,  i  1, m   i 1 i 1   Chứng minh Ta xét tập  Y  là tập hợp các tổ hợp lồi của các phần tử  thuộc  X Nếu  y1 Y  và  y  Y , thì   y1  1 x1   x   m x m ,   y  1 z1   z  l z l ,   ở  đó  x1 ,, x m , z1 ,, z m  X với  mọi  hệ  số    và     là  các  hệ  số  không  âm, và   m l   i  1 ,   i    i 1 i 1 Do đó, với mọi     0;1  thì   m l  y1  1    y    i x i   (1   )  i z i ,   i 1 i 1 là  tổ  hợp  lồi  của  các  điểm  x1,, x m , z1 ,, z m   Do  đó  tập  Y   là  tập  lồi.  Hơn nữa,  Y  X suy ra:  convX  Y      Mặt khác, nếu  y  Y  thì  y là một tổ hợp lồi của các điểm thuộc  X ,   được chứa trong mọi tập lồi nằm trong  X  Do đó,  convX  Y    Nguyễn Thị Dịu   Page4 Khóa luận tốt nghiệp Bổ đề Nếu X  n , phần tử convX tổ hợp lồi nhiều n  điểm X Chứng minh Cho x là tổ hợp lồi của  m  n   điểm của  X  Ta sẽ  chỉ ra rằng  m  là giá trị có thể giảm tới một. Nếu   j   cho một vài  j ,  thì  ta  có  thể  xóa  đi  điểm  thứ  j và  ta  thực  hiện.  Vì  vậy,  ta  giả  sử  mọi   i   khi đó  m  n  1, ta có thể tìm   ,  , ,  m  đều khác không, do  đó ta có:  x1   x2   xm             m      1  1  1    (1.1)    Giả sử     i :  i    Chú ý rằng,    cũng được xác định, vì  i  nếu  tổng  của  chúng  là  bằng  không  thì  m  j  Giả  sử  m  i   i   i , i  1, 2, , m  Theo (1. 1) ta vẫn có    i   và    i x i  x   i 1 i 1 Theo định nghĩa của   , thì có ít nhất một   j   và ta xóa đi điểm thứ  j  Tiếp tục cách này, ta có thể giảm giá trị  m  tới điểm.     Bổ đề Nếu X tập lồi, phần intX bao đóng X tập lồi Chứng minh: Giả sử  B  là hình cầu đơn vị. Nếu  x1  int X , x  int X , khi đó tồn  tại      sao  cho  x1   B  X   Do  đó,   x1  1    x   B  X   với  mọi      Do đó,   x1  1    x  int X  Để chứng minh phần thứ  hai của bổ đề, giả sử  xk  x  và  y k  y  với  xk  X  và  y k  X  Khi đó,  Nguyễn Thị Dịu Page5 Khóa luận tốt nghiệp Giả sử hàm  h : X '      là hàm chính quy, nửa liên tục dưới  yếu * được định nghĩa bởi hàm  cl h  và đẳng thức:   Epi  cl h   cl Epi h ,   trong đó bao đóng ở vế phải được lấy theo topo yếu*. Hàm  cl h  được đặc  trưng  như  là  hàm  lớn  nhất  trong  tất  cả  các  hàm  trội  nửa  liên  tục  dưới  yếu*của  h   Với  mỗi  hàmlồi,  chính  thường  f : X      ta  có  khẳng định  f  cl f  f **  Nếu hàm  f  là hàm lồi, chính thường thì theo  Định lí Fenchel- Moreau ta có  cl h  f **  Do đó với bất kì hàm  f  là hàm  lồi,  chính  thường  và  nửa  liên  tục  dưới,  ta  có  f  cl h  f **   (xem  [23,  Định lí 6. 18]).   Cho  hai  hàm  chính  thường,  nửa  dưới  liên  tục  f   và  g :   Z   ,   tổng  chập  infimal  của  f   và  g   kí  hiệu  là  f *  g* : Z '    và được định nghĩa như sau:  f *  g *   z  : inf  f  z   g  z     * z1  z2  z * Tổng  chập  infimal  của  f * với  g*   được  gọi  là  chính  xác  nếu  cận  dưới  đúng ở trên đạt được với  z  Z  Chú ý rằng f *  g *  là chính xác tại với  mỗi  z  Z  vàở đó   f *  g *   z   khi và chỉ khi đẳng thức:  * Epi  f  g   Epi f *  Epi g *    (2.1)  thỏa mãn (xem ví dụ [20, Định lí 2. 2 (c)]).     Áp dụng Định lí Moreau-Rokafellar (xem Ví dụ, Định lí3. 2, [20] ),  ta thấy rằng:  *   Epi  f  g   Epi cl  f *  g *     Nhưng theo Định lí 2. 2 (e) của [20], ta lại có:  Nguyễn Thị Dịu Page34 Khóa luận tốt nghiệp   Epi cl  f *  g *   cl  Epi f *  Epi g *     * Suy ra ta có: Epi  f  g   cl  Epi f *  Epi g *       (2.2)  Nếu  f   và  g là  hai  hàm  chính  thường,  nửa  liên  tục  dưới  và  dưới  tuyến tính thì dễ dàngtừ (2. 2) và    f  g )     cl  f    g    ,    ta suy ra:    f  g    *   Epi  f  g   cl  Epi f *  Epi g *   cl  f      g        Nhận xét Giả sử C D tập lồi, đóng X Nếu C  D   thì, Epi C D  cl  Epi C  Epi  D  Thực chất, hàm f :  C hàm g :  D hàm thường, nửa liên tục (f  g) C  D Vì vậy, * Epi  C  D  Epi  f  g   cl  Epi f *  Epi g *   cl  Epi  C  Epi  D  2 Công thức vi phân tổng Trong phần này chúng ta thiết lập công thức dưới vi phân của tổng  các hàm lồi ở dưới điều kiện chính quy đối ngẫu. Sau đó chúng tôi chỉ ra  rằng, điều kiện đối ngẫu thực tế là đặc trưng đầy đủ của công thức tổng  trong trường hợp đó các hàm tham gia công thức là dưới tuyến tính. Ta  minh  họa  điều kiện chính  quy có  quan  hệ  đến CHIP  mạnh  và  các  kiểu  điều kiện điểm trong khác.  Nguyễn Thị Dịu Page35 Khóa luận tốt nghiệp   làhai hàm lồi, Định lí 2 1.  Giả sử f g : X  thường, nửa liên tục cho dom f  domg   Nếu Epi f *  Epi g * đóng yếu *thì,   f  g  x   f  x   g  x  ,  x  dom f  dom g Chứng minh.  Giả  sử  x  dom f  dom g   Dễ  dàng  chứng  minh  được,     f  g  x   f  x   g  x       Ta  phải  đi  chứng  minh  điều  ngược  lại.  Thật  vậy,  giả  sử v   f  g  x   khi đó:  f *  g   x    f  g  x   v  x     * Do đó,   f  g   v   v  x    f  g  x   Vì vậy, theo giả thiết ta có:  *  v, v  x    f  g  x    Epi  f  g   cl  Epi f *  Epi g *   Epi f *  Epi g *     Bây giờ, chúng ta tìm   u ,   Epi f * và   ,    Epi g * , sao cho:  v  u    và  v  x    f  g  x          Vì  f *  u     và  g *      nên ta có:  f *  u   g *        v  x    f  g  x      u  x     x   f  x   g  x  Mặt khác ta có:  f *  u   u  x   f  x   và g *      x   g  x     f *  u   g *    u  x     x   f  x   g  x    Do đó,   f *  u   g *    u  x     x   f  x   g  x     Nguyễn Thị Dịu Page36 Khóa luận tốt nghiệp Kết hợp đẳng thức này với định nghĩa của  f *  tađược:   u  x   f  x   f * u   g *    g  x     x      g  x    Chứng minh tương tự, ta cũng có  u f  x   Do đó,   v  u   f  x   g  x     Mệnh đề 2 Giả sử f g : X      hai hàm lồi, thường, nửa liên tục có dom f  dom g   Nếu cone ( dom f  dom g ) không gian đóng Epi f *  Epi g * đóng yếu* Chứng minh Từ  cone  dom f  dom g  và theo  Định lí 1. 1 ở  mục  [2] hay xem Định lí 3. 6, [20] ta có:  f   *  g   f *  g * với tổng chập infimal duy nhất.   Theo hệ quả, chúng ta có:  * cl  Epi f *  Epi g *   Epi  f  g   Epi  f *  Epi g *      Theo điều kiện phần trong cơ bản ta có  dom f  dom g   nghĩa là:   core  dom f  dom g  ,   điều đó cũng có nghĩa rằng: cone  dom f  dom g  là một không gian con  đóng [2], với  a  thuộc vào tập lồi  A  nằm trong X     core  A : a  A |  x  X     |      ,   , a   x  A ,   và  int  A kí hiệu là phần trong của A.     Những ví dụ sau đây chỉ ra rằng đối ngẫu của bao đóng yếu hơn của  phần trong.   Nguyễn Thị Dịu Page37 Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 2 Giả sử f   0, và  g    ,0 , thì f *   0,  g *     ,0  và  Epi f *  Epi g *    ,  mà  nó  là  một  nón  lồi.  Tuy  nhiên,  int dom f  dom g   , và  cone  dom f  dom g    0,   không là không  gian con.     Bây giờ chúng ta thấy rằng điều kiện đối ngẫu là đặc trưng đầy đủ  của  công  thức  dưới  vi  phân  của  tổng  trong  trường  hợp  đó  các  hàm  số  tham gia công thức là nửa liên tục dưới và dưới tuyến tính.    hai hàm Hệ 2 Giả sử f g : X  thường, tuyến tính, nửa liên tục Khi điều kiện sau tương đương:  1) Epi f *  Epi g * đóng yếu * 2)   f  g  x   f  x   g  x  , x  dom f  dom g Chứng minh.  Chú  ýrằng  f    g  0    và  do  dom f  dom g     Do đó 1) suy ra2), ta phải chứng minh 2) suy ra 1). Nếu 2) xác định thì   f  g  0  f  0  g  0   Khi  f và  g là  các  hàm  dưới  tuyến  tính,  chính thường, nửa liên tục dưới thì ta có:    f  g    cl  f    g       Vì vậy,   cl  f    g     f    g      Do  f  0  g  0  là đóng yếu* nên ta có:   Epi f *  Epi g *  f  0    g      f    g     là đóng yếu*.    Nguyễn Thị Dịu       Page38 Khóa luận tốt nghiệp   Theo hệ quả dưới đây, chúng ta thấy rằng bao đóng là điều kiện đủ  cơ bản cho sự tương giao mạnh mẽ về bao nón và tính chất của hai tập  đóng,  lồi  C   và  D   Gọi  một  cặp  C , D thỏa  mãn  CHIP  mạnh  tại  x  C  D , nếu   NCD  x  NC  x  ND  x   Bổ đề 2 Giả sử C D hai tập đóng, lồi X với * C  D   Nếu Epi  C  Epi  D đóng yếu với xC  D ta có NC D  x   NC  x   ND  x  Chứng minh Giả sử  f =  C  và  g  D  thì f  g  CD , theo định lý  trên ta có:  N C  D  x    C  D  x    C  x    D  x   N C  x   N D  x         Từ  định lý trên nếu  C  và  D là hai tập con lồi đóng của  X  thì ta có  C  D   nếu  cone  C  D là không gian con đóng thì,   Epi  C  Epi  D là đóng yếu*.   Hơn nữa nếu  X  là không gian Euclid,  C   và  D  là hai nón lồi, đóng và  nếu cặp  C , D là bị chặn đều tuyến tính thì  Epi  C  Epi  D  là đóng (xem  [6]). Cặp {C, D} được gọi là bị chặn đều tuyến tính [4, 5], nếu mỗi tập bị  chặn  S   trong  X ,  tồn  tại   S  sao  cho  khoảng  cách  tập  C ,  D   và  C  D  được cho bởi: d  x, C  D    S max d  x, C  , d  x, D    với mọi  x  S , ở đó d  x, c  : inf  x  c | c  C là khoảng cách hàm  số.   Nguyễn Thị Dịu Page39 Khóa luận tốt nghiệp   Theo Bổ đề, nếu  C và  D là hai tập con đóng lồi của  X , sao cho  *    C  D và  Epi  C  Epi  D là đóng yếu thì   C  D   C   D   Từ thực  tế ta có:  N C    C  , N D     D   và      C  D   NC  D    NC    N D      C   D      C   D     Đặc trưngnghiệm tối ưu Trong  phần  này  chúng  ta  có  được  kiến  thức  về  bài  toán  dưới  vi  phân  đặc  trưng  cho  bài  toán  lồi  tối  ưu  ở  dưới  điều  kiện  đối  ngẫu  bao  đóng trên đồ thị của các hàm liên hợp. Đầu tiên chúng tôi xét bài toán lồi  tối ưu   PA  :  f  x  , ở đó:  x A f :X     là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới và  A  X là một tập lồi, đóng khác rỗng và  A  dom f        Bên cạnh  đó định lý  cũng đưa  ra  một  cách  tổng  quát  hơn  về  điều  kiện  chính quy  ở  dướimà  cơ bản  đặc  trưng dưới  vi  phân  của điểm  cực  tiểu của hàm lồi với một tập lồi, đóng xác định.   Mệnh đề Cho toán (PA), giả sử a  A  dom f Giả sử Epi f *  Epi  A* đóng yếu* Khi a điểm cực tiểu (PA) f  a   N A  a  Chứng minh Giả sử  g   A   thì  g là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục  dưới. Bây giờ, điểm  a  A  dom f  thì  a  là điểm cực tiểu của (PA) khi và  chỉ khi  a  là điểm cực tiểu của  f   A  , nghĩa là   f   A  a  Theo  định  lí  trên  dưới  điều  kiện  bao  đóng,  mà  Epi f *  Epi  A*   là  đóng  yếu*  được cho bởi:  Nguyễn Thị Dịu Page40 Khóa luận tốt nghiệp   f   A  a   f  a    A  a   f  a   N A  a        Bây giờ ta xét bài toán tối ưu (P):  f  x  ,   g  x   S , trong đó:  x A f :X    là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới và  C  X là tập lồi, đóng và  g : X  Z là một hàm lồi  S - liên tục,  S  X là một  nón lồi đóng,  A  dom f   và,   A   x  X | x  C ,  g  x   S   C  g 1   S     Đối ngẫu của nón lồiS được viết là  S     Z ' |   s   0, s  S       Dễ dàng thấy ( xem [15]) sử dụng Định lí tách Hah- Banach nếu  C là tập con đóng lồi của  X  và  g : X  Z  là liên tục và lưới lồi- S   và nếu  C  g 1   S    thì,   Epi    C  g 1  S    cl  vS   Epi  v o g   Epi  C*    Định lí sau đây đưa ra điều kiện cần và đủ cho bài toán tối ưu (P),  các kết quả tương ứng [15], ở đó một điều kiện chính quy nón đóng và  Định lí Tách được được sử dụng cho điều kiện tối ưu trong trường hợp  hàm  f  nhận giá trị thực.   Định lí Cho toán (P), giả sử cho tập ( vS Epi  v o g    Epi  C* ) tập Epi f *  cl   vS  Epi  v o g   Epi  C*  đóng yếu* Nếu a  A  dom f a điểm cực tiểu (PA) tồn   S  cho: f  a     o g   a   NC  a    o g   a   Nguyễn Thị Dịu Page41 Khóa luận tốt nghiệp Nhận xét Nếu Epi f *    vS  Epi  v o g   Epi  C*  đóng yếu* * Epi f *  cl  vS  Epi  v o g   Epi  C* cũngđóng yếu Hơn nữa,   inf S   điều kiện tổng quát Slater ' smà tồn x0  C ,  g  x0   int S , thỏa mãn   vS Epi  v o g   Epi  C*  đóng yếu*  Mặtkhác điều kiện cần đủ đảm bảo tập   vS  Epi  v o g   Epi  C*  đóng yếu* (xem [15] Chú ý rằng, f hàm liên tục x0  A  dom f (hoặc tổng quát cone  dom f  A không gian đóngcủa X thì: * Epi f *   vS  Epi  v o g   Epi  C* đóng yếu ,   tập  vS   Epi  v o g   Epi  C* , đóng yếu* Từ ta có:   Epi  C  g 1  S    vS  Epi  v o g   Epi  C* Chứng minh:    Giả sử  a  làmột điểm cực tiểu của (P). Do đó, theo Mệnh đề 2. 3. 1  cho ta điểm  a là điểm cực tiểu của (P) khi và chỉ khi  f  a   N A  a    Đây  là  điều  kiện  tương  đương,  tồn  tại  u f  a    sao  cho  u  x   u  a  ,  với  mọi  x  A  C  g 1   S   Bằng định nghĩa trên đồ thị của hàm tựa  Epi  C  g 1   S  , ta có:  Nguyễn Thị Dịu Page42 Khóa luận tốt nghiệp x  C  g 1   S  , u  x   u  a       u ,  u  a    Epi  C  g 1  S     u ,  u  a    cl  vS  Epi  v o g   Epi  C*        u ,  u  a     vS  Epi  v o g   Epi  C* Vì  vậy,  điểm  a   làmột  điểm  cực  tiểu  của  (P)  khi  và  chỉ  khi  tồn  tại  u f  a    sao  cho   u ,  u  a      vS Epi  v o g   Epi  C*  ,    S  sao   cho với mỗi  x  C ,   f  x     o g   x   f  a     o g   a  và    o g   a     Điều này cho chúng ta biết rằng:  f  a     o g   a   NC  a   và    o g   a   ;   Được suy ratừ định nghĩa về hàm lồi và dưới vi phân của các hàm    liên quan.     Một ví dụ đã được thảo luận [15] cho sự so sánh về ràng buộc chính  quy.   Ví dụ Xét bài toán lồi đơn giản trên không gian 1 chiều  min|x|  ,  g  x   ,   xC trong đó  C   1,1 ,  f  x   x  và    nÕu x < gx      x nÕu x  Dễ dàng thấy điều kiện tổng quát Elater- loại điểm trong không được xác  định vì g  C   S    Mặt khác,   C  v   v Epi C  Epi  và     Epi(g)*   0,       0 0   Do đó ta có:  Nguyễn Thị Dịu Page43 Khóa luận tốt nghiệp  Epi(g)*  Epi *C   Epi ,    0  là một nón lồi, đóng. Hơn nữa,     Epi f *   vS  Epi  v o g   Epi  C*   1,1     Epi      1,   |   0,   0,   cũng  đóng.  Dễ  dàng  thấy  rằng  f      o g     NC     và    o g   0   Cho    1 ta được điều phải chứng minh.                                          Nguyễn Thị Dịu Page44 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN     Trên  đây  là  toàn  bộ  nội  dung  của  khóa  luận.  Để  hoàn  thành  khóa  luận này tác giả đã phải đọc, tìm hiểu kĩ lưỡng kiến thức cơ sở và những  kiến thức liên quan khác.   Qua việc thực hiện đề tài này em đã được mở rộng tầm hiểu biết về  giải tích lồi và làm quen với nghiên cứu khoa học.   Đối với những vấn đề đã được lựa chọn cho khóa luận em hi vọng  rằng đó là những vấn đề có thể giúp cho việc nghiên cứu các đối tượng  khác của giải tích lồi cũng như trong lí thuyết tối ưu.   Mặc dù có nhiều cố gắng song do khuôn khổ thời gian có hạn, đây  cũng  là  vấn  đề  mới  với  bản  thân  nên  một  số  vấn  đề  đặt  ra  trong  khóa  luận còn chưa được giải quyết triệt để. Vì vậy, em rất mong ý kiến của  các thầy cô và sự đóng góp của bạn đọc để em tiếp tục nghiên cứu sau  này.   Trước khi kết thúc khóa luận, một lần nữa em xin được bày tỏ lòng  biết  ơn  sâu  sắc  đến  các  thầy  cô  trong  trường,  đặc  biệt  là  thầy  Nguyễn  Văn Tuyên đã hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận này.   Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Dịu       Nguyễn Thị Dịu Page45 Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO  [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Huỳnh Thế Phùng – Cơ sở giải tích lồi, Nhà xuất bản giáo dục Việt  Nam, năm 2012.   [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] H. Attouch and H. Brézis, Duality for the sum of convex functions in  general Banach spaces, in Aspects of Mathematics and its applications, J.  A. Barroso (ed. ), North Holland, Amsterdam, (1986), 125-133.   [3]  H.  Attouch  and  M.  Théra,  A  general  Duality  Principle  for  the  sum  oftwo operators, in Journal of Convex Analysis 3(1) (1996), 1-24.   [4]  H.  H.  Bauschke,  J.  M.  Borwein  and  W.  Li,  Strong  conical  hull  intersection property, bounded linear regularity, Jameson's property (G),  and  error  bounds in convex optimization,  Math.  Progr,  86  (1999), 135160.   [5]  H.  H.  Bauschke,  J.  M.  Borwein  and  P.  Tseng,  Bounded  linear  regularity,  strong  CHIP,  and  CHIP  are  distinct  properties,  J.  Convex  Analysis, 7(2)(2000), 395-412.   [6] R. S. Burachik and V. Jeyakumar, A simple closure condition for the  normal  cone  intersection  formula,  Applied  Mathematics  Preprint,  University  of  New  South  Wales,  Sydney,  Australia.  Toappearin  Proc.  Amer. Math. Soc.   [7]  R.  S.  Burachik  and  V.  Jeyakumar,  A  dual  condition  for  the  convex  subdifferential sum formula with applications, (2004).   [8]  F.  Clarke,  Optimization  and  Nonsmooth  Analysis,  SIAM  series  Classicsin Applied Mathematics, Holland, (1990).   [9]  F.  ClarkeandI.  Ekeland,  Hamiltonian  trajectories  having  prescribed  minimal period, Comm. Pure Appl. Math. , 33(2) (1980), 103-116.   [10] F. Deutsch, The role of conical hull intersection property in convex  optimization  and  approximation,  in  Approximation  Theory  IX,  C.  K.  Nguyễn Thị Dịu Page46 Khóa luận tốt nghiệp Chui  and  L.  L.  Schumaker,  eds.  (1998),  Vanderbilt  University  Press,  Nashville, TN.   [11]  F.  Deutsch,  W.  Li  andJ.  Swetits,  Fenchel  duality  and  the  strong  conical  hull  intersection  property,  J.  Optim.  Theory  Appl,  102  (1999),  681-695.   [12]  I.  Ekeland  and  R.  Temam,  Convex  analysis  and  variational  problems, North Holland, Amsterdam, (1976).   [13] J-B. Hiriart-Urruty and R. R. Phelps, Subdierential calculus using   subdierentials, J. Funct. Anal. 118 (1993), 154-166.   [14]  V.  Jeyakumar,  Duality  and  innite  dimensional  optimization,  Nonlinear Anal, 15 (1990), 1111-1122.   [15]  V.  Jeyakumar,  G.  M.  Lee  and  N.  Dinh,  New  sequential  Lagrange  multiplier  conditions  characterizing  optimality  without  constraint  qualications  for  convex  programs,  SIAM  J.  Optim,  14(2)  (2003),  534-  547.   [16]  V.  Jeyakumar,  G.  M.  Lee  and  N.  Dinh,  A  new  closed  cone  constraint  qualication  for  convex  optimization,  Applied  Mathematics  Research Report AMR 04/6, university of New South Wales (submitted  for publication).   [17]  V.  Jeyakumar,  A.  M.  Rubinov,  B.  M.  Glover  and  Y.  Ishizuka,  Inequality  systems  and  Global  Optimization,  J.  Math.  Anal.  Appl,  202  (1996), 900-919.   [18] V. Jeyakumar and H. Wolkowicz, Generalizations of Slater’s   constraint  qualication  for  innite  convex  programs,  Math.  Progr,  57  (1)  (1992), 85-102.   [19]  C.  Li  and  X.  Jin,  Nonlinearly  constrained  best  approximation  in  Hilbert  spaces:  the  strong  CHIP,  and  the  basic  constraint  qualication,  SIAMJ. Optim, 13(1) (2002), 228-239.   Nguyễn Thị Dịu Page47 Khóa luận tốt nghiệp [20] K. F. Ng and W. Song, Fenchel duality in innite-dimensional setting  and its applications, Nonlinear Analysis 25 (2003), 845-858.   [21] T. Stromberg, The operation ofinmal convolution, Diss. Math, 352  (1996), 1-61.   [22] L. Thibault, Sequential convex subdierential calculus andsequential  Lagrange multipliers, SIAM J. Control Optim, 35 (4) (1997), 1434-1444.   [23]  L.  Thibault,  Ageneralized  sequential  formula  for  subdierentials  of  sums of convex functions denedon Banach spaces, Recent developments  in optimization (Dijon, 1994), 340-345, Lecture Notes in Econom. And  Math. Systems, 429, Springer, Berlin, 1995.   [24]  JanvanTiel,  Convex  Analysis:  An  Introductory  Text,  John  Wiley  and Sons, Belfast, 1984.           Nguyễn Thị Dịu Page48 [...]... Dưới vi phân của hàm lồi   1 4 1 Đạo hàm theo hướng Định nghĩa 1 12 Giả  sử  f : Khi đó với mỗi  d  n n    là  hàm lồi và giả  sử  x  dom f    ta có:  f '  x; d   lim f  x   d   f  x  0  ,  được gọi là đạo hàm theo hướng của f  tại  x  theo hướng  d    1 4 2 Dưới gradient và dưới vi phân Định nghĩa 1 13  n a)  Giả  sử  f : Một vec tơ  g  n   là  hàm lồi chính  thường  và giả ... y  n ,  được gọi là dưới gradient của hàm f tại  x    b) Tập tất cả dưới gradient của hàm f tại  x  được gọi là dưới vi phân của hàm f tại  x và kí hiệu là  f  x  , tức là:  f  x    g  Bổ đề 1 23 Giả sử f : n n : f  y   f  x   g , y  x , y     là hàm lồi chính thường và giả sử  x  dom f Một vec tơ g  n n được gọi là dưới gradient của hàm f tại x khi và chỉ khi f '  x; d... Điều này dẫn đến mâu thuẫn và bài toán được chứng minh.   Bổ đề 1 25 Một hàm lồi f : n    là khả vi tại x khi và chỉ khi dưới vi phân f  x  chỉ có một phần tử, trong trường hợp này là gradient của hàm f tại x Bổ đề 1 26.  Giả sử rằng f: n  là hàm lồi,   0 và h  x    f  x  Khi đó h là lồi và  h  x     f  x  với mọi x Nguyễn Thị Dịu Page27 Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh Quan  hệ  dưới đây ... Giảsử tồn tại một dưới gradient  g f  x  , sao cho:   g  f1  x   f 2  x      Để áp dụng Định lí Tách (Định lí 1. 4), chúng ta cần chứng minh  rằng  f1  x   f 2  x   là tập lồi đóng. Tính lồi của nó theo từ tính lồi của Nguyễn Thị Dịu Page28 Khóa luận tốt nghiệp dưới vi phân f1  x  và f 2  x  (xem Định lí 1. 11 và nhận xét sau chứng  minh của nó) và từ Bổ đề 1. 2.     Cả  hai  dưới vi ... tập lồi và giả sử f : n  là hàm lồi Khi đó tập nghiệm Xˆ của bài toán tối ưu min f  x  , x X là lồi Nguyễn Thị Dịu Page21 Khóa luận tốt nghiệp n Định lí 1 10 Giả sử f :  là hàm lồi và giả sử X  dom f là tập lồi, đóng và bị chặn Khi đó tập các nghiệm của bài toán m ax f  x  xX (1.12)  chứa ít nhất một điểm cực trị của X Ngoài ra, nếu hàm f . là affine, thì tập các nghiệm của (1 12) là bao lồi. .. ưu. Ta thấy rằng tập nghiệm của (1. 12) bao hàm trong bao lồi của các điểm cực trị là tập nghiệm của (1. 12).     Nếu  hàm f .   là  affine  thì  f .   là  hàm lồi.   Tập  nghiệm  của bài  toán (1. 12) giống tập minima của  f .  với mọi  x  X  Do đó, bao lồi của các điểm  cực  trị  là  tập  nghiệm  của (1.  12)  bao  hàm trong  tập  các nghiệm của (1. 12).    Nguyễn Thị Dịu Page22 Khóa luận tốt nghiệp 1 4 Dưới. .. 1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1 4 Tập  K  n  được gọi là nón nếu với mọi  x  K và với  mọi    0  ta có   x  K Một tập được gọi là nón lồi nếu nó vừa là một nón và vừa là tập lồi.      Một ví  dụ  đơn  giản  của một nón  lồi nằm  trong  n với  orthant   không âm:  n   x  n : x j  0, j  1, , n   Cho các nón lồi,  tổ hợp các số dương trong tập, tương tự như đối với tổ  hợp lồi cho các tập lồi.   ... cone  X m  x       Áp dụng Định lí 1. 9 suy ra điều phải chứng minh.     1 3 Hàm lồi 1 3 1 Các định nghĩa cơ bản   Với  mọi hàm f : n    ta có thể liên kết hai tập: miền hữu hiệu  và trên đồ thị của hàm f :  dom f  x  epi f   x, v   n : f  x    ,   n  : v  f  x     Định nghĩa 1 8 Hàm f  được gọi là lồi nếu  epi f là một tập lồi.      Một ví dụ về hàm lồi,    x ln  x   x nÕu... 0 và cộng lại để có được (1. 10 cho hàm f   Hàm f : n    được  gọi  là  hàm nửa  liên  tục dưới,   nếu với  mọi    dãy hội tụ  x k ta có:    f lim x k  liminf f  x k     k  k  Bổ đề 1 20 Hàm f : n  là hàm nửa liên tục dưới khi và chỉ khi trên đồ thị của nó là một tập đóng   Chứng minh Xét dãy điểm  x k , k  của epi f và ta giả sử x k  x   và  k   , khi  k    Nếu f là hàm nửa liên tục dưới thì ta có:...  được gọi là hàm chặt nếu bất đẳng thức  (1. 10)  đúng với mọi  x1  x 2  vàvới mọi 0    1    Bổ đề 1 16 Nếu f là lồi thì dom f là một tập lồi Chứng minh Nếu  x1  dom f và x 2  dom f , theo Bổ đề 1. 15 ta có: f  x1  1    x 2         Bổ đề 1 17 Nếu fi , i  I là một họ của các hàm lồi thì, f  x   sup fi  x  iI Nguyễn Thị Dịu Page19 Khóa luận tốt nghiệp là lồi Bổ đề 1 18 Nếu f là một hàm lồi thì với ... .  12  1.3. Hàm lồi .  18  1.4. Dưới vi phân của hàm lồi .  23  CHƯƠNG ĐIỀU KIỆN ĐỐI NGẪU CHO CÔNG   THỨC DƯỚI VI PHÂN CỦA TỔNG CÁC HÀM LỒI VÀ   CÁC ỨNG DỤNG   31 ... 2 Công thức vi phân tổng Trong phần này chúng ta thiết lập công thức dưới vi phân của tổng các hàm lồi ở dưới điều kiện chính quy đối ngẫu.  Sau đó chúng tôi chỉ ra  rằng, điều kiện đối ngẫu thực tế là đặc trưng đầy đủ của công thức tổng ... kiện chính qui đảm bảo cho công thức dưới vi phân của tổng.  Đây là một điều kiện quan trọng trong tối ưu lồi cũng như trong lý thuyết đối ngẫu của các nón lồi và sự tồn tại cận sai số cho hệ bất đẳng thức lồi.  Khi cả  hàm f và hàm