Phương trình schrodinger cho hệ nhiều hạt (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== TRƯƠNG THỊ MINH HOA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HỆ NHIỀU HẠT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy dỗ bảo truyền đạt kiến thức cho em suốt trình học tập rèn luyện trường trình thực khóa luận Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Là sinh viên lần nghiên cứu khoa học nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn bè để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Trương Thị Minh Hoa LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài khóa luận cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân với giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Cơng trình khơng trùng lặp với kết luận văn tác giả Nếu sai sót em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2017 Sinh viên Trương Thị Minh Hoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc đề tài NỘI DUNG CHƯƠNG : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.1.1 Đặc điểm chung hệ nhiều hạt 1.1.2 Hệ nhiều hạt học 1.1.3 Hệ nhiều hạt nhiệt động 1.1.4 Hệ nhiều hạt nhiệt độ T = 0K 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.2.1 Nguyên lý không phân biệt hạt đồng học lượng tử 1.2.2 Hàm sóng hệ hạt đồng 1.3 Các đại lượng bảo toàn hệ nhiều hạt 12 1.3.1 Toán tử Hamilton hệ nhiều hạt 12 1.3.2 Bảo toàn động lượng hệ nhiều hạt 13 1.3.3 Bảo tồn mơ men động lượng hệ nhiều hạt 13 1.4 Các biểu diễn toán tử hàm sóng cho hệ nhiều hạt…………….15 1.4.1 Biểu diễn Schodinger 15 1.4.2 Biểu diễn Heisenberg 15 1.4.3 Biểu diễn tương tác………………………………………………… 16 KẾT LUẬN CHƯƠNG 23 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER CHO HỆ 24 CÁC ELECTRON VÀ CÁC ION TRONG VẬT RẮN TINH THỂ 24 2.1 Phương trình schrodinger tổng quát cho hệ electron ion 24 2.2 Gần đoạn nhiệt phương trình schrodinger cho hệ electron cho hệ ion 25 KẾT LUẬN CHƯƠNG 28 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH SCHODINGER CHO HỆ 29 CÁC ELECTRON TRONG LIÊN KẾT MẠNH VÀ LIÊN KẾT YẾU 29 3.1 Phương trình Schrodinger cho hệ electron trường hợp liên kết mạnh 30 3.2 Phương trình Schodinger cho electron trường hợp liên kết yếu 33 KẾT LUẬN CHƯƠNG 36 CHƯƠNG 4: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 37 4.1 Phương trình Schodinger cho dao động mạng tính thể biểu diễn tọa độ 37 4.2 Phương trình Schodinger cho phonon biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai 38 KẾT LUẬN CHƯƠNG 43 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong học lượng tử Phương trình Schodinger phương trình vật lý lượng tử mô tả biến đổi trạng thái lượng tử hệ vật lý theo thời gian, thay cho định luật Niuton biến đổi Galile học cổ điển.Trong học lượng tử, trạng thái lượng tử hệ vật lý mô tả đầy đủ vecto trạng thái thí dụ hàm sóng khơng gian cấu hình, nghiệm phương trình Schodinger Nghiệm phương trình Schodinger khơng mô tả hệ nguyên tử hạ nguyên tử (nguyên tử, phân tử, hạt nhân, điện tử hạt khác) mà hệ vi mô, trí tồn vũ trụ Phương trình đặt theo tên nhà vật lý người Áo Erwin Schrodinger, người lần thiết lập vào năm 1926 Việc sử dụng phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt giúp giải toán đơn giản Với mong muốn tìm tòi, mở rộng hiểu biết thân phương pháp giải tập vật lý, em lựa chọn đề tài “phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt“ làm đề tài tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng phương pháp giải tập áp dụng phương trình Schrodinger Áp dụng để giải số tập Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý lý thuyết vật lý toán - Đọc tài liệu tra cứu - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo dề tài bao gồm phần: Chương 1: Các tính chất chung hệ nhiều hạt 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.3 Các đại lượng bảo toàn hệ nhiều hạt 1.4 Các biểu diễn tốn tử hàm sóng cho hệ nhiều hạt Chương 2:Phương trình schodinger cho hệ electron ion vật rắn tính thể 2.1 Phương trình Schodinger tổng quát cho hệ electron ion 2.2 Gần đoạn nhiệt phương trình Schodinger cho hệ electron cho hệ ion Chương 3: Phương trình Schodinger cho hệ electron liên kết mạnh liên kết yếu 3.1 Phương trình Schodinger cho hệ electron trường hợp liên kết mạnh 3.2 Phương trình Schodinger cho electron trương hợp liên kết yếu Chương 4: Dao động mạng tinh thể 4.1 Phương trình Schodinger cho dao động mạng tinh thể biểu diễn tọa độ 4.1 Phương trình Schodinger cho phonon biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai NỘI DUNG CHƯƠNG : CÁC TÍNH CHẤT CHUNG CỦA HỆ NHIỀU HẠT 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.1.1 Đặc điểm chung hệ nhiều hạt Một cách chung hệ nhiều hạt hệ gồm từ hai hạt trở lên Việc tăng thêm số hạt hệ tạo nên đặc điểm cho hệ Trước hết đề giải hệ phương trình Hamiton (cho hệ cổ điển) phương trình Shrodinger (cho hệ lượng tử) Với hệ nhiều hạt số biến hệ phương trình Hamilton phương trình Shrodinger tăng lên so với trường hợp hạt Hơn yếu tố quan trọng hơn, việc có thêm thành phần tương tác hàm Hamilton toán tử Hamilton làm cho việc giải xác phương trình Hamilton phương trình Shrodinger thêm khó khăn.Với phương pháp tính số nhờ máy tính, khó khăn có tính kĩ thuật vấn đề nguyên tắc Tuy nhiên vấn đề trở nên khác hoàn toàn số hạt hệ tăng đến mức làm thay đổi chất tính chất hệ: hạt hệ chuyển động hỗn loạn, trạng thái hạt không cho biết tính chất chung hệ Với hệ biết cần dùng đến phương pháp Vật lý Thống kê tính chất vĩ mô hệ đặc trưng giá trị trung bình đại lượng vật lý 1.1.2 Hệ nhiều hạt học Hệ nhiều hạt học hệ có số hạt nhiều chưa làm thay đổi tính chất chuyển động hạt Trường hợp hệ gồm hạt cổ điển (hệ cổ điển): Tọa độ (1.1a) Và động lượng (1.1b) Của tất hạt hệ xác định hệ phương trình Hamilton: = ; k = 1,2,….,3N; =và (1.2a) đạo hàm theo thời gian t thành phần tọa độ động lượng; H hàm Hamilton hệ: = với = động + (1.2b) hệ Nghiệm hệ phương trình (2.2): (t,q(0),p(0)) , (t,q(0),p(0)),… , (t,q(0),p(0)) (1.3a) (t,q(0),p(0)) , (t, q(0),p(0)),…., (t,q(0),p(0)) (1.3b) xác định thái hệ Các kí hiệu q(0) p(0) cơng thức (1.3) biểu thị hai tập đại lượng tương ứng : { } } q(0) { (1.3c) xác định trạng thái ban đầu hệ Một cách tương đương trạng thái hệ mô tả quỹ đạo tất hạt xác định từ (1.3) Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s = 6N chiều (p,q) hệ có s bậc tự ,chúng ta thấy trạng thái hệ biểu diễn điểm pha Với thời gian đại lượng q ,p thay đổi điểm pha vẽ nên quĩ đạo pha Như quĩ đạo pha cho biết thay đổi trạng thái hệ theo thời gian Dùng khái niệm không gian pha ,tức không gian 2s =6N chiều (q,p) hệ có s bậc tự do, thấy trạng thái hệ biểu diễn điểm pha Với thời gian đại lượng q, p thay đổi điểm pha vẽ nên quỹ đạo pha Như quỹ đạo pha cho biết thay đổi trạng thái hệ theo thời gian Trường hợp hệ gồm N hạt lượng tử ( hệ lượng tử ): Trạng thái hệ xác định hàm sóng trường hợp lượng E hệ khơng đổi: = (q)exp[-iEt / ] (1.4) q tập biến xác định trạng thái hệ Hàm sóng (1.4) nghiệm phương trình Schrodinger Trung bình đại lượng vật lý tương ứng với tốn tử ̂ (q) xác định ̅= ∫ (q,t) ̂ (q) (q,t)dq (1.5) đại lượng không phụ thuộc thời gian 1.1.3 Hệ nhiều hạt nhiệt động Khi số hạt hệ tăng đến mức đáng kể , thường lớn số phần tử khơng khí điều kiện chuẩn (khoảng phân tử / ), tính chất chuyển động hạt hệ thay đổi: hạt chuyển động hỗn loạn Hệ trở thành hệ nhiệt động, chuyển động hỗn loạn hạt gọi chuyển động nhiệt Biểu chuyển động hỗn loạn không giống hệ cổ điển hệ lượng tử Đối với hệ cổ điển, nguyên tắc tọa độ động lượng hạt xác định việc giải hệ phương trình Hamilton (1.2) Với hệ nhiệt động xác định, hàm Hamilton (1.2b) H hệ xác định, nghiệm hệ phương trình (1.2) có dạng xác định Tuy nhiên hệ phương trình Hamilton hệ phương trình vi phân nên nghiệm (1.3) hệ phương trình phụ thuộc vào điều kiện ban đầu (1.3c): tùy theo điều kiện ban đầu, thời điểm t có tập giá trị (1.3a) (1.3b) khác nhau; tập ứng với với điều kiện ban đầu điểm pha, tức ứng với trạng thái vi mô hệ thời điểm t Khi t biến thiên tập vẽ nên quỹ đạo pha Do tính đơn trị nghiệm hệ phương trình (1.2), quỹ đạo pha ứng với điều kiện ban đầu khác không cắt không vùng nguyên tử lân cận, thời gian electron cố định nút mạng từ s ngun tử lập giảm tới s nhỏ, nên nói electron bị tập thể hóa, nghĩa electron chuyển từ nguyên tử sang nguyên tử khác Nói cách khác, ngun tử lập eletron khơng thể chuyển từ mức lượng sang mức lượng mức cách xa; tạo thành mạng tinh thể mức lượng electron cách khoảng eV, lượng nhiệt vào cỡ eV nên electron dễ dàng chuyển từ mức sang mức 3.2 Phương trình Schodinger cho electron trường hợp liên kết yếu Trong trường hợp động electron lớn tương tác electron với nguyên tử (liên kết yếu) electron tách khỏi nguyên tử nó, chuyển động tự mạng tinh thể bị tác dụng đến gần nút mạng Trong trường hợp thành phần đầu tên vế phải biểu thức (3.2) ( vai trò chủ yếu Biểu thức cho theo ⃗ electron đóng ⃗ ) xác định (3.3), tổng khác spin hai electron chiều ( Về nguyên tắc hàm sóng hạt ) ⃗ ) phải xác định cách tự hợp từ phương trình schodinger (3.1) phương trình (3.3) Kết cho thấy trường hợp hàm sóng có dạng hàm Bloch: ⃑⃗ ⃗ ⃑⃗ ⃑⃗)exp(i ⃑⃗ ⃗) (3.5) ⃑⃗ ( ⃗) hàm tuần hoàn với chu kỳ số mạng a: ⃗⃑ ( ⃗ ⃗ ) = ⃑⃗ ( ⃑⃗) (3.6) Từ (3.5) (3.6) ta thấy (3.3) có tnh chất tuần hồn Thông thường thành phần thứ hai (3.3) chiếm khoảng 10% đến 20% hiệu dụng ⃗) (ngoại trừ trường hợp sắt linh động), electron trường hợp có dấu dương ⃗) >0 đẩy Kronig Penney đưa mơ hình đơn giản hóa để giải tốn trường hợp gọi mơ hình Kronig-Penney V b c x O a Hình 3.3: sơ đồ mơ hình Kronig-Penney Mơ hình Kronig-Penney xét hệ electron chiều, electron chuyển động tự với khoảng nút mạng Chuyển động electron bị cản trở khác gần nút mạng ( ⃗ ⃑⃗) Điều có nghĩa tương tác ngun tử có dạng tuần hồn theo phương X (hình 3.3): ( ) (3.7) Với a=b+c; b khoảng cách hai nút mạng, c độ rộng lân cận nút mạng khác Kronig Penney giả thiết c, lớn khoảng c, c tiến tới cho c =const Nói cách khác, ( Trong ( ) ⃗)>0 có dạng: ∑ (3.8) hàm delta, J, n, tên nút mạng thứ J, n có giá trị nguyên (dương âm), sơ trước dấu tổng bằng: = (3.9) Phương trình (3.1) cho electron mạng tnh thể trường hợp viết dạng: [- ( )] (3.10) Với giả thiết mơ hình Kronig-Penney phương trình (3.10) giải dễ dàng cho kết giống trường hợp electron tương tác mạnh với nguyên tử nó; nghĩa lượng electron tách thành miền cho phép miền cấm, có tượng chồng miền cho phép Cả hai trường hợp giới hạn (electron tương tác mạnh tương tác yếu với nguyên tử nó) cho kết tạo thành miền luợng cho phép miền lượng cấm Bằng cách nội suy coi kết cho trường hợp trung gian khác Đó lý thuyết miền lượng electron mạng tinh thể Lý thuyết miền lượng thực tế phù hợp tốt với thực nghiệm KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương 3, em trình bày phương trình Schodinger cho hệ electron trường hợp liên kết mạnh liên kết yếu Đây nội dung quan trọng để em tiếp tục nghiên cứu hồn thiện khóa luận CHƯƠNG 4: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ 4.1 Phương trình Schodinger cho dao động mạng tính thể biểu diễn tọa độ Phương trình [-∑ ⃑⃗ ( ⃑⃗)+ + ⃑⃗)] ( ⃑⃗ )=W ( ⃑⃗) mô tả dao động mạng tnh thể Trong đó, phương trình trên: ( ⃑⃗ ) ( ⃑⃗) ⃑⃗ (4.1) Chính tương tác nguyên tử (hoặc phân tử) nút mạng.Ở trạng trạng thái cân mạng tnh thể, tương tác có tác dụng đàn hồi, tạo nên lực khác tác dụng lên nguyên tử (hoặc phân tử) rời khỏi vị trí cân nút mạng Do tính chất tuần hồn mạng tinh thể, (4.1) có tnh chất tuần hồn chúng khơng cần quan tâm đến phụ thuộc vào vị trí nút mạng mà cần quan tâm đến phụ thuộc vào độ lệch nguyên tử (hoặc phân tử) khỏi vị trí cân nút mạng Ký hiệu độ lệch nguyên tử (hoặc phân tử) khỏi vị trí cân nút mạng thứ n ⃑⃗ , (4.1) khai triển theo lũy thừa ⃑⃗ : ⃑⃗)= ⃑⃗ ∑ ( ∑ ) ( ) ∑ ⃑⃗ (4.2) ⃑⃗ ⃑⃗ ⃑⃗ ; dấu (…) xác định với ký hiệu giá trị Khơng làm tính tổng qt, thay đổi gốc tính lượng để coi Mặt khác trạng thái cân ứng với hàm bậc ( nên đạo : ) =0 (4.3) Thành phần thứ ba khai triển (4.2) ứng với lực đàn hồi dẫn đến dao động điều hòa mạng tnh thể, thành phần thứ 0, thành phần ứng với dao động tử phi điều hòa 4.2 Phương trình Schodinger cho phonon biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai Các dao động mạng tinh thể từ góc độ lượng tử coi hệ phonon Để thấy rõ điều cúng ta viết lại phương trình [-∑ ⃑⃗ + ( ⃑⃗)+ ⃑⃗)] ( ⃑⃗)=W ( ⃑⃗ ) cách đưa vào toán tử sinh hủy phương pháp lượng tử hóa lần hai Để đơn giản, xét trường hợp dao động điều hòa chiều, (4.2) viết dạng: ( ⃑⃗) ∑ (4.4a) ý (4.3), viết lại (4.4a) sau: ( ⃑⃗) ∑ (4.5a) Toán tử Hamilton dao động mạng tnh thể viết dạng: ∑ [ ̂ /2]=∑ (4.6a) ̂(4.7a) Bài tốn quy tồn hệ dao từ điều hòa, dao tử với toán tử Hamilton Để đơn giản, xét trường hợp dao động điều hòa chiều (giả dụ theo phương x), (4.4a) viết dạng: ( ⃑⃗) ∑ (4.4b) ý (4.3), viết lại (4.4b) sau: ( ⃑⃗ ) ∑ (4.5b) Toán tử Hamilton dao động mạng tnh thể viết dạng: =∑ (4.6b) Trong ̂(4.7b) Là tốn tử Hamilton dao tử điều hòa chiều với tần số dao động Để đơn giản khơng viết số n Đưa vào tốn tử sinh hủy toán tử hủy: ̂√ ̂ – i(1/√ ̂= √ ) ̂ (4.8a) ) √ (4.8b) ý hệ thức Heisenberg ̂ - ̂ = -iħ có hệ thức giao hốn ̂̂= ħ (4.9) Khi tốn tử Hamilton (4.7b) có dạng: H= ( ̂ ̂ ) (4.10) Để thấy rõ ý nghĩa toán tử sinh hủy định nghĩa theo công thức (4.8) ký hiệu hàm riêng toán tử H , tức (4.11) làm sau: ( ̂ ̂ ) = ( ̂ ̂̂ ) ̂ ̂ ̂̂ ̂̂ ̂ ( (̂ ̂ suy ra: ̂̂ ) ̂ ̂̂ ̂ ̂̂ )̂ ̂ Kết cho thấy ̂ hàm sóng ứng với lượng , tức tác động tốn tử ̂ lên hàm sóng cho ta hàm sóng ứng với trạng thái có lượng giảm lượng Một cách tương ứng được: ̂ ̂ (4.13) Tức tác động tốn tử ̂ lên hàm sóng cho ta hàm sóng ứng với trạng thái có lượng tăng thêm lượng Điều nghĩa toán tử ̂ hủy hạt với lượng ̂ tương ứng toán tử sinh Đó hạt phonon Để tm biểu thức lượng phonon ký hiệu hàm sóng ứng với trạng thái bản, trạng thái có lượng nhỏ Khi ̂(4.14) Vì khơng có trạng thái với lượng nhỏ lượng tối thiểu Năng lượng tối thiểu xác điịnh từ phương trình trị riêng tốn tử H xác định (4.10): Chúng ta : ( ) ̂ ̂ ( suy ra: ) (4.15) Theo tính chất tốn tử ̂ từ (4.13) có: ̂ Vì ̂ , với hàm sóng ứng với trạng thái có lượng : (4.16a) Một cách tương tự, từ (4.13) ̂ Vì ̂ , với hàm sóng ứng với trạng thái có lượng , từ (4.11) được: (4.16b) Tiếp tuc làm tương tự nhận kết quả: Cho hàm sóng (4.17) ứng với trạng thái có lượng (4.18) , ý (4.12): với n=0,1,2,3,… Để tm hàm sóng viết: ̂(4.19) suy ra: | ̂ | | ̂ |̂ | ̂ | > (4.20) ý (4.9) biến đổi vế phải (4.20) sau: ̂̂ ̂̂ ̂̂( ̂ ̂ ̂ ̂̂ … …… ………………………………… ̂̂ ̂̂ ý (4.14) cuối ta được: | |̂ | ̂ Từ (4.19): Và | | (4.21) ̂ √ | | , suy | | | | | Cuối cùng: √ (4.22) √ với tốn tử ̂ xác định từ cơng thức (4.8a) Để xác định hàm sóng trạng thái , viết dạng tường minh (4.14) : [√ Hay [√ ( ̂ √ ] √ ) ( )] (4.23) Phương trình (4.23) phương trình vi phân quen biết, có nghiệm: [ ] (4.24) số xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm kết | , , đó: [ Thay :∫ | ] (4.25) từ (4.25) vào (4.22) sử dụng biểu thức (4.8a), dễ dàng tm hàm sóng trạng thái KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương 4, em trình bày dao động mạng tinh thể với nội dung: phương trình Schodinger cho dao động mạng tinh thể biểu diễn tọa độ, phương trình Schodinger cho phonon biểu diễn lượng hóa lần hai Đây vấn đề quan trọng để em tếp tục nghiên cứu giải toán phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt KẾT LUẬN Trong khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt ” Sau thời gian nghiên cứu tm tòi, em thu số kết sau: Giới thiệu tính chất chung hệ nhiều hạt: khái niệm hệ nhiều hạt, hệ nhiều hạt đồng nhất, đại lượng bảo tồn hệ nhiều hạt, biểu diễn tốn tử hàm sóng cho hệ nhiều hạt…Trình bày phương trình Schodinger tổng quát cho hệ electron ion vật rắn tinh thể Phương trình Schodinger cho hệ electron trường hợp liên kết mạnh liên kết yếu … Nghiên cứu phương trình Schodinger cho dao động mạng tinh thể biểu diễn tọa độ, phương trình Schodinger cho phonon biểu diễn lượng tử hóa lần thứ Do thời gian có hạn, lần làm quen với nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân nhiều thiếu sót Em hy vong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn đọc Hy vọng với nội dung trình bày khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc, góp phần nghiên cứu tốn hệ nhiều hạt vật lí Em xin chân thành cảm ơn thầy cô! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thái Hoa, Cơ học lượng tử ,NXBĐHSPHN II 2014 [2] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh Cơ học lượng tử , NXBGD Hà Nội 1995 [3] Đỗ Trần Cát, Lý thuyết hệ nhiều hạt , NXB ĐH Bách Khoa Hà Nội 2009 [4] Phan Đình Kiến, Giáo trình học lượng tử, NXB ĐH Sư Phạm ... hệ nhiều hạt 1.1 Khái niệm hệ nhiều hạt 1.2 Hệ nhiều hạt đồng 1.3 Các đại lượng bảo toàn hệ nhiều hạt 1.4 Các biểu diễn tốn tử hàm sóng cho hệ nhiều hạt Chương 2 :Phương trình schodinger cho hệ. .. cứu phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương trình Schodinger cho hệ nhiều hạt Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng phương pháp giải tập áp dụng phương trình Schrodinger. .. nhiều hạt 1.1.1 Đặc điểm chung hệ nhiều hạt Một cách chung hệ nhiều hạt hệ gồm từ hai hạt trở lên Việc tăng thêm số hạt hệ tạo nên đặc điểm cho hệ Trước hết đề giải hệ phương trình Hamiton (cho hệ