Tìm hiểu phương trình schrodinger cho hệ một electron và áp dụng vào giảng dạy phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp môn Hóa học Phương trình schrodinger cho hệ một electron và áp dụng vào giảng dạy phổ thông Áp dụng vào dạy trong trường phổ thông cho hệ 1 electron Dùng cho sinh viên đại học tìm hiểu phương pháp áp dụng phương trình schrodinger

dụng vào giảng dạy phổ thông ” Trong quá trình thực hiện khoá luận tôi đã

nhận được rất nhiều sự giúp đỡ của các thầy cô, bạn bè và những người thân yêu

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo – Th.S Đăng Thị Thu Huyền, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình xây dựng và hoàn thiện đề tài

Tôi xin cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trong khoa Hóa học –

Trường Đại Học sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình dậy dỗ tôi trong suốt 4 năm đại học

Tôi cũng cảm ơn gia đình đã động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện khoá luận

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian có hạn nên khóa luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để đề tài càng hoàn thiện và mang lại hiệu quả cao hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Dương Thị Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “ Tìm hiểu phương trình Schrodinger cho hệ

một electron và áp dụng vào giảng dạy phổ thông ” là công trình nghiên cứu

của riêng tôi với sự hướng dẫn của Th.S Đăng Thị Thu Huyền Kết quả

nghiên cứu của đề tài là hoàn toàn trung thực, không trùng với kết quả nghiên cứu của tác giả khác Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Dương Thị Hạnh

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

2 Nội dung………

PHẦN II: NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN………

1.1 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER TỔNG QUÁT

1.1.1 Đôi nét về Schrodinger

1.1.2 Phương trình Schrodinger tổng quát

1.1.2.1 Một số khái niệm

1.1.2.2 Nội dung

1.1.2.3 Phương trình Schrodinger tổng quát 1.1.3 Hệ tọa độ cầu

1.2 PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER ĐỐI VỚI HỆ MỘT ELECTRON 1.2.1 Mô hình hệ

1.2.2 Phương trình Schrodinger

1.2.3 Các bước giải

1.2.4 Kết quả

1.2.4.1 Trị riêng

1.2.4.2 Hàm riêng

1.2.5 Ý nghĩa

1.2.5.1 Số lượng tử chính

1.2.5.2 Số lượng tử obitan

1.2.5.3 Số lượng tử từ obitan

CHƯƠNG 2: ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1 Đối tượng nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ THẢO LUẬN……

3.1 Dạng 1: Xác định năng lượng

3.2 Dạng 2: Dựa vào ý nghĩa của các số lượng tử xác định cấu hình

electron của nguyên tử

PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO

và từng bước hướng dẫn thực nghiệm.

Một trong những cơ sở quan trọng hàng đầu của cơ học lượng tử

là phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng Chỉ có thể giải được gần đúng phương trình này khi xét hệ 1electron, 1 hạt nhân ( hệ đơn giản ) Trên cơ sở kết quả này, một số khái niệm quan trọng của hóa học được hình thành

Những khái niệm đó không chỉ giúp chúng ta hiểu sâu mà còn góp phần quan trọng trong việc cung cấp kiến thức cơ bản phục vụ cho việc học hóa học được tốt hơn

Không giống như mô hình của nguyên tử Bo Các điện tử trong mô hình sóng là các đám mây điện tử chuyển động trên quỹ đạo và vị trí của chúng được đặc trưng bởi phân bố xắc xuất chứ không phải là một điểm rời rạc Điểm mạnh của mô hình này là nó tiên đoán được các dãy nguyên tố có tính chất tương tự nhau về mặt hoá học trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hoá học Với chuyên ngành hoá học đặc biệt là hoá học vô cơ đó là những kiến thức cơ bản để giải thích cấu tạo và tính chất lý hoá học của các nguyên tố

Cơ học lượng tử và phương trình Schrodinger là một lí thuyết khó, trừu tượng và phức tạp Trong trường đại học do điều kiện thời gian, sinh viên ngành hóa học chưa có điều kiện tìm hiểu sâu về phương trình Srodinger đối với hệ một electron Để góp phần làm tăng hiệu quả học tập của mình và giúp các bạn sinh viên yêu thích lĩnh vực này hiểu biết sâu sắc, tôi mạnh dạn

nghiên cứu đề tài:

“ Tìm hiểu phương trình Schrodinger cho hệ một electron và áp dụng vào giảng dạy phổ thông ”.

PHẦN 2: NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

1.1 Phương trình Schrodinger tổng quát.

1.1.1 Đôi nét về Schrodinger.

Erwin Schrodinger ( 1887 – 1961 ), nhà vật lý lý thuyết Áo thiên tài của thế

kỉ XX, là người đã góp phần tích cực trong việc xây dựng nền vật lý học hiện đại trên cơ sở toán học vững chắc Đóng góp của ông là đã cùng với nhiều nhà vật lý đương thời góp phần giải quyết cuộc khủng hoảng mà vật lý lý thuyết trải qua từ năm 1900, mở đầu từ khái niệm lượng tử Plank, sau các công trình Niels Bohr, Poincare, Esintein và Louis de Broglie, dẫn đến sự tổng hợp rộng rãi giữa hạt và hàm sóng Schrodinger đã đề ra hình thức toán học gọi là ba động với phương trình mang tên ông, là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử phi tương đối ngày nay

Schrodinger sinh ngày 12-8-1887 tại Vienna trong một gia đình tri thức Năm 11 tuổi ông vào học trường trung học Vienna, ở đó ông học rất xuất sắc cả

về toán lý lẫn văn học, triết học, nghệ thuật, âm nhạc Năm 1906, ông vào trường Đại học tổng hợp Vienna, tốt nghiệp đại học 4 năm sau rồi làm việc tại viện vật

lý Vienna Đệ nhất thế chiến bùng nổ, ông làm sĩ quan pháo binh cho đến năm

1918 mới trở về với sự nghiệp Năm 1920, ông cưới vợ và bắt đầu giảng dạy đại học tại Jena, Stuttgart, Breslau Năm sau ông được cử làm giáo sư thực thụ ở Zurich Năm 1926, phát triển sáng kiến tổng hợp của Louis de Broglie về hạt và sóng, ông đã đề ra một cách biểu diễn mới về cấu trúc của nguyên tử với phương trình ngày nay mang tên ông khiến cho giới vật lý hết sức chú ý Năm sau,

trường đại học Tổng hợp Berlin mời ông kế nghiệp Max Planck, ở đây ông có dịp thường xuyên tiếp xúc và trao đổi ý kiến với những nhà vật lý lớn nhất trên thế giới thời bấy giờ như Einstein, Max von Laue, Hertz và Meitner.

Đóng góp to lớn của ông cho vật lý hiện đại đã mang lại cho ông giải thưởng Nobel năm 1933 cùng với Paul Dirac Cũng năm ấy ông nhận lời mời sang dạy ở nhiều trường đại học ở Anh như Edinburgh, Oxford Năm 1936, ông trở về nước nhưng do tình hình chính trị nghiêm trọng ông buộc phải ra đi Năm 1938, ông lại trở về giảng dạy ở Ganto và ở Học viện Hoàng gia Dublin rồi năm 1940 làm giám đốc Viện nghiên cứu mà chính phủ Ireland đặc biệt lập ra để mời ông Từ

đó ông sống lưu vong ở nước ngoài 17 năm, cho đến năm 1956 mới trở về

Vienna và sống ở thành phố quê hương cho đến cuối đời Schrodinger mất ngày 4-4-1961 hưởng thọ 74 tuổi, an táng ở Anphbach

+ Hàm ψ ( )q phải là hàm đơn trị: Ứng với mỗi vị trí của hệ lượng tử trong không

gian – tức là ứng với mỗi giá trị của biến số q – chỉ có một khả năng tìm thấy hệ

ở vị trí đó, không thể tìm thấy ở vị trí khác mà lại có cùng tạ độ q Vậy hàm mật

độ xắc suất ψ ( )q 2 phải đơn trị Muốn có kết quả đó thì hàm ψ ( )q phải đơn trị.

+ Hàm ψ ( )q phải hữu hạn hay giới nội, nghĩa là nó phải có khoảng xác định

[ ]a b, trong khoảng xác định này, hàm ψ ( )q phải đơn trị.

+ Hàm ψ ( )q phải là hàm liên tục: Hệ lượng tử là một thực thể vật chất – luôn

luôn vận động, biến đổi liên tục trong không gian nên hàm ψ ( )q phải là một hàm

Thì toán tử S∧ : Được gọi là tổng của 2 toán tử A và B

Toán tử D∧ : Được gọi là hiệu của 2 toán tử A và B

Toán tử P∧ : Được gọi là tích của 2 toán tử A và B

Tổng ( hiệu ) của 2 toán tử có tính chất như tổng ( hiệu ) của 2 số: tính chất giao hoán, kết hợp.

Tích của 2 toán tử thường không giao hoán cho nhau Do đó khi viết biểu thức tích của 2 toán tử cần chú thứ tự của các toán tử đó

Đây là một phương trình hàm riêng, trị riêng, trong đó ψ ( )q là hàm riêng

của H∧ , E là trị riêng của H∧ tương ứng với hàm riêng ψ ( )q .

1.1.2.3 Phương trình Schrodinger tổng quát.

Trong cơ học lượng tử, sự biến đổi trạng thái của hệ vật lý vi mô theo thời gian được xác định bởi phương trình Schrodinger:

H∧ không phụ thuộc vào thời gian và trùng với toán tử năng lượng toàn phần

( )

H q∧ , còn trạng thái của hệ là trạng thái dừng: ψ ( , )q t → φ ( )q Khi đó nghiệm của

phương trình Srodinger có thể tách thành hai thừa số: một thừa số chỉ phụ thuộc vào tọa độ φ ( )q và một thừa số chỉ phụ thuộc vào thời gian: f t( )

Vì hai vế của (1.4) phụ thuộc vào hai biến số q và t khác nhau nên chúng chỉ

có thể có nghiệm đúng khi cả hai vế bằng một hằng số E Khi đó ta có:

H∧ φ( )q =E qφ( ) (1.5)

.

( )

( ) ( )

( )

i Et

Đối với bất cứ một hệ lượng tử nào, ion, nguyên tử, phân tử… lời giải

phương trình Schrodinger cho hệ phải bao gồm đồng thời 2 kết quả: hàm riêng

ψ và trị riêng năng lượng toàn phần E ứng với hàm riêng đó của H∧

Về nguyên tắc, phương trình Schrodinger- một phương trình vi phân tuyến tính cấp 2- chỉ giải được chính xác đối với một số ít hệ lượng tử, các trường hợp

hệ lượng tử có nhiều e chỉ giải được gần đúng

1.1.3 Một số hệ thức quan trọng trong hệ tọa độ cầu.

* Hệ toạ độ cầu:

θ: Góc tạo bởi trục Oz với vectơ r là góc kinh tuyến

2 2

M∧ = − ∧ h

+ Một số hệ thức giao hoán quan trọng:

M∧2 =M M∧−. ∧++M∧z2 + h M z

* Trị riêng của toán tử momen động lượng:

- Xét phương trình trị riêng của toán tử M∧z

u

M u

i M

u r θ ϕ =c r θ eh ϕ Khi ϕ chuyển động 2π thì ta trở về điểm

ban đầu Để cho u là một hàm đơn trị khi ϕ thay đổi 2π , hàm u phải giữ nguyên

giá trị

( 2 ) 2 2

1

z

z

z z

(m= ± 0, 1, )

Như vậy Mz bằng một số nguyên lần h

im

* Trị riêng của toán tử M∧2 :

Vì hai toán tử M∧2và M∧z giao hoán với nhau nên chúng có chung những hàm riêng Do đó: ( , , ) ( , ). im

u r θ ϕ =c r θ e ϕ cũng là hàm riêng của toán tử bình phương momen động lượng

Cho hai vế tác dụng lên hàm Um.

Ứng với mỗi một giá trị của l thì m có nhiều giá trị vì l là giá trị lớn nhất của m Mặt khác hai hướng của trục z là tương đương nhau về mặt vật lí Nên ứng với mỗi một giá trị của m có một giá trị khác trái dấu với nó Do đó m nhận các giá trị − ≤ ≤ +l m l → có 2l+1 giá trị.

1.2 Phương trình Schrodinger đối với hệ một electron.

1.2.1 Mô hình hệ

- Hệ gồm một hạt nhân tích điện dương với số đơn vị điện tích bằng Ze0 (e0 là điện tích nguyên tố), một e có điện tích là: −e0, được kí hiệu là e, chuyển động quanh hạt nhân

Biểu thức thế năng của e trong trường hợp này là:

Vậy thực chất của hệ lượng tử này là xét một e chuyển động trong trường lực hạt nhân có số đơn vị điện tích dương làZe0.

1.2.2 Phương trình Schrodinger.

- Toán tử Haminton ứng với trạng thái dừng của một e trong trường lực hạt nhân

có số đơn vị điện tích dương Ze0 là:

* Phương hướng giải: Chia ra các bước

a, Bước 1: Hàm sóng ψ θ ϕ ( , , )r mô tả trạng thái chuyển động của electron trong

trường lực đối xứng xuyên tâm được tách thành 2 phần

ψ θ ϕ ( , , )r =R r Y( ) ( , ) θ ϕ

+ R(r): được gọi là hàm bán kính chỉ phụ thuộc vào r

b, Bước 2: Giải phương trình bán kính được các hàm bán kính phụ thuộc vào 2

số nguyên n và l là R n l, ( )r

c, Bước 3: Giải phương trình góc thu được hàm cầu phụ thuộc vào 2 số nguyên

l và m l là Y l m, l( , ) θ ϕ

d, Bước 4: Nhân hàm R n l, ( )r với Y l m, l( , ) θ ϕ thì ta được hàm ψnlm( , , )r θ ϕ là

nghiệm của phương trình

2 2 2

2 2

2 2

Với thế năng 2. 1

4

Ze U

Khi electron bứt ra khỏi nguyên tử, nghĩa là không tồn tại liên kết, lúc đó E>0

Ta không quan tâm tới trường hợp này

Khi electron còn tương tác với hạt nhân, nghĩa là E<0 Ta xét trường hợp này

Mà l = 0, 1, 2, nên n = 1, 2, 3, gọi là số lượng tử chính

Nghiệm của phương trình là đa thức Laguerre

−

= − , c: hằng số chuẩn hóa được xác định bằng điều

kiện chuẩn hóa hàm bán kính

4

0

3 2

n,l là các số lượng tử chính và số lượng tử obitan

Dấu – được đặt trước để hàm bán kính R n l, ( )r trở nên dương khi r bé, tức là gần hạt nhân

Z là số đơn vị điện tích dương hạt nhân

3 2 2

Thay vào ( * ) Với

2

( ) 1

2

2 2 ,

Trong đó K x l( ) là nghiệm của phương trình Legendre:

2 2

0 0 2

0 0 2

c

π π

2

2 0 0

Điều kiện chuẩn hoá hàm cầu:

2

* 2,0 2,0

2 2

0 0

2 2

0 0 2 2

* Khi giải phương trình góc (2.3) thực chất là giải phương trình hàm riêng trị riêng của M∧ z và 2

M∧ thu được trị riêng mh và l l( + 1) h 2 Vì h là hằng số Plank thu gọn nên thực tế thu được m và l Về mặt toán học m, l thỏa mãn các điều kiện sau:

l= 0, 1, 2, , n-1

Tức là l nhận giá trị nguyên, dương, kể cả 0

l được gọi là số lượng tử phụ hay số lượng tử obitan

m=0, ±1, ±2, , ± l

m nhận giá trị nguyên, dương hoặc âm, kể cả 0

Vì m có liên hệ với l nên còn có thể viết là ml

ml được gọi là số lượng tử từ obitan Một trị số của l có (2l+1) giá trị của ml

* Khi giải phương trình bán kính thu được:

n= 0, 1, 2, 3, , nguyên

n nhận giá trị nguyên, dương

n được gọi là số lượng tử chính Một giá trị của n có n giá trị của l , từ 0 đến (

n

o

mZ e E

ε 0: hằng số điện môi trong chân không.

Bốn đại lượng trên là hằng số

- Kết hợp hai phần hàm riêng trên tức là hàm riêng ứng với phương trình góc

và hàm riêng ứng với phương trình bán kính ta có hàm riêng của toán tử

Haminton H∧ là hàm sóng ( , , )

l nlm r

1.2.5 Ý nghĩa của các số lượng tử.

Việc giải phương trình Schrodinger thu được 3 số lượng tử

ε πε

0 2

6 0

2

4 1

2.1.5.2 Số lượng tử obitan ( hay số lượng tử phụ ): l

+ Xác định giá trị momen động lượng của electron: M = l l( + 1) h

Ví dụ: Khi l = 0 → M = 0

Khi l = 1 → M = 1(1 1) + h = 2 h

+

-+ Z

X

dxz

CHƯƠNG 2: ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương trình Schrodinger tổng quát, từ đó xây dựng

phương trình Schrodinger đối với hệ một electron, hệ nhiều electron Trên

cơ sở đó áp dụng vào dạy học ở phổ thông

2 Đối tượng nghiên cứu

- Phương trình Schrodinger tổng quát

- Phương trình Schrodinger đối với hệ một electron

- Phương trình Schrodinger đối với hệ nhiều electron

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu phương trình Schrodinger đối hệ một electron và nhiều electron

- Dựa vào kiến thức về phương Schrodinger áp dụng vào dạy dọc phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp đọc sách

- Phương pháp trò chuyện

CHUƠNG 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ THẢO LUẬN

Lí thuyết về phương trình Schrodinger là một lí thuyết khó và trừu tượng Việc áp dụng kết quả của phương trình Schrodinger vào chương trình lớp 10 đối với học sinh là việc tương đối khó Nhưng đối với học sinh khá giỏi thì việc đưa

lí thuyết về phương trình này sẽ làm tăng hứng thú đối với học sinh Vì vậy tôi đưa ra một số dạng bài tập nhằm giúp học sinh làm quen trong các kì thi học sinh giỏi và thi olympic hoá học

ε πε

Trong đó m: khối lượng electron.

e: điện tích của electron

Z: điện tích hạt nhân nguyên tử

n=2 → E2 = - 3,4 eV

n=3 → E3 = - 1,5 eV

Từ a và b ta thấy: n tăng thì En càng dương khi Z = const

Bài 3: Cho n = 2 tính E2 cho H, He+, Li2+ theo:

Từ a và b ta có: Z càng lớn thì En càng âm khi n=const

Bài 4: Cho Z=1 Tính E1, E2, E3, E4, E5 theo

a, Hệ đơn vị nguyên tử

b, Hệ đơn vị electron

So sánh các trị số tính được và rút ra kết luận về trị số n để En đạt giá trị thấp nhất

Vậy En = ( En )min khi n = 1

3.3 Dạng 3: Dựa vào ý nghĩa của các số lượng tử xác định cấu hình electron của nguyên tử.

Bài 1: Xác định nguyên tử mà electron cuối cùng có giá trị 4 số lượng tử sau: