Tìm hiểu phương trình schrodinger cho hệ một electron và áp dụng vào giảng dạy hoá học phổ thông

LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu, tôi đã hoàn thành khoá luận của mình với tên đề tài “ Tìm hiểu phương trình Schrodinger cho hệ một electron và áp dụng vào giảng dạy hoá học phổ

ELECTRON VÀ ÁP DỤNG VÀO

GIẢNG DẠY HOÁ HỌC PHỔ THÔNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hoá đại cương

ELECTRON VÀ ÁP DỤNG VÀO

GIẢNG DẠY HOÁ HỌC PHỔ THÔNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hoá đại cương

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu, tôi đã hoàn thành khoá luận của mình với tên đề tài “

Tìm hiểu phương trình Schrodinger cho hệ một electron và áp dụng vào giảng dạy hoá học phổ thông ” Trong quá trình thực hiện khoá luận tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ của

các thầy cô, bạn bè và những người thân yêu

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo – Th.S Đăng Thị Thu Huyền, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình xây dựng và hoàn thiện đề tài

Tôi xin cảm ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Hóa học – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình dạy dỗ tôi trong suốt 4 năm đại học

Tôi cũng cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện khoá luận

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian có hạn nên khóa luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để

đề tài càng hoàn thiện và mang lại hiệu quả cao hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

1.1 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TỔNG QUÁT 3

1.1.1 Đôi nét về Schrodinger 3

1.1.2 Sơ lược về phương trình Schrodinger 4

1.1.2.1 Một số khái niệm 4

1.1.2.2 Phương trình Schrodinger tổng quát 6

1.1.2.3 Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng 8

1.1.3 Một số hệ thức quan trọng trong hệ tọa độ cầu 10

1.2 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER ĐỐI VỚI HỆ MỘT ELECTRON 14

1.2.1 Mô hình hệ 14

1.2.2 Phương trình Schrodinger 15

1.2.3 Các bước giải 15

1.2.4 Kết quả 33

1.2.4.1 Trị riêng 33

1.2.4.2 Hàm riêng 34

1.2.5 Ý nghĩa của các số lượng tử 36

1.2.5.1 Số lượng tử chính 37

1.2.5.2 Số lượng tử obitan 38

1.2.5.3 Số lượng tử từ obitan 40

CHƯƠNG 2: ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 41

1 Đối tượng nghiên cứu 41

2 Mục đích nghiên cứu 41

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 41

4 Phương pháp nghiên cứu 41

CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ THẢO LUẬN 42

3.1 Dạng 1: Xác định năng lượng nguyên tử 42

3.2 Dạng 2: Bài tập về các số lượng tử 46

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

Một trong những cơ sở quan trọng hàng đầu của cơ học lượng tử là phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng Chỉ có thể giải được gần đúng phương trình này khi xét hệ 1electron, 1 hạt nhân (hệ đơn giản) Trên cơ sở kết quả này, một

số khái niệm quan trọng của hóa học được hình thành Những khái niệm đó không chỉ giúp chúng ta hiểu sâu mà còn góp phần quan trọng trong việc cung cấp kiến thức cơ bản phục vụ cho việc học hóa học được tốt hơn

Không giống như mô hình của nguyên tử Bo Các điện tử trong mô hình sóng là các đám mây điện tử chuyển động trên quỹ đạo và vị trí của chúng được đặc trưng bởi phân bố xác xuất chứ không phải là một điểm rời rạc Điểm mạnh của mô hình này là nó tiên đoán được các dãy nguyên tố có tính chất tương tự nhau về mặt hoá học trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hoá học Với chuyên ngành hoá học đặc biệt là hoá học vô cơ đó là những kiến thức cơ bản để giải thích cấu tạo và tính chất lý hoá học của các nguyên tố

Cơ học lượng tử và phương trình Schrodinger là một lí thuyết khó, trừu tượng và phức tạp Trong trường đại học do điều kiện thời gian, sinh viên ngành hóa học chưa có điều kiện tìm hiểu sâu về phương trình Schrodinger đối với hệ

một electron Để góp phần làm tăng hiệu quả học tập của mình và giúp các bạn sinh viên yêu thích lĩnh vực này hiểu biết sâu sắc, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài:

“ Tìm hiểu phương trình Schrodinger cho hệ một electron và áp dụng vào giảng dạy hoá học phổ thông ”

1.1 Sơ lược về phương trình Schrodinger

1.1.1 Đôi nét về Schrodinger

Erwin Schrodinger (1887 – 1961), nhà vật lý lý thuyết Áo thiên tài của thế

kỉ XX, là người đã góp phần tích cực trong việc xây dựng nền vật lý học hiện đại trên cơ sở toán học vững chắc Đóng góp của ông là đã cùng với nhiều nhà vật lý đương thời góp phần giải quyết cuộc khủng hoảng mà vật lý lý thuyết trải qua từ năm 1900, mở đầu từ khái niệm lượng tử Plank, sau các công trình Niels Bohr, Poincare, Esintein và Louis de Broglie, dẫn đến sự tổng hợp rộng rãi giữa hạt và hàm sóng Schrodinger đã đề ra hình thức toán học gọi là ba động với phương trình mang tên ông, là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử phi tương đối ngày nay

Schrodinger sinh ngày 12-8-1887 tại Vienna trong một gia đình tri thức Năm 11 tuổi ông vào học trường trung học Vienna, ở đó ông học rất xuất sắc cả

về toán lý lẫn văn học, triết học, nghệ thuật, âm nhạc Năm 1906, ông vào trường Đại học tổng hợp Vienna, tốt nghiệp đại học 4 năm sau rồi làm việc tại viện vật

lý Vienna Đệ nhất thế chiến bùng nổ, ông làm sĩ quan pháo binh cho đến năm

1918 mới trở về với sự nghiệp Năm 1920, ông cưới vợ và bắt đầu giảng dạy đại học tại Jena, Stuttgart, Breslau Năm sau ông được cử làm giáo sư thực thụ ở Zurich Năm 1926, phát triển sáng kiến tổng hợp của Louis de Broglie về hạt và sóng, ông đã đề ra một cách biểu diễn mới về cấu trúc của nguyên tử với phương trình ngày nay mang tên ông khiến cho giới vật lý hết sức chú ý Năm sau, trường đại học Tổng hợp Berlin mời ông kế nghiệp Max Planck, ở đây ông có

dịp thường xuyên tiếp xúc và trao đổi ý kiến với những nhà vật lý lớn nhất trên thế giới thời bấy giờ như Einstein, Max von Laue, Hertz và Meitner

Đóng góp to lớn của ông cho vật lý hiện đại đã mang lại cho ông giải thưởng Nobel năm 1933 cùng với Paul Dirac Cũng năm ấy ông nhận lời mời sang dạy ở nhiều trường đại học ở Anh như Edinburgh, Oxford Năm 1936, ông trở về nước nhưng do tình hình chính trị nghiêm trọng ông buộc phải ra đi Năm 1938, ông lại trở về giảng dạy ở Ganto và ở Học viện Hoàng gia Dublin rồi năm 1940 làm giám đốc Viện nghiên cứu mà chính phủ Ireland đặc biệt lập ra để mời ông Từ

đó ông sống lưu vong ở nước ngoài 17 năm, cho đến năm 1956 mới trở về Vienna và sống ở thành phố quê hương cho đến cuối đời Schrodinger mất ngày 4-4-1961 hưởng thọ 74 tuổi, an táng ở Anphbach

1.1.2.Phương trình Schrodinger

1.1.2.1 Một số khái niệm

a, Hàm sóng:

* Nội dung:

Mỗi một hệ lượng tử được đặc trưng bởi một hàm xác định phụ thuộc vào tọa

độ và thời gian  ( , )q t được gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái Mọi thông tin về

hệ lượng tử chỉ có thể thu được từ hàm sóng  ( , )q t mô tả trạng thái của hệ

Trong trường hợp hệ lượng tử ở trạng thái dừng – là trạng thái mà năng lượng của hệ không phải là một hàm số của thời gian – hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ lượng tử chỉ là hàm số của một biến số tọa độ q nên được viết là hàm

( )q

 từ đây ta chỉ xét trạng thái dừng

 a b, trong khoảng xác định này, hàm  ( )q phải đơn trị

+ Hàm  ( )q phải là hàm liên tục: Hệ lƣợng tử là một thực thể vật chất – luôn luôn vận động, biến đổi liên tục trong không gian nên hàm  ( )q phải là một hàm liên tục

+ Hàm  ( )q phải là một hàm khả vi, tức là lấy đƣợc đạo hàm

không giao hoán

1.1.2.2 Phương trình Schrodinger tổng quát

Trong cơ học lượng tử, sự biến đổi trạng thái của hệ vật lý vi mô theo thời gian được xác định bởi phương trình Schrodinger:

Trường hợp thế năng của hệ không phụ thuộc vào thời gian: U=U(q) (hệ kín, hoặc hệ chuyển động trong một trường ngoài không đổi), thì toán tử Haminton

Vì hai vế của (1.3) phụ thuộc vào hai biến số q và t khác nhau nên chúng chỉ

có thể có nghiệm đúng khi cả hai vế bằng một hằng số E Khi đó ta có:

Giải (1.5)

( ) 1

( ) ( )

( )

1.1.2.3 Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng

Khi một hệ lượng tử ở trạng thái dừng – là trạng thái mà toán tử Haminton

H



của hệ không phụ thuộc tường minh vào thời gian – giữa hàm sóng  mô tả trạng thái của hệ với năng lượng toàn phần E và toán tử Haminton của hệ có liên hệ:

1.1.3 Một số hệ thức quan trọng trong hệ tọa độ cầu

a, Giới thiệu hệ toạ độ cầu:

: Góc tạo bởi trục Oz với

vectơ rr là góc kinh tuyến

: Góc tạo bởi hình chiếu của

vectơ rr trong mặt phẳng xOy

với trục Ox là góc vĩ tuyến

Trong đó:

: 0 : 0 2 0

: là phần phụ thuộc góc của toán tử Laplace

+ Toán tử bình phương momen động lượng:

* Trị riêng của toán tử momen động lượng:

- Xét phương trình trị riêng của toán tử M z

M u

Trong đó: ( , , ) ( , ). . z

i M

u r   c r  eh  Khi  chuyển động 2  thì ta trở về điểm ban đầu Để cho u là một hàm đơn trị khi  thay đổi 2  , hàm u phải giữ nguyên giá trị

z

z

z z

Cho hai vế tác dụng lên hàm Um

nên m phải hữu hạn

Gọi l là giá trị lớn nhất của m Khi đó ta có: M u l c u. l 1 0



l: là giá trị lớn nhất của m

Ứng với mỗi một giá trị của l thì m có nhiều giá trị vì l là giá trị lớn nhất

của m Mặt khác hai hướng của trục z là tương đương nhau về mặt vật lí Nên ứng với mỗi một giá trị của m có một giá trị khác trái dấu với nó Do đó m

- Hệ gồm một hạt nhân tích điện dương với số đơn vị điện tích bằng Ze0 (e0 là điện tích nguyên tố), một e có điện tích là: e0, được kí hiệu là e, chuyển động quanh hạt nhân

Biểu thức thế năng của e trong trường hợp này là:

2

0 1 ( )

* Bước 1:Hàm sóng    ( , , )r mô tả trạng thái chuyển động của electron trong trường lực đối xứng xuyên tâm được tách thành 2 phần

   ( , , )r R r Y( ) ( , )  

+ R(r): được gọi là hàm bán kính, chỉ phụ thuộc vào r

+ Y( , )   : được gọi là hàm cầu hay hàm góc, phụ thuộc vào   ,

* Bước 2: Giải phương trình bán kính được các hàm bán kính phụ thuộc vào 2

2 2 2

2 2

2 2

Khi electron bứt ra khỏi nguyên tử, nghĩa là không tồn tại liên kết, lúc đó E>0 Ta không quan tâm tới trường hợp này

Khi electron còn tương tác với hạt nhân, nghĩa là E<0 Ta xét trường hợp này

R c U x x e



  , c: hằng số chuẩn hóa đƣợc xác định bằng điều kiện chuẩn hóa hàm bán kính

0

3 2

2 1 3

r là biến số, chỉ khoảng cách từ hạt nhân đến vị trí electron đang xét

* Một số hằng số chuẩn hóa hàm cầu:  

3 2 3

a  , 2

3 o

Zr v

3 3

3 3

3 2

2 2

du d

du d

u du

dv d

2 2 2

3 3

3 2

dv d

dv d

dv d

24(4 ) 2

2 5

3

3 1

2 2 3

4

81 30

Zr a

Z

r e a

( ) 1

2

2 2

2

( )

1 ( )

Trong đó K x l( ) là nghiệm của phương trình Legendre:

dx

2 2

0 0 2

0 0 2

2

2 0 0

Điều kiện chuẩn hoá hàm cầu: 2 *

2 2

0 0

2 2

0 0 2 2

Y   , là một hàm phức và đã đƣợc chuẩn hoá Để có ý nghĩa thực tế

ta biến đổi hàm phức thành hàm thực bằng cách tổ hợp tuyến tính các hàm cầu phức một cách thích hợp bằng cách sử dụng hệ thức Euler và mối liên hệ giữa toạ độ cầu và Đêcac

c, Bước 3: Kết hợp hai phần hàm riêng trên tức là hàm riêng ứng với phương

trình góc và hàm riêng ứng với phương trình bán kính ta có hàm riêng của toán

mZ e E

n

 

h (erg) Trong đó: m: khối lƣợng một electron

 l = 0, 1, 2, , n-1

l được gọi là số lượng tử phụ hay số lượng tử obitan

 m = 0, 1, 2, ,  l

Vì m có liên hệ với l nên còn có thể viết là ml

m l được gọi là số lượng tử từ obitan Một trị số của l có (2l+1) giá trị của ml

1.2.4.2 Hàm riêng

* Giải phương trình bán kính thu được hàm bán kính:

3 2

2 1 3

* Kết hợp hai phần hàm riêng trên tức là hàm riêng ứng với phương trình góc

và hàm riêng ứng với phương trình bán kính ta có hàm riêng của toán tử Haminton H

Zr a

Z e a

1

Zr a

Z e a

Zr a

Zr a

1

2 6

Zr a Z

r e a

4 cos

5 2 2 0

1

4 2

Zr a Z

1

2 6

Zr a Z

r e a

1 sin 8

1

2 6

Zr a Z

r e a

1 sin 8

3 0 0

3

0

2 2 3 2

27 2

Zr a

4

81 30

Zr a

Z

r e a

4

81 30

Zr a

Z

r e a

3 2 0

1 os sin 81

4

81 30

Zr a

Z

r e a

4

81 30

Zr a

Z

r e a

3 2 0

1 os sin 81

4

81 30

Zr a

Z

r e a

.sin 32

.(2 ) 2

.(2 ) (6, 625.10 er )

Z



Khi

0 2

0 2

6 0

2

4 1

p p

x y

p p

d d

d d

+ Xác định giá trị momen động lƣợng của electron: M  l l(  1) h

3 giá trị của m có 3 obitan (M Z   h , 0, h)

Phân lớp d: l = 2  m = - 2, -1, 0, +1, +2 ứng với 5 giá trị của m có 5 obitan (M Z   2 , h  h , 0, , 2 h h)

CHƯƠNG 2: ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương trình Schrodinger tổng quát, từ đó xây dựng phương

trình Schrodinger đối với hệ một electron Trên cơ sở đó áp dụng vào dạy học ở phổ thông

2 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình Schrodinger tổng quát

Phương trình Schrodinger đối với hệ một electron

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu phương trình Schrodinger đối hệ một electron

Dựa vào kiến thức về phương Schrodinger áp dụng vào dạy dọc phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp đọc sách

Phương pháp trò chuyện

CHUƠNG 3: ÁP DỤNG VÀO GIẢNG DẠY Ở PHỔ THÔNG

Lí thuyết về phương trình Schrodinger là một lí thuyết khó và trừu tượng

Việc áp dụng kết quả của phương trình Schrodinger vào chương trình lớp 10 đối

với học sinh là việc tương đối khó Nhưng đối với học sinh khá giỏi thì việc đưa

lí thuyết về phương trình này sẽ làm tăng hứng thú đối với học sinh Vì vậy tôi

đưa ra một số dạng bài tập nhằm giúp học sinh làm quen trong các kì thi học sinh

giỏi và thi olympic hoá học

3.1 Dạng 1: Xác định năng lượng nguyên tử

Bài 1: Từ phương trình Schrodinger áp dụng cho hệ một electron một hạt nhân

hãy viết biểu thức tính năng lượng electron theo:

a, Đơn vị electron Von (eV)

b, Đơn vị nguyên tử (au)

Z

.(2 ) 2

.(2 ) (6, 625.10 er )

e: điện tích của electron

Z: điện tích hạt nhân nguyên tử

Từ a và b ta thấy: n tăng thì En càng dương khi Z = const

Bài 3: Cho n = 2 tính E2 cho H, He+, Li2+ theo:

a, Đơn vị au

b, Đơn vị eV

Rút ra nhận xét về quan hệ giữa Z với En khi n = const

Từ a và b ta có: Z càng lớn thì En càng âm khi n = const

Bài 4: Cho Z = 1 Tính E1, E2, E3, E4, E5 theo

a, Hệ đơn vị nguyên tử

b, Hệ đơn vị electron

So sánh các trị số tính đƣợc và rút ra kết luận về trị số n để En đạt giá trị thấp nhất

3.2 Dạng 2: Bài tập về các số lƣợng tử

Bài 1: Bộ số lƣợng tử (n, l, m l, m s) của electron cuối cùng

a, Của nguyên tử oxi (Z = 8) là:

Electron cuối cùng điền vào phân lớp 2p nên n = 2, l = 1

Cấu hình của phân lớp ngoài cùng:

-1 0 +1

→ m l= -1, m s   1/ 2

→ Đáp án B

b, S2- (Z = 16) có cấu hình: 1s22s22p63s23p6

Electron cuối cùng điền vào phân lớp 3p nên n = 3, l = 1

Cấu hình của phân lớp ngoài cùng:

Electron cuối cùng điền vào phân lớp 3p nên n = 3, l = 1

Cấu hình của phân lớp ngoài cùng:

-1 0 +1

→ m l= +1, m s   1/ 2

→ Đáp án C

Bài 3: a, Viết các số lƣợng tử đối với electron thứ ba và thứ tám khi thêm vào nguyên tử flo

b, Dựa vào bảng tuần hoàn, gọi tên nguyên tố có cấu hình electron là 1s2

2s22p4 Viết các số lƣợng tử đối với electron thứ tám của nguyên tử đó

Bài giải:

a, Dựa vào sơ đồ mức năng lƣợng của các obitan, ta xét eletron thứ ba và thứ tám

và ghi số thứ tự của lớp (mức năng lƣợng n), phân lớp (mức năng lƣợng l), obitan m lvà chiều của spin

- Electron thứ ba thuộc obitan 2s, chiều của spin là +1/2

n = 2, l  0,m l  0, s = +1/2

- Electron thứ tám nằm ở obitan 2p, m l   1 và có spin là -1/2

n = 2, l 1,m l   1, s = -1/2

b, Nguyên tố có 8 electron, vậy Z = 8: Đó là oxi

Cấu hình electron điền vào phân lớp ngoài cùng là:

-1 0 +1

Electron thứ 8 ứng với các số lƣợng tử sau: n = 2, l 1,m l   1, s = -1/2

Bài 4: Bộ 4 số lƣợng tử nào sau đây đƣợc chấp nhận cho một electron trong nguyên tử

a, n = 3 l = 0 m l = 1 ms = -1/2

b, n = 2 l = 2 m l = 0 ms = +1/2