Một số phương pháp giải phương trình schrodinger một electron

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ - - PHẠM THỊ NGA MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT ELECTRON Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ - - PHẠM THỊ NGA MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT ELECTRON Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu, tơi hồn thành khóa luận với đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình Schrodinger electron” Trong trình thực khóa luận, tơi nhận đƣợc nhiều giúp đỡ từ thầy cô, bạn bè gia đình Trƣớc hết, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo – TS Phạm Thị Minh Hạnh, ngƣời giúp đỡ suốt q trình xây dựng hồn thiện đề tài Tôi xin cảm ơn sâu sắc tới thầy cô khoa Vật Lý – Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội tận tình dạy dỗ tơi suốt năm đại học Mặc dù cố gắng, nhƣng thời gian có hạn nên khóa luận tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy để đề tài hồn thiện mang lại hiệu cao Tôi xin trân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Phạm Thị Nga LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận đƣợc cảm ơn thơng tin trích dẫn khóa luận đƣợc rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Phạm Thị Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục khóa luận CHƢƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 1.1 Các loại liên kết vật rắn 1.2 Mạng tinh thể 1.2.1 Khái niệm mạng tinh thể lý tƣởng 1.2.2 Ô sơ cấp 1.2.3 Phân loại tinh thể theo liên kết hóa học 1.2.4 Phép tịnh tiến 1.2.5 Mạng không gian, gốc mạng cấu trúc tinh thể 1.2.6 Mạng Bravais không gian ba chiều KẾT LUẬN CHƢƠNG Chƣơng 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT ELECTRON 10 2.1 Phƣơng trình Schorodinger tinh thể lý tƣởng 10 2.2 Hàm sóng lƣợng electron trƣờng tinh thể tuần hoàn 13 2.2.1 Năng lƣợng electron trƣờng tinh thể tuần hoàn 13 2.2.2 Hàm Block chuẩn xung lƣợng 18 2.3 Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình Schrodinger electron 20 2.3.1 Mơ hình Kronig – Penney 20 2.3.2 Phƣơng pháp gần electron gần tự 25 2.3.3 Phƣơng pháp gần liên kết mạnh 29 KẾT LUẬN CHƢƠNG 38 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phƣơng trình Schrodinger phƣơng trình động lực học học lƣợng tử phi tƣơng đối tính Phƣơng trình có vai trò nhƣ phƣơng trình định luật II Newton học cổ điển Đây phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng bậc theo thời gian đạo hàm riêng bậc hai theo tọa độ, giúp ta khảo sát biến đổi trạng thái hệ theo thời gian Trong trƣờng hợp hệ khơng có tƣơng tác với trƣờng ngồi biến thiên theo thời gian, ta có phƣơng trình Schrodinger dừng có nghiệm hàm sóng mơ tả trạng thái hệ xét trị riêng phƣơng trình lƣợng hệ mà ta xét Từ hàm sóng lƣợng sau giải phƣơng trình Schrodinger, cho phép tính tốn đặc tính mong muốn, từ tìm tính chất hình dung cách tổng quan phổ lƣợng tốn Vì vậy, việc giải phƣơng trình Schrodinger vấn đề học lƣợng từ Hơn nữa, phƣơng trình Schrodinger toán tƣơng tác hệ chƣa chịu tác dụng trƣờng quan trọng Nó đƣợc xem nhƣ điều kiện ban đầu, có vai trò định để xét hệ thời điểm trình tƣơng tác Do đó, việc giải xác phƣơng trình Schrodinger dừng có ý nghĩa vật lí quan trọng Xuất phát từ lý đó, chúng tơi lựa chọn đề tài “Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình Schrodinger electron” Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu số phƣơng pháp giải phƣơng trình Schrodinger electron, từ xác định trạng thái phổ lƣợng tập hợp số lớn hạt tinh thể Nhiệm vụ nghiên cứu - Cấu trúc tinh thể vật rắn - Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình Schrodinger electron Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: phƣơng trình Schodinger - Phạm vi nghiên cứu: phƣơng trình Schrodinger electron Phƣơng pháp nghiên cứu - Thống kê, lập luận diễn giải - Sƣu tầm tài liệu tham khảo Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo khóa luận gồm chƣơng nhƣ sau: Chƣơng 1: Cấu trúc tinh thể vật rắn Chƣơng 2: Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình Schrodinger electron CHƢƠNG 1: CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN Theo quan điểm đại, vật chất tồn hai trạng thái trạng thái ngƣng tụ trạng thái khí Trạng thái ngƣng tụ gồm trạng thái rắn (gọi chất rắn hay vật rắn) trạng thái lỏng (gọi chất lỏng) Ta dùng từ “chất rắn” hay “vật rắn” để chất mà nguyên tử, ion, phân tử tạo chúng (gọi chung hạt thành phần) có vị trí tƣơng đối cố định, trừ dao động nhiệt quanh vị trí cân chúng “Chất lỏng” để chất mà hạt thành phần chúng trạng thái chuyển động tịnh tiến khơng ngừng [4] Vật rắn chia thành ba loại: + Vật rắn tinh thể + Vật rắn đa tinh thể (bán tinh thể) + Vật rắn vô định hình (phi tinh thể) 1.1 Các loại liên kết vật rắn Ở vật rắn kết tinh, nguyên tử phân tử đặt cách có trật tự, tuần hồn khơng gian Các vật rắn có tính chất khác phân bố electron hạt nhân nguyên tử có đặc điểm riêng Sự phân bố electron nguyên tử phụ thuộc vào liên kết tinh thể Các liên kết tinh thể giữ cho lõi nguyên tử electron hóa trị nằm cân tinh thể Tính chất vật rắn phụ thuộc nhiều vào chất liên kết Do đó, vào dạng liên kết, ngƣời ta phân loại vật rắn thành loại: tinh thể ion, tinh thể cộng hóa trị, tinh thể kim loại, tinh thể phân tử, tinh thể có liên kết Hidro [5] 1.2 Mạng tinh thể Vật chất trạng thái rắn chia thành hai loại: chất rắn vơ định hình chất rắn kết tinh Chất rắn kết tinh từ tinh thể nguyên tử, ion, phân tử (sau gọi chung hạt) đƣợc xếp cách đặn khơng gian Ta nói chất rắn có cấu trúc mạng tinh thể [2] 1.2.1 Khái niệm mạng tinh thể lý tƣởng Mạng tinh thể lý tƣởng tập hợp số lớn hạt xếp cách đặn khơng gian Nhƣ vậy, ta hình dung mạng tinh thể lý tƣởng nhƣ mạng lƣới không gian vô tận mà nút mạng hạt tạo nên tinh thể Các nút mạng đƣợc gọi gốc mạng, gốc mạng đồng thành phần nhƣ quy luật xếp Nếu gọi r r ' bán kính vector đặc trƣng cho vị trí hai nút mạng tinh thể ta có mối liên hệ: r '  r  na , với na  n1a1  n2 a2  n3a3 đó: a1 , a2 , a3 vector không đồng phẳng n1, n2, n3 số nguyên Các vector a1 , a2 , a3 vector sở Độ lớn vector sở đƣợc gọi chu kỳ dịch chuyển số mạng [2] 1.2.2 Ô sơ cấp Nếu từ vector sở a1 , a2 , a3 dựng đƣợc hình hộp hình hộp đƣợc gọi ô sơ cấp Nhƣ ta xem ô sơ cấp nhƣ "viên gạch đồng nhất" tạo nên mạng tinh thể Thể tích sơ cấp là:   (a1[a2 , a3 ])  (a2 [a3 , a1 ])  (a3[a2 , a1 ]) 1.2.3 Phân loại tinh thể theo liên kết hóa học Trong tinh thể, liên kết nguyên tử, phân tử, ion giống phân tử Ngoài tinh thể, cấu trúc xác định có dạng liên kết đặc biệt Trong tinh thể tồn dạng liên kết sau đây: liên kết đồng hoá trị, liên kết ion, liên kết kim loại, liên kết Van Der Waals, liên kết Hydro [2] lƣợng E(0) = k / 2m Đây nghiệm phƣơng trình (2.3.20) phép gần bậc không Theo kết lý thuyết nhiễu loạn hàm sóng lƣợng phép gần bậc là: +) Hàm sóng :  k (r )   k (r )    0 k' (r )V (r ) k0' (r ) dr r (2.3.23) Ek0  Ek0' k k ' +) Năng lƣợng: Ek0  Ek0   k0' (r )V (r ) k0' (r ) dr  Ek0   V  (2.3.24) r Nhƣ vậy, phép gần bậc lƣợng electron dịch chuyển đoạn có giá trị trị trung bình V so với trƣờng hợp electron tự Trong phép gần bậc ta xét lƣợng, biểu thức lƣợng có dạng | Vk ' k |2 Ek  E   V    k (2.3.25) Ek0  Ek0' b Phần tử ma trận Vk ' k (2.3.25) có dạng Vk ’k   k0'V (r ) k0' dr (2.3.26) r Thay biểu thức  V (r ) vào ta đƣợc Vk ’k  C  e V e  ik ' r b r e dr  C ibr ikr b V  e b b  i[k  ( k ' b )]r dr (2.3.27) r Trong không gian hữu hạn với thể tích V hàm sóng electron tự có dạng  k (r )  V 1/2eikr thoả mãn điều kiện chuẩn hóa 0