Các ứng dụng của phương trình schrodinger cho hệ nguyên tử

Khoá luận tốt nghiệp Uông Thị Hải Lời cảm ơn Công trình khoá luận đợc hoàn thành, nỗ lực thân nhờ vào giúp đỡ hớng dẫn nhiệt tình đầy tâm huyết T.s Vũ Ngọc Sáu thầy giáo hớng dẫn thầy cô giáo khoa vật lý Vậy qua xin đợc gửi tới T.s Vũ Ngọc Sáu toàn thể thầy cô giáo khoa vật lý lời cảm ơn chân thành Do điều kiện thời gian khả có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót thực đề tài Rất mong đợc đóng góp ý kiến độc giả để đề tài đợc hoàn thiện hơn./ Sinh viên : uông thị hải A- mở đầu Từ năm 30 kỷ XIX, học lợng tử đà trở thành lý thuyết vật lý đại làm sở để giải thích tợng xẩy cấu trúc vi mô vật chất, trở thành nội dung để xây dựng hớng nghiên cứu vật lý công nghệ giai đoạn nh chất rắn, bán dẫn, lý thuyết hạt bản, quang học phát xạ, Khoá luận tốt nghiệp Uông Thị Hải Cơ học lợng tử cho vi hạt chuyển động có vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh sáng (c= 3.108m/s) đợc xây dựng phơng trình sóng Schr o dinger Đây phơng trình vừa mang đặc trng sóng lại vừa mang đặc trng hạt phù hợp với việc mô tả lỡng tính sóng - hạt vi hạt Nghiên cứu phơng trình Schr o dinger vấn đề lớn học lợng tử Trong khuấn khổ đề tài dừng lại xem xét số ứng dụng thực tế, tiêu biểu phơng trình Schr o dinger dừng hệ vật lý thực, toán quan trọng ứng dụng nghiên cứu phổ nguyên tử Các vấn đề trình bày khoá luận hy väng sÏ lµ néi dung khoa häc sư dơng tèt cho quan tâm đến vấn đề ứng dụng nghiên cứu phơng trình Schr o dinger vấn đề lợng tử B - Nội dung Chơng I: Tổng quan phơng trình Schr o dinger 1.1 Phơng trình Schr o dinger không phụ thuộc thời gian 1.1.1 Xây dựng phơng trình Xét hạt khối lợng m, trạng thái có lợng E, xung lợng p không đổi ( trạng thái dừng ) Trạng thái hạt mà ta xét đợc mô tả hàm sóng : (r ) Khi hạt chuyển động tuân theo phơng trình Schr o dinger dừng sau đây: E ( r) H Với H toán tử Haminton : H = -  2m Đ2 + U(x,y,z) Kho¸ ln tèt nghiệp Uông Thị Hải Do toán tử không tác dụng lên phần tử hàm sóng chứa trờng hợp tổng quát hạt chuyển động trờng biến đổi Khi hàm sóng mô tả trạng thái hạt : (r , t ) Và thoả mÃn phơng trình sau đây: i  ( r , t )  Hˆ  ( r , t ) t (1.1) Phơng trình (1.1) gọi phơng trình Schr o dinger phụ thuộc thời gian viết cho hạt vi mô chuyển động trờng Bây để đơn giản ta xét cho hạt chuyển động mà vị trí hạt xác định toạ độ trục x Hạt chuyển động trờng U(x) có lợng E Ta có :    ( x , t ) i  Hˆ  ( x , t ) t víi 2 Hˆ  Ñ  U ( x) 2m Mặt khác ta lại có : i ( x , t )  E ( x, t )  Hˆ  ( x, t )  E ( x, t ) t ⇒  ∂ ψ(x, t ) + U(x ).ψ(x, t ) = Eψ(x, t ) 2m ∂t ⇒  ∂ ψ(x, t ) + [ U(x) 2m ∂t E] (x) = (1.2) (1.2) phơng trình Schr o dinger chuyển động chiều Đặt ( x, t )  ( x) exp(  i Et ) (1.3) Thay (1.3) vào (1.2) ta đợc: i  2 ( x) i exp( Et )  exp( Et )( E  U ( x)) ( x) 0 2m   x     2 ( x)  ( E  U ( x )) ( x) 0 2m x (1.4) Phơng trình (1.4) phơng trình Schr o dinger dừng hay phơng trình Schr o dinger không phụ thuộc thời gian Về phơng diện toán học phơng trình vi phân đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính Việc giải phơng trình cho nghiệm ứng với giá trị E Tuy nhiên phơng diện vật lý, ta Khoá luận tốt nghiệp Uông Thị Hải chọn giá trị E cho E(x,y,z) biểu diễn trạng thái vật lý, nghĩa E(x) phải thoả mÃn điều kiện đơn trị, liên tục hữu hạn Ngời ta đà chứng minh có giá trị E tơng ứng với hàm E(x) thoả mÃn điều kiện vật lý Tập hợp giá trị E gián đoạn liên tục, vừa gián đoạn vừa liên tục Các trạng thái E(x,y,z) với mức lợng gián đoạn tơng ứng với vi hạt chuyển động vùng hữu hạn không gian, xác suất tìm thấy hạt vô không Vì trạng thái gọi trạng thái liên kết Việc giải phơng trinh Schr o dinger không gian ba chiều nói chung phức tạp sau đề cập đến ta xét không gian chiều ( trục x chẳng hạn ) Với toán phân tích đợc số tính chất tiêu biểu đặc trng cho hệ lợng tử mà không làm giảm tính tổng quát toán ba chiều Mặt khác nhiều trờng hợp trờng tơng tác tách dới dạng: U(x,y,z) = U(x) + U(y) + U(z) Khi toán không gian ba chiều chuyển toán chiều  2 d  E ( x )  U ( x). E ( x)  E. E ( x) 2m dx (1.5) (1.5) phơng trình Schr o dinger mét chiỊu 1.1.2 C¸c tÝnh chÊt nghiƯm phơng trình a) Tính chẵn, lẻ nghiệm Nếu hàm chuẩn toạ độ nghiệm phơng trình (1.5) có tính chẵn lẻ xác định Thật biến số phơng trình (1.5) có khoảng giá trị từ - Ơ < x < Ơ nên thay x -x ta có:  2 d2  E (  x )  U (  x). E (  x)  E. E (  x ) 2m d (  x ) (1.6) U(-x) = U(x) nên thay vào phơng trình ta thu đợc : d  E ( x )  U ( x). E ( x)  E. E ( x ) 2m dx (1.7) Khoá luận tốt nghiệp Uông Thị Hải E(-x) thoả mÃn phơng trình (1.7) giống hệt phong trình (1.5) dạng ứng với trị riêng E suy biến nghĩa hàm riêng ứng với trị riêng khác E(x) E(-x) khác sè nh©n k E(x) = k E(-x) (*) TiÕp tục đổi dấu x lần ta có : E(-x) = k E(x) (**) Tõ (*) vµ (**) ta cã : E(x) = k2 E(x) suy k =  E(x) = E(x) (1.8) Tõ (1.8) ta kết luận nghiệm E(x) phơng trình (1.5) hàm chẵn ứng với dấu (+), lẻ ứng với dấu trừ toạ độ b) Hàm sóng (x) phải giới nội Điều suy từ điều kiện chuẩn hoá hàm sóng Theo điều kiện chuẩn hoá hàm sóng | ( x, t ) | dx c) Hàm sóng phải đơn trị không đơn trị ứng vơí mức vị trí không gian có nhiêù giá trị xác suất tìm hạt Điều trái với lý thuyết xác suất d) Tính liên tục Hàm sóng cần phải liên tục theo toạ độ mật độ xác suất tìm thấy hạt |(x)|2 không thay đổi Ngoài trờng gián đoạn hữu hạn thi điểm đó, đạo hàm bậc nghiệm liên tục Nghĩa là: E(x0+) = E'(x0+) Với x0 điểm mà U(x) gián đoạn 1.1.3 Tính không suy biến trạng thái phổ gián đoạn Trong chuyển động môt chiều ứng với mức lợng phổ gián đoạn, hàm sóng tơng ứng không suy biến Thật giả sử tồn hai hàm sóng 1, ứng với mức lợng E Khi tõ (1.5) ta cã: '' '' 1  2m '' ''   (U  E )       1  Tích phân hai vế phơng trình ta cã : 1' 2 - 2' 1 = const vô cực phổ gián đoạn 1(+Ơ) = 2(+Ơ) = nên const = ' Suy : 1' 2 = 2' 1 ⇒ ' ψ1 ψ = ψ1 ψ Kho¸ luận tốt nghiệp Uông Thị Hải Lấy tích phân hai vé đẳng thức ta có: = 2.const Chứng tỏ phải trùng Hay nãi c¸ch kh¸c 1(x) , 2(x) chØ kh¸c bëi số không phụ thuộc x hay trị riêng E thuộc phổ gián đoạn không bị suy biến Điều trị riêng phổ gián đoạn chuyển động chiều 1.2 Các đại lợng đặc trng hệ lợng tử 1.2.1 Mật độ xác suất mật độ dòng xác suất Nh đà biết biét đợc hám sóng tính đợc mật độ xác suất tìm thấy hạt: = ||2 = *. Râ rµng  phơ thc vµo thêi gian hàm sóng phụ thuộc vào thời gian Nh có giá trị khác thời gian trôi đi, ta nói có dòng hạt lu thông không gian Từ phơng trình (1.1) nhân hai vế phơng trình bên trái với hàm * ta có: i * * H t lấy liên hợp phức (1.10) ta đợc: (1.10) i. * * H t (1.11) LÊy (1.10) trõ (1.11) theo vÕ ta đợc : i ( * mà: *   *  )  * Hˆ   Hˆ  * t t ∂ψ ∂ψ * ∂ ∂ρ + ψ = ( ψ * ψ) = ∂t ∂t ∂t ∂t   * Hˆ   Hˆ * Do (1.12) viết lại là: Nếu ®Ỉt Ta cã: j = i ˆ H  2m =- Ñ2 + U(x,y,z) 2 ( *Ñ2  Ñ2 * )  *U  U * 2m ∂ρ = ∂t i (ψ*∇ψ 2m víi (1.12) 2 ∇( ψ *∇ψ 2m ψ∇∇* ) = ψ∇∇ * ) = i ( ψ∇∇ * 2m ψ*∇ψ ) ∂p + div j = t (1.13) Phơng trình (1.13) có dạng tơng tự nh phơng trình liên tục học lỡng tử Trong đó: p - gọi mật độ xác suất j - gọi vector mật độ dòng xác suất Khoá luận tốt nghiệp Uông Thị Hải Theo ý nghĩa phơng trình liên tục phơng trình (1.13) biểu thị định luật bảo toàn xác suất hay gọi bảo toàn số hạt học lợng tử 1.2.2 Các ứng dụng phơng trình Schr o dinger dừng a Hố sâu vô hạn Xét hạt chuyển động trờng mà U(x) cã d¹ng U(x)= ∞khi x a < x < a a (1.14) U(x) Nó đợc biểu diƠn ë h×nh (1.1) x -a a (H.1.1) Trong khoảng a a hạt chuyển động tự muốn khỏi khoảng hạt phải tốn lợng Ơ Do a a hạt bị chặn lại Phơng trình Schr o dinger cho hạt có d¹ng :  2 d  E ( x)  E. E ( x) 2m dx d2 2m  E ( x)  E. E ( x) 0 dx  víi  a  x a víi (1.15) (1.16) x a Cã thĨ cã nhiỊu giá trị riêng E nên ký hiệu E 1, E2.E.En, hàm riêng tơng ứng : E , E E n Để đơn giản ta kÝ hiÖu : ,  n n (1.16) đợc viết lại là: d n ( x)  2mE  n ( x) 0 dx (1.17) Phơng trình (1.17) phơng trình vi phân hạng hai có hệ số số có d¹ng: ''  n  k n  n 0 Trong ®ã kn2 = mE n 2 (1.18) Trong phơng trình vật lý toán Phơng trình (1.18) có nghiệm tổng quát : n ( x )  A sin k n x  B cos k n ( x ) (1.19) Trong A,B hai h»ng sè tuú ý xuÊt hiÖn viÖc lÊy tÝch phân hai lần phơng trình (1.19) Nghiệm (1.19) phải liên tục a +a Vì bên khoảng a +a có hạt nên hàm sóng phải 0, có nghiệm liên tục phải không hai điểm a +a Khoá luận tốt nghiệp Uông Thị Hải n (a ) 0 (1.20)  n ( a) 0 (1.20) đợc gọi điều kiện biến đổi với nghiệm Nh nguyên tắc dựa vào điều kiện biên điều kiện chuẩn hoá hàm sóng ta xác định đợc A, B tính đối xứng ta xác định đợc A B theo cách khác Vì hàm chẵn toạ độ nên nghiệm đợc phân thành hai lớp: Lớp nghiệm chẵn lớp nghiệm lẻ theo toạ độ Với lớp nghiệm chẵn : n ( x)  n ( x) Thay vµo (1.20) ta cã: A sin k n x  B cos k n x  A sin k n ( x)  B cos k n ( x)  A sin k n x Vì x đổi liên tục nên Vậy nghiệm chẵn có dạng : n ( x) B cos k n ( x) Mặt khác theo điều kiƯn biªn (1.20) ta cã: A sin k n x  B cos k n x  A sin k n (  x)  B cos k n ( x)  cos k n x 0 V× x thay đổi liên tục nên nói chung : Vậy cos k n ( x) 0, B 0 (1.21) n ( x )  A sin k n ( x ) Theo điều kiện biên : (a) Vậy nghiƯm lỴ cã biĨu thøc: k n n A sin k n a 0  k n a n  2a Trong hai lớp nghiệm kết hỵp víi (1.18) : k n  víi n=0,2,4,6, (1.22) 2mE n 2 2mE n 2 2mE n  n       2n   4a   2a   En  n 2  8ma với n nguyên (1.23) Hệ thức (1.23) phản ánh đặc thù vi hạt hố sâu vô hạn tính chất lợng hạt mà học lợng tử goị lỡng tử hoá lợng b Rào U(x) U0 I II III Khoá luận tốt nghiệp Uông Thị Hải x (H 1.2 ) Hàng rào dạng trờng mang miền không gian lớn miền lân cận Trong mô hình chuyển động chiều ta xét hàng rào sau nÕu x